ABSTRACT

In this paper, we consider parameter estimation problem for the non-ergodic Ornstein-Uhlenbeck processes with self-interacting drift

$X_T=Z_T+\theta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t\left(X_t-X_u\right)dudt}},T\ge 0$

where $Z_T$ is an a-stable Lévy motion with $\theta >0$ is an unknown parameter. We consider the consistency and the asymptotic distributions of the weighted trajectory fitting estimator ${\hat{\theta }}_T$ of $\theta$ based on the continuous observation $\left\{X_t,t\in \left[0,T\right]\right\}$ as $T\to \infty$ .

Keywords:Parameter Estimation, Consistency, Asymptotic

带交互项的Ornstein-Uhlenbeck过程的轨迹拟合估计

甘姚红，闫理坦

东华大学数学系，上海

收稿日期：2017年11月4日；录用日期：2017年11月19日；发布日期：2017年11月27日

摘 要

在本文中，我们研究带自排斥漂移项的非遍历的Ornstein-Uhlenbeck过程的参数估计问题

$X_T=Z_T+\theta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t\left(X_t-X_u\right)dudt}},T\ge 0$

其中 $Z_T$ 是a-stable Lévy过程， $\theta >0$ 是未知参数。我们讨论当 $T\to \infty$ ，基于 $\left\{X_t,t\in \left[0,T\right]\right\}$ 连续观测下的 $\theta$ 的加权轨迹拟合参数 ${\hat{\theta }}_T$ 的相合性和渐近分布。

关键词 :参数估计，相合性，渐近性

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1. 引言

在1991年，Durret和Rogers [1] 对刻画聚合物形状变化的模型做了研究。在某种条件下，他们建立了一个解具有渐近性质的随机微分方程。

$X_T=B_T+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(X_t-X_u\right)\text{d}u\text{d}t}}$ (1)

其中 $B$ 是d维的标准布朗运动， $f$ 是Lipschitz连续的。如果 $f\left(x\right)=g\left(x\right)/\Vert x\Vert$ ，且 $g\left(x\right)\ge 0$ ，则 $X_T$ 是由Diaconis和Pemantle [2] 研究提出的对一个过程的一个连续模拟。这个随机微分方程的轨道可以看作是聚合物模型。由于 $X$ 是在其自身过去轨迹改变的环境中发展的，所以随机微分方程(1)定义成自交互扩散的，其中对函数 $f$ 没有任何限定。若对任意的 $x\in R^d$ ， $x\cdot f\left(x\right)\ge 0$ ，换而言之，若它更倾向于远离其之前到达过的位置，称之为自排斥的；对任意的 $x\in R^d$ ， $x\cdot f\left(x\right)\le 0$ ，换而言之，若它更倾向于回到其之前到达过的位置，称之为自吸引的。在1995年，Cranston和Le Jan [3] 扩展了该模型，对自吸引扩散作了介绍，并且研究了当 $d=1$ 的两种情况： $f\left(x\right)=ax+b$ 和 $f\left(x\right)=\sigma \text{sign}\left(x\right)$ 。

本文，我们研究由a-stable Lévy过程驱动的带自排斥漂移项的Ornstein-Uhlenbeck过程的参数估计问题：

$X_T=Z_T+\theta {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t\left(X_t-X_u\right)\text{d}u\text{d}t}},T\ge 0$ (2)

其中 $\theta >0$ 是一个未知参数。

在这篇论文中，我们采用轨迹拟合和加权最小二乘相结合的参数估计方法。轨迹拟合法是Kutoyants [4] 第一次提出，并发展为连续扩散过程的极大似然估计。在 [5] 中研究了由a-stable Lévy过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的加权轨迹拟合估计。

为了得到我们要的估计量，需要作以下的介绍：

$\text{d}{X}_T=\text{d}{Z}_T+\theta Y_T\text{d}T,T\ge 0$ (3)

