Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 169-176 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24027 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Strong Consistency of Wavelet Estimation in a Semiparametric Regression Model under PA Sequence Errors* Jia Li1, Yon g mi ng Li2# 1Department of Mathematics, Nanchang University, Nanchang 2Department of Mathematics, Shangrao Normal University, Shangrao Email: shanghaojiashupian@163.com, #lym1019@163.com Received: Aug. 6th, 2012; revised: Aug. 21st, 2012; accepted: Sep. 6th, 2012 Abstract: Consider a semiparametric regression model with PA sequence errors. In this paper, we study the strong consistency of the wavelet estimators for parameter component  and non-parameter component  g t under suitable con ditions. Keywords: Semiparametric Regression Model; Wavelet Estimation; PA Sequences; Strong Consistency PA 误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性* 李 佳1，李永明 2# 1南昌大学理学院，南昌 2上饶师范学院数学系，上饶 Email: shanghaojiashupian@163.com, #lym1019@163.com 收稿日期：2012 年8月6日；修回日期：2012 年8月21 日；录用日期：2012 年9月6日 摘 要：本文讨论了误差为正相协(PA)序列的半参数回归模型，在适当的条件下，利用小波估计方法 研究了参数分量  和非参数分量  g t的小波估计量的强相合性。 关键词：半参数回归模型；小波估计；PA 序列；强相合 1. 引言 由于在不少实际问题中，半参数回归模型更接近于真实，因而引起了广泛的注意，并取得了相当深入的研 究结果。用小波核估计研究半参数回归模型，已经得到了一系列研究成果，见文献[1-8]。本文考虑半参数回归 模型      ,1 , nnT nn ii ii yX gti  n (1.1) 其中 为未知参数， d R     g t为[0, 1]上的未知 Borel函数，  n i X 为 上的随机设计，为[0, 1]上的常数序 列，随机误差为 PA 序列。采用文献[2]的假定： d R   n i t   , n iin         ,1 ,1, nnn irr iir x ftin rd   (1.2) *基金项目：国家自然科学基金项目资助(11061029)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 169 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 其中 为定义在[0, 1]上的未知函数，且  r f     12 ,,, T nnn n iiiid  独立同分布，又 与相互独立及   n ir    n i    0, n i E   Var n i  V，其中为 d阶正定矩阵，  ij VV1, 2,,jd  。我们将采用小波核估计方法研究上述模 型中误差为 PA 序列时的参数及非参数小波估计量的强相合性。 下面先介绍  和  g t的估计。设有一个给定的刻度函数   l x S   (阶为 l的Schwartz 空间)，相伴   2 LR的 多尺度分析为  ，其再生核为  m V        0 ,2 2,2222 mmm mmm mkZ EtsEt stksk   ,  其中 Z为整数。记   1, iii A ss  是[ 0, 1]上的分割且 , ii tA  1in  ，先假定  已知，定义  g 的估计为      01 ˆ,, i nnnT ii m A i d, g tyXEts    s ˆ 求解极值问 ，记其解     2 0 1 ˆ min , nnnT n ii i i yX gt            n  ，然后定义   g  的线性小波估计为：       01 ˆˆ ˆˆ , i nnnT nniinm A i , d; g tgty XEtss     (1.3) 令   , n ir nd XX     1,, , T nn n Yy y    1,, , T nn n            1,, , T nn n ggt gt  , ij nn SS     ,d, j n ijm i A SEtss  , X ISX    ,YISY 则易得    1 ˆˆ ˆ , TT nn XXXYgSYXn        , 其中    1 ˆˆ ,, nn g gt gt  为 g 的估计。再令 1 213 2, 22 3 ,, 2 23 2, 2 m mm m m                      协方差结构为 。     