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●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
应用
数
学
进
展
,2022,11(4),1594-1608
PublishedOnlineApril2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.114174
一
类
线
性
方
程
组
的
特
征
边
界
层
分
析
王王王
琦琦琦
,,,
曹曹曹
娟娟娟娟娟娟
*
,,,
许许许
蓉蓉蓉
,,,
张张张
莉莉莉
上
海
师
范
大
学
,
上
海
收
稿
日
期
:
2022
年
3
月
12
日
;
录
用
日
期
:
2022
年
4
月
5
日
;
发
布
日
期
:
2022
年
4
月
14
日
摘
要
本
文
主
要
研
究
的
是
一
维
线
性
粘
性
抛
物
方
程
与
无
粘
双
曲
方
程
之
间
的
解
的
渐
近
极
限
。
我
们
假
定
相
应
的
无
粘
方
程
的
边
界
是
特
征
的
,
去
研
究
粘
性
解
与
无
粘
解
之
间
的
关
系
。
我
们
用
渐
近
展
开
的
方法
讨
论
不
同
区
域
内
粘
性
方
程
的
近
似
解
,
并
利
用
加
权
能
量
估
计
的
方法
讨
论
Prandtl
型
的
边
界
层
方
程
解
的
存
在
性
,
以
证
明
边
界
层
的
稳
定
性
。
通
过
对
近
似
解
与
粘
性
问
题
真
实
解
之
间
的
误
差
进
行
估
计
,
我
们
最
终
得到
粘
性
方
程
的
解
与
无
粘
解
的
渐
近
等
价
关
系
。
关
键
词
初
边
值
问
题
,
特
征
边
界
层
,
渐
近
分
析
,
Prandtl
型
方
程
,
加
权
能
量
估
计
AnalysisofCharacteristicBoundary
LayersforaClassof
LinearEquations
QiWang,JuanjuanCao
*
,RongXu,LiZhang
ShanghaiNormalUniversity,Shanghai
Received:Mar.12
𝑡ℎ
,2022;accepted:Apr.5
𝑡ℎ
,2022;published:Apr.14
𝑡ℎ
,2022
*
通
讯
作
者
。
文
章
引
用
:
王
琦
,
曹
娟娟
,
许
蓉
,
张
莉
.
一
类
线
性
方
程
组
的
特
征
边
界
层
分
析
[J].
应用
数
学
进
展
,2022,11(4):1594-1608.
DOI:10.12677/aam.2022.114174
王
琦
等
Abstract
Inthispaper,wemainlystudytheasymptoticlimitofthesolutionoftheinitial
boundaryvalueproblemforone-dimensionallinearequations.Weassumethatthe
boundaryofthecorrespondinginviscidequationischaracteristic,andstudythere-
lationshipbetweentheviscoussolutionandtheinviscidone.Theboundarylayeris
characteristic.Weusethemethodofmatchedasymptoticexpansionstodiscussthe
approximatesolutionofviscousequationindifferentdomains.Byusingthemethod
ofweightedenergyestimates,weobtaintheexistenceofsolutionsforPrandtltype
boundarylayerequations.Inordertoprovethestabilityoftheboundarylayer,the
errorbetweentheapproximatesolutionandtherealsolutionoftheviscousproblem
isestimated.Finally,weobtaintheasymptoticequivalencebetweenthesolutionsof
theviscousequationandtheinviscidone.
Keywords
InitialBoundaryValueProblem,CharacteristicBoundaryLayers,Asymptotic
Analysis,PrandtlTypeEquations,WeightedEnergyEstimate
Copyright
c
○
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
前
言
在
本
文
中
,
我
们
考
虑
当
𝜀
→
0
时
,
粘
性
抛
物
方
程
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
=
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
)
,
(1.1)
𝑢
𝜀
|
𝜕
Ω
= 0
,
(1.2)
𝑢
𝜀
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
𝜀
0
(
𝑥
)
,
(1.3)
解
的
渐
近
行
为
.
定
义
域
Ω =
{
𝑥
∈
[0
,
+
∞
)
,𝑡>
0
}
,
𝜕
Ω =
{
𝑥
= 0
,𝑡>
0
}
.
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
是
光
滑
函
数
,
且
满
足
𝐴
(
𝑡,𝑥
= 0) = 0
,
∀
𝑡
≥
0
,
(1.4)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741595
应用
数
学
进
展
王
琦
等
由
泰
勒
展
式
𝐴
(
𝑡,𝑥
) =
𝜙
(
𝑥
)
ˆ
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
,
∀
𝑥,
(1.5)
ˆ
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
是
光
滑
的
,
且
𝜙
(
𝑥
) =
𝑥
1+
𝑥
,
(1.6)
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
|
𝜕
Ω
̸
= 0
,
(1.7)
粘
性
函
数
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
是
光
滑
函
数
,
满
足
一
致
抛
物
条
件
,
即
存
在
˜
𝑐
0
>
0,
使
得
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
|
𝜉
|
2
≥
˜
𝑐
0
|
𝜉
|
2
,
∀
𝑡,𝑥,𝑢,
(1.8)
初
值
𝑢
𝜀
0
满
足
如
下
渐
近
展
开
‖
𝑢
𝜀
0
(
𝑥
)
−
𝑚
𝑖
=0
√
𝜀
𝑖
[
𝑢
𝑖
0
(
𝑥
)+
𝑢
𝑖
𝑏,
0
(
𝑦
)]
‖
𝐻
˜
𝑠
≤
𝐶
√
𝜀
𝑚
−
˜
𝑠
,𝑦
=
𝑥
√
𝜀
,
(1.9)
其
中
𝑢
𝑖
0
∈
𝐻
∞
(
R
1
+
),
𝑢
𝑖
𝑏,
0
∈
𝐻
∞
(
R
1
+
),
𝑚
是
足
够
大
的
整
数
,˜
𝑠
是
任
意
非
负
整
数
.
