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AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2022,11(4),1594-1608
PublishedOnlineApril2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.114174
一类线性方程组的特征边界层分析
王王王琦琦琦，，，曹曹曹娟娟娟娟娟娟
*
，，，许许许蓉蓉蓉，，，张张张莉莉莉
上海师范大学，上海
收稿日期：2022年3月12日；录用日期：2022年4月5日；发布日期：2022年4月14日
摘要
本文主要研究的是一维线性粘性抛物方程与无粘双曲方程之间的解的渐近极限。我们假定相应的
无粘方 程的边界是特征的， 去研究粘性解与无粘解之间的关系。我们用渐近展开的方法讨论不同
区域内粘性方程的近似解，并利用加权能量估计的方法讨论Prandtl型的边界层方程解的存在性，
以证明 边界层的稳定性。通过对近似解与粘性问题真实解之间的误差进行估计，我们最终得到粘
性方程的解与无粘解的渐近等价关系。
关键词
初边值问题，特征边界层，渐近分析，Prandtl型方程，加权能量估计
AnalysisofCharacteristicBoundary
LayersforaClassof
LinearEquations
QiWang,JuanjuanCao
*
,RongXu,LiZhang
ShanghaiNormalUniversity,Shanghai
Received:Mar.12
𝑡ℎ
,2022;accepted:Apr.5
𝑡ℎ
,2022;published:Apr.14
𝑡ℎ
,2022
*通讯作者。
文章引用:王琦,曹娟娟,许蓉,张莉.一类线性方程组的特征边界层分析[J].应用数学进展,2022,11(4):1594-1608.
DOI:10.12677/aam.2022.114174
王琦等
Abstract
Inthispaper,wemainlystudytheasymptoticlimitofthesolutionoftheinitial
boundaryvalueproblemforone-dimensionallinearequations.Weassumethatthe
boundaryofthecorrespondinginviscidequationischaracteristic,andstudythere-
lationshipbetweentheviscoussolutionandtheinviscidone.Theboundarylayeris
characteristic.Weusethemethodofmatchedasymptoticexpansionstodiscussthe
approximatesolutionofviscousequationindifferentdomains.Byusingthemethod
ofweightedenergyestimates,weobtaintheexistenceofsolutionsforPrandtltype
boundarylayerequations.Inordertoprovethestabilityoftheboundarylayer,the
errorbetweentheapproximatesolutionandtherealsolutionoftheviscousproblem
isestimated.Finally,weobtaintheasymptoticequivalencebetweenthesolutionsof
theviscousequationandtheinviscidone.
Keywords
InitialBoundaryValueProblem,CharacteristicBoundaryLayers,Asymptotic
Analysis,PrandtlTypeEquations,WeightedEnergyEstimate
Copyright
c
○2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.前言
在本文中,我们考虑当𝜀→0时,粘性抛物方程
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
= 𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
),(1.1)
𝑢
𝜀
|
𝜕Ω
= 0,(1.2)
𝑢
𝜀
(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
𝜀
0
(𝑥),(1.3)
解的渐近行为.定义域Ω = {𝑥∈[0,+∞),𝑡>0},𝜕Ω = {𝑥= 0,𝑡>0}.𝐴(𝑡,𝑥)是光滑函数,且满足
𝐴(𝑡,𝑥= 0) = 0,∀𝑡≥0,(1.4)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741595应用数学进展
王琦等
由泰勒展式
𝐴(𝑡,𝑥) = 𝜙(𝑥)
ˆ
𝐴(𝑡,𝑥),∀𝑥,(1.5)
ˆ
𝐴(𝑡,𝑥)是光滑的,且
𝜙(𝑥) =
𝑥
1+𝑥
,(1.6)
𝐴(𝑡,𝑥)|
𝜕Ω
̸= 0,(1.7)
粘性函数𝐵(𝑡,𝑥)是光滑函数,满足一致抛物条件,即存在˜𝑐
0
>0,使得
𝐵(𝑡,𝑥)|𝜉|
2
≥˜𝑐
0
|𝜉|
2
,∀𝑡,𝑥,𝑢,(1.8)
初值𝑢
𝜀
0
满足如下渐近展开
‖𝑢
𝜀
0
(𝑥)−
𝑚