且

$A_T={\displaystyle {\int }_0^T{Y}_s\text{d}s},T\ge 0$

其中

$Y_T={\displaystyle {\int }_0^T\left(X_T-X_s\right)\text{d}s}$

方程(2)可以写成

$X_T=\theta A_T+Z_T$

令 ${\omega }_T$ 是正的确定的(加权)函数。用 ${\omega }_T$ 乘以上面的方程，得到

${\omega }_T{X}_T=\theta {\omega }_T{A}_T+{\omega }_T{Z}_T$

$\theta$ 的加权轨迹拟合估计是使得以下式子最小

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|{\omega }_t{X}_t-\left(\theta {\omega }_t{A}_t+{\omega }_t{Z}_t\right)\right|}^2\text{d}t}$

显然，当 $\theta$ 取(4)时，上面的式子取最小值

${\hat{\theta }}_T=\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{X}_t{A}_t\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}=\theta +\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{Z}_t{A}_t\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}$ (4)

本文结构如下：在第2节包含了整篇文章中涉及的基础知识的介绍，主要包括a-stable Lévy过程的随机积分和相关的矩不等式。在第3节分为两部分，首先，我们证明当 $\alpha \in \left(1,2\right)$ 时加权拟合估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 的相合性，即，当 $T$ 趋于无穷时， ${\hat{\theta }}_T$ 几乎必然收敛于 $\theta$ 。其次，我们研究 ${\hat{\theta }}_T$ 的渐近分布。得到了

$\frac{h_1\left(T\right)}{h_2\left(T\right)T^{\frac{1}{\alpha }}}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\Rightarrow \theta \frac{\zeta }{{\eta }_{\infty }}$

其中 $\zeta$ 是服从 $S_{\alpha }\left(1,\beta ,0\right)$ 且与 ${\eta }_{\infty }$ 独立的随机变量。

2. 预备知识

在本文中我们用“P”表示“依概率收敛”，“⟹”表示“依分布收敛”。如果随机变量 $\eta$ 满足以下形式的函数，则称该随机变量具有平稳分布，记作 $\eta \sim S_{\alpha }\left(\sigma ,\beta ,\mu \right)$ ：

${\phi }_{\eta }\left(u\right)=E\exp \left\{iu\eta \right\}=\{\begin{array}{l}\exp \left\{-{\sigma }^{\alpha }{\left|u\right|}^{\alpha }\left(1-i\beta \mathrm{sgn}\left(u\right)\tan \frac{\alpha \text{π}}{2}\right)+i\mu u\right\},若\alpha \ne 1\\ \exp \left\{-\sigma \left|u\right|\left(1+i\beta \frac{2}{\text{π}}\mathrm{sgn}\left(u\right)\log \left|u\right|\right)+i\mu u\right\},若\alpha =1\end{array}$

其中 $\alpha \in \left(0,2\right]$ ， $\sigma \in \left[-1,1\right]$ 和 $\mu \in \left(-\infty ,\infty \right)$ 分别为平稳指数：尺度参数、偏态参数和位置参数。当 $\mu =0$ ，称随机变量 $\eta$ 为严格a-stable。若 $\mu =0$ ，且 $\beta =0$ ，则称 $\eta$ 为对称的a-stable。当且仅当 $\beta =0$ (对称情形)，称 $\eta$ 为严格的1-stable ( $\alpha =1$ )。

假设 $\left\{L_t,t\ge 0\right\}$ 是由三元组 $\left(0,\rho ,\lambda \right)$ 生成的一个Lévy过程，则 $L_t$ 的特征函数为：

${\phi }_{L_t}\left(u\right)=E\left[{\text{e}}^{iu{L}_t}\right]=\exp \left\{it\lambda u+t{\displaystyle {\int }_{R\backslash \left\{0\right\}}\left({\text{e}}^{iux}-1-iux{1}_D\left(x\right)\right)\rho \left(\text{d}x\right)}\right\},u\in R$ (5)