线
性
抛
物
型
方
程
组
初
边
值
问
题
的
经
典
结
果
保
证
了
方
程
(1.1)-(1.3)
在
初
边
值
条
件
满
足
任
意
阶
相
容
的
前
提
下
,
存
在
唯
一
解
𝑢
𝜀
(
𝑡,𝑥
)
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
0
]
×
R
1
+
).
一
般
认
为
,
粘
性
抛
物
方
程
组
的
解
不
能
在
整
个
区
域
上
与
无
粘
双
曲
方
程
组
的
解
一
致
接近
,
除
非
这
两
类
方
程
的
边
界
条
件
的
选
择
非
常
特
殊
.
在
许
多
情
况
下
,
边
界
条
件
的
差
异
导
致
了
边
界
层
现象
,
这
些
现象
需
要
用
数
学
理
论
严
格
解
释
并
证
明
,
例
如
[1–5]
及
其
参
考
文
献
.
根
据
无
粘
方
程
组
不
同
的
边
界
条
件
,
边
界
层
大
致
上
可
以
分
为
两类
,
一
类
是
非
特
征
边
界
,
另
一
类
是
特
征
边
界
.
在
本
论
文
中
,
我
们
将
关
注
方
程
(1.1)-(1.3)
的
完
全
特
征
边
界
层
的
存
在
性
和
线
性
稳
定
性
.
根
据
假
设
(1.4),
方
程
(1.1)-(1.3)
对
应
的
无
粘
方
程
为
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
= 0
,
(1.10)
𝑢
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
0
0
(
𝑥
)
.
(1.11)
则
存
在
𝑇
1
>
0,
使
得
方
程
(1.10)-(1.11)
有
唯
一
解
𝑢
(
𝑡,𝑥
)
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
1
]
×
R
1
+
).
我
们
期
望
研
究
抛
物
方
程
(1.1)-(1.3)
的
解
𝑢
𝜀
与
无
粘
方
程
(1.10)-(1.11)
的
解
𝑢
之
间
的
渐
近
行
为
,
时
间
间
隔
为
[0
,𝑇
],
且
0
<𝑇
≤
min(
𝑇
0
,𝑇
1
).
本
文
安
排
如
下
:
首
先
,
在
第
二
章
中
我
们
用
多
尺
度
渐
近
展
开
[6]
构
造粘
性
方
程
的
近
似
解
,
得到
远
离
边
界
层
的
函
数
及
边
界
层
方
程
.
在
特
征
边
界
层
情
况
下
,
边
界
层
方
程
不
再
是
常
微
分方
程
,
它
是
一
种
特
殊
的
退
化
型
偏
微
分方
程
,
称
为
Prandtl
型
方
程
,
见
[7,8].
第
三
章
讨
论了
与
[8,9]
中
类
似
的
一
些
估
计
,
这
些
估
计
与
线
性
系
统
有
关
,
其
中
我
们
可
以
得到
满
足
某
些
衰
变
特
性
的
边
界
层
函
数
,
这
使
得
我
们
可
以
构
造
任
意
阶
的
粘
性
方
程
的
近
似
解
.
然
后
,
由于
边
界
是
特
征
的
,
粘
性
系
数
的
𝜀
阶
数
不
足
以
抵
消
特
征
边
界
层
√
𝜀
厚
度
所
带
来
的
奇
性
,
换
言
DOI:10.12677/aam.2022.1141741596
应用
数
学
进
展
王
琦
等
之
,
在
非
特
征
情
况
下
,
由于
𝑂
(
𝜀
)
粘
性
项
,
通
常
用
Poincar
é
型
不
等
式
控
制
一
阶
项
是
不
够
的
.
由于
粘
性
项
中
的
非
线
性
可
能
会
带
来
一
些
困
难
,
我
们
在
Grenier[9]
的
启
发
下
对
误
差
项
用
了
加
权
能
量
估
计
,
得到
稳
定
性
结
果
.
2.
近
似
解
的
构
造
2.1.
多
尺
度
渐
近
展
开
在
本
节
中
,
我
们
利
用
匹配
渐
近
展
开
理
论
构
造
方
程
(1.1)
的
近
似
解
𝑢
𝜀
𝑚
(
𝑡,𝑥
).
首
先
,
我
们
在远
离
边
界
层
的
区
域
里
作
外
部
展
开
,
然
后
在
边
界
层
𝜕
Ω =
{
𝑥
= 0
,𝑡>
0
}
附
近
建
立
边
界
层
展
开
.
2.1.1.
