﻿ 几种随机微分方程解的存在性与唯一性 The Existence and Uniqueness of Solution for Some Kinds of Stochastic Differential Equations

Vol.04 No.01(2015), Article ID:14859,8 pages
10.12677/AAM.2015.41005

The Existence and Uniqueness of Solution for Some Kinds of Stochastic Differential Equations

Chen Chen, Yindi Zhang*, Limei Ren

College of Science, Chang’an University, Xi’an Shaanxi

Email: chdccq@163.com, *mathydzh@126.com

Received: Jan. 27th, 2015; accepted: Feb. 10th, 2015; published: Feb. 17th, 2015

ABSTRACT

Stochastic differential equation (SDE) is a relatively new discipline branch linking the deterministic and non-deterministic phenomenon [1] . The method of studying SDE is proceeded from two aspects of qualitative and quantitative. Qualitative aspect is studying the existence, uniqueness and stability of the solution of SDE; and quantitative aspect is concerning the solving method and the statistical characteristics of the solving process [2] . In order to carry out the following proof, the thesis presents some basic theory knowledge about stochastic differential equation. By means of doing transforms, we obtain the expressions solution of SDE with the help of the formula, and thus we show the existence of the SDE. And finally, we prove the uniqueness of the solution of the SDE by utilizing the Cauchy-Schwarz inequality, the Lipschitz condition and the Gronwall’s lemma.

Keywords:Stochastic Differential Equation, Existence and Uniqueness, Cauchy-Schwarz Inequality, Lipschitz Conditions, Gronwall’s Lemma

Email: chdccq@163.com, *mathydzh@126.com

1. 引言

2. 预备知识

2.1. 伊藤公式

(1)

2.2. 定义

(i) 对于,是有序可测的，

(ii)

(iii)

(iv)几乎必然对于所有的

2.2.1. 注

(i) 设是一个维的布朗运动，是一个与相互独立的维随机变量。今后记它是由产生的-代数，是时间 (包含)之前的维纳过程的历史。

(ii) 假设给定，且

2.2.2. 注

① 如果一个高阶随机微分方程的形式为

② 考虑到定义中的(iii)，我们可以总是假定几乎必然有连续的样本路径。

2.3. Gronwall引理

(2)

，对于所有的

2.4. 存在性与唯一性定理

(i) (Lipschitz条件)，对于所有的(3)

(ii) (线性增长有界条件)，对于所有的 (4)

. (5)

① “唯一性”是指，如果，并且都是随机微分方程的解，且有几乎必然连续样本路径，那么

② 假设(i)是说对于变量是一致Lipschitz连续的。同时注意到，假设(ii)实际可由假设(i)得到。

3. 几种随机微分方程解的存在唯一性

3.1. 常系数的线性随机微分方程

，则，由Gronwall引理中的(2)式，知：，且，故，即，则无区别，唯一性得证。

。因此其解存在，存在性得证。

3.2. 简单的线性齐次随机微分方程

,其中

，则有，由Gronwall引理中的(2)式，知：，且，因而，即

3.3. 一般的线性非齐次随机微分方程

3.3.1. 其一般形式

3.3.2. 一个特殊的多元伊藤公式

，则

(6)

，则

，则由伊藤公式⑴可得

,两边同时积分,得

4. 结束语

The Existence and Uniqueness of Solution for Some Kinds of Stochastic Differential Equations. 应用数学进展,01,37-45. doi: 10.12677/AAM.2015.41005

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