云南师范大学数学学院，云南 昆明

收稿日期：2023年6月5日；录用日期：2023年7月7日；发布日期：2023年7月14日

摘要

半群分解是一类经典的半群理论研究课题。本文主要围绕正则^*–半群的可分解性进行研究。首先介绍正则^*–半群及可分解的正则^*–半群的相关概念，再用正则^*–半带和群的半直积给出了可分解的正则^*–半群和E-酉可分解的正则^*–半群的刻画，推广了逆半群的相关结果。

关键词

正则^*–半群，可分解，半直积

On Factorizable Regular^*-Semigroups

Yuxin Wang

School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Jun. 5^th, 2023; accepted: Jul. 7^th, 2023; published: Jul. 14^th, 2023

ABSTRACT

Factorization of semigroups is a classic topic in semigroup theory. Factorizable regular^*-semigroups are studied in this paper. The related concepts of regular^*-semigroups and factorizable regular^*-semigroups are introduced, and some characterizations of factorizable regular^*-semigroups and E-unitary factorizable regular^*-semigroups are obtained by the semidirect products of regular^*-semibands and groups. This generalizes the corresponding results of inverse semigroups.

Keywords:Regular^*-Semigroup, Factorizable, Semidirect Product

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

众所周知，群的分解是研究群的结构的重要方式。与此相仿，半群的分解理论在半群研究中也占有重要地位。上世纪60年代末，Tolo在 [1] 中介绍了半群分解的一些基本事实。逆半群是半群理论中研究成果最丰富的一类半群(见 [2] )。上世纪70年代，Chen和Hsieh在 [3] 中研究了可分解的逆半群。随后文献 [4] [5] 分别研究了弱可分解逆半群和可分解的变换半群。关于可分解的逆半群的更详细的结果可参见综述文章 [6] 。作为逆半群的一种推广，纯正半群在上世纪70年代被引入，目前也取得了比较丰富的结果(见 [7] )。特别的，2007年，文献 [8] 研究了纯正半群的可分解性。1978年，Nordahl和Scheiblich在文献 [9] 中介绍了逆半群的另一种推广形式，即正则^*–半群。随后，这类半群得到了众多学者的关注，至今仍不断有新的结果出现(见 [10] )。本文的目的是介绍并研究正则^*–半群的可分解性。在给出正则^*–半群的一些必要概念和结果后，提出了可分解正则^*–半群的概念，然后用正则^*–半带和群的半直积给出了可分解的正则^*–半群的结构。

2. 预备知识

设 $\left(S,\cdot \right)$ 是半群。记S的幂等元集为 $E\left(S\right)$ 。对任意 $a\in S$ ，记

$V\left(a\right)=\left\{x\in S|axa=a,xax=x\right\}$ .

设 ${}^{*}:S\to S$ 是映射。称 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 为正则^*–半群，若下述公理成立：

$x{x}^{\ast }x=x$ , ${\left(x^{\ast }\right)}^{\ast }=x$ , ${\left(xy\right)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }$ .

记 $P\left(S\right)=\left\{e\in E\left(S\right)|e^{*}=e\right\}$ ，并称 $P\left(S\right)$ 中元素为S的投射元。

引理2.1 [9] 设 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 是正则^*–半群。

(1) $P\left(S\right)=\left\{x{x}^{*}|x\in S\right\}=\left\{x^{*}x|x\in S\right\}$ ， $E\left(S\right)=P{\left(S\right)}^2$ 。

(2) 对任意 $a\in S$ ， $e\in P\left(S\right)$ ，有 $a^{*}ea\in P\left(S\right)$ 。

(3) 每个 $\mathcal{L}$ -类和 $\mathcal{R}$ -类均含唯一的投射元。

(4) $a\mathcal{R}b$ 当且仅当 $a{a}^{*}=b{b}^{*}$ 。

(5) $a\mathcal{L}b$ 当且仅当 $a^{*}a=b^{*}b$ 。

称半群S正则，若对任意 $a\in S$ ，有 $V\left(a\right)\cancel{=}\varnothing$ 。易见，正则^*–半群是正则半群。正则半群S称为纯正半群，若 $E\left(S\right)$ 形成S的子半群(子带)。