𝑖=0
√
𝜀
𝑖
[𝑢
𝑖
0
(𝑥)+𝑢
𝑖
𝑏,0
(𝑦)]‖
𝐻
˜𝑠
≤𝐶
√
𝜀
𝑚−˜𝑠
,𝑦=
𝑥
√
𝜀
,(1.9)
其中𝑢
𝑖
0
∈𝐻
∞
(R
1
+
),𝑢
𝑖
𝑏,0
∈𝐻
∞
(R
1
+
),𝑚是足够大的整数,˜𝑠是任意非负整数.线性抛物型方程组
初边值问题的经典结果保证了方程(1.1)-(1.3)在初边值条件满足任意阶相容的前提下,存在唯一
解𝑢
𝜀
(𝑡,𝑥) ∈𝐻
∞
([0,𝑇
0
]×R
1
+
).
一般认为,粘性抛物方程组的解不能在整个区域上与无粘双曲方程组的解一致接近,除非这两
类方程的边界条件的选择非常特殊.在许多情况下,边界条件的差异导致了边界层现象,这些现象需
要用数学理论严格解释并证明,例如[1–5]及其参考文献.
根据无粘方程组不同的边界条件,边界层大致上可以分为两类,一类是非特征边界,另一类是特
征边界.在本论文中,我们将关注方程(1.1)-(1.3)的完全特征边界层的存在性和线性稳定性.根据假
设(1.4),方程(1.1)-(1.3)对应的无粘方程为
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢= 0,(1.10)
𝑢(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
0
0
(𝑥).(1.11)
则存在𝑇
1
>0,使得方程(1.10)-(1.11)有唯一解𝑢(𝑡,𝑥) ∈𝐻
∞
([0,𝑇
1
]×R
1
+
).
我们期望研究抛物方程(1.1)-(1.3)的解𝑢
𝜀
与无粘方程(1.10)-(1.11)的解𝑢之间的渐近行为,时间
间隔为[0,𝑇],且0 <𝑇≤min(𝑇
0
,𝑇
1
).本文安排如下：
首先,在第二章中我们用多尺度渐近展开[6]构造粘性方程的近似解,得到远离边界层的函数及
边界层方程.在特征边界层情况下,边界层方程不再是常微分方程, 它是一种特殊的退化型偏微分方
程,称为Prandtl型方程,见[7,8].第三章讨论了与[8,9]中类似的一些估计,这些估计 与 线性系统有
关,其中我们可以得到满足某些衰变特性的边界层函数,这使得我们可以构造任意阶的粘性方程的近
似解.
然后,由于 边界是特征的,粘性系数的𝜀阶数不足以抵消特征边界层
√
𝜀厚度所 带来的奇性,换言
DOI:10.12677/aam.2022.1141741596应用数学进展
王琦等
之,在非特征情况下,由于𝑂(𝜀)粘性项,通常用Poincaré型不等式控制一阶项是不够的.由于粘性项
中的非线性可能会带来一些困难,我们在Grenier[9]的启发下对误差项用了加权能量估计,得到稳定
性结果.
2.近似解的构造
2.1.多尺度渐近展开
在本节中,我们利用匹配渐近展开理论构造方程(1.1)的近似解𝑢
𝜀
𝑚
(𝑡,𝑥).首先,我们在远离边界
层的区域里作外部展开,然后在边界层𝜕Ω = {𝑥= 0,𝑡>0}附近建立边界层展开.
2.1.1.外部展开
在远离边界层𝜕Ω = {𝑥= 0,𝑡>0}的区域里,方程(1.1)的解可以作如下展开
𝑈
𝐼𝑁
𝑚
(𝑡,𝑥) =
𝑚

𝑖=0
√
𝜀
𝑖
𝑢
𝑖
(𝑡,𝑥),(2.1)
其中𝑢
𝑖
(𝑡,𝑥),𝑖= 0,1,...,𝑚是确定的.将近似解(2.1)代入方程(1.1),有
𝜕𝑢
𝜀
𝜕𝑡
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
−𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
)
=(𝜕
𝑡
𝑢
0
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
0
)+
√
𝜀(𝜕
𝑡
𝑢
1
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
1
)+
𝑚

