若干中心商的阶为p6的有限p-群的不存在性问题 Nonexistence of Some Finite p-Groups of the Central Quotient Order of p6

doi:10.12677/PM.2018.81005

Pure Mathematics
Vol.08 No.01(2018), Article ID:23395,5 pages
10.12677/PM.2018.81005

Nonexistence of Some Finite p-Groups of the Central Quotient Order of p⁶

Min Hui

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Baoji University of Arts and Sciences, Baoji Shaanxi

Received: Dec. 20^th, 2017; accepted: Jan. 2^nd, 2018; published: Jan. 12^th, 2018

ABSTRACT

Based on Rodney James’ paper (The groups of order p⁶ (p an odd prime), Mathematics of Computation, 1980, 34 (150): 613-637. [1] ) and the idea of schreier extension theory , act extended element on extended group, by the transposition substructure and the power structure we get the contradiction of Z(G) that is cyclical group, and then we get a class finite p-groups that the central quotient are nonexistence, that is to say when H are the groups of Φ₃₉ family of order p⁶ and satisfied $G / Z (G) ≅ H$ , we get the nonexistence of G.

Keywords:Finite p-group, LA-Group, Central Quotient, Order

若干中心商的阶为p⁶的有限p-群的不存在性问题

惠敏

宝鸡文理学院，陕西宝鸡

收稿日期：2017年12月20日；录用日期：2018年1月2日；发布日期：2018年1月12日

摘要

基于Rodney James的文(The groups of order p⁶ (p an odd prime). Mathematics of Computation, 1980, 34 (150): 613-637. [1] )和schreier扩张理论的思想，将被扩元作用于被扩群，通过换位子结构及幂结构得到存在与Z(G)为循环群的矛盾，进而得到一类中心商不存在的有限p-群，即给出当H为p⁶阶Φ₃₉家族中的群且满足条件 $G / Z (G) ≅ H$ 时群G的不存在性问题。

关键词 :有限p-群，LA-群，中心商，阶

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1. 引言

在有限群自同构群的研究中，值得一提的是悬而未决的著名的LA-猜想：设 $G$ 是阶大于 $p^{2}$ 的有限非循环p-群，则必有 $| G | | | Aut (G) |$ ，满足LA-猜想的群称为LA-群。通过计算自同构群的阶来判断一个群是否是LA-群是很困难的，因为计算自同构群的阶比较复杂且能用到的工具也比较少 [2] [3] 。对于这个猜想的研究到目前已有半个多世纪，但还未得到彻底解决。基于前人对满足条件 $| G / Z (G) | \leq p^{4}$ 和 $| G / Z (G) | \leq p^{5}$ 的LA-群的研究 [4] [5] ，开始对满足条件 $| G / Z (G) | \leq p^{6}$ 的LA-群进行研究，近年来已产生了许多好的结果 [6] - [12] 。尽管如此，中心商的阶为 $p^{6}$ 的有限p-群是否全是LA-群还没有完全确立，本文在Rodney James文章 [1] $Φ_{39}$ 家族群的基础上，研究了这些群均是中心商不存在的有限p-群，进而这些群一定不是满足条件 $| G / Z (G) | = p^{6}$ 的LA-群，这对中心商的阶为 $p^{6}$ 的LA-猜想的完全解决具有一定的意义。

2. 基本引理

引理2.1：令 $Z \leq Z (G)$ ， $G / Z = \bar{H}$ 。如果群 $H$ 包含元素 $w$ 和生成子集 $S$ ，使得 $S$ 中每一个元素的某个相同次幂全都等于 $w$ ，则有 $[w, H] = 1$ , $w \in Z (G)$ 。

证明：令 $s \in S$ , $s^{m} = w$ ，因为 $[w, s] = [s^{m}, s] = 1$ ，所以 $[w, H] = 1$ 。又因为 $G = H Z$ ，所以 $w \in Z (G)$ 。

引理2.2：令 $Z \leq Z (G)$ ， $G / Z = \bar{A} \bar{B}$ ， $[\bar{A}, \bar{B}] = \bar{1}$ ，则 $[A^{'}, B] = 1$ 。