引理2.2 [7] 设 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 是正则^*–半群。则S纯正当且仅当对任意 $e\in E\left(S\right)$ ，有 $V\left(e\right)\subseteq E\left(S\right)$ 。

设 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 为正则^*–半群。记 $P\left(S\right)$ 生成的子半群为 $C\left(S\right)$ ，即

$C\left(S\right)=\left\{e_1{e}_2\cdots e_n|e_i\in P\left(S\right),i=1,2,\cdots ,n,n\in \mathbb{N}\right\}$ .

由引理2.1(1)， $E\left(S\right)\subseteq C\left(S\right)$ 。若 $S=C\left(S\right)$ ，则称S是正则^*–半带。特别的，若 $S=E\left(S\right)$ ，则称S是正则^*–带。容易看出，若 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 是纯正的正则^*–半群，则 $\left(E\left(S\right),\cdot ,{}^{*}\right)$ 形成正则^*–带。

命题2.3 设 $\left(S,\cdot ,{}^{*}\right)$ 是正则^*–半群。则 $\left(C\left(S\right),\cdot ,{}^{*}\right)$ 是正则^*–半带。特别地，若S含单位元1，则 $C\left(S\right)$ 是含单位元的正则^*–半带。

证明. 任取 $c=e_1{e}_2\cdots e_n\in C\left(S\right)$ ，其中 $e_i\in P\left(S\right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

${\left(e_1{e}_2\cdots e_n\right)}^{*}=e_n^{*}\cdots e_2^{*}{e}_1^{*}=e_n\cdots e_2{e}_1\in C\left(S\right)$ ,

故 $C\left(S\right)$ 对运算^*封闭，从而 $C\left(S\right)$ 是S的正则^*–子半群。对任意 $p\in P\left(S\right)$ ，有 $p\in C\left(S\right)$ ，从而 $p=pp=p{p}^{\ast }\in P\left(C\left(S\right)\right)$ 。于是 $P\left(C\left(S\right)\right)\subseteq P\left(S\right)\subseteq P\left(C\left(S\right)\right)$ 。这表明 $C\left(C\left(S\right)\right)=C\left(S\right)$ 。故 $C\left(S\right)$ 是正则^*–半带。若S含单位元1，则 $1\in P\left(S\right)\subseteq C\left(S\right)$ ，于是 $C\left(S\right)$ 是含单位元的正则^*–半带。

设S是正则^*–半群，称S是E-酉的，如果对任意 $s\in S$ 及 $e\in E\left(S\right)$ ， $se\in E\left(S\right)$ 蕴含 $s\in E\left(S\right)$ 。

命题2.4 设S是E-酉的正则^*–半群。则 $E\left(S\right)=C\left(S\right)$ 是正则^*–带。

证明. 设 $e\in E\left(S\right)$ ， $x\in V\left(e\right)$ 。则 $xe\in E\left(S\right)$ 。由于S是E-酉的，故 $x\in E\left(S\right)$ 。由引理2.2知S纯正，从而 $E\left(S\right)$ 是正则^*–带。由引理2.1(1)及 $C\left(S\right)$ 的定义知

$E\left(S\right)=P{\left(S\right)}^2\subseteq C\left(S\right)\subseteq E\left(S\right)$ ,

从而 $E\left(S\right)=C\left(S\right)$ 。

3. 主要结果及其证明

本节设S为正则^*–半群，U是群，设U在S上有作用 $U\times S\to S$ ， $\left(u,s\right)\mapsto u\cdot s$ 且满足以下条件：对任意 $u,v\in U$ 及 $s,t\in S$ ，

$u\cdot \left(v\cdot s\right)=\left(uv\right)\cdot s$ , $1\cdot s=s$ , $u\cdot \left(st\right)=\left(u\cdot s\right)\left(u\cdot t\right)$ , $u\cdot s^{*}={\left(u\cdot s\right)}^{*}$ .