1 1 cov, j n n jn n       下面我们给出本文的基本假设和主要引理： (A1)   ,r g fH  (阶为  的Sobolev 空间)，1, 2  1rd  ； (A2)   ,r g f满足  阶Lipschitz 条件， 0,1 rd  ； (A3) (阶为 l的Schwartz空间，  l S     l  ，  满足 1阶Lipschitz 条件且具有紧支撑，当 0  时，   O ˆ1    ，其中ˆ  为  的Fourier 变换。 (A4)   1 1 1 max ii in  s sOn     ，且  1 2mOn    。其中 11 ,1 ,2 2r r       。 引理 1.1[7] 若条件(A3)成立，则有 (i)   0,, 1 k k C Ets ts    2 ,12 mk mk m C Ets ts (,kNC k  是只与 有关的实数)； k Copyright © 2012 Hanspub 170 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 (ii)   01 sup ,2m m sEts O  ； (iii)  1 0 01 sup, d m tEtssC   。 引理 1.2[9] 设  为随机序列，且  ,1 n Tn  1 0 q n n ET q      ，则 。 0 n T..,as n  2,r0, 引理 1.3[10] 设  是平稳 PA随机变量序列，具有零均值和有限二阶矩， ，对某个;1 jj    2 1 sup j jE    1 sup jE , r j      2 2 rr nOn          ，其中 。又设  是一实数列，   11 cov, j jn n          , j ajN :suapj a，则 2 1 rr nr jj j Ea Can    。 引理 1.4 设是 PA序列。   ,1 n ii      sup 2 q n i iEq    ，且设 11 ,1 2q       ， 使   dsOn  sup , i m iA Ets    。则有 。   1 ,d 0.., i nn im iA Etss asn     证明 当时，由引理1.3得 2q    1 2 22 1 , dsup, d ii qq qq nq nq im m i iAA EEtssCEtssnCnnCn                从而   11 ,d i q nn im ni A EEtss       ，故由引理 1.2 即证得结果。 引理 1.5[11] 设  是概率空间 上随机序列，若   ,1 i Xi  ,,P     0,1p 使 1 p n n EX    ，则 1 .. n n X as   收敛。 2. 主要结果及证明 本节中 表示任意常数，即使在同一式子中也可能不同。 C 定理 2.1 若条件(A1)-(A4)成立， 具有零均值和有限二阶矩的 PA序列，且   ,1 n ii     3 2 1 sup (2), (0,1,   2,, ) q n ij EqEj     d   , 2 2 rr nOn          ，其中 ，设2r11 ,1 2q       ， 使   sup, d i m iA EtssOn     ，则 。 ˆ..,as n   n 定理 2.2 在定理 2.1 的条件下，有     ˆ.., n gtgt asn。 注2.1 由于自 Esary Proschan和Walk 于1967 年在文献[12]中提出 PA 序列相依性概念以来，已有许多学者 对PA 序列的极限性质，如中心极限定理，强大数律及完全收敛性等，以及在密度估计、分布函数估计和非参 数回归函数估计的大样本性质进行了一定的研究，这里就不一一用文献列出。但在PA 相依样本下研究半参数 回归模型中小波估计量的统计估计问题比较少见。而PA 相依概念在可靠性理论、渗透理论和多元统计分析等 等重要领域中有广泛的应用，因此本文讨论误差为PA 序列的半参数回归模型估计的强相合性是有意义的。 注2.2 文献[6]研究了误差为鞅差序列情形下小波估计的强相合性，本文在误差为正相伴(PA)序列的情形研 究了小波估计的强相合性。正相伴(PA)与鞅差随机变量序列都是非独立随机变量的重要情形。由于本文对误差 序列矩条件的要求与文献[6]是相同的。但由于正相协(PA)序列与鞅差序列的相依结构有本质的差异，因此我们 的定理条件中增加了对误差序列的协方差结构的要求，且证明方法和所用的主要引理与文献[6]是有一定差别的， Copyright © 2012 Hanspub 171 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 所以本文的结果不仅仅是文献[6]的结果在PA 序列下的一般性推广，而且具有本质的差异性。 定理 2.1 的证明 令   , I SgISg    ，则  1 111 ˆTT nnXXnXgnX  T          . (2.1) 首先证明 的第  元素 1T nXX   ,ij 1 1.., n hi hjij h XXV asn n    . (2.2) 事实上，由于 满足  r f  阶Lipschitz 条件，故         1 1 1 0 sup, d,dsup, dd k k n n mjkmj mjkj i i k k A A Ets sftEtsfssEtssftfssOn              . (2.3) 由文献[1]中定理 3.2的证明知    1 0 sup, d j mj tftEtsfss Om   . (2.4) 由(2.3)，(2.4)式可得      1 sup, d k n j mjk ikA ftEtssft OnO  m          . (2.5)      1 sup, d k n im k ikA gtE ts sgtOnO  m           . (2.6) 