 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 185-191 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24029 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On the Strong Law of Large Numbers for Generalized Pairwise NQD Random Sequences* Zonggang Deng, Jinyu Zhou, Qianjun Xiao, Yun Ma Hunan Vocational Institute of Technology, Xiangtan Email: 744690180@qq.com Received: Jun. 18th, 2012; revised: Jul. 8th, 2012; accepted: Jul. 16th, 2012 Abstract: This paper mainly studies the generalized pairwise NQD random sequenc es of nonnegativ e rando m variables sequences of Kolmogorov strong law of large numbers, and zero mean of the generalized pairwise NQD random sequences under the condition of 2 1 log p n pp nnn X nE Ma X , or 01p 2 1 1 log p n pp nnnn X nE MaMa X 12p , of the strong law of large numbers, the identically dis- tributed of pairwise NQD random sequences of the Kolmogorov strong law of large numbers for a class of generalized to in a wide range of conditions of identically distributed of generalized pairwise NQD random sequences of the strong law of large numbers. Keywords: Generalized Pairwise NQD Sequences; Strong Law of Large Numbers; Kronecker Lemma; Generalized Three Series Theorem 两两广义 NQD 列的强大数定律* 邓总纲，周金玉，肖前军，马 云 湖南理工职业技术学院，湘潭 Email: 744690180@qq.com 收稿日期：2012 年6月18 日；修回日期：2012 年7月8日；录用日期：2012 年7月16 日 摘 要：本文主要研究了两两广义 NQD 列关于非负随机变量序列的 Kolmogorov 强大数定律和零均值 的两两广义 NQD 列在条件 2 1 log p n pp nnn X nE Ma X ，01p 或 2 1 1 log p n pp nnnn X nE MaMa X 12p， 下的强大数定律，把同分布的两两 NQD 列的 Kolmogorov 强大数定律推广到了在一类广泛的条件下的同分布的两两广义NQD 列的强大数定律。 关键词：两两广义 NQD 列；强大数定律；Kronecker引理；广义三级数定理 1. 引言 两两 NQD 列是一类相当广泛的随机变量序列，自从 1966 年由著名统计学家 Lehmann[1]提出以来，关于两 *基金项目：湖南省教育厅资助科研项目(两两广义 NQD 列的性质 11C0637；基于图形表示方法和分形理论的生物序列分析及其应用 10C0185)。 Copyright © 2012 Hanspub 185  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 两NQD 列极限理论的研究已取得很多成果[2-8]。在自定义的两两广义 NQD列的定义下，已经获得了两两广义 NQD 列的基本性质、Kolmogorov 不等式、弱大数定律、r阶平均收敛性和几乎必然收敛性[2,9]。 本文研究了两两广义 NQD 列关于非负随机变量序列的 Kolmogorov强大数定律和零均值的两两广义 NQD 列在条件 2 1 log p n pp nnn X nE Ma X ，01p或 2 1 1 log p n pp nnnn X nE MaMa X 2p ，1下的强 大数定律。 本文约定：文中出现的 c总表示正常数，它在不同的地方可以表示不同的值；i, j, k, n表示整数，R是实数 集，E是期望，P表示概率。 2. 定义与引理 定义[9] 设 是定义在同一概率空间上的随机变量序列，记,1 n Xn 1 n n i SX i ( )。