证明：令 $a = [x, y]$ ， $x, y \in A$ ， $b \in B$ ，因为 $a [a, b] = a^{b} = {[x, y]}^{b} = [x^{b}, y^{b}] = [x, y] = a$ ，所以 $[a, b] = 1$ 。因为 $A^{'} = [A, A] = 〈 [x, y] | x, y \in A 〉$ ，所以 $[A^{'}, B] = 1$ 。

根据引理2.1和引理2.2，得到如下推论：

推论2.3：令 $A = H K$ ， $[H, K] = 1$ ， $K$ 是 $A$ 的子集，并且 $H \leq A$ ，群 $A$ 包含非单位元 $w$ 和生成子集 $S$ ，使得 $S$ 中的每个元素的某个相同次幂全都等于 $w$ ，若 $w \in H^{'}$ ，则不存在群 $G$ ，使得 $G / Z (G) ≅ A$ 。

引理2.4 [13] ：令 $n, k$ 是非负整数， $x, y \in G$ ， $c_{2} = [y, x]$ ， $c_{31} = [y, 2 x]$ ， $c_{32} = [y, x, y]$ ， $c_{41} = [y, 3 x]$ ， $c_{42} = [y, 2 x, y]$ ， $c_{44} = [y, x, 2 y]$ ， $c_{51} = [y, 4 x]$ ， $c_{52} = [y, 3 x, y]$ ， $c_{54} = [y, 2 x, 2 y]$ ， $c_{58} = [y, x, 3 y]$ ， $d_{1} = [y, 2 x, [y, x]]$ ， $d_{2} = [y, x, y, [y, x]]$ 。如果 $c (G) \leq 5$ ，

则

${(x y)}^{n} = x^{n} y^{n} c_{2}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})} c_{31}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})} c_{32}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})} c_{41}^{(\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix})} c_{42}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix})} c_{44}^{2 (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix})} c d$ ,

其中

$c = c_{51}^{(\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})} c_{52}^{3 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + 4 (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})} c_{54}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + 6 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + 6 (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})} c_{58}^{3 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + 4 (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})}$ , $d = d_{1}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + 7 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + 6 (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})} d_{2}^{6 (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) + 18 (\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) + 12 (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix})}$ ,

$[y^{k}, x^{n}] = c_{2}^{n k} c_{31}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) k} c_{32}^{n (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix})} c_{41}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) k} c_{42}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix})} c_{44}^{n (\begin{matrix} k \\ 3 \end{matrix})} c_{51}^{(\begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix}) k} c_{52}^{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix})} c_{54}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ 3 \end{matrix})} c_{58}^{n (\begin{matrix} k \\ 4 \end{matrix})} e$ ,

其中

$e = d_{1}^{n (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) k} d_{2}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) + n^{2} (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix}) + 2 n^{2} (\begin{matrix} k \\ 3 \end{matrix})}$ .

引理2.5 [14] ：设 $G$ 是群， $a, b \in G$ 且 $[a, b] \in Z (G)$ ，又设 $n$ 是正整数。则有

1) $[a^{n}, b] = {[a, b]}^{n}$ ；

2) $[a, b^{n}] = {[a, b]}^{n}$ ；

3) ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n} {[b, a]}^{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})}$ 。

引理2.6 [14] ：设 $G$ 是亚交换群， $x, y, z \in G$ ，

1) 若 $y \in G^{'}$ ，则 $[z, x y] = [z, x] [z, y]$ ， $[x y, z] = [x, z] [y, z]$ ；

2) 对 $\forall x, y, z \in G$ ，有 $[x, y, z] [y, z, x] [z, x, y] = 1$ 。

引理2.7 [14] ：设 $G$ 是亚交换群， $a, b \in G, m \geq 2$ ， $i, j$ 为正整数，

$[i a, j b] = [a, b, \underset{i - 1}{\underset{︸}{a, \dots, a}}, \underset{j - 1}{\underset{︸}{b, \dots, b}}]$ ,

则

${(a b^{- 1})}^{m} = a^{m} \prod_{i + j \leq m} {[i a, j b]}^{(\begin{matrix} m \\ i + j \end{matrix})} b^{- m}$ .