又由于 的第  元素 1T nXX  ,ij         1111 11 11 ,d ,d ,d ,d 1,d kk kk k nnnn hihji hm hi khim hki hhkk AA nn ihmhik hjmhkj kk AA ihmhik A XXftE ts sftE ts s nn ftEts sftE ts s ftEts sft n                                          11 1 11 1 1 ,d 1,d ,d 1,d , k kk k nn n hjm hkj hk k A nn n ihmhjk himhki hk k AA n ih mhikjhmh kA Etss ft EtssftEtss n ftEts sftftEt n                                                       11 11 1 1234 d 1,d ,d :. k kk nn jk hk A nn n himhkihjmhkj hk k AA s sft Etss Etss n UUUU                                         (2.7) 由文献[7]引理 4(i)的(2.4)式易知   1 sup,d1 , k n kj m tkA Etss o     as (2.8) .. Copyright © 2012 Hanspub 172 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 由(2.5)式和(2.8)式，利用强大数定理知    11111 1 max, dsup, d ... k k nnn ihmhikhjkj mh hn h khh AA m UftE tssftE tss n On Oas                 (2.9)     2... m UOnO as     (2.10) 由(2.5)式和(2.8)式及(1.3)式分别可得      22 3 ... 1. mij UOnO asUVo      4 (2.11) 由(2.7)，(2.9)~(2.11)式得 1 1n hi hjij h X XV n   。即(2.2)式得证。其次证明的第 i元素 .., as n 1T nXg    1() 0.., m hi h nXgOnOasn    .     (2.12) 显然      1111 11 1 11 1 12 11 1 1 . nnn n hihihk kihhrr hhk r nn n hihk kihhrr hk r nn n ihhkrhhr r hk r XgXSX gtSgt nn SgtSgt n f tSftgtSgt n JJ                                   (2.13) 由于   111 111 1 maxmax , nnn hhrrhihk ki hn hn rhk JgtSgt S n               (2.14) 所以由强大数定理及(2.8)和(2.6)式，可得     1m JOn O    . (2.15) 又由(2.5)和(2.6)式易得     2 2m JOn O  2   . (2.16) 故由(2.13)，(2.15)，(2.16)式即得(2.12)式成立。 最后证明 10.. .,. T nX asn    (2.17) 事实上(为方便起见，记 i  n i    以下同)，1T nX  的第 i元素   111 1 11 1 11 1 12 11 1 1 . nnn n hi hhihkkihhr r hhk r nn n hihkkihhr r hk r nnn ihhkik hhrr hkr XXSXS nn SS n ft SftS n TT                                     (2.18) Copyright © 2012 Hanspub 173 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 令 11 ,,, qq ni iiniiinininininini InIny Ez E,              则 . ni ninini ninii yz EE         11 11111 1 12 11 :. nnnn n hihk kihhihk kihr r hkhk r TS S nn TT S                  (2.19) 由定理的已知条件及(2.8)式易得  1 10..,Tasn. (2.20) 由(2.8)式、引理 1.4及大数定理易得    22 11 1 110.., n hi h Too asn n       . (2.21) 由(2.19)~(2.21)式知 10..,Tasn. (2.22) 令，则   1 n hiihhki k k aft Sft        sup hi m iaOnO     . (2.23)    21111 11 123 22 2 1111 :. nnnnnn hihhrrhinhhi nhhihr r hrhh hr TaSay az aS nnnn TTT           (2.24) 因为  nh y 仍为 PA 随机变量序列，所以由引理1.3 和条件(A4)可知，当 3 2  时，有        122 21 13 11 22 22 21 22 1 . rrr n rr rr hi nhmm h rr rr rr m ETEayCnO nOnCnnn n Cn nnCnCnTT                        rr 又由条件 A4 可知，当 11 2, 2 rr  时，有   11 1 21 222 11 1 ,r nn n TT ET         。