在集合 $S\times U$ 上定义

$\left(s,u\right)\left(t,v\right)=\left(s\left(u\cdot t\right),uv\right)$ , ${\left(s,u\right)}^{*}=\left(u^{-1}\cdot s^{*},u^{-1}\right)$ .

命题3.1 $S\times U$ 关于上述运算形成正则^*–半群，称为S和U的半直积，记为 $S\ast U$ 。若S有单位元1，则 $\left(1,1\right)$ 是 $S*U$ 的单位元。进一步的，有

$P\left(S\times U\right)=P\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ , $E\left(S\times U\right)=E\left(S\right)\times \left\{1\right\}\left(=P{\left(S\right)}^2\times 1\right)$ , $C\left(S\times U\right)=C\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ .

特别的，若S是正则^*–半带，则 $C\left(S\times U\right)=C\left(S\right)\times \left\{1\right\}=S\times \left\{1\right\}$ 。

证明. 设 $\left(s,u\right),\left(t,v\right),\left(x,y\right)\in S\times U$ 。则

$\begin{array}{c}\left(\left(s,u\right)\left(t,v\right)\right)\left(x,y\right)=\left(s\left(u\cdot t\right),uv\right)\left(x,y\right)=\left(s\left(u\cdot t\right)\left(\left(uv\right)\cdot x\right),uvy\right)\\ =\left(s\left(u\cdot t\right)\left(u\cdot \left(v\cdot x\right)\right),uvy\right)=\left(s\left(u\cdot \left(t\left(v\cdot x\right)\right)\right),uvy\right)\\ =\left(s,u\right)\left(t\left(v\cdot x\right),vy\right)=\left(s,u\right)\left(\left(t,v\right)\left(x,y\right)\right).\end{array}$

这表明 $S\ast U$ 是半群。又因为

$\begin{array}{c}\left(s,u\right){\left(s,u\right)}^{*}\left(s,u\right)=\left(s,u\right)\left(u^{-1}\cdot s^{*},u^{-1}\right)\left(s,u\right)\\ =\left(s\left(u\cdot \left(u^{-1}\cdot s^{*}\right)\right),1\right)\left(s,u\right)\\ =\left(s{s}^{*},1\right)\left(s,u\right)=\left(s{s}^{*}s,u\right)=\left(s,u\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left({\left(s,u\right)}^{*}\right)}^{*}={\left(u^{-1}\cdot s^{*},u^{-1}\right)}^{*}=\left(u\cdot {\left(u^{-1}\cdot s^{*}\right)}^{*},u\right)\\ =\left(\left(u{u}^{-1}\right)\cdot s^{**},u\right)=\left(s,u\right)\end{array}$ ,

$\begin{array}{c}{\left(\left(s,u\right)\left(t,v\right)\right)}^{*}={\left(s\left(u\cdot t\right),uv\right)}^{*}=\left({\left(uv\right)}^{-1}\cdot {\left(s\left(u\cdot t\right)\right)}^{*},{\left(uv\right)}^{-1}\right)\\ =\left({\left(uv\right)}^{-1}\cdot \left({\left(u\cdot t\right)}^{*}{s}^{*}\right),v^{-1}{u}^{-1}\right)\\ =\left(\left(\left(v^{-1}{u}^{-1}\right)\cdot {\left(u\cdot t\right)}^{*}\right)\left(\left(v^{-1}{u}^{-1}\right)\cdot s^{*}\right),v^{-1}{u}^{-1}\right)\\ =\left(\left(v^{-1}\cdot t^{*}\right)\left(v^{-1}\cdot \left(u^{-1}\cdot s^{*}\right)\right),v^{-1}{u}^{-1}\right)\\ =\left(v^{-1}\cdot t^{*},v^{-1}\right)\left(u^{-1}\cdot s^{*},u^{-1}\right)={\left(t,v\right)}^{*}{\left(s,u\right)}^{*},\end{array}$