3. 主要结果

定理： $H$ 为 $p^{6}$ 阶第三十九家族的群，当 $H = Φ_{39} (21^{4}) a_{r}$ ， $Φ_{39} (21^{4}) b_{r}$ ， $Φ_{39} (21^{4}) b_{p + r}$ ， $Φ_{39} (1^{6})$ 时，不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。

证明：令 $H = Φ_{39}$ ，则我们有 $H = 〈 α, α_{1} 〉$ ， $H_{i + 1} = 〈 α_{i + 1}, \dots, α_{5} 〉$ 。此时令 $S = 〈 α_{2}, α 〉$ ， $T = 〈 α_{1}, α_{2}, α_{3} 〉$ ，则 $S_{2} = H_{3}$ , $T_{2} = H_{4}$ ，所以 $S$ 和 $T$ 是亚交换群。令 $x = α$ , $y = α_{1}^{x}$ ，由引理2.4，知

$c_{2} = [α_{1}^{x}, α] = α_{1}^{- x} {(α_{1} α_{2})}^{x} = α_{1}^{- x} α_{1}^{x} \prod_{i + j \leq p} {[i α_{1}, j α_{2}^{- 1}]}^{(\begin{matrix} p \\ i + j \end{matrix})} α_{2}^{x} = α_{4}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} {[α_{4}^{- 1}, α_{1}]}^{(\begin{matrix} x \\ 3 \end{matrix})} α_{2}^{x} = α_{2}^{x} α_{4}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} α_{5}^{- ( x 3 )}$

$c_{31} = [c_{2}, α] = [α_{2}^{x} α_{4}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 3 \end{matrix})}, α] = [α_{2}^{x}, α] = α_{3}^{x} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}$ ,

$c_{32} = [c_{2}, α_{1}^{x}] = [α_{2}^{x} α_{4}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 3 \end{matrix})}, α_{1}^{x}] = {[α_{2}, α_{1}^{x}]}^{x} α_{5}^{- x (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} = α_{4}^{- x^{2}} α_{5}^{- 2 x (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}$ ,

$c_{41} = [c_{31}, α] = [α_{3}^{x} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}, α] = α_{4}^{x}$ , $c_{42} = [c_{31}, α_{1}^{x}] = [α_{3}^{x} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}, α_{1}^{x}] = α_{5}^{x^{2}}$ ,

$c_{44} = [c_{32}, α_{1}^{x}] = [α_{4}^{- x^{2}} α_{5}^{- 2 x (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}, α_{1}^{x}] = α_{5}^{- x^{3}}$ , $c_{51} = [c_{41}, α] = [α_{4}^{x}, α] = 1$ ,

$c_{52} = [α_{4}^{x}, α_{1}^{x}] = α_{5}^{x^{2}}$ , $c_{54} = [c_{42}, α_{1}^{x}] = [α_{5}^{x^{2}}, α_{1}^{x}] = 1$ ,

$c_{58} = [c_{44}, α_{1}^{x}] = [α_{5}^{- x^{3}}, α_{1}^{x}] = 1$ , $d_{1} = [c_{31}, c_{2}] = α_{5}^{- x^{2}}$ ,

$d_{2} = [c_{32}, c_{2}] = [α_{4}^{- x^{2}} α_{5}^{- 2 x (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})}, α_{2}^{x} α_{4}^{- (\begin{matrix} x \\ 2 \end{matrix})} α_{5}^{- (\begin{matrix} x \\ 3 \end{matrix})}] = 1$ , ${(α α_{1}^{x})}^{p} = α^{p} α_{1}^{x p} α_{5}^{- 2 x^{2} (\begin{matrix} p \\ 5 \end{matrix})}$ .