其中 $D=\left\{x:\left|x\right|\le 1\right\}$ ， $\rho$ 是Lévy测度

$\rho \left(\text{d}x\right)=\frac{c_1}{x^{1+\alpha }}{1}_{\left(0,\infty \right)}\left(x\right)\text{d}x+\frac{c_2}{{\left|x\right|}^{1+\alpha }}{1}_{\left(-\infty ,0\right)}\left(x\right)\text{d}x$

其中 $1<\alpha <2$ ， $c_1\ge 0$ ， $c_2\ge 0$ 且 $c_1+c_2>0$ 。方程(5)可以写成形式

${\phi }_{L_t}\left(u\right)=\exp \left\{it\left(\lambda +t{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|>1}x\rho \left(\text{d}x\right)}\right)u-t{\sigma }^{\alpha }{\left|u\right|}^{\alpha }\left[1-\beta \mathrm{sgn}\left(u\right)\tan \left(\frac{\text{π}\alpha }{2}\right)\right]\right\}$

其中

${\sigma }^{\alpha }=-\left(c_1+c_2\right)\text{Γ}\left(-\alpha \right)\cos \left(\frac{\text{π}\alpha }{2}\right)$

且

$\beta =\left(c_1-c_2\right)/\left(c_1+c_2\right)$

由ItÔ-Lévy分解定理，有

$L_t=\lambda t+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|<1}x\tilde{N}\left(\text{d}s,\text{d}x\right)}}+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge 1}xN\left(\text{d}s,\text{d}x\right)}}$

其中 $N\left(\text{d}t,\text{d}x\right)$ 是泊松随机可测，定义如下

$N\left(\left(0,t\right],A\right)=\underset{s\le t}{{\displaystyle \sum }}{1}_A\left(\Delta L_s\right)$

并且 $A\in \mathcal{B}\left(R\backslash \left\{0\right\}\right)$ ， $\text{Δ}{L}_s=L_s-L_{s-}$ 表示 $L_s$ 在时间s上的跳， $\tilde{N}\left(\text{d}t,\text{d}s\right)$ 为补偿泊松随机侧度，定义如下

$\tilde{N}\left(\left(0,t\right],A\right)=N\left(\left(0,t\right],A\right)-t\rho (A)$

其中

$\rho \left(A\right)={\displaystyle {\int }_A\rho (dx)}$

ItÔ-Lévy分解也可写成如下的形式：

$\begin{array}{c}{L}_t=\lambda t+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{R\backslash \left\{0\right\}}x\tilde{N}\left(\text{d}s,\text{d}x\right)}}+t{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge 1}x\rho \left(\text{d}x\right)}\\ =\left(\lambda {\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge 1}x\rho \left(\text{d}x\right)}\right)t+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{R\backslash \left\{0\right\}}x\tilde{N}\left(\text{d}s,\text{d}x\right)}}\end{array}$

令

$m=\lambda +{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge 1}x\rho (dx)}$

则有

$m=\lambda +\frac{c_1-c_2}{\alpha -1}$

记作

${\tilde{Z}}_t={\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{R\backslash \left\{0\right\}}x\tilde{N}\left(\text{d}s,\text{d}x\right)}}$

则 ${\tilde{Z}}_t$ 为a-stable Lévy运动，对任意的 $0\le s<t<\infty$ ，有 ${\tilde{Z}}_t-{\tilde{Z}}_s~S_{\alpha }\left(\sigma {\left(t-s\right)}^{1/\alpha },\beta ,0\right)$ 。我们可以标准化 ${\tilde{Z}}_t$ ，定义 $Z_t=\frac{{\tilde{Z}}_t}{\sigma }$ ，则 $\left\{Z_t,t\ge 0\right\}$ 是标准的a-stable Lévy运动， $Z_1$ 具有平稳分布 $S_{\alpha }\left(1,\beta ,0\right)$ 。显然， $L_t=mt+\sigma Z_t$ 且 $E\left[L_t\right]=mt$ 。