故 $S\ast U$ 是正则^*–半群。进一步的，有 $u\cdot \left(u^{-1}\cdot s\right)=1\cdot s=s$ ，从而

$s\left(u\cdot 1\right)=\left(u\cdot \left(u^{-1}\cdot s\right)\right)\left(u\cdot 1\right)=u\cdot \left(\left(u^{-1}\cdot s\right)1\right)=u\cdot \left(u^{-1}\cdot s\right)=s$ ,

$\left(1,1\right)\left(s,u\right)=\left(1\left(1\cdot s\right),u\right)=\left(s,u\right)=\left(s\left(u\cdot 1\right),u\right)=\left(s,u\right)\left(1,1\right)$ .

故 $\left(1,1\right)$ 是 $S\ast U$ 的单位元。另一方面，由上述证明知 $\left(s,u\right){\left(s,u\right)}^{*}=\left(s{s}^{\ast },1\right)\in P\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ 。这说明

$P\left(S\times U\right)=\left\{\left(s,u\right){\left(s,u\right)}^{*}|\left(s,u\right)\in S\times U\right\}\subseteq P\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ .

对任意 $e\in P\left(S\right)$ ，有

$\left(e,1\right)=\left(e{e}^{*},1\right)=\left(e,1\right)\left(e^{*},1\right)=\left(e,1\right){\left(e,1\right)}^{*}\in P\left(S\times U\right)$ .

故 $P\left(S\times U\right)=P\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ 。据引理2.1知 $E\left(S\times U\right)={\left(P\left(S\right)\times \left\{1\right\}\right)}^2=P{\left(S\right)}^2\times \left\{1\right\}$ 。最后由 $C\left(S\right)$ 及 $C\left(S\times U\right)$ 的定义立得 $C\left(S\times U\right)=C\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ 。

命题3.2 设 $S\ast U$ 是正则^*–半群S与群U的半直积。则

(1) $\left(s,u\right)\mathcal{R}\left(t,v\right)$ 当且仅当 $s{s}^{*}=t{t}^{*}$ 。

(2) $\left(s,u\right)\mathcal{L}\left(t,v\right)$ 当且仅当 $u^{-1}\cdot \left(s^{*}s\right)=v^{-1}\cdot \left(t^{*}t\right)$ 。

证明. 由引理2.1(4)及事实 $\left(s,u\right){\left(s,u\right)}^{*}=\left(s{s}^{*},1\right)$ 和 $\left(t,v\right){\left(t,v\right)}^{*}=\left(t{t}^{*},1\right)$ 知(1)成立。另一方面，由引理2.1(5)及

${\left(s,u\right)}^{*}\left(s,u\right)=\left(u^{-1}\cdot s^{*},u^{-1}\right)\left(s,u\right)=\left(\left(u^{-1}\cdot s^{*}\right)\left(u^{-1}\cdot s\right),1\right)=\left(u^{-1}\cdot \left(s^{*}s\right),1\right)$

和 ${\left(t,v\right)}^{*}\left(t,v\right)=\left(v^{-1}\cdot \left(t^{*}t\right),1\right)$ 知(2)成立。

称正则^*–半群S是可分解的，若存在S的子群G使得 $S=GC\left(S\right)$ ，且G的单位元为S的投射元。

下面的例子指出，可分解的正则^*–半群未必是逆半群。

例3.3 设 $I=\Lambda =\left\{1,2\right\}$ 是指标集， $x,y,z,w\in I\times \Lambda$ ，其中

$x=\left(1,1\right),y=\left(1,2\right),z=\left(2,1\right),w=\left(2,2\right)$ .

记 $S=\left\{x,y,z,w\right\}$ 。在S上定义乘法如下：对任意 $s_1=\left(a_1,b_1\right),s_2=\left(a_2,b_2\right)\in S$ ， $a_1,a_2,b_1,b_2\in I$ ，

$s_1{s}_2=\left(a_1,b_1\right)\left(a_2,b_2\right)=\left(a_1,b_2\right)$ .