𝑖=2
√
𝜀
𝑖
(𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝑖
+𝑄
𝑖−1
)+ℰ
𝐼𝑁
,
其中𝑄
𝑖
仅依赖于𝑢
𝑘
,0 ≤𝑘≤𝑖−1,余项ℰ
𝐼𝑁
满足
|ℰ
𝐼𝑁
|
𝐿
∞
(R
1
+
)
≤𝐶
√
𝜀
𝑚+1
,(2.2)
且
‖𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
ℰ
𝐼𝑁
‖
2
𝐿
2
(R
1
+
)
≤𝐶𝜀
𝑚+1
,∀𝛼≥0,∀𝛽≥0.(2.3)
根据系数
√
𝜀的幂次进行分类,得
𝑂(1) :𝜕
𝑡
𝑢
0
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
0
= 0,(2.4)
𝑂(
√
𝜀) :𝜕
𝑡
𝑢
1
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
1
= 0,(2.5)
𝑂(
√
𝜀
𝑖
) :𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝑖
+𝑄
𝑖−1
= 0,(2.6)
其中𝑖= 2,...,𝑚.同时得到初值条件
𝑢
0
(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
0
0
(𝑥),(2.7)
𝑢
1
(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
1
0
(𝑥),(2.8)
𝑢
𝑖
(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
𝑖
0
(𝑥),𝑖= 2,...,𝑚.(2.9)
我们发现方程(2.4)的解𝑢
0
是无粘方程(1.10)-(1.11)的解,因此令𝑢
0
(𝑡,𝑥)是无粘方程(1.10)-
(1.11)的光滑解𝑢∈𝐻
∞
([0,𝑇]×R
1
+
).由假设(1.4),方程(2.5)-(2.9)存在唯一的解𝑢
𝑖
∈𝐻
∞
([0,𝑇]×
R
1
+
).
DOI:10.12677/aam.2022.1141741597应用数学进展
王琦等
2.1.2.边界层展开
在边界层𝜕Ω = {𝑥= 0,𝑡>0}附近,我们设近似解为
𝑢
𝜀
𝑚
(𝑡,𝑥) = 𝑈
𝐼𝑁
𝑚
(𝑡,𝑥)+𝑈
𝐵
𝑚
(𝑡,𝑦) =
𝑚

𝑖=0
√
𝜀
𝑖
(𝑢
𝑖
(𝑡,𝑥)+𝑢
𝑖
𝑏
(𝑡,𝑦)),(2.10)
其中𝑦=
𝑥
√
𝜀
.将𝑢
𝜀
𝑚
代入方程(1.1),有
𝜕𝑢
𝜀
𝜕𝑡
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
−𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
)
=𝜕
𝑡
𝑢
0
𝑏
+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
)
+
𝑚

𝑖=1
√
𝜀
𝑖
(𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
𝑏
+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
+
˜
𝑄
𝑖−1
)−ℰ
𝐵
−ℰ
𝐼𝑁
其中余项ℰ
𝐵
满足
|ℰ
𝐵
|
𝐿
∞
(R
1
+
)
≤𝐶
√
𝜀
𝑚+1
,(2.11)
且
‖𝑥
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
ℰ
𝐵
‖
2
𝐿
2
(R
1
+
)
≤𝐶𝜀
𝑚+
3
2
,𝛼≥0,∀𝛽≥0.(2.12)
按照系数
√
𝜀的幂次分类,得
𝑂(1) :𝜕
𝑡
𝑢
0
𝑏
+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
) = 0,(2.13)
𝑂(
√
𝜀
𝑖
) :𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
𝑏
+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
)+
˜
𝑄
𝑖−1
= 0(2.14)
其中𝑖= 1,2,...,𝑚,
˜
𝑄
𝑖
依赖于𝑢
𝑘
,𝑢
𝑘
𝑏
,0 ≤𝑘≤𝑖−1.同时得到初边值条件
𝑢
0
𝑏
(𝑡= 0,𝑦) = 𝑢
0
𝑏,0
(𝑦),𝑢
0
𝑏
(𝑡,0) = 𝑢
0
(𝑡,0),𝑢
0
𝑏
(𝑡,𝑦→+∞) = 0,(2.15)
𝑢
𝑖
𝑏
(𝑡= 0,𝑦) = 𝑢
𝑖
𝑏,0
(𝑦),𝑢
𝑖
𝑏
(𝑡,0) = 𝑢
𝑖
(𝑡,0),𝑢
𝑖
𝑏
(𝑡,𝑦→+∞) = 0,(2.16)
成立,1 ≤𝑖≤𝑚.
2.2.Prandtl型边界层方程
2.2.1.线性边界层方程
对于Prandtl型边界层方程初边值问题,将利用加权能量估计来讨论解的存在性.
𝜕
𝑡
𝑤+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑤−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑤) = 0,(2.17)
𝑤(𝑡,𝑦= 0) =¯𝑤(𝑡),(2.18)
𝑤(𝑡,𝑦→+∞) = 0,(2.19)
𝑤(𝑡= 0,𝑦) = 𝑤
0
(𝑦).(2.20)
其中𝑦=
𝑥
√
𝜀
,¯𝑤(𝑡)∈𝐻
𝑠
([0,𝑇]),𝑠足够大.为了证明初边值问题(2.17)-(2.20)解的存在性,我们必须
处理方程中的无界项𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
𝑤.由于𝑦=0时,方程(2.17)是退化的,并且当𝑦→∞时,𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
𝑤是无界
的,这使得普通的Sobolev范数不足以去控制方程的解.为此，我们对非负整数𝛼和𝛽引入加权范数
|||𝑤|||
2
𝑠
=

