ABSTRACT

The classification of flag-transitive designs is an important subject on algebraic combinatorics. And the automorphism groups of a flag-transitive 6-(v, k, 3) design are 3-homogeneous. Therefore, using the classification theorem of 3-homogeneous permutation groups, the classification of flag-transitive 6-(v, k, 3) designs can be discussed, and we prove that the automorphism groups of a flag-transitive 6-(v, k, 3) design are not isomorphic to affine type groups.

Keywords:Flag-Transitive, 3 -Homogeneous Groups, Permutation Group, Affine Group

仿射型群与旗传递6-(v, k, 3)设计

廖小莲，陈国华

湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南 娄底

Email: hnldlxl2005@126.com

收稿日期：2017年4月28日；录用日期：2017年5月12日；发布日期：2017年5月16日

摘 要

对旗传递设计进行分类是代数组合的重要课题。由于旗传递6-(v, k, 3)设计的自同构群是3-齐次的，我们利用3-齐次本原置换群分类定理来研究旗传递6-(v, k, 3)设计的自同构分类问题，并证明了旗传递6-(v, k, 3)设计的自同构群不同构于仿射型群。

关键词 :旗传递，3–齐次置换群，自同构群，仿射型群

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1. 引言

一个t-(v, k, λ)设计D = (X, B, I)是由v个点的集合X和它的一些k元子集(称为区)组成的集合B，且满足对于X的任意t子集，恰好有λ个区包含它。D的自同构群G是Sym(X)的子群，满足对任意，有。设计D = (X, B, I)的一个旗是指一个点区对(x, B)，这里且。如果G作用在D的区集合(点集合，旗集合)上是传递的，则称G是区–传递(点–传递，旗–传递)的 [1] 。对具有特殊传递性的区组设计的自同构群进行分类是组合数学的一个重要课题，目前，对参数较小的旗传递设计的自同构群的分类工作取得了较完善的成果，但当参数比较大时，研究进展明显要慢得多。我们知道，如果一个非平凡设计是旗–传递的，那么参数t ≤ 6 [2] 。因此，我们可以考虑旗传递6-(v, k, 3)设计的自同构群的分类问题。

主要定理: 设是一个非平凡旗–传递设计，G是D的自同构群，则G的基柱不同构于仿射型群。

2. 预备知识

引理2.1 ( [2] )设是一个设计且，则下面之一成立：

(1) 如果D的自同构群G区–传递地作用于上，则必点-齐次地作用于上;

(2) 如果D的自同构群G旗–传递地作用于上，则必点-齐次地作用于上。

引理2.2 设为一个设计，则：

(1)；

(2);

(3) 如果t = 6，那么.

引理2.3 ( [2] )在有限3-齐次置换群中，仿射型群分为如下三类：

(1)或

(2)；

(3)。

引理2.4 ( [2] )设是一个设计，这里，如果在D上旗传递，那么G在D上是2-传递的

引理2.5 ( [3] )设是一个设计，则

我们将代入引理2.5的不等式中，化简可得：

推论2.6 设是一个非平凡的设计，则参数k满足下面的不等式

引理2.7 ( [4] )如果是一个非平凡的设计，那么不等式成立。

引理2.8 ( [3] )设一个设计。如果旗-传递地作用于上，则对任意的，都有成立。

引理2.9 ( [5] )若表示向量空间的标准基的第个向量，且，则点-传递地作用于上。

引理2.10 ( [2] )设是一个设计，则对于每一个正整数，都有

成立。

3. 主要定理的证明

设是一个非平凡的旗-传递设计，G是D的自同构群旗-传递自同构群。根据引理2.2，我们知道是一个有限3-齐次置换群。因此，我们可以利用3-齐次置换群分类定理讨论G的类型。又由设计的非平凡性，我们有。下面讨论G是仿射型群的情形。根据引理2.3，只需分三种情形进行讨论：

情形(1):或

如果，由引理2.4可以推出：，这与矛盾。

如果，利用推论2.6，我们得到：。于是k的可能取值只能是7, 8, 9, 10, 11, 12, 13和14。由引理2.7，得：

代入上述每一个参数k的值，相应地可以求出每一个值。只有当时，是一个正整数，可能满足条件；而当时，对应的值不是整数。又由于，于是r不能整除，这与引理2.8矛盾。因此，旗-传递设计的自同构群不能是群或。

情形(2):。

这里。若，即，由情形(1)的证明可知，此时不存在任何非平凡6-设计。以下假设。设是向量空间一组标准基，记为线性空间V的一个三维子空间。由非平凡设计的定义，我们有，即，于是。现任取子空间的一个6-子集，由于是的六个互异的元素，不失一般性，记。同时，假设是由集合S生成的三个不同的区组，并记。由于点-传递地作用在集合上(引理2.9)。因此，对于中的某个点，如果，那么必有

，且

因此，即。由引理2.6：

于是，解得：。而，故。

当时，。再由引理2.4可以推出。

当时，取，则，与引理2.10矛盾，因此不存在非平凡的6 − (16, 7, 3)设计。

当时，取，则，与引理2.10矛盾，因此不存在非平凡的6 − (16, 8, 3)设计。

当时，取，则，与引理2.10矛盾，因此不存在非平凡的6 − (16,9, 3)设计。

因此，旗–传递6 − (v, k, 3)设计的自同构群G不同构于群。

情形(3):

由于G具有旗-传递性，根据引理2.8，我们有。再由引理2.2(3)，有：

(1)

由引理2.4知，因此。由条件有。将及代入式(1)求得，容易验证不整除，矛盾。因此，这种情形可以排除。

综上所述，一个非平凡的旗-传递设计的自同构群的基柱不同构于仿射型群。

基金项目

湖南省教育厅科学研究项目(16C0829)资助。

文章引用

廖小莲,陈国华. 仿射型群与旗传递6-(v, k, 3)设计
Affine Type Groups and Flag-Transitive 6-(v, k, 3) Designs[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 159-162. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73020

参考文献 (References)