则S关于乘法作成矩形带。记 $S^e=S\cup \left\{e\right\}$ ，其中e是单位元。在 $S^e$ 上规定一元运算“^*”如下：

$x^{*}=x,y^{*}=z,z^{*}=y,w^{*}=w,e^{*}=e$ .

易验证 $\left(S^e,\cdot ,{}^{*}\right)$ 是正则^*–半群且 $P\left(S^e\right)=\left\{x,w,e\right\}$ ， $C\left(S^e\right)=S^e$ 。又 $S^e$ 的单位元e所在的 $\mathcal{H}$ -类只有e本身，所以 $S^e$ 的单位群为 $U\left(S^e\right)=\left\{e\right\}$ 。于是 $S^e=U\left(S^e\right)C\left(S^e\right)$ 。故 $S^e$ 是可分解的正则^*–半群，并且 $S^e$ 不是逆半群。

下面给出可分解的正则^*–半群的一些性质。

命题3.4 设S是可分解的正则^*–半群且 $S=GC\left(S\right)$ 。则

(1) 对任意 $g\in G$ ，g在G中的逆元为 $g^{\ast }$ 。

(2) $S=C\left(S\right)G$ 。

(3) G的单位元是S的单位元，记为1。

(4) $G=U\left(S\right)$ ，其中 $U\left(S\right)$ 是S的单位群，即S的单位元1所在的 $\mathcal{H}$ -类 $H_1$ 。

证明. (1) 设1是G的单位元， $g^{-1}$ 是g在G中的逆元。则由假设条件知 $1\in P\left(S\right)$ 且。另一方面，有。故由引理2.1(3)知 $g{g}^{-1}=g{g}^{*}$ ， $g^{-1}g=g^{*}g$ 。于是 $g^{*}=g^{*}g{g}^{*}=g^{-1}g{g}^{*}=g^{-1}g{g}^{-1}=g^{-1}$ 。

(2) 设 $s\in S$ 。因为 $S=GC\left(S\right)$ ，所以存在 $g\in G$ 和 $c\in C\left(S\right)$ ，使得 $s^{*}=gc\in S$ 。由命题2.3及(1)， $s=s^{**}={\left(gc\right)}^{*}=c^{*}{g}^{*}=c^{*}{g}^{-1}\in C\left(S\right)G$ 。故 $S=C\left(S\right)G$ 。

(3) 设G的单位元是1。因为 $S=GC\left(S\right)$ ，所以对任意 $s\in S$ ，存在 $g\in G$ ， $c\in C\left(S\right)$ 使得 $s=gc$ 。因此 $1s=1\left(gc\right)=\left(1g\right)c=gc=s$ 。由(2)知 $S=C\left(S\right)G$ 。所以对任意 $s\in S$ ，存在 $g\in G$ ， $c\in C\left(S\right)$ 使得 $s=cg$ 。因此 $s1=\left(cg\right)1=c\left(g1\right)=cg=s$ 。这表明1是S的单位元。

(4) 因为 $U\left(S\right)$ 是S的包含1的极大子群，所以 $G\subseteq U\left(S\right)$ 。任取 $h\in U\left(S\right)$ 。则由

$h\in U\left(S\right)\subseteq S=GC(\; S\; )$

知，存在 $g\in G$ 和 $c\in C\left(S\right)$ 使得 $h=gc$ 。故 $c=1c=g^{-1}gc=g^{-1}h\in U\left(S\right)$ ，从而。由(1)和引理2.1(4)知 $c{c}^{*}=c{c}^{-1}=1$ 。记 $c=e_1{e}_2\cdots e_n$ ，其中 $e_i\in P\left(S\right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则由 $c{c}^{*}=1$ 知 $e_1=e_{1}1=e_{1}c{c}^{\ast }=c{c}^{\ast }=1$ 。类似可证 $e_2=e_3=\cdots =e_n=1$ 。故 $c=1$ ，从而 $h=g\in G$ 。这表明 $U\left(S\right)\subseteq G$ 。于是 $G=U\left(S\right)$ 。