𝛼∈𝒩,𝛽∈𝒩
0≤𝛼+𝛽≤𝑠
𝐶
−𝛼−𝛽
0
|||𝑤|||
2
𝛼,𝛽
,(2.21)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741598应用数学进展
王琦等
其中
|||𝑤|||
2
𝛼,𝛽
=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.22)
𝐶
0
是一个常数.为了方程在分部积分时没有边界项,我们引入截断函数,设𝜂(𝑦)∈𝐶
∞
(R
1
+
)是截断
函数,且满足
𝜂(𝑦
1
) =
⎧
⎨
⎩
1,0 ≤𝑦≤1,
单调递减,1 <𝑦<2,
(2.23)
令
𝑧(𝑡,𝑦) = 𝑤(𝑡,𝑦)−˜𝑤(𝑡,𝑦),(2.24)
其中˜𝑤(𝑡,𝑦) = 𝜂(𝑦)¯𝑤(𝑡),则𝑧(𝑡,𝑦)满足
𝜕
𝑡
𝑧+𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑧−𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜕
𝑦
𝑧) = 𝜎,(2.25)
𝑧(𝑡,𝑦= 0) = 0,(2.26)
𝑧(𝑡,𝑦→+∞) = 0,(2.27)
𝑧(𝑡= 0,𝑦) = 𝑤
0
(𝑦)−𝜂(𝑦)¯𝑤(0),(2.28)
这里
𝜎=−𝜂(𝑦)𝜕
𝑡
¯𝑤−𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜂
′
(𝑦)¯𝑤+𝜕
𝑦
(𝐵(𝑡,0)𝜂
′
(𝑦)¯𝑤).
则对任意的𝛼,𝛽≤𝑠−1,有

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜎|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡≤𝐶||¯𝑤||
𝐻
𝑠
,(2.29)
定理2.1:方程(2.25)-(2.28)存在唯一解𝑧∈𝐻
𝑠
([0,𝑇]×R
1
+
),使得
|||𝑧|||
2
𝑠
≤𝐶,(2.30)
这里𝐶依赖于||¯𝑤||
𝐻
𝑠
.
证明:关于方程(2.25)两边同时作用算子𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
,得
𝜕
𝑡
|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
= 2

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽+1
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡= 2
5

𝑖=1
𝐼
𝑖
,(2.31)
其中
𝐼
1
= −

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝑦
ˆ
𝐴(𝑡,0)𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
2
= −

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·[𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
,𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
3
=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝐵𝜕
𝛼+2
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
4
=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·[𝜕
𝑦
(𝐵𝜕
𝑦
),𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
5
=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜎𝑑𝑦𝑑𝑡.
DOI:10.12677/aam.2022.1141741599应用数学进展
王琦等
对变量𝑦用分部积分,得
𝐼
1
=

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝑦
(
ˆ
𝐴𝑦
2𝛼+1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑡
=
1
2
(2𝛼+1)

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝑦
2𝛼
1
ˆ
𝐴𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由|
ˆ
𝐴(𝑡,0)|≤𝐶,得
|𝐼
1
|≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
.(2.32)
交换子𝐼
2
是如下各项的总和
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
(𝑦
ˆ
𝐴)·𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
其中𝛼
′
+𝛽
′
≥1,0 ≤𝛼
′
≤𝛼,0 ≤𝛽
′
≤𝛽.若𝛼
′
= 0,则𝛽≥𝛽
′
≥1.于是,有
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝑦𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴·𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
=