1) 令 $H = Φ_{39} (21^{4}) a_{r} ≅ G / Z (G) = 〈 \bar{α}, \bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}, \bar{α_{4}}, \bar{α_{5}} | [\bar{α_{i}}, \bar{α}] = \bar{α_{i + 1}}$ ， ${[\bar{α_{4}}, \bar{α_{1}}]}^{k} = {\bar{α}}^{p} = {[\bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}]}^{k} = {[\bar{α_{3}}, \bar{α_{1}}]}^{k} = {\bar{α_{5}}}^{k}$ ， $[\bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}] = \bar{α_{4}}$ ， ${\bar{α_{1}}}^{p} = {\bar{α_{i + 1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{p} = \bar{1} (i = 1, 2, 3) 〉$ ，则有 ${(α α_{1}^{x})}^{p} = α_{5}^{k - 2 x^{2} (\begin{matrix} p \\ 5 \end{matrix})}$ 。如果 $p > 5$ ，则不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。此时若假设 $p = 5$ ，因为 $k - 2 x^{2} \equiv 0$ 至多有两个根，所以存在 $x$ 且 $1 \leq x \leq 4$ 使得 $k - 2 x^{2} \equiv 0$ 。因为 $H = 〈 α, α α_{1}^{x} 〉$ ，所以不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。

2) 令 $H = Φ_{39} (21^{4}) b_{r} ≅ G / Z (G) = 〈 \bar{α}, \bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}, \bar{α_{4}}, \bar{α_{5}} | [\bar{α_{i}}, \bar{α}] = \bar{α_{i + 1}}$ ， ${[\bar{α_{4}}, \bar{α_{1}}]}^{r} = {\bar{α}}^{p} = {[\bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}]}^{r} = {\bar{α_{1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{r}$ ， $[\bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}] = \bar{α_{4}}$ , ${\bar{α_{i + 1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{p} = \bar{1} (i = 1, 2, 3) 〉$ ，则 ${(α α_{1}^{x})}^{p} = α_{5}^{r + r x - 2 x^{2} (\begin{matrix} p \\ 5 \end{matrix})}$ 。如果 $p > 5$ ，则不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。此时假设 $p = 5$ ，则 ${(α α_{1}^{x})}^{5} = α_{5}^{r + r x - 2 x^{2}}$ 。因为 $r + r x - 2 x^{2} \equiv 0$ 至多有两个根，所以存在 $x$ 且 $1 \leq x \leq 4$ 使得 $r + r x - 2 x^{2} \equiv 0$ 。因为 $H = 〈 α, α α_{1}^{x} 〉$ ，所以不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。

3) 令 $H = Φ_{39} (21^{4}) b_{p + r} ≅ G / Z (G) = 〈 \bar{α}, \bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}, \bar{α_{4}}, \bar{α_{5}} | [\bar{α_{i}}, \bar{α}] = \bar{α_{i + 1}}$ ， $[\bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}] = \bar{α_{4}}$ ,

${[\bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}]}^{k} = {[\bar{α_{3}}, \bar{α_{1}}]}^{k} = {[\bar{α_{4}}, \bar{α_{1}}]}^{k} = {\bar{α_{1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{k}$ ， ${\bar{α}}^{p} = {\bar{α_{i + 1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{p} = \bar{1} (i = 1, 2, 3) 〉$ ，则 ${(α α_{1}^{x})}^{p} = α_{5}^{k x - 2 x^{2} (\begin{matrix} p \\ 5 \end{matrix})}$ 。如果 $p > 5$ ，则不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。此时假设 $p = 5$ ，则 ${(α α_{1}^{x})}^{5} = α_{5}^{k x - 2 x^{2}}$ 。因为 $k x - 2 x^{2} \equiv 0$ 至多有两个根，所以存在 $x$ 使 $k x - 2 x^{2} \equiv 0$ 。因为 $〈 α_{1}, α α_{1}^{x} 〉 = H$ ，所以不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。