即    。 所以由引理 1.2可知  1 20..,Tasn. (2.25) 令 1 1 ,, n qi ii iiiin i Ii ES i              当   1,0,p p   1 时，由sup , p i iE   可知sup , p i iE   所 以 11 11 sup ppp pp iii i ii ii EiE EiCi i             p   . (2.26) 由引理 1.5可知 1 . ni ii    a.s.收敛。从而，当  1min 1,2 p    时，有 Copyright © 2012 Hanspub 174 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性     21 211 10.., nn h mh m hh TCnCn nasn nh              . (2.27) 由引理 1.4及(2.23)式易得  3 211 10.. nn hihr r hr TaS n     as  (2.28) 故由(2.24)，(2.25)和(2.27)，(2.28)知 20.., .Tasn (2.29) 由(2.18)，(2.19)，(2.22)，(2.29)式知(2.17)成立。综合(2.1)，(2.2)，(2.12)和(2.17)式定理得证。 定理 2.2的证明 记ˆni  表示 ˆn  的第 i个分量， i  表示  的第 i个分量            01 11 11 11 ˆ ˆˆ supsup,sup, d sup, dsup, d ˆsup, d sup, dsup, d ˆ i j jj i jj nT nnm tt t jA nn jm jm tt jj AA dn njjij m t ji A nn jm jm tt jj AA nj j g tgtgtgtXEtss g tEtssgt Ets XEtss s g tEtssgt Ets                             s   11 11 1234 sup,d ˆsup,d i i dn ji m t ji A dn njjij m t ji A ft Etss Etss KKKK                    (2.30) 由于对于  g t有类似于(2.5)式的结论，故 10.., .Kasn  (2.31) 由引理 1.4知 20.., .Kasn (2.32) 由引理 1.1及定理 2.1，得   1 30ˆ maxsupsup.dmax0. .,. jm njj jj tt KdftEtssasn     (2.33) 由(2.8)式及定理 2.1 得 40.., .Kasn (2.34) 故由(2.30)~(2.34)式知定理得证。 参考文献 (References) [1] A. Atoniadas, G. Gregoire and I. W. Mckeahue. Wavelet methods for curve estimation. Journal of American Statistical Association, 1994, 89(428): 1340-1353. Copyright © 2012 Hanspub 175 李 佳，李永明  PA误差下的半参数回归模型小波估计的强相合性 Copyright © 2012 Hanspub 176 [2] P. Speckman. Kemel smoothing in partial linear models. Journal of the Royal Statistical Society B, 1988, 50(3): 413-436. [3] C. D. Wei, Y. M. Li. Berry Esseen bounds for wavelet estimator in semiparametric regression model with linear process errors. Journal of Inequalities and Applications, 2012: 44. [4] 柴根象, 徐克军. 半参数回归模型的线性小波光滑[J]. 应用概率统计, 1999, 15(1): 97-105. [5] 胡宏昌, 孙海燕. 半参数回归模型小波估计的稳定地依分布收敛性[J]. 武汉大学学报(理学版), 2003, 49(5): 571-574. [6] 胡宏昌, 胡迪鹤. 半参数回归模型小波估计的强相合性[J]. 数学学报, 2006, 49(6): 1417-1424. [7] 钱伟民, 柴根象. 半参数回归模型小波估计的强逼近[J]. 中国科学(A 辑), 1999, 29(3): 1233-1240. [8] 薛留根. 半参数回归模型中小波估计的随机加权逼近速度[J]. 应用数学学报, 2003, 26(1): 11-25. [9] W. F. Stout. Almost sure convergence. New York: Academic Press, 1974. [10] 杨善朝, 黎玉芳. PA样本回归权函数估计的一致渐近正态性[J]. 应用概率统计, 2005, 21(2): 150-160. [11] 查婷婷. 一类混合随机序列的概率极限定理[D]. 安徽大学, 2007. [12] J. D. Esary, F. Proschan and D. W. Walkup. Associated of random variables with applications. The Annals of Mathematical Statistics, 1967, 38(5): 1466-1474.

版权所有：汉斯出版社 (Hans Publishers) Copyright © 2012 Hans Publishers Inc. All rights reserved.