集合 A的示性函 1n 数记为 A I ，称随机变量 X和Y是广义的 NQD 的，若对任意的 , x yR ，存在常数 ，都有 1c ,PX xY ycPX xPY y , ,1PX xY ycPX xPY yc . 称随机变量序列 是两两广义 NQD 列，若对任意 ,1 n Xnij ，i X 与 j X 是广义 NQD 的。 称随机变量序列 是p阶Cesaro 一致可积的 ,1 k Xk 0p，若 1 1 lim sup0 p kk xnkn nEXIXx 下面给出三个引理： 引理 1[2] (Kronecker引理)设 和 n a n x 是两实数序列， 0n a ， 1 n nn x a 收敛，那么 1 0 ni ii x a ，. .as 引理 2[3] (广义三级数定理)设 是两两广义 NQD 列，,1 n Xn0 n EX 。对某 ，记 0c n c nnn n X cIXcXI XXc c cI，如果 1n n PX c (1) 1 c n n EX (2) 2 1 log c n n nVarX (3) 则 1n n X 收敛 (4) .as 且条件(1)也是条件(4)的必要条件。 引理 3[9] 设随机变量 X和Y是广义 NQD 的，则 1) ； EXY cEXEY 2) 如果 f, g同为非降(或非增)函数，则 f X与 g Y仍为广义 NQD 的。 3. 主要结果 定理 1 设 是两两广义 NQD 列， ,1 n Xn n g x是偶函数序列，它们在区间 中取正值、不减，而且 对每一 n满足下列条件之一： 0x Copyright © 2012 Hanspub 186  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 1) 在区间 中，0x n x g x不减； 2) 在区间 中，0x n x g x和 2 n g x x 都是不增的，且 0 n EX ，此外 n a是常数列，满足 0和 n a 2 1 log nn nn X n Eg nga ，则 1 0, . nk kk Xas a 。 证明：由引理 1，要证 1 0, . nk kk Xas a ，只需证明 1 n nn x a ， 收敛因为.as n n X a 仍是两两广义 NQD 列，由引理 2知只需验证(1)~(3)式成立即可。 其中 ，由1c n g x当 时不减的，有 0x 1 dd d nn nnnn nn nn nn nn Xa XaXa nn nnnn g XE PXappg Xp ga gaga gX 由条件知 2 111 log nn nn nn nnn nn nn EgXEg x PX an ga ga 假设对某个 n，函数 n g x满足条件(1)，则在区间 n x a 中 n nn xa n g xga 2 2 22 nn n nn nnn g x gx x g a aga 对于满足条件(2)的 n g x，在同一区间中，由于 2 n g x x 不增，所以 2 2n nn a x n g xga 因此，无论 n g x满足(1)或(2)，都有 2 2 nn nn n g x x g a a 对任意 n，由不等式有 r C 2222 n a nnnnnnnnn EXEaIXaXI XaaIXa n 22 nnn nnn EaIX aXIX a (“ ”表示通常的大“O”)，由于 n g x是偶函数，在 0, 不减，所以 2 22 nn n nnn nnnnn nn nn gX a EaIXaEaIXagX ga ga 由 2 2 nn nn n g x x g a a知 22 nn n nn gx x a ga Copyright © 2012 Hanspub 187  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 22 22 dd nn nn nn nnn nnnnn Xa Xa nn nn aa EXIXaXpg XpEg X ga ga 所以 2 2 n an n nn a EXEg X ga n n 结合条件得 2 22 2 11 log log n a nnn nn nn n EX Eg X nn ga a 。 另外，若条件(1)满足，则 dd 2 n nn nn a nnn n nnnnnnnnnnnn nn nn nn nnnnnn Xa Xa nnnn nn nnn nn EXEaIXaXI XaaIXaEaI XaEXI Xa gX aa EaI XaXpEgXgXp gaga ga aEg X ga 若条件(2)满足，由 0, nn x EX g x 不增，得 d 2 n nn a nn nnn nnn nnnn nn nn n nnn nnnnnn Xa nn nn nnn nn EXEaI XaEXI XaEaI XaEXEXI Xa aa EaI XaEXI XaEgXgXp ga ga aEg X ga 所以都满足 11 2 n ann n nn nnn Eg X X Eaga 由引理 2得 1 0, . nk kk Xas a 。 证毕。 