4) 令 $H = Φ_{39} (1^{6}) ≅ G / Z (G) = 〈 \bar{α}, \bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}, \bar{α_{4}}, \bar{α_{5}} | [\bar{α_{i}}, \bar{α}] = \bar{α_{i + 1}}$ ， $[\bar{α_{1}}, \bar{α_{2}}] = \bar{α_{4}}$ ， ${\bar{α_{1}}}^{p} = {\bar{α}}^{p} = {\bar{α_{i + 1}}}^{p} = {\bar{α_{5}}}^{p} = \bar{1}$ ， $[\bar{α_{2}}, \bar{α_{3}}] = [\bar{α_{3}}, \bar{α_{1}}] = [\bar{α_{4}}, \bar{α_{1}}] = \bar{α_{5}}$ ， $(i = 1, 2, 3) 〉$ ，则 ${(α α_{1}^{x})}^{5} = α_{5}^{- 2 x^{2}}$ 。因为 $H = 〈 α α_{1}, α α_{1}^{2} 〉$ ，如果 $p = 5$ ，则不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。此时假设 $p > 5$ 。不妨设 $[α_{i}, α] = α_{i + 1}$ ， $[α_{4}, α_{1}] = α_{5}$ ，由于 $[α_{i}, α] = α_{i + 1} a {}_{i}$ ， $[α_{4}, α_{1}] = α_{5} b$ ， $a_{i}, b \in Z (G)$ ，令 ${α^{'}}_{i + 1} = α_{i + 1} a_{i}$ ， ${α^{'}}_{5} = α_{5} b$ ，则 $α_{i + 1} = {α^{'}}_{i + 1} a_{i}^{- 1}$ ， $α_{5} = {α^{'}}_{5} b^{- 1}$ 。此时 $[α, α_{i + 3}]$ ， $[α_{1}, α_{5}]$ ， $[α_{4}, α_{5}]$ ， $[α_{2}, α_{i + 3}]$ ， $[α_{3}, α_{i + 3}] \in Z (G)$ 。因为 $[α_{5}, α_{i}] = {[α_{5}, α_{i}]}^{α} = [α_{5}, α_{i} α_{i + 1}] = [α_{5}, α_{i + 1}] [α_{5}, α_{i}]$ ，所以 $[α_{5}, α_{i + 1}] = 1$ 。因为 $[α_{2}, α_{4}] = {[α_{2}, α_{4}]}^{α} = [α_{2}^{α}, α_{4}^{α}] = [α_{2} α_{3}, α_{4}] = [α_{2}, α_{4}] [α_{3}, α_{4}]$ ，所以 $[α_{3}, α_{4}] = 1$ 。因为 $α_{5}^{α} = [α_{4}^{α}, α_{1}^{α}] = [α_{4}, α_{1} α_{2}] = [α_{4}, α_{2}] α_{5}$ ，所以 $[α_{5}, α] = [α_{4}, α_{2}]$ 。因为 $[α_{3}, α_{1}] = {[α_{3}, α_{1}]}^{α_{2}} = [α_{3}^{α_{2}}, α_{1}^{α_{2}}] = [α_{3} α_{5}^{- 1}, α_{1} α_{4}] = [α_{3}, α_{1}] [α_{5}^{- 1}, α_{1}]$ ，所以 $[α_{5}, α_{1}] = 1$ 。令 $[α_{2}, α_{3}] = α_{5} z$ ，其中 $z \in Z (G)$ ，则因为有 $α_{5} [α_{5}, α] = α_{5}^{α} = {[α_{2}, α_{3}]}^{α} z^{- 1} = [α_{2} α_{3}, α_{3} α_{4}] z^{- 1} = [α_{2}, α_{4}] [α_{2}, α_{3}] z^{- 1} = [α_{2}, α_{4}] α_{5}$ ，所以 $[α_{5}, α] = [α_{2}, α_{4}]$ ，这意味着 $[α_{5}, α] = 1$ 。又因为 $G = 〈 α, α_{1}, Z (G) 〉$ ， $α_{5} \in Z (G)$ ，矛盾，所以不存在群 $G$ 使得 $G / Z (G) ≅ H$ 。至此，定理证明完毕。

基金项目

陕西省教育厅科研计划项目资助(项目编号：17JK0040)；宝鸡文理学院重点项目(zk16050)。

文章引用

惠敏. 若干中心商的阶为p⁶的有限p-群的不存在性问题
Nonexistence of Some Finite p-Groups of the Central Quotient Order of p⁶[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 29-33. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81005

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