由命题3.4易得可分解的逆半群的下述已知结果。

命题3.5 [3] 设S是可分解的逆半群且 $S=GE\left(S\right)$ 。则

(1) $S=E\left(S\right)G$ 。

(2) G的单位元是S的单位元，记为1。

(3) $G=U\left(S\right)$ ，其中 $U\left(S\right)$ 是S的单位群，即S的单位元1所在的 $\mathcal{H}$ -类 $H_1$ 。

定理3.6 设S是正则^*–半群。则下述几条等价：

(1) S可分解。

(2) S是某个含单位元的正则^*–半带C和某个群U的半直积 $C*U$ 的投射生成元分离的 $\left(2,1\right)$ -同态像。

(3) S是幺半群且是某个正则^*–半带C和某个群U的半直积 $C*U$ 的 $\left(2,1\right)$ -同态像。

证明. (1) $\Rightarrow$ (2)。设S可分解。由命题3.4知S含单位元且 $S=C\left(S\right)U\left(S\right)$ ，其中 $U\left(S\right)$ 是S的单位群。据命题2.3， $C\left(S\right)$ 是含单位元的正则^*–半带。规定 $U\left(S\right)$ 在 $C\left(S\right)$ 上的作用如下：

$U\left(S\right)\times C\left(S\right)\to C\left(S\right)$ , $\left(u,c\right)\mapsto u\cdot c=uc{u}^{-1}$ , $u\in U\left(S\right)$ , $c\in C\left(S\right)$ ,

则对任意 $u,v\in U\left(S\right)$ 及 $c,c^{\prime }\in C\left(S\right)$ ，由命题3.4(1)，有

$v\cdot \left(u\cdot c\right)=v\left(uc{u}^{-1}\right)v^{-1}=\left(vu\right)c{\left(vu\right)}^{-1}=\left(vu\right)\cdot c$ , ,

$u\cdot \left(c{c}^{\prime }\right)=uc{c}^{\prime }{u}^{-1}=uc{u}^{-1}u{c}^{\prime }{u}^{-1}=\left(u\cdot c\right)\left(u\cdot c^{\prime }\right)$ ,

${\left(u\cdot c\right)}^{*}={\left(uc{u}^{-1}\right)}^{*}={\left(u^{-1}\right)}^{*}{c}^{*}{u}^{*}=u{c}^{*}{u}^{-1}=u\cdot c^{*}$ .

由命题3.1可得 $C\left(S\right)$ 和 $U\left(S\right)$ 的半直积 $C\left(S\right)*U\left(S\right)$ 。定义

$\phi :C\left(S\right)*U\left(S\right)\to S$ , $\left(c,u\right)\mapsto cu$ .

下证 $\phi$ 是投射生成元分离的满的 $\left(2,1\right)$ -同态。由命题3.1及命题2.3知

$C\left(C\left(S\right)*U\left(S\right)\right)=C\left(C\left(S\right)\right)\times \left\{1\right\}=C\left(S\right)\times \left\{1\right\}$ .

设 $\left(c,1\right),\left(c^{\prime },1\right)\in C\left(C\left(S\right)*U\left(S\right)\right)$ 且 $\left(c,1\right)\phi =\left(c^{\prime },1\right)\phi$ 。则 $c1=c^{\prime }1$ ，从而 $c=c^{\prime }$ 。这表明 $\phi$ 是投射生成元分离的。由于S可分解，故对任意 $s\in S$ ，存在 $c\in C\left(S\right)$ ， $u\in U\left(S\right)$ 使得 $s=cu$ 。于是 $\left(c,u\right)\in C\left(S\right)*U\left(S\right)$ 且 $\left(c,u\right)\phi =cu=s$ 。故 $\phi$ 是满射。设 $\left(c,u\right),\left(c^{\prime },v\right)\in C\left(S\right)*U\left(S\right)$ 。则