外
部
展
开
在远
离
边
界
层
𝜕
Ω =
{
𝑥
= 0
,𝑡>
0
}
的
区
域
里
,
方
程
(1.1)
的
解
可
以
作
如
下
展
开
𝑈
𝐼𝑁
𝑚
(
𝑡,𝑥
) =
𝑚
𝑖
=0
√
𝜀
𝑖
𝑢
𝑖
(
𝑡,𝑥
)
,
(2.1)
其
中
𝑢
𝑖
(
𝑡,𝑥
)
,𝑖
= 0
,
1
,...,𝑚
是
确
定的
.
将
近
似
解
(2.1)
代
入
方
程
(1.1),
有
𝜕𝑢
𝜀
𝜕𝑡
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
−
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
)
=(
𝜕
𝑡
𝑢
0
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
0
)+
√
𝜀
(
𝜕
𝑡
𝑢
1
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
1
)+
𝑚
𝑖
=2
√
𝜀
𝑖
(
𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝑖
+
𝑄
𝑖
−
1
)+
ℰ
𝐼𝑁
,
其
中
𝑄
𝑖
仅
依
赖
于
𝑢
𝑘
,
0
≤
𝑘
≤
𝑖
−
1,
余
项
ℰ
𝐼𝑁
满
足
|ℰ
𝐼𝑁
|
𝐿
∞
(
R
1
+
)
≤
𝐶
√
𝜀
𝑚
+1
,
(2.2)
且
‖
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
ℰ
𝐼𝑁
‖
2
𝐿
2
(
R
1
+
)
≤
𝐶𝜀
𝑚
+1
,
∀
𝛼
≥
0
,
∀
𝛽
≥
0
.
(2.3)
根
据
系
数
√
𝜀
的
幂
次
进
行
分
类
,
得
𝑂
(1) :
𝜕
𝑡
𝑢
0
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
0
= 0
,
(2.4)
𝑂
(
√
𝜀
) :
𝜕
𝑡
𝑢
1
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
1
= 0
,
(2.5)
𝑂
(
√
𝜀
𝑖
) :
𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝑖
+
𝑄
𝑖
−
1
= 0
,
(2.6)
其
中
𝑖
= 2
,...,𝑚
.
同
时
得到
初
值
条
件
𝑢
0
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
0
0
(
𝑥
)
,
(2.7)
𝑢
1
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
1
0
(
𝑥
)
,
(2.8)
𝑢
𝑖
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
𝑖
0
(
𝑥
)
,𝑖
= 2
,...,𝑚.
(2.9)
我
们
发
现
方
程
(2.4)
的
解
𝑢
0
是
无
粘
方
程
(1.10)-(1.11)
的
解
,
因
此
令
𝑢
0
(
𝑡,𝑥
)
是
无
粘
方
程
(1.10)-
(1.11)
的
光
滑
解
𝑢
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
]
×
R
1
+
).
由
假
设
(1.4),
方
程
(2.5)-(2.9)
存
在
唯
一
的
解
𝑢
𝑖
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
]
×
R
1
+
).
DOI:10.12677/aam.2022.1141741597
应用
数
学
进
展
王
琦
等
2.1.2.
边
界
层
展
开
在
边
界
层
𝜕
Ω =
{
𝑥
= 0
,𝑡>
0
}
附
近
,
我
们
设
近
似
解
为
𝑢
𝜀
𝑚
(
𝑡,𝑥
) =
𝑈
𝐼𝑁
𝑚
(
𝑡,𝑥
)+
𝑈
𝐵
𝑚
(
𝑡,𝑦
) =
𝑚
𝑖
=0
√
𝜀
𝑖
(
𝑢
𝑖
(
𝑡,𝑥
)+
𝑢
𝑖
𝑏
(
𝑡,𝑦
))
,
(2.10)
其
中
𝑦
=
𝑥
√
𝜀
.
将
𝑢
𝜀
𝑚
代
入
方
程
(1.1),
有
𝜕𝑢
𝜀
𝜕𝑡
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
−
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
)
=
𝜕
𝑡
𝑢
0
𝑏
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
)
+
𝑚
𝑖
=1
√
𝜀
𝑖
(
𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
𝑏
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
+
˜
𝑄
𝑖
−
1
)
−ℰ
𝐵
−ℰ
𝐼𝑁
其
中
余
项
ℰ
𝐵
满
足
|ℰ
𝐵
|
𝐿
∞
(
R
1
+
)
≤
𝐶
√
𝜀
𝑚
+1
,
(2.11)
且
‖
𝑥
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
ℰ
𝐵
‖
2
𝐿
2
(
R
1
+
)
≤
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
,𝛼
≥
0
,
∀
𝛽
≥
0
.
(2.12)
按
照
系
数
√
𝜀
的
幂
次
分
类
,
得
𝑂
(1) :
𝜕
𝑡
𝑢
0
𝑏
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
0
𝑏
) = 0
,
(2.13)
𝑂
(
√
𝜀
𝑖
) :
𝜕
𝑡
𝑢
𝑖
𝑏
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑢
𝑖
𝑏
)+
˜
𝑄
𝑖
−
1
= 0(2.14)
其
中
𝑖
= 1
,
2
,...,𝑚
,
˜
𝑄
𝑖
依
赖
于
𝑢
𝑘
,𝑢
𝑘
𝑏
,
0
≤
𝑘
≤
𝑖
−
1.