R
1
+

R
1
+
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴·𝑦
𝛼+1
𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
因为|𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴|≤𝐶,所以
|𝐽|≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑧|||
2
𝛼+1,𝛽−𝛽
′
≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼+𝛽
,(2.33)
若𝛼
′
= 1,则
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴·𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由|𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴|≤𝐶,且利用Cauchy不等式,可得
|𝐽|≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽−𝛽
′
≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼+𝛽
,(2.34)
若𝛼
′
>1,则𝐽= 0.综合(2.33)和(2.34),
|𝐼
2
|≤

|𝐽|≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼+𝛽
.(2.35)
对变量𝑦用分部积分,得
𝐼
3
=−2𝛼

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼−1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝐵𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
−

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼+1
𝑦
1
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝐵𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
若𝛼= 0,则
𝐼
3
= −

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝐵·𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
DOI:10.12677/aam.2022.1141741600应用数学进展
王琦等
𝐵有界,故
|𝐼
3
|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.36)
若𝛼≥1,
|𝐼
3
|+˜𝑐
0

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤2𝛼|

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼−1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝐵𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡|
≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼−1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝑦
𝛼
𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|𝑑𝑦𝑑𝑡,
由Cauchy不等式得
|𝐼
3
|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
𝑦
2(𝛼−1)
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+𝜏˜𝑐
0

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
取𝜏足够小,
|𝐼
3
|+˜𝑐
0

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡≤𝐶

R
1
+

R
1
+
𝑦
2(𝛼−1)
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.37)
综合(2.36)和(2.37),有
|𝐼
3
|+˜𝑐
0

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤𝐶

R
1
+

R
1
+
𝑦
2(𝛼−1)
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.38)
交换子𝐼
4
是如下各项的总和
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵·𝜕
𝛼−𝛼
′
+2
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
其中𝛼
′
+𝛽
′
≥1.若𝛼= 0,则𝛼
′
= 0,𝛽
′
≥1,
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵·𝜕
2
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
利用分部积分,得
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵·𝜕
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由|𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵|≤𝐶与Cauchy不等式,得
|𝐽|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧·𝜕
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧|𝑑𝑦𝑑𝑡
≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.39)
若𝛼≥1,𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵(𝑡,0) = 0,则𝐽= 0.故
|𝐼
4
|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.40)
利用Cauchy不等式
|𝐼
5
|≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝜎|||
2
𝛼,𝛽
≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶||¯𝑤||
𝐻
𝑠
.(2.41)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741601应用数学进展
王琦等
综合(2.32),(2.35),(2.38),(2.40)以及(2.41)式,得到
𝜕
𝑡
|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+˜𝑐
0

R
1
+

R
1
+
𝑦
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤𝐶|||𝑧|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑧|||
2
𝛼+𝛽
+𝐶||¯𝑤||
𝐻
𝑠
+𝐶

R
1
+

R
1
+
𝑦
2(𝛼−1)
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑧|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,(2.42)
由加权范数的定义,我们对(2.42)式两边同乘以𝐶
−𝛼−𝛽
0
再求和,选择足够大的𝐶
0
,使得(2.43)等式右
边的最后两项可以被左边第二项控制.于是有
𝜕
𝑡
|||𝑧|||
2
𝑠
≤𝐶|||𝑧|||
2
𝑠
+𝐶||¯𝑤||
𝐻
𝑠
≤𝐶(|||𝑧|||
2
𝑠
+1),(2.43)
由Gronwall不等式,得
|||𝑧|||
2
𝑠
≤𝐶.
定理得证.
命题2.1:设𝑠充分大,则
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤|
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶|||𝑤|||
𝑠
,(2.44)
其中𝛼+𝛽≤
𝑠+1
2
.
证明:由定理2.1知|||𝑧|||
𝑠
在[0,𝑇]有界.又由于(2.24)得|||𝑤|||
𝑠
在[0,𝑇]有界.将方程(2.13)变形为
𝜕
2
𝑦
𝑤= 𝑀𝜕
𝑡
𝑤+𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤,(2.45)
其中𝑀= 𝐵
−1
(𝑡,0),𝑁= 𝐵
−1
(𝑡,0)
ˆ
𝐴(𝑡,0),关于𝑀,𝑁,我们作如下假设
|𝜕
𝛽
𝑡
𝑀|
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶
1
,(2.46)
|𝜕
𝛽
𝑡
𝑁|
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶
2
.(2.47)
对方程(2.45)两边同时作用算子𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜕
2
𝑦
𝑤=𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(𝑀𝜕
𝑡
𝑤)+𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤)(2.48)
我们希望||𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜕
2
𝑦
𝑤||
𝐿
2
有界.因此观察(2.48)式右边每一项是否有界.其中第一项为