$\left(\left(c,u\right)\left(c^{\prime },v\right)\right)\phi =\left(c\left(u\cdot c^{\prime }\right),uv\right)\phi =c\left(u\cdot c^{\prime }\right)uv=cu{c}^{\prime }{u}^{-1}uv=cu{c}^{\prime }v=\left(c,u\right)\phi \left(c^{\prime },v\right)\phi$ ,

$\left({\left(c,u\right)}^{*}\right)\phi =\left(u^{-1}\cdot c^{*},u^{-1}\right)\phi =\left(u^{-1}{c}^{*}u,u^{-1}\right)\phi =u^{-1}{c}^{*}u{u}^{-1}=u^{-1}{c}^{*}={\left(cu\right)}^{*}={\left(\left(c,u\right)\phi \right)}^{*}$ .

因此 $\phi$ 是 $\left(2,1\right)$ -同态。

若S是E-酉的，则由命题2.4知 $E\left(S\right)=C\left(S\right)$ 。设 $\left(c,u\right),\left(c^{\prime },v\right)\in C\left(S\right)*U\left(S\right)$ 。则 $c,c^{\prime }\in C\left(S\right)=E\left(S\right)$ 。若 $\left(c,u\right)\phi =\left(c^{\prime },v\right)\phi$ ，则 $cu=c^{\prime }v$ ，从而 $c=c^{\prime }v{u}^{-1}\in E\left(S\right)$ 。注意到 $c^{\prime }\in E\left(S\right)$ 且S是E-酉的，有 $v{u}^{-1}\in E\left(S\right)$ 。由于 $v,u^{-1},v{u}^{-1}\in U\left(S\right)$ ，故 $v{u}^{-1}=1$ ，从而 $u=v$ ， $c=c^{\prime }$ 。这说明 $\phi$ 是单射。故当S是E-酉可分解的正则^*–半群时，

$\phi :C\left(S\right)*U\left(S\right)\to S$

是同构映射。此时S同构于某个含单位元的正则^*–带和某个群的半直积。

(2) $\Rightarrow$ (3)。显然。

(3) $\Rightarrow$ (1)。设S有单位元1，C是正则^*–半带，U是群， $C*U$ 是C和U的半直积。又设 $\phi :C*U\to S$ 是 $\left(2,1\right)$ -满同态。则 $S=\left\{\left(c,g\right)\phi |\left(c,g\right)\in C*U\right\}$ 。设 $\left(c,g\right)\phi =1$ 。则

$\left(g^{-1}\cdot c^{*},g^{-1}\right)\phi ={\left(c,g\right)}^{*}\phi ={\left(\left(c,g\right)\phi \right)}^{*}=1^{*}=1$ .

于是

$\left(c,g\right)\phi \left(g^{-1}\cdot c^{*},g^{-1}\right)\phi =\left(\left(c,g\right)\left(g^{-1}\cdot c^{*},g^{-1}\right)\right)\phi =\left(c{c}^{*},1\right)\phi =1$ ,

其中 $c{c}^{*}\in P\left(C\right)$ 。这表明，存在 $e\in P\left(C\right)$ 使得 $\left(e,1\right)\phi =1$ 。

设 $g\in G$ 。则

$\begin{array}{c}\left(e,g\right)\phi =\left(e,g\right)\phi \left(e,1\right)\phi =\left(\left(e,g\right)\left(e,1\right)\right)\phi =\left(e\left(g\cdot e\right),g\right)\phi \\ =\left(\left(e,1\right)\left(g\cdot e,g\right)\right)\phi =\left(e,1\right)\phi \left(g\cdot e,g\right)\phi =\left(g\cdot e,g\right)\phi \end{array}$

据命题3.2，有 $\left(g\cdot e,g\right)\mathcal{R}\left(g\cdot e,1\right)$ 和 $\left(e,g\right)\mathcal{R}\left(e,1\right)$ 。于是

. (3.1)

由 $e\in P\left(C\right)$ 知 ${\left(g\cdot e\right)}^2=\left(g\cdot e\right)\left(g\cdot e\right)=g\cdot e^2=g\cdot e\in E\left(C\right)$ ，从而

$\left(g\cdot e,1\right)\left(g\cdot e,1\right)=\left(\left(g\cdot e\right)\left(g\cdot e\right),1\right)=\left(g\cdot e,1\right)\in E\left(C*U\right)$ .