3. 估计量的相合性和渐近性

本文中，我们假设 $\alpha \in \left(1,2\right)$ ， $\theta >0$ 。我们讨论方程(2)是由一个a-stable Lévy过程 $Z_T$ 驱动，且 $\theta >0$ 是一个可以通过观测X估计出的未知参数。由

$\text{d}{Y}_T=T{X}_T\text{d}T$ (6)

可得

$\text{d}{Y}_T=\theta T{Y}_T\text{d}T+T\text{d}{Z}_T$ (7)

将(3)代入(6)得到(7)。由常数变易法，可得(7)的显式解为

$Y_T={\text{e}}^{\frac{\theta T^2}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{T}s{\text{e}}^{\frac{-\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s},T\ge 0$

令

${\eta }_T={\displaystyle {\int }_0^{T}s{\text{e}}^{\frac{-\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}$

因此， ${\left\{{\eta }_T\right\}}_{T\ge 0}$ 是 $L^P$ 有界的、右极左连的、 ${\mathcal{F}}_T$ 鞅( $1<p<\alpha$ )，且有

$Y_T={\text{e}}^{\frac{\theta T^2}{2}}{\eta }_T$

此外， ${\eta }_T$ 是一个服从 $S_{\alpha }\left({\tau }_T^{\frac{1}{\alpha }},\beta ,0\right)$ 是随机变量，其中

${\tau }_T={\displaystyle {\int }_0^T{\left|s{\text{e}}^{\frac{-\theta s^2}{2}}\right|}^{\alpha }\text{d}s}<\infty$

由于

$\underset{T\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T{\left|s{\text{e}}^{\frac{-\theta s^2}{2}}\right|}^{\alpha }\text{d}s}={\left(\frac{\theta }{2}\alpha \right)}^{-\frac{\alpha }{2}-1}\text{Γ}\left(\frac{\alpha +1}{2}\right)$

当T趋于无穷， ${\eta }_T$ 收敛于一个a-stable随机变量，并且具有分布 $S_{\alpha }\left({\left({\left(\frac{\theta }{2}\alpha \right)}^{-\frac{\alpha }{2}-1}\text{Γ}\left(\frac{\alpha +1}{2}\right)\right)}^{\frac{1}{\alpha }},\beta ,0\right)$ 。因此，根据鞅收敛定理，有

$\underset{T\to \infty }{\min }{\text{e}}^{\frac{-\theta T^2}{2}}{Y}_T={\displaystyle {\int }_0^{T}s{\text{e}}^{\frac{-\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}:={\eta }_T,P-a.s.$

结合(3)和(4)，我们可以得到

${\hat{\theta }}_T-\theta =\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{Z}_t{A}_t\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}$

记

$h_1\left(T\right)={\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{t}^{-2}{\text{e}}^{\theta t^2}\text{d}t}$

和

$h_2\left(T\right)={\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{t}^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}\text{d}t}$

本文，我们总是假设加权函数 ${\omega }_t$ 是给定的。当T取无穷时，对每个 $K>0$ 和 $i=1,2$ ，有 $h_i\left(T\right)\to \infty$ 和 $h_i\left(K\right)/h_i\left(T\right)\to 0$ 。为了给出加权轨迹拟合估计量的渐近性质，我们需要下面著名的Toeplitz引理(见Dietz 和Kutoyants [6] )。

引理 1 [5] ：如果 ${\phi }_T$ 是定义在 $\left[0,\infty \right)$ 的概率空间测度，且 ${\phi }_T\left(\left[0,T\right]\right)=1$ ，当 $T\to \infty$ 时，对每个 $K>0$ 有 ${\phi }_T\left(\left[0,K\right]\right)=0$ ，则对每个有界的可测函数 $f:\left[0,\infty \right)\to R$ 有

${\lim }_{T\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{f}_t{\phi }_T\left(\text{d}t\right)}=f_{\infty }$