同
时
得到
初
边
值
条
件
𝑢
0
𝑏
(
𝑡
= 0
,𝑦
) =
𝑢
0
𝑏,
0
(
𝑦
)
,𝑢
0
𝑏
(
𝑡,
0) =
𝑢
0
(
𝑡,
0)
,𝑢
0
𝑏
(
𝑡,𝑦
→
+
∞
) = 0
,
(2.15)
𝑢
𝑖
𝑏
(
𝑡
= 0
,𝑦
) =
𝑢
𝑖
𝑏,
0
(
𝑦
)
,𝑢
𝑖
𝑏
(
𝑡,
0) =
𝑢
𝑖
(
𝑡,
0)
,𝑢
𝑖
𝑏
(
𝑡,𝑦
→
+
∞
) = 0
,
(2.16)
成
立
,1
≤
𝑖
≤
𝑚
.
2.2.Prandtl
型
边
界
层
方
程
2.2.1.
线
性
边
界
层
方
程
对
于
Prandtl
型
边
界
层
方
程初
边
值
问
题
,
将
利
用
加
权
能
量
估
计
来
讨
论
解
的
存
在
性
.
𝜕
𝑡
𝑤
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑤
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑤
) = 0
,
(2.17)
𝑤
(
𝑡,𝑦
= 0) =¯
𝑤
(
𝑡
)
,
(2.18)
𝑤
(
𝑡,𝑦
→
+
∞
) = 0
,
(2.19)
𝑤
(
𝑡
= 0
,𝑦
) =
𝑤
0
(
𝑦
)
.
(2.20)
其
中
𝑦
=
𝑥
√
𝜀
,¯
𝑤
(
𝑡
)
∈
𝐻
𝑠
([0
,𝑇
]),
𝑠
足
够
大
.
为
了
证
明
初
边
值
问
题
(2.17)-(2.20)
解
的
存
在
性
,
我
们
必
须
处
理
方
程
中
的
无
界
项
𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
𝑤
.
由于
𝑦
=0
时
,
方
程
(2.17)
是
退
化
的
,
并
且
当
𝑦
→∞
时
,
𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
𝑤
是
无
界
的
,
这
使
得
普
通
的
Sobolev
范
数
不
足
以
去
控
制
方
程
的
解
.
为
此
,
我
们
对
非
负
整
数
𝛼
和
𝛽
引
入
加
权
范
数
|||
𝑤
|||
2
𝑠
=
𝛼
∈𝒩
,𝛽
∈𝒩
0
≤
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
𝐶
−
𝛼
−
𝛽
0
|||
𝑤
|||
2
𝛼,𝛽
,
(2.21)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741598
应用
数
学
进
展
王
琦
等
其
中
|||
𝑤
|||
2
𝛼,𝛽
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.22)
𝐶
0
是
一
个
常
数
.
为
了
方
程
在
分
部
积
分
时
没
有
边
界
项
,
我
们
引
入
截
断
函
数
,
设
𝜂
(
𝑦
)
∈
𝐶
∞
(
R
1
+
)
是
截
断
函
数
,
且
满
足
𝜂
(
𝑦
1
) =
⎧
⎨
⎩
1
,
0
≤
𝑦
≤
1
,
单
调递
减
,
1
<𝑦<
2
,
(2.23)
令
𝑧
(
𝑡,𝑦
) =
𝑤
(
𝑡,𝑦
)
−
˜
𝑤
(
𝑡,𝑦
)
,
(2.24)
其
中
˜
𝑤
(
𝑡,𝑦
) =
𝜂
(
𝑦
)¯
𝑤
(
𝑡
),
则
𝑧
(
𝑡,𝑦
)
满
足
𝜕
𝑡
𝑧
+
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑧
−
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜕
𝑦
𝑧
) =
𝜎,
(2.25)
𝑧
(
𝑡,𝑦
= 0) = 0
,
(2.26)
𝑧
(
𝑡,𝑦
→
+
∞
) = 0
,
(2.27)
𝑧
(
𝑡
= 0
,𝑦
) =
𝑤
0
(
𝑦
)
−
𝜂
(
𝑦
)¯
𝑤
(0)
,
(2.28)
这
里
𝜎
=
−
𝜂
(
𝑦
)
𝜕
𝑡
¯
𝑤
−
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜂
′
(
𝑦
)¯
𝑤
+
𝜕
𝑦
(
𝐵
(
𝑡,
0)
𝜂
′
(
𝑦
)¯
𝑤
)
.
则
对
任
意
的
𝛼,𝛽
≤
𝑠
−
1,
有
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜎
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
||
¯
𝑤
||
𝐻
𝑠
,
(2.29)
定
理
2.1:
方
程
(2.25)-(2.28)
存
在
唯
一
解
𝑧
∈
𝐻
𝑠
([0
,𝑇
]
×
R
1
+
),
使
得
|||
𝑧
|||
2
𝑠
≤
𝐶,
(2.30)
这
里
𝐶
依
赖
于
||
¯
𝑤
||
𝐻
𝑠
.
证
明
:
关
于
方
程
(2.25)
两
边
同
时
作
用
算
子
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
,
得
𝜕
𝑡
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
= 2
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
+1
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
= 2
5
𝑖
=1
𝐼
𝑖
,
(2.31)
其
中
𝐼
1
=
−
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝑦
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
2
=
−
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
[
𝑦
ˆ
𝐴𝜕
𝑦
,𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
3
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝐵𝜕
𝛼
+2
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
4
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
[
𝜕
𝑦
(
𝐵𝜕
𝑦
)
,𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
𝐼
5
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜎𝑑𝑦𝑑𝑡.