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(𝑀𝜕
𝑡
𝑤)|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
=

R
1
+

R
1
+
|𝑀𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽+1
𝑡
𝑤|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡+

R
1
+

R
1
+
|[𝑀𝜕
𝑡
,𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]𝑤|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
,𝐸
1
+𝐸
2
,
显然,|𝐸
1
|≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
.交换子𝐸
2
是如下各项的和
𝐽=

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝑀·𝜕
𝛼−𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
+1
𝑡
𝑤|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
其中𝛼
′
+𝛽
′
≥1.当𝛼
′
= 0时,
𝐽=

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝑀·𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽−𝛽
′
+1
𝑡
𝑤|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝛼,𝛽−𝛽
′
+1
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,(2.49)
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其中0 ≤𝛼+𝛽−𝛽
′
≤𝑠−1.当𝛼
′
= 1时,𝐽= 0.由(2.49)可得
𝐸
2
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,
因此,

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(𝑀𝜕
𝑡
𝑤)|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,
同理,

R
1
+

R
1
+
|𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤)|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,
这样就有
||𝑦
𝛼
𝜕
𝛼+2
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤||
2
𝐿
2
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,(2.50)
其中𝛼+𝛽≤𝑠−1.同样地,我们对方程(2.45)两边同时作用算子𝑦
𝛼
𝜕
𝛼+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
,可得
||𝑦
𝛼
𝜕
𝛼+3
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤||
2
𝐿
2
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,(2.51)
其中𝛼+𝛽≤𝑠−2,依此类推,
||𝑦
𝛼
𝜕
𝛼+𝑘
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤||
2
𝐿
2
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,(2.52)
其中𝛼+𝛽≤𝑠−𝑘+1.令𝛼= 0,
||𝜕
𝑘
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤||
2
𝐿
2
≤𝐶|||𝑤|||
2
𝑠
,
得到𝑤∈𝐻
𝑚
= 𝐻
𝑠−𝑘+1
.让𝑠充分大,有
|𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤|
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶|||𝑤|||
𝑠
.
这样命题2.1得证.因此在Sobolev空间中,我们得到了关于线性边界层方程初边值问题解的存在性
和稳定性.
2.3.误差方程
由定理2.1:当𝑠充分大,我们得到了Prandtl型边界层方程初边值问题的光滑解𝑢
0
𝑏
(𝑡,𝑦)∈
𝐻
∞
([0,𝑇]×R
1
+
),𝑢
𝑖
𝑏
(𝑡,𝑦) ∈𝐻
∞
([0,𝑇]×R
1
+
),1 ≤𝑖≤𝑚.因此,近似解𝑢
𝜀
𝑚
满足
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
𝑚
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
𝑚
−𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
𝑚
) = 𝑅
𝜀
,(2.53)
𝑢
𝜀
𝑚
|
𝜕Ω
= 0,(2.54)
𝑢
𝜀
𝑚
(𝑡= 0,𝑥) = 𝑢
𝜀
0
(𝑥),(2.55)
其中𝑅
𝜀
= ℰ
𝐼𝑁
+ℰ
𝐵
,ℰ
𝐼𝑁
和ℰ
𝐵
是内展开和边界层展开的余项.因此,𝑅
𝜀
满足
||𝜙
𝛼
(𝑥)𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑅
𝜀
||
2
𝐿
2
(Ω)
≤𝐶𝜀
𝑚+
3
2
,∀𝛼+𝛽≤𝑠.(2.56)
令𝑣= 𝑢
𝜀
−𝑢
𝜀
𝑚
,则
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑣−𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑣) = −𝑅
𝜀
,(2.57)
𝑣|
𝜕Ω
= 0,(2.58)
𝑣(𝑡= 0,𝑥) = 0.(2.59)
在下一个章节中,我们将对线性误差方程进行稳定性分析.
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王琦等
3.稳定性分析
下面证明线性方程(1.1)-(1.3)的稳定性,
𝜕
𝑡
𝑣+𝐴(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑣−𝜀𝜕
𝑥
(𝐵(𝑡,𝑥)𝜕
𝑥
𝑣) = −𝑅
𝜀
(𝑡,𝑥),(3.1)
𝑣|
𝜕Ω
= 0,(3.2)
𝑣(𝑡= 0,𝑥) = 0,(3.3)
其中Ω = {𝑥∈[0,+∞),𝑡>0},𝜕Ω = {𝑥= 0,𝑡>0}.为了估计误差,我们引入加权范数
|||𝑣|||
2
𝑠
=