其中 $f_{\infty }:={\lim }_{T\to \infty }{f}_t$ 为 $f$ 的极限且存在。

3.1. 相合性

定理1：令 $\theta >0$ ，当T趋于无穷时，有

${\hat{\theta }}_T\to \theta ,P-a.s.$

证明：由Toeplitz引理，可得

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{A_T}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{Y}_s\text{d}s}}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T\left({\text{e}}^{-\frac{\theta }{2}{s}^2}{Y}_s-{\eta }_{\infty }+{\eta }_{\infty }\right){\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}\text{d}s}}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T\left({\text{e}}^{-\frac{\theta }{2}{s}^2}{Y}_s-{\eta }_{\infty }\right){\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_{\infty }{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}\text{d}s}}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{\lambda \left(T\right)}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}{\displaystyle {\int }_0^T\left({\text{e}}^{-\frac{\theta }{2}{s}^2}{Y}_s-{\eta }_{\infty }\right)\frac{{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}}{\lambda \left(T\right)}\text{d}s}+\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\eta }_{\infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}\text{d}s}}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}\\ =\frac{{\eta }_{\infty }}{\theta },P-a.s.\end{array}$

其中 $\lambda \left(T\right)={\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{s}^2}\text{d}s}$ 。因为

${\lim }_{T\to \infty }\frac{Z_T}{T^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{T}^2}}=0,P-a.s.$

所以，再次利用Toeplitz引理，有

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }{\hat{\theta }}_T-\theta =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{Z}_t{A}_t\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T\frac{A_t}{t^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}\frac{Z_t}{t^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}\frac{{\omega }_t^2{t}^{-2}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}{h_1\left(T\right)}\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^T{\left(\frac{A_t}{t^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}\right)}^2\frac{{\omega }_t^2{t}^{-2}{\text{e}}^{\theta t^2}}{h_1\left(T\right)}\text{d}t}}\\ =0,P-a.s.\end{array}$

定理证明完毕。

3.2. 渐近性

下面，我们讨论估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 的渐近分布。假设加权函数满足以下条件：

假设1：当T趋于无穷时，有

$\frac{d\left({\omega }_T^2\right)}{T{\omega }_T^2}\to 0.$

我们可以得到下面几个结果：

定理2：如果 $\theta >0$ 且上面的假设成立，则有

$\frac{h_1\left(T\right)}{h_2\left(T\right)T^{\frac{1}{\alpha }}}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\Rightarrow \theta \frac{\zeta }{{\eta }_{\infty }}.$

其中 $\zeta$ 是服从 $S_{\alpha }\left(1,\beta ,0\right)$ 的随机变量，且独立于 ${\eta }_{\infty }$ 。

证明：显然，有

$\begin{array}{c}\frac{h_1\left(T\right)}{h_2\left(T\right)T^{\frac{1}{\alpha }}}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)=\frac{h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{Z}_t{A}_t\text{d}t}}{h_1^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}\\ =\frac{{\eta }_T^2}{h_1^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}\frac{h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_T{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\text{d}t}}{{\eta }_T^2}\\ -\frac{{\eta }_T^2}{h_1^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}}\frac{h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\left(Z_T-Z_t\right)\text{d}t}}{{\eta }_T^2}\\ :=F_T\left(G_T+H_T\right)\end{array}$ (8)

运用Toeplitz引理，可得

$\underset{T\to \infty }{\lim }{h}_1^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t^2\text{d}t}=\underset{T\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T{\left(\frac{A_t}{t^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}\right)}^2\frac{{\omega }_t^2{t}^{-2}{\text{e}}^{\theta t^2}}{h_1\left(T\right)}\text{d}t}=\frac{{\eta }_{\infty }^2}{{\theta }^2},P-a.s.$

因此，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }{F}_T={\theta }^2,P-a.s.$ (9)

接，我们讨论 $G_T$ 。记

$G_T=\frac{h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_T{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\text{d}t}}{{\eta }_T^2}=\frac{h_2^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\text{d}t}}{{\eta }_T}\cdot \frac{T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_T}{{\eta }_T}$