在定理 1中，令 p n g xx， ，可得到一个重要的推论： 0p 推论 1 设 是两两广义 NQD 列， ,1 n Xn0n a 2 1 log p n p nn EX na ，02p 且当12时， ，则p 0 n EX 1 0, . nk kk Xas a 。 定理 2 设 为零均值的两两广义 NQD 列，若下列条件之一成立： ,1 n Xn 2 1 log p n pp nnn X nE Ma X ，01p (1) 2 1 1 log p n pp nnnn X nE MaMa X 2p ，1 0M (2) 其中 ， 是常数列且满足 则 n a0n a 1 0, . nk kk Xas a 。 Copyright © 2012 Hanspub 188  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 证明：当 ， 01p 0 nn XMa时，有 21 p n pp nn X MaX 所以 2p n nn nnp p nn X PX MaEIX MaEMaX ； 所以 2 11 1 2log pp nn nn pp pp nn n nn nn XX PX MaEnE Ma XMa X 。 当12，p0 nn XMa时， 1 22 1 pp nn pp pp nn nnn XX XX MaMa X 1 2p n nn nnpp nnn X PX MaEIX MaEMaMa X 从而当(1)或(2)成立时，有 1 n nn X PM a 成立。 记 c nnnnnnnnnn X Ma IXMaXIXMaMa IXMa 由引理 3知 c n X 仍为两两广义 NQD列， 从而 c n n X a 也是两两广义 NQD 列，当，01pnn X Ma时，有 11 p p Ma nn X 所以 11 p p nn XMa 。 因为 1 1 11 1 p nnnn nnnn nnpp p nn n n ppp nnnn nn n pp pp p p pp n nnnn nn XMaXX EXIXMaEXIXMac Ec Ec EMa X X Ma XMa XXMa X cEcE caE Ma Ma XMa XMa X 所以 p n c nnnnnnnnnn np p nn p n npp nn X EXEMaI XMaEXI XMacaEI XMacaEMa X X caEMaX 当12，由 有 p 0 n EX 1 11 1 1 1 c nnnn nnnnnnnn pp nn npp pp nnnn n pp nnn n n pppp p p nnnnn nnnn EXEMaIX MaEXIX MacaEIX MaEXIX Ma XX caE cE MaMa XXX XMaX X caE cEcaE MaMa XMaXMaMaMa X n p n 从而当(1)或(2)成立时，有 1 c n nn X Ea 成立。 Copyright © 2012 Hanspub 189  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 最后，若，由 不等式有 02p r C 2 2 22 22 c nnnnnnnnn nnnnnn nnn nnn EXEMaIXMaXIXMaMaIXMa cE MaIXMaEXIXMa caEIXMacEXIXMa n 当 ，01p nn X Ma时 2 2 p n nn nnnn nnp p nn X EXI XMaMaEXI XMacaEMa X 又因为 22 p n nnn np p nn X aEIXMacaE Ma X 所以当(1)成立时有 2 22 11 log log p cn npp nn nnn X X nEc nE aMa X 成立 当12，pnn X Ma时，有 22 1 p n nnn npp nnn X aEIXMacaE MaMa X 2 2 1 nn nnn nnn nnnn n p n nnnnnpp nnn EXIX MaEXIX MaXIX MaMaEXIXMa X MaE XIXMaca EMaMa X 成立。 若(2)式成立时， 有 2 2 2 21 11 log log cp nn pp nn nnnn nEX X cnE aMaMa X 成立。 总之有 2 2 2 1 log c n nn nEX a 成立。 由引理 2知 1 n nn X a .收敛，再由引理 1知 as 1 0 nk kk X a as . 证毕。 4. 结语 本文主要研究了两两广义 NQD 列的强大数定律，把同分布的两两 NQD 列的Kolmogorov强大数定律推广 Copyright © 2012 Hanspub 190  邓总纲 等 两两广义 NQD 列的强大数定律 Copyright © 2012 Hanspub 191 到了在一类广泛的条件下的不同分布的两两广义 NQD 列的强大数定律，从而丰富了NQD 列方面的结果，对进 一步研究极限理论有一定的理论价值。 参考文献 (References) [1] E. 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