DOI:10.12677/aam.2022.1141741599
应用
数
学
进
展
王
琦
等
对
变
量
𝑦
用
分
部
积
分
,
得
𝐼
1
=
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝑦
(
ˆ
𝐴𝑦
2
𝛼
+1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
)
𝑑𝑦𝑑𝑡
=
1
2
(2
𝛼
+1)
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝑦
2
𝛼
1
ˆ
𝐴𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由
|
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0)
|≤
𝐶
,
得
|
𝐼
1
|≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
.
(2.32)
交
换
子
𝐼
2
是
如
下
各
项
的
总
和
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
(
𝑦
ˆ
𝐴
)
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
其
中
𝛼
′
+
𝛽
′
≥
1,0
≤
𝛼
′
≤
𝛼
,0
≤
𝛽
′
≤
𝛽
.
若
𝛼
′
= 0,
则
𝛽
≥
𝛽
′
≥
1.
于
是
,
有
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝑦𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴
·
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴
·
𝑦
𝛼
+1
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
因
为
|
𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴
|≤
𝐶
,
所
以
|
𝐽
|≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼
+1
,𝛽
−
𝛽
′
≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼
+
𝛽
,
(2.33)
若
𝛼
′
= 1,
则
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴
·
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由
|
𝜕
𝛽
′
𝑡
ˆ
𝐴
|≤
𝐶
,
且
利
用
Cauchy
不
等
式
,
可
得
|
𝐽
|≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
−
𝛽
′
≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼
+
𝛽
,
(2.34)
若
𝛼
′
>
1,
则
𝐽
= 0.
综
合
(2.33)
和
(2.34),
|
𝐼
2
|≤
|
𝐽
|≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼
+
𝛽
.
(2.35)
对
变
量
𝑦
用
分
部
积
分
,
得
𝐼
3
=
−
2
𝛼
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
−
1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝐵𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
−
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
+1
𝑦
1
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝐵𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
若
𝛼
= 0,
则
𝐼
3
=
−
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝐵
·
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
DOI:10.12677/aam.2022.1141741600
应用
数
学
进
展
王
琦
等
𝐵
有
界
,
故
|
𝐼
3
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.36)
若
𝛼
≥
1,
|
𝐼
3
|
+˜
𝑐
0
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
2
𝛼
|
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
−
1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝐵𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡
|
≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
−
1
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
𝑑𝑦𝑑𝑡,
由
Cauchy
不
等
式
得
|
𝐼
3
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
𝑦
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
𝜏
˜
𝑐
0
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
取
𝜏
足
够
小
,
|
𝐼
3
|
+˜
𝑐
0
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
𝑦
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.37)
综
合
(2.36)
和
(2.37),
有
|
𝐼
3
|
+˜
𝑐
0
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
𝑦
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.38)
交
换
子
𝐼
4
是
如
下
各
项
的
总
和
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+2
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
其
中
𝛼
′
+
𝛽
′
≥
1.
若
𝛼
= 0,
则
𝛼
′
= 0,
𝛽
′
≥
1,
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
·
𝜕
2
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
利
用
分
部
积
分
,
得
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
·
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧𝑑𝑦𝑑𝑡,
由
|
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
|≤
𝐶
与
Cauchy
不
等
式
,
得
|
𝐽
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
·
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧
|
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.39)
若
𝛼
≥
1,
𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
(
𝑡,
0) = 0,
则
𝐽
= 0.
故
|
𝐼
4
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.40)
利
用
Cauchy
不
等
式
|
𝐼
5
|≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝜎
|||
2
𝛼,𝛽
≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
||
¯
𝑤
||
𝐻
𝑠
.
(2.41)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741601
应用
数
学
进
展
王
琦
等
综
合
(2.32),(2.35),(2.38),(2.40)
以
及
(2.41)
式
,
得到
𝜕
𝑡
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+˜
𝑐
0
R
1
+
R
1
+
𝑦
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝛼
+
𝛽
+
𝐶
||
¯
𝑤
||
𝐻
𝑠
+
𝐶
R
1
+
R
1
+
𝑦
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑧
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
(2.42)
由
加
权
范
数
的定
义
,
我
们
对
(2.42)
式
两
边
同
乘
以
𝐶
−
𝛼
−
𝛽
0
再
求
和
,
选
择
足
够
大
的
𝐶
0
,
使
得
(2.43)
等
式
右
边
的
最
后
两
项
可
以
被
左
边
第
二
项
控
制
.
于
是
有
𝜕
𝑡
|||
𝑧
|||
2
𝑠
≤
𝐶
|||
𝑧
|||
2
𝑠
+
𝐶
||
¯
𝑤
||
𝐻
𝑠
≤
𝐶
(
|||
𝑧
|||
2
𝑠
+1)
,
(2.43)
由
Gronwall
不
等
式
,
得
|||
𝑧
|||
2
𝑠
≤
𝐶.
定
理
得
证
.
命
题
2.1:
设
𝑠
充
分
大
,
则
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
|
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
𝑠
,
(2.44)
其
中
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
+1
2
.
证
明
:
由
定
理
2.1
知
|||
𝑧
|||
𝑠
在
[0
,𝑇
]
有
界
.
又由于
(2.24)
得
|||
𝑤
|||
𝑠
在
[0
,𝑇
]
有
界
.