由Toeplitz引理，可知

$\underset{T\to \infty }{\lim }{h}_2^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\text{d}t}=\underset{T\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T\frac{A_t}{t^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}\cdot \frac{{\omega }_t^2{t}^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta }{2}{t}^2}}{h_2\left(T\right)}\text{d}t}=\frac{{\eta }_{\infty }}{\theta }$

几乎必然。因此

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{h_2^{-1}\left(T\right){\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\text{d}t}}{{\eta }_T}=\frac{1}{\theta },P-a.s.$ (10)

对 $G_T$ 中的第二个因子，有

$\frac{T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_T}{{\eta }_T}=\frac{T^{-\frac{1}{\alpha }}\left(Z_T-Z_{T^{\frac{1}{\alpha }}}\right)+T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_{T^{\frac{1}{\alpha }}}}{{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}+\left({\eta }_T-{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}\right)}$

我们可以得到以下几个结论：

(i) 随机变量 $T^{-\frac{1}{\alpha }}\left(Z_T-Z_{T^{\frac{1}{\alpha }}}\right)$ 服从a-stable分布 $S_{\alpha }\left(\sigma {\left(1-T^{\frac{1}{\alpha }-1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }},\beta ,0\right)$ ，且当 $T\to \infty$ 时，随机变量弱收敛于一个具有平稳分布 $S_{\alpha }\left(1,\beta ,0\right)$ 的随机变量 $\zeta$ 。

(ii) 由强大数定律，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }{T}^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_{T^{\frac{1}{\alpha }}}=0,P-a.s.$

(iii) $T^{-\frac{1}{\alpha }}\left(Z_T-Z_{T^{\frac{1}{\alpha }}}\right)$ 和 ${\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}$ 是相互独立的。

(iv) 显然有

$\underset{T\to \infty }{\lim }{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}={\eta }_{\infty },P-a.s.$

(v) 当T趋于无穷时，有 ${\eta }_T-{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}$ 依概率收敛于零。

证明：我们证明( v )。由 ${\eta }_{\infty }$ 的定义，可得

${\eta }_T-{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}={\displaystyle {\int }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}^{T}s{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}$

因此，有

$\left|{\eta }_T-{\eta }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}\right|\le \left|{\displaystyle {\int }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}^{T}s{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}\right|$ (11)

由于

$P\left\{\left|{\displaystyle {\int }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}^{T}s{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{E\left|{\displaystyle {\int }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}^{T}s{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}\right|}{\epsilon }\le \frac{C}{\epsilon }{\left({\displaystyle {\int }_{T^{\frac{1}{\alpha }}}^{T}s{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}{Z}_s}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\le \frac{C}{\epsilon }{\left(T^{\alpha +1}{\text{e}}^{-\frac{\theta \alpha T^{\frac{2}{\alpha }}}{2}}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$

对任意给定的 $\epsilon >0$ 和常数 $C>0$ ，当T趋于无穷时，上面的式子趋于零。可知，当T趋于无穷时，(11)收敛于零

由(i)、(ii)、(iii)、(iv)、(v)，可以得到以下结论

$\frac{T^{-\frac{1}{\alpha }}{Z}_T}{{\eta }_T}\Rightarrow \frac{\zeta }{{\eta }_{\infty }}$ (12)

其中 $\zeta$ 和 ${\eta }_{\infty }$ 相互独立。结合(10)和(12)我们可以发现，当T趋于无穷时，有

$G_T\Rightarrow \theta \frac{\zeta }{{\eta }_{\infty }}$ (13)

最后，我们需要证明当T趋于无穷时，依概率有 $H_T\to 0$ 。首先

$\begin{array}{l}\left|h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\left(Z_T-Z_t\right)\text{d}t}\right|\\ \le h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\left|Z_T-Z_t\right|\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{Y}_s\text{d}s}\\ \le h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\left|Z_T-Z_t\right|\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t\left|{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}{Y}_s\right|{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}\\ \le \underset{t\ge 0}{\sup }\left|{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}{Y}_s\right|\cdot h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\left|Z_T-Z_t\right|\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}\end{array}$