𝛼∈𝒩,𝛽∈𝒩
0≤𝛼+𝛽≤𝑠
𝐶
−𝛼−𝛽
0
|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
,(3.4)
|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
= ||𝜙
𝛼
(𝑥)𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣||
2
𝐿
2
(Ω)
(3.5)
其中𝜙(𝑥) =
𝑥
1+𝑥
.
定理3.1:设任意的0 ≤𝛼+𝛽≤𝑠,
||𝜕
𝛽
𝑡
𝐴(𝑡,𝑥)||
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶𝜙(𝑥),(3.6)
||𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝐴(𝑡,𝑥)||
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶+𝐶|
√
𝜀|
−𝛼+1
𝜃(
𝑥
√
𝜀
),(3.7)
||𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝐵(𝑡,𝑥)||
𝐿
∞
(Ω)
≤𝐶+𝐶|
√
𝜀|
−𝛼
𝜃(
𝑥
√
𝜀
),(3.8)
𝜃(𝑥)≥0是光滑函数,且对任意的𝑥∈R
1
+
和𝑛,|𝑥
𝑛
𝜃(𝑥)|≤𝐶
𝑛
,则方程组(3.1)-(3.3)有唯一
解𝑣(𝑥,𝑡) ∈𝐻
𝑠
(Ω),使得
|||𝑣|||
2
𝑠
≤𝐶𝜀
𝑚+
3
2
.(3.9)
证明:
由计算可得
𝜕
𝑡
|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
= 2

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
·𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽+1
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡= 2
5

𝑖=1
𝐼
𝑖
其中
𝐼
1
= −

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝐴𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
2
= −

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·[𝐴𝜕
𝑥
,𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
]𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
3
= 𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝐵𝜕
𝛼+2
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
4
= 𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·[𝜕
𝑥
(𝐵𝜕
𝑥
),𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
]𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
5
= −

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑅
𝜀
𝑑𝑥𝑑𝑡,
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王琦等
由分部积分得
𝐼
1
=
1
2

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝑥
(𝜙
2𝛼
𝐴)𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
由(3.7)得||𝜕
𝑥
𝐴(𝑡,𝑥)||≤𝐶,从而||𝜙
2𝛼
𝜕
𝑥
𝐴||≤𝐶𝜙
2𝛼
.又|𝐴(𝑡,𝑥)|≤𝐶𝑥,且|𝑥𝜕
𝑥
𝜙
2𝛼
|≤𝐶𝜙
2𝛼
,所以
||𝜕
𝑥
(𝜙
2𝛼
𝐴)||≤𝐶𝜙
2𝛼
,
故
|𝐼
1
|≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
.(3.10)
交换子𝐼
2
是下面各项的总和
𝐽=

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝛼
′
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐴·𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
其中𝛼
′
+𝛽
′
≥1,0 ≤𝛼
′
≤𝛼,0 ≤𝛽
′
≤𝛽.
若𝛼
′
= 0,由(3.6)
|𝐽|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜙
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣||𝜙
𝛼+1
𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|𝑑𝑥𝑑𝑡
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+1,𝛽−𝛽
′
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+𝛽
,(3.11)
若𝛼
′
≥1,由(3.7)得𝜙
2𝛼
||𝜕
𝛼
′
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐴||≤𝐶𝜙
2𝛼
≤𝐶𝜙
2𝛼−𝛼
′
+1
,
|𝐽|≤𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜙
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣||𝜙
𝛼−𝛼
′
+1
𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|𝑑𝑥𝑑𝑡
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼−𝛼
′
+1,𝛽−𝛽
′
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+𝛽
,(3.12)
综合(3.11),(3.12)得
|𝐼
2
|≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+𝛽
.(3.13)
对𝑥利用分部积分可得
𝐼
3
=−𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝑥
(𝜙
2𝛼
𝐵)·𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
−𝜀

R
1
+

R
1
+
𝐵𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜙
2𝛼
·𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,(3.14)
令
𝜉= ∇(𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣)
由一致抛物条件,结合(3.14)得到
|𝐼
3
|+𝑐
0
𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜉|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤−𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝑥
(𝜙
2𝛼
𝐵)·𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
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王琦等
若𝛼= 0,𝛽≤𝑠−1,并由Cauchy不等式得
|𝐼
3
|+𝑐
0
𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜉|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡≤𝜏𝐶

