Pure Mathematics
Vol.07 No.02(2017), Article ID:20028,11 pages
10.12677/PM.2017.72012

The Solution of Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations in Banach Spaces

Jiahao Wei

Weifang (Shanghai) New Epoch School, Weifang Shandong

Received: Mar. 10th, 2017; accepted: Mar. 27th, 2017; published: Mar. 30th, 2017

ABSTRACT

The existence of solutions for a class of P-Laplacian fractional differential equation boundary value problem is obtained by means of fixed point theorem and the properties of Green function in Banach Space.

Keywords:Fractional Differential Equation, Boundary Value Problem, Fixed Point Theorem, P-Laplacian Operator

Banach空间中分数阶微分方程边值 问题的解

魏家豪

潍坊(上海)新纪元学校,山东 潍坊

收稿日期:2017年3月10日;录用日期:2017年3月27日;发布日期:2017年3月30日

摘 要

应用不动点定理以及格林函数的性质,在Banach空间中得到了一类带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性结果。

关键词 :分数阶微分方程,边值问题,不动点定理,P-Laplacian算子

Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文我们主要研究Banach空间E中P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:

(1)

其中是E中的零元,是实数,记作实数的整数部分,是常数满足是P-Laplacian算子,即:,其中是Caputo导数,是连续的。

多孔介质中的湍流是一个基本力学问题,为研究此类问题,Leibenson引入了下列带有P-Laplacian算子的微分方程:

. (2)

对微分方程(2)的研究具有非常重要的理论和实际意义,因此受到了广大学者的广泛关注,得到了许多有关微分方程在具有不同边值条件下的显著结果(见文献 [1] [2] [3] [4] )。随着研究的深入,人们开始关注非整数阶微分方程的边值问题,但是有关带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究结果还是很少的。

2010年,文献 [5] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:

其中,利用上下解的方法,作者得到了至少一个正解的存在性结果。

2013年,文献 [6] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题:

其中。由格林函数的性质及Guo-Krasnosel’Skii不动点定理,得到了正解的存在性及多重性的结果。

受以上文章启发,本文主要研究分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性。与以往研究成果相比,本文我们所考虑的边值问题具有以下创新点。第一,我们是在Banach空间中研究边值问题(1)解的存在性。第二,本文中使用的主要工具是Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理,得到了解的存在性结果。最后,我们研究的微分方程带有P-Laplacian算子,特别是在Banach空间中,此类问题的研究成果尚不多见,因此研究边值问题(1)解的存在性是必要的。

2. 预备知识及主要引理

首先定义以下空间:

,

.

易见,空间分别赋予范数时,是Banach空间,其中

本文的基本空间是

下面给出本文用到的一些概念和引理。

定义1 [7] 函数阶Captuto导数定义为:

,

其中是实数的整数部分,右端在上是逐点定义的。

定义2 [8] (Kuratowski非紧性测度)令E是实Banach空间,S是E中的有界集,称

为集合S的非紧性测度,其中的直径。显然

对Banach空间E中的任意有界集D,记为E的Kuratowski非紧性测度。下面分别记空间中的有界集的Kuratowski非紧性测度记作

定义3 [8] 令是实Banach空间,是连续有界的算子,

1) 如果存在常数,对E中的任意有界集S,使得,则称A是k-集压缩映像。当时,则称A为严格集压缩映像。

2) 如果对E中任意非相对紧的有界集S,有,则称A是凝聚映像。

为描述方便,列出以下条件:

(H1) 存在非负函数,使得对任意,有

,

;

(H2)对任意上是一致连续的,其中

;

(H3) 存在满足,使得对任意,E中的有界子集,有

其中

,

,

.

引理1 [8] (Schauder不动点定理) 令K是Banach空间E中的有界闭凸子集,T是K到其自身内的任一全连续映像,则T在K内至少有一个不动点。

引理2给定,若,则边值问题:

(3)

有唯一解

.(4)

证明:由(3)知

对上式两边积分及

, (5)

对上式求导得

因此

,

.

再由边值问题(3)的边界条件,可得

, (6)

. (7)

将(6)、(7)代入(5),可得(4)成立。

引理3假设条件(H1)成立,则边值问题(1)等价于下面的积分方程:

证明:引理3 的证明类似于引理2,在此略去。

对任意,定义算子T:

. (8)

注1:引理3 说明边值问题(1)解的存在性等价于算子T的不动点的存在性。

引理4假设条件(H1)和(H2)成立,则算子是连续有界的。

证明:首先,由(8)知

. (9)

由(H1)知,,因此在I中是有界的,即存在正常数A和B,使得,即:。再由(9)知

. (10)

由(8)知

. (11)

因此

.(12)

由(10)和(12)知,是良定义的并且

其次,算子中的有界集映成有界集。下面仅需证明对任意,存在正常数,使得对任意,其中,有。令

,

.

根据(H1)和(9)知

. (13)

根据(H1)和(12)知

. (14)

由(13)和(14)知,算子中的有界集映成有界集。

最后证明算子中连续。令。因此中的有界子集,即:存在常数,使得对任意,有,取极限得,。另外,由(8)知

. (15)

由(H2)知,对任意,存在,使得当时,有

, (16)

因此,对任意,当时,有

. (17)

同理,对任意,当时,有

.

所以

,

即:是连续的。引理得证。

引理5假设条件(H1)成立并且中的有界集,则上是等度连续的。

证明:为了证明上是等度连续的,仅需证明下面的结论即可:

a) 对任意,存在,使得对任意,当时,有

;

b) 对任意,存在,使得对任意,当时,有

.

首先证明上是等度连续的。事实上,由条件(H1)知

.

的有界性,存在,使得对任意,有。对任意,不妨假设,再由(8)及关于的单调性知

.

,

因此对任意,当时,有

.

时,同理可证上式成立。所以上是等度连续的。

其次证明上是等度连续的。对任意,不妨假设,由(11)知,

因此对任意,当时,有

.

时,同理可证上式成立。所以上是等度连续的。

综上所述,引理得证。

引理6假设条件(H1)成立并且中的有界集,则

.

3. 主要结果

下面给出边值问题(1)解的存在性。

定理1 假设(H1)-(H3)成立,则边值问题(1)在中至少有一个解。

证明:我们仅需证明算子中至少有一个不动点即可。由(H1)知,我们可以选择实数,使得

.

.

首先证明。事实上,对任意,由(8)知

. (19)

同理可证,。由引理4知,。令,即:中的凸闭包。显然,的非空有界凸闭包。由引理5知,上是等度连续的,再由的定义知,上是等度连续的。

下证算子是由映到的严格集压缩映像。由,根据引理4知,是有界连续的。最后证明对任意,有成立,其中

.

事实上,由引理6知,我们仅需证明

, (20)

. (21)

先证(20)成立。由(H2)及的定义知上是等度连续的。因此,由(H3)知,

.

因为是任意的,所以(20)成立。同理可证(21)成立。由引理6及(19),(20)知,是由映到的严格集压缩映像。显然,也是凝聚的。由引理1知,中只有一个不动点,即:边值问题(1)在中至少有一个解。

4. 结论

本文主要利用Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理,在Banach空间中得到了带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性结果。

致谢

作者对审稿人提出的宝贵意见表示衷心的感谢。

文章引用

魏家豪. Banach空间中分数阶微分方程边值问题的解
The Solution of Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations in Banach Spaces[J]. 理论数学, 2017, 07(02): 78-88. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.72012

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