将
方
程
(2.13)
变
形
为
𝜕
2
𝑦
𝑤
=
𝑀𝜕
𝑡
𝑤
+
𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤,
(2.45)
其
中
𝑀
=
𝐵
−
1
(
𝑡,
0),
𝑁
=
𝐵
−
1
(
𝑡,
0)
ˆ
𝐴
(
𝑡,
0),
关
于
𝑀,𝑁
,
我
们
作
如
下
假
设
|
𝜕
𝛽
𝑡
𝑀
|
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
1
,
(2.46)
|
𝜕
𝛽
𝑡
𝑁
|
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
2
.
(2.47)
对
方
程
(2.45)
两
边
同
时
作
用
算
子
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜕
2
𝑦
𝑤
=
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(
𝑀𝜕
𝑡
𝑤
)+
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(
𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤
)(2.48)
我
们
希
望
||
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝜕
2
𝑦
𝑤
||
𝐿
2
有
界
.
因
此
观
察
(2.48)
式
右
边
每
一
项
是
否
有
界
.
其
中
第
一
项
为
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(
𝑀𝜕
𝑡
𝑤
)
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
=
R
1
+
R
1
+
|
𝑀𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
+1
𝑡
𝑤
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
+
R
1
+
R
1
+
|
[
𝑀𝜕
𝑡
,𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
]
𝑤
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
,
𝐸
1
+
𝐸
2
,
显
然
,
|
𝐸
1
|≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
.
交
换
子
𝐸
2
是
如
下
各
项
的
和
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝑀
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
+1
𝑡
𝑤
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡,
其
中
𝛼
′
+
𝛽
′
≥
1.
当
𝛼
′
= 0
时
,
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝑀
·
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
+1
𝑡
𝑤
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝛼,𝛽
−
𝛽
′
+1
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
(2.49)
DOI:10.12677/aam.2022.1141741602
应用
数
学
进
展
王
琦
等
其
中
0
≤
𝛼
+
𝛽
−
𝛽
′
≤
𝑠
−
1.
当
𝛼
′
= 1
时
,
𝐽
= 0.
由
(2.49)
可
得
𝐸
2
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
因
此
,
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(
𝑀𝜕
𝑡
𝑤
)
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
同
理
,
R
1
+
R
1
+
|
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
(
𝑦𝑁𝜕
𝑦
𝑤
)
|
2
𝑑𝑦𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
这
样
就
有
||
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
+2
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
||
2
𝐿
2
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
(2.50)
其
中
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
−
1.
同
样
地
,
我
们
对
方
程
(2.45)
两
边
同
时
作
用
算
子
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
+1
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
,
可
得
||
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
+3
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
||
2
𝐿
2
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
(2.51)
其
中
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
−
2,
依
此
类
推
,
||
𝑦
𝛼
𝜕
𝛼
+
𝑘
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
||
2
𝐿
2
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
(2.52)
其
中
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
−
𝑘
+1.
令
𝛼
= 0,
||
𝜕
𝑘
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
||
2
𝐿
2
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
2
𝑠
,
得到
𝑤
∈
𝐻
𝑚
=
𝐻
𝑠
−
𝑘
+1
.
让
𝑠
充
分
大
,
有
|
𝜕
𝛼
𝑦
𝜕
𝛽
𝑡
𝑤
|
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
|||
𝑤
|||
𝑠
.
这
样
命
题
2.1
得
证
.
因
此
在
Sobolev
空
间
中
,
我
们
得到
了
关
于
线
性
边
界
层
方
程初
边
值
问
题
解
的
存
在
性
和
稳
定
性
.
2.3.
误
差
方
程
由
定
理
2.1:
当
𝑠
充
分
大
,
我
们
得到
了
Prandtl
型
边
界
层
方
程初
边
值
问
题
的
光
滑
解
𝑢
0
𝑏
(
𝑡,𝑦
)
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
]
×
R
1
+
),
𝑢
𝑖
𝑏
(
𝑡,𝑦
)
∈
𝐻
∞
([0
,𝑇
]
×
R
1
+
)
,
1
≤
𝑖
≤
𝑚
.
因
此
,
近
似
解
𝑢
𝜀
𝑚
满
足
𝜕
𝑡
𝑢
𝜀
𝑚
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
𝑚
−
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑢
𝜀
𝑚
) =
𝑅
𝜀
,
(2.53)
𝑢
𝜀
𝑚
|
𝜕
Ω
= 0
,
(2.54)
𝑢
𝜀
𝑚
(
𝑡
= 0
,𝑥
) =
𝑢
𝜀
0
(
𝑥
)
,
(2.55)
其
中
𝑅
𝜀
=
ℰ
𝐼𝑁
+
ℰ
𝐵
,
ℰ
𝐼𝑁
和
ℰ
𝐵
是
内
展
开
和
边
界
层
展
开
的
余
项
.
因
此
,
𝑅
𝜀
满
足
||
𝜙
𝛼
(
𝑥
)
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑅
𝜀
||
2
𝐿
2
(Ω)
≤
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
,
∀
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠.
(2.56)
令
𝑣
=
𝑢
𝜀
−
𝑢
𝜀
𝑚
,
则
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑣
−
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑣
) =
−
𝑅
𝜀
,
(2.57)
𝑣
|
𝜕
Ω
= 0
,
(2.58)
𝑣
(
𝑡
= 0
,𝑥
) = 0
.