显然 ${\sup }_{t\ge 0}\left|{\text{e}}^{-\frac{\theta s^2}{2}}{Y}_s\right|$ 是几乎必然有限的。因此，上面的不等式的最后一项因子

$h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\left|Z_T-Z_t\right|\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}$

依概率收敛于零。并且，当T充分大时，有

$\begin{array}{l}E\left[h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\left|Z_T-Z_t\right|\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}\right]\\ \le h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^{2}E\left[\left|Z_T-Z_t\right|\right]\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}\\ \le C\left(1,\alpha \right)\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\left(T-t\right)}^{\frac{1}{\alpha }}{\omega }_t^2\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}}{T^{\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{t}^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}t}}\\ :=C\left(1,\alpha \right)B_T\end{array}$

其中 $C\left(1,\alpha \right)=\frac{4\Gamma \left(-\frac{1}{\alpha }\right)}{\alpha \sqrt{\text{π}}\Gamma \left(-\frac{1}{2}\right)}$ 。然后，由洛必达法则可得

$\begin{array}{c}\underset{T\to \infty }{\lim }{B}_T=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\left(T-t\right)}^{\frac{1}{\alpha }}{\omega }_t^2\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}}{T^{\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{t}^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}t}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^T{\left(T-t\right)}^{\frac{1}{\alpha }}{\omega }_t^2\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}}{\frac{1}{\alpha }{T}^{\frac{1}{\alpha }-1}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{t}^{-1}{\text{e}}^{\frac{\theta t^2}{2}}\text{d}t}+T^{\frac{1}{\alpha }-1}{\omega }_T^2{\text{e}}^{\frac{\theta T^2}{2}}}\\ \le \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{\alpha }\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\frac{\theta s^2}{2}}\text{d}s}}{{\omega }_T^2{\text{e}}^{\frac{\theta T^2}{2}}}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{\alpha }\frac{{\omega }_T^2{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\frac{\theta t^2}{2}}\text{d}t}}{\theta {\omega }_T^{2}T{\text{e}}^{\frac{\theta T^2}{2}}}=0.\end{array}$ (14)

因此，当T趋于无穷时，有

$h_2^{-1}\left(T\right)T^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^T{\omega }_t^2{A}_t\left(Z_T-Z_t\right)\text{d}t}\to 0,P-a.s.$

于是，当 $T\to \infty$ ，有 $H_T\to 0$ 依概率。由(8)、(9)、(13)以及(14)，可以得到以下结论：

$\frac{h_1\left(T\right)}{h_2\left(T\right)T^{\frac{1}{\alpha }}}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\Rightarrow \theta \frac{\zeta }{{\eta }_{\infty }}.$

其中 $\zeta$ 是一个服从 $S_{\alpha }\left(1,\beta ,0\right)$ 的随机变量，且独立于 ${\eta }_{\infty }$ 。证明完毕。

我们考虑下面两个特殊的加权函数：

(i) 令 ${\omega }_T=T^p,p\ge 0$ ，有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\left({\omega }_T^2\right)}^{\prime }}{T{\omega }_T^2}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{2p{T}^{2p-1}}{T^{2p+1}}=0.$

(ii) 令 ${\omega }_T={\text{e}}^{rT},r\ge 0$ 可得

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\left({\omega }_T^2\right)}^{\prime }}{T{\omega }_T^2}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{2r{\text{e}}^{2rT}}{T{\text{e}}^{2rT}}=0.$

基金项目

国家自然科学基金(No. 11571071)；上海市教育委员会科研创新项目(No. 12ZZ063)。

文章引用

甘姚红,闫理坦. 带交互项的Ornstein-Uhlenbeck过程的轨迹拟合估计
Trajectory Fitting Estimator for the Ornstein-Uhlenbeck Processes with Self-Interacting Drift[J]. 应用数学进展, 2017, 06(08): 946-955. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.68114

参考文献 (References)