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
若𝛼
1
≥1,由Cauchy不等式得
𝜀
⃒
⃒
⃒

R
1
+

R
1
+
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝑥
(𝜙
2𝛼
𝐵)·𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
⃒
⃒
⃒
≤𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼−2
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝜏𝑐
0
𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
|𝜕
𝛼+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,(3.15)
取𝜏足够小,由(3.15),得
|𝐼
3
|+𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
|𝜉|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡≤𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2(𝛼−1)
|𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
.(3.16)
交换子𝐼
4
是如下各项的总和
𝐽= 𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵·𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
其中𝛼
′
+𝛽
′
≥1,0 ≤𝛼
′
≤𝛼,0 ≤𝛽
′
≤𝛽.
若𝛼
′
= 0,由(3.8)
|𝐽|≤+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,(3.17)
若𝛼
′
1
≥1,同理
|𝐽|≤𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼−𝛼
′
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣·𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|𝑑𝑥𝑑𝑡
≤𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2(𝛼−𝛼
′
+1)
|𝜕
𝛼−𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2(𝛼−1)
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡(3.18)
故,综合(3.17),(3.18)
|𝐼
4
|≤𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2(𝛼−1)
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+𝛽
.(3.19)
由(2.56)得
|𝐼
5
|≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶𝜀
𝑚+
3
2
.(3.20)
利用𝐼
𝑖
,1 ≤𝑖≤5的所有估计
𝜕
𝑡
|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2𝛼
|𝜉|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝛼,𝛽
+𝐶|||𝑣|||
2
𝛼+𝛽
+𝐶𝜀
𝑚+
3
2
+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
𝜙
2(𝛼−1)
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡+𝐶𝜀

R
1
+

R
1
+
|𝜕
𝑥
𝜕
𝛽−𝛽
′
𝑡
𝑣|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,
DOI:10.12677/aam.2022.1141741606应用数学进展
王琦等
根据加权范数的定义,我们对上式两边同乘以𝐶
−𝛼−𝛽
0
,并求和,并选择足够大的𝐶
0
,使得上式右边最
后两项可以被左边第二项控制.因此,我们有
𝜕
𝑡
|||𝑣|||
2
𝑠
≤𝐶|||𝑣|||
2
𝑠
+𝐶𝜀
𝑚+
3
2
,(3.21)
由Gronwall不等式得
|||𝑣|||
2
𝑠
≤𝐶.(3.22)
4.结论
在本文中，首先,我们用多尺度渐近展开构造粘性方程的近似解,得到远离边界层的函数及边
界层方程.其次讨论了一些估计,这使得我们可以构造任意阶的粘性方程的近似解.最后,由于边界是
特征的,粘性系数的𝜀阶数不足以抵消特征边界层
√
𝜀厚度所带来的奇性,我们对误差项用了加权能
量估计,得到了同一粘性系统的近似解.这最终证明在远离边界的区域内,粘性方程的解收敛到无粘
方程的解是𝐿
∞
收敛,在边界层附近,𝑢
𝜀
有一个急剧的变化,只能做到𝐿
2
收敛.
参考文献
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PureandAppliedMathematics,7,11-17.https://doi.org/10.1002/cpa.3160070103
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[3]Serre, D.(2001)Surlastabilit´edescoucheslimitesdeviscosit´e.[StabilityofViscosityBoundary
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[6]Holmes,M.H.(1995)(1-RSP)IntroductiontoPerturbationMethods.In:TextsinApplied
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[7]Xin,Z.andYanagisawa,T.(1999)Zero-ViscosityLimitoftheLinearizedNavier-StokesE-
quationsforaCompressibleViscousFluidintheHalf-Plane.CommunicationsonPureand
AppliedMathematics,52,479-541.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0312(199904)52:4⟨479::AID-CPA4⟩3.0.CO;2-1
[8]Wang,Y.,Xin,Z.andYong,Y.(2015)UniformRegularityandVanishingViscosityLimit
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DimensionalDomains.SIAMJournalonMathematicalAnalysis,47,4123-4191.
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[9]Grenier,E.(1997)BoundaryLayersforParabolicRegularizationsofTotallyCharacteristic
Quasilinear ParabolicEquations.JournaldeMath´ematiquesPuresetAppliqu´ees, 76,965-990.
https://doi.org/10.1016/S0021-7824(97)89979-5
DOI:10.12677/aam.2022.1141741608应用数学进展

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