(2.59)
在
下
一
个
章
节
中
,
我
们
将
对
线
性
误
差
方
程
进
行
稳
定
性
分
析
.
DOI:10.12677/aam.2022.1141741603
应用
数
学
进
展
王
琦
等
3.
稳
定
性
分
析
下
面
证
明
线
性
方
程
(1.1)-(1.3)
的
稳
定
性
,
𝜕
𝑡
𝑣
+
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑣
−
𝜀𝜕
𝑥
(
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
𝜕
𝑥
𝑣
) =
−
𝑅
𝜀
(
𝑡,𝑥
)
,
(3.1)
𝑣
|
𝜕
Ω
= 0
,
(3.2)
𝑣
(
𝑡
= 0
,𝑥
) = 0
,
(3.3)
其
中
Ω =
{
𝑥
∈
[0
,
+
∞
)
,𝑡>
0
}
,
𝜕
Ω =
{
𝑥
= 0
,𝑡>
0
}
.
为
了
估
计
误
差
,
我
们
引
入
加
权
范
数
|||
𝑣
|||
2
𝑠
=
𝛼
∈𝒩
,𝛽
∈𝒩
0
≤
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
𝐶
−
𝛼
−
𝛽
0
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
,
(3.4)
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
=
||
𝜙
𝛼
(
𝑥
)
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
||
2
𝐿
2
(Ω)
(3.5)
其
中
𝜙
(
𝑥
) =
𝑥
1+
𝑥
.
定
理
3.1:
设
任
意
的
0
≤
𝛼
+
𝛽
≤
𝑠
,
||
𝜕
𝛽
𝑡
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
||
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶𝜙
(
𝑥
)
,
(3.6)
||
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
||
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
+
𝐶
|
√
𝜀
|
−
𝛼
+1
𝜃
(
𝑥
√
𝜀
)
,
(3.7)
||
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝐵
(
𝑡,𝑥
)
||
𝐿
∞
(Ω)
≤
𝐶
+
𝐶
|
√
𝜀
|
−
𝛼
𝜃
(
𝑥
√
𝜀
)
,
(3.8)
𝜃
(
𝑥
)
≥
0
是
光
滑
函
数
,
且
对
任
意
的
𝑥
∈
R
1
+
和
𝑛
,
|
𝑥
𝑛
𝜃
(
𝑥
)
|≤
𝐶
𝑛
,
则
方
程
组
(3.1)-(3.3)
有
唯
一
解
𝑣
(
𝑥,𝑡
)
∈
𝐻
𝑠
(Ω),
使
得
|||
𝑣
|||
2
𝑠
≤
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
.
(3.9)
证
明
:
由
计
算
可
得
𝜕
𝑡
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
= 2
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
·
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
+1
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
= 2
5
𝑖
=1
𝐼
𝑖
其
中
𝐼
1
=
−
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝐴𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
2
=
−
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
[
𝐴𝜕
𝑥
,𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
]
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
3
=
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝐵𝜕
𝛼
+2
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
4
=
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
[
𝜕
𝑥
(
𝐵𝜕
𝑥
)
,𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
]
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
𝐼
5
=
−
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑅
𝜀
𝑑𝑥𝑑𝑡,
DOI:10.12677/aam.2022.1141741604
应用
数
学
进
展
王
琦
等
由
分
部
积
分
得
𝐼
1
=
1
2
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝑥
(
𝜙
2
𝛼
𝐴
)
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
由
(3.7)
得
||
𝜕
𝑥
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
||≤
𝐶
,
从
而
||
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝑥
𝐴
||≤
𝐶𝜙
2
𝛼
.
又
|
𝐴
(
𝑡,𝑥
)
|≤
𝐶𝑥
,
且
|
𝑥𝜕
𝑥
𝜙
2
𝛼
|≤
𝐶𝜙
2
𝛼
,
所
以
||
𝜕
𝑥
(
𝜙
2
𝛼
𝐴
)
||≤
𝐶𝜙
2
𝛼
,
故
|
𝐼
1
|≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
.
(3.10)
交
换
子
𝐼
2
是
下
面
各
项
的
总
和
𝐽
=
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝛼
′
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐴
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
其
中
𝛼
′
+
𝛽
′
≥
1,0
≤
𝛼
′
≤
𝛼
,0
≤
𝛽
′
≤
𝛽
.
若
𝛼
′
= 0,
由
(3.6)
|
𝐽
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜙
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
||
𝜙
𝛼
+1
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+1
,𝛽
−
𝛽
′
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+
𝛽
,
(3.11)
若
𝛼
′
≥
1,
由
(3.7)
得
𝜙
2
𝛼
||
𝜕
𝛼
′
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐴
||≤
𝐶𝜙
2
𝛼
≤
𝐶𝜙
2
𝛼
−
𝛼
′
+1
,
|
𝐽
|≤
𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜙
𝛼
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
||
𝜙
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
−
𝛼
′
+1
,𝛽
−
𝛽
′
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+
𝛽
,
(3.12)
综
合
(3.11),(3.12)
得
|
𝐼
2
|≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+
𝛽
.
