Pure Mathematics
Vol.06 No.06(2016), Article ID:19037,6
pages
10.12677/PM.2016.66066
Nonexistence of Positive Nonconstant Stationary Solutions for Generalized Gray-Scott Model
Ling Yang, Ying Li
School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning
Received: Nov. 3rd, 2016; accepted: Nov. 18th, 2016; published: Nov. 25th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
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ABSTRACT
In his paper, some sufficient conditions for nonexistence of positive nonconstant stationary solutions for generalized Gray-Scott model are given.
Keywords:Generalized Gray-Scott Model, Stationary Solution, Nonexistence
广义Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性
杨 玲,李 莹
大连民族大学理学院,辽宁 大连
收稿日期:2016年11月3日;录用日期:2016年11月18日;发布日期:2016年11月25日
摘 要
本文给出了广义Gray-Scott模型不存在非常值正稳态解的若干充分条件。
关键词 :广义Gray-Scott模型,稳态解,不存在性
1. 引言
广义Gray-Scott模型的化学反应机制如下 [1] :
其中,和是正常数。对于一维情形,反应物和的浓度,满足如下反应扩散方程:
其中和是化学反应物和的扩散系数。当时,通常称上述模型为Gray-Scott模型 [2] [3] 。通过变换,其相应的高维广义Gray-Scott模型为:
(1.1)
此处,是Laplace算子;为中的有界区域,且其边界充分光滑;是上的单位外法向量;是正常数。上述模型的正稳态解满足下面的椭圆型方程组:
称是(1.1)的一个正解,如果,,且其满足(1.1)。
目前,关于广义Gray-Scott模型的研究主要集中在的情形 [4] - [9] ,对于的情形的研究很少,文献 [1] 也仅仅讨论了一维情形。对其它类似模型如Sel’kov模型、 Brusselator模型、Schnakenberg模型等的研究参见 [10] [11] [12] [13] 。
本文研究问题(1.1)非常值正解的不存在性。主要结果如下:
引理1.1:设,如果下列条件之一成立:
(i),
(ii)且,则问题(1.1)不存在非常值正解。
定理1.2:设,如果下列条件之一成立:
(i)且,
(ii)且,
则问题(1.1)不存在非常值正解。
在第二节给出定理1.1的证明;在第三节,给出定理1.2的证明。
2. 定理1.1的证明
引理2.1:设为问题(1.1)的一个正解,则
, ,
其中,。
证明:设,。依文献 [14] 中命题2.2,得
,
由此得到第一个结论。
令
,
得
.
令,依文献 [14] 中命题2.2,得
,
即
,
进而
.
这表明,第二个结论成立,这样,引理2.1得证。
定理1.1的证明:对任意,记。假设是(1.1)的正解。用乘以(1.1)中的第一个方程两边,然后在上积分,得
(2.1)
由中值定理知:对任意,存在介于之间的,使得,由于,所以。注意到:,得
。
同理,用乘以(1.1)中的第二个方程两边,然后在上积分,得
.
由Poincaré不等式
,
得
.
利用Young不等式,得
进而
.
取得
,
所以当时,有,这证明了第一个结论。类似地,可得到第二个结论。这样,定理1.1得证。
3. 定理1.2的证明
引理3.1:设是(1.1)的一个正解,则满足如下积分恒等式
(3.1)
其中,,,。
证明:将模型(1.1)的两个方程在上积分,得
(3.2)
令
,
得
在上式两边乘以,在上积分,并注意到:,得
由此得
另一方面
(3.3)
在(3.2)的两边乘以,然后在上积分,得
(3.4)
联合(3.3)和(3.4),引理3.1得证。
定理1.2证明 由引理3.1的证明可知,再根据引理3.1知:如果,则有
由Poincaré不等式
(3.5)
接下来在(1.1)中的第一个方程两边同乘以,在上积分,得
(3.6)
由中值定理知,介于之间,使得,因为,所以。又因为,,,所以由(3.6)得
(3.7)
取,于是由(3.7)可化为
由于再结合(3.7)和(3.5),则。
于是,得
所以,当时,。
类似地可得到第二个结论。这样,定理1.2得证。
基金项目
辽宁省大学生创新创业项目(编号:S201512026049)。
文章引用
杨 玲,李 莹. 广义Gray-Scott模型非常值正稳态解的不存在性
Nonexistence of Positive Nonconstant Stationary Solutions for Generalized Gray-Scott Model[J]. 理论数学, 2016, 06(06): 480-485. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.66066
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