这导致 $\left(g\cdot e,1\right)\phi \in E\left(S\right)$ 。据(3.1)， $\left(g\cdot e,1\right)\phi =1$ 。由g的任意性得 $\left(g^{-1}\cdot e,1\right)\phi =1$ 。另一方面，由

$g^{-1}\cdot \left(e^{*}e\right)=\left(g^{-1}\cdot e^{*}\right)\left(g^{-1}\cdot e\right)=1\cdot \left({\left(g^{-1}\cdot e\right)}^{*}\left(g^{-1}\cdot e\right)\right)$

及命题3.2得 $\left(e,g\right)\mathcal{L}\left(g^{-1}\cdot e,1\right)$ ，从而由(3.1)得，即，于是 $\left(e,g\right)\phi \in U\left(S\right)$ 。

设 $s\in S$ 。因为S是 $C*U$ 的 $\left(2,1\right)$ -同态像，故存在 $\left(c,g\right)\in C*U$ ，使得 $s=\left(c,g\right)\phi$ ，从而由 $\left(e,1\right)\phi =1$ 知

$\begin{array}{c}s=\left(c,g\right)\phi =\left(c,g\right)\phi \left(e,1\right)\phi =\left(\left(c,g\right)\left(e,1\right)\right)\phi \\ =\left(c\left(g\cdot e\right),g\right)\phi =\left(\left(c,1\right)\left(g\cdot e,g\right)\right)\phi =\left(c,1\right)\phi \left(g\cdot e,g\right)\phi .\end{array}$

由命题3.1知 $\left(c,1\right)\in C\left(C*U\right)$ ，从而 $\left(c,1\right)\phi \in C\left(S\right)$ 。据(3.1)式，有

$\left(g\cdot e,g\right)\phi =\left(e,g\right)\phi \in U\left(S\right)$ .

故 $S=C\left(S\right)U\left(S\right)$ 。这就证明了S可分解。

推论3.7 设S是正则^*–半群，则S是E-酉可分解的当且仅当S同构于某个含单位元的正则^*–带和某个群的半直积。

证明. 由定理3.6证明中(1) $\Rightarrow$ (2)部分的最后一段可得必要性。下证充分性。设B是一个含单位元的正则^*–带，G是群， $B*G$ 是B和G的半直积。由命题2.3知S是幺半群。据定理3.6，S可分解。另一方面，据命题3.1知 $E\left(B*G\right)=E\left(B\right)\times \left\{1\right\}=B\times \left\{1\right\}$ 。设

$\left(b,g\right)\in B*G$ ， $\left(e,1\right)\in E\left(B*G\right)$ 且 $\left(b,g\right)\left(e,1\right)\in E\left(B*G\right)$ 。

注意到

$\left(b,g\right)\left(e,1\right)=\left(b\left(g\cdot e\right),g\right)\in E\left(B*G\right)$ ,

有 $g=1$ ，从而 $\left(b,g\right)\in E\left(B*G\right)$ 。故 $B*G$ 是E-酉的。

将定理3.6及推论3.7用到逆半群的情况，有以下推论。

推论3.8 [2] 设S是逆半群。则下述几条等价：

(1) S可分解。

(2) S是某个含单位元的半格E和某个群G的半直积 $E\ast G$ 的幂等元分离的 $\left(2,1\right)$ -同态像。

(3) S是幺半群且是某个半格E和某个群G的半直积 $E\ast G$ 的 $\left(2,1\right)$ -同态像。

推论3.9 [2] 设S是逆半群，则S是E-酉可分解的当且仅当S同构于某个含单位元的半格和某个群的半直积。

文章引用

王钰鑫. 可分解的正则*–半群
On Factorizable Regular*-Semigroups[J]. 理论数学, 2023, 13(07): 1938-1945. https://doi.org/10.12677/PM.2023.137199

参考文献