(3.13)
对
𝑥
利
用
分
部
积
分
可
得
𝐼
3
=
−
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝑥
(
𝜙
2
𝛼
𝐵
)
·
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
−
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝐵𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜙
2
𝛼
·
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
(3.14)
令
𝜉
=
∇
(
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
)
由
一
致
抛
物
条
件
,
结
合
(3.14)
得到
|
𝐼
3
|
+
𝑐
0
𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜉
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤−
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝛼
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝑥
(
𝜙
2
𝛼
𝐵
)
·
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
DOI:10.12677/aam.2022.1141741605
应用
数
学
进
展
王
琦
等
若
𝛼
= 0
,𝛽
≤
𝑠
−
1,
并
由
Cauchy
不
等
式
得
|
𝐼
3
|
+
𝑐
0
𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜉
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝜏𝐶
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
若
𝛼
1
≥
1,
由
Cauchy
不
等
式
得
𝜀
⃒
⃒
⃒
R
1
+
R
1
+
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝑥
(
𝜙
2
𝛼
𝐵
)
·
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡
⃒
⃒
⃒
≤
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
−
2
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝜏
𝑐
0
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
|
𝜕
𝛼
+1
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,
(3.15)
取
𝜏
足
够
小
,
由
(3.15),
得
|
𝐼
3
|
+
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
|
𝜉
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
.
(3.16)
交
换
子
𝐼
4
是
如
下
各
项
的
总
和
𝐽
=
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
′
𝑡
𝐵
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣𝑑𝑥𝑑𝑡,
其
中
𝛼
′
+
𝛽
′
≥
1,0
≤
𝛼
′
≤
𝛼
,0
≤
𝛽
′
≤
𝛽
.
若
𝛼
′
= 0,
由
(3.8)
|
𝐽
|≤
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,
(3.17)
若
𝛼
′
1
≥
1,
同
理
|
𝐽
|≤
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
−
𝛼
′
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
·
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2(
𝛼
−
𝛼
′
+1)
|
𝜕
𝛼
−
𝛼
′
+1
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
(3.18)
故
,
综
合
(3.17),(3.18)
|
𝐼
4
|≤
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+
𝛽
.
(3.19)
由
(2.56)
得
|
𝐼
5
|≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
.
(3.20)
利
用
𝐼
𝑖
,
1
≤
𝑖
≤
5
的
所
有
估
计
𝜕
𝑡
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2
𝛼
|
𝜉
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼,𝛽
+
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝛼
+
𝛽
+
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
𝜙
2(
𝛼
−
1)
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡
+
𝐶𝜀
R
1
+
R
1
+
|
𝜕
𝑥
𝜕
𝛽
−
𝛽
′
𝑡
𝑣
|
2
𝑑𝑥𝑑𝑡,
DOI:10.12677/aam.2022.1141741606
应用
数
学
进
展
王
琦
等
根
据
加
权
范
数
的定
义
,
我
们
对
上
式
两
边
同
乘
以
𝐶
−
𝛼
−
𝛽
0
,
并
求
和
,
并
选
择
足
够
大
的
𝐶
0
,
使
得
上
式
右
边
最
后
两
项
可
以
被
左
边
第
二
项
控
制
.
因
此
,
我
们
有
𝜕
𝑡
|||
𝑣
|||
2
𝑠
≤
𝐶
|||
𝑣
|||
2
𝑠
+
𝐶𝜀
𝑚
+
3
2
,
(3.21)
由
Gronwall
不
等
式
得
|||
𝑣
|||
2
𝑠
≤
𝐶.
(3.22)
4.
结
论
在
本
文
中
,
首
先
,
我
们
用
多
尺
度
渐
近
展
开
构
造粘
性
方
程
的
近
似
解
,
得到
远
离
边
界
层
的
函
数
及
边
界
层
方
程
.
其
次
讨
论了
一
些
估
计
,
这
使
得
我
们
可
以
构
造
任
意
阶
的
粘
性
方
程
的
近
似
解
.
最
后
,
由于
边
界
是
特
征
的
,
粘
性
系
数
的
𝜀
阶
数
不
足
以
抵
消
特
征
边
界
层
√
𝜀
厚
度
所
带
来
的
奇
性
,
我
们
对
误
差
项
用
了
加
权
能
量
估
计
,
得到
了
同
一
粘
性
系
统
的
近
似
解
.
这
最
终证
明
在远
离
边
界
的
区
域
内
,
粘
性
方
程
的
解
收
敛
到
无
粘
方
程
的
解
是
𝐿
∞
收
敛
,
在
边
界
层
附
近
,
𝑢
𝜀
有
一
个
急
剧
的
变
化
,
只
能
做
到
𝐿
2
收
敛
.
参
考
文
献
[1]Carrier,G.F.(1954)BoundaryLayerProblemsinAppliedMathematics.
Communicationson
PureandAppliedMathematics
,
7
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JournalofPartialDifferential
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TextsinApplied
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479::AID-CPA4
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3.0.CO;2-1
[8]Wang,Y.,Xin,Z.andYong,Y.(2015)UniformRegularityandVanishingViscosityLimit
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DimensionalDomains.
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https://doi.org/10.1137/151003520
DOI:10.12677/aam.2022.1141741607
应用
数
学
进
展
王
琦
等
[9]Grenier,E.(1997)BoundaryLayersforParabolicRegularizationsofTotallyCharacteristic
Quasilinear ParabolicEquations.
JournaldeMath´ematiquesPuresetAppliqu´ees
,
76
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https://doi.org/10.1016/S0021-7824(97)89979-5
DOI:10.12677/aam.2022.1141741608
应用
数
学
进
展