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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 202-206
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24031 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
Viscosity Hybrid Subsequence Iterative Algorithm for
the Fixed Points of Asymptotic Nonexpansive Mappings*
Weiwei Sun, Yuanheng Wang#
College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua
Email: #yhwang@zjnu.edu.cn
Received: Jun. 20th, 2012; revised: Jul. 2nd, 2012; accepted: Jul. 17th, 2012
Abstract: A new viscosity hybrid subsequence iterative method for the fixed points of asymptotic nonexpansive
mappings is given and studied in Hilbert spaces. The strong convergent theorem for this kind of the iterative se-
quences is proved. The results in the present paper extend and im prove some resent resul ts of other authors.
Keywords: As ympt otic N onex pansi ve Map ping; Fixe d Point ; Vis cosity Hyb rid It erati ve; Su bseq uence Sequence
渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列
迭代算法收敛性*
孙玮玮,王元恒#
浙江师范大学数理与信息工程学院,金华
Email: #yhwang@zjnu.edu.cn
收稿日期:2012 年6月20 日;修回日期:2012 年7月2日;录用日期:2012 年7月17 日
摘 要:在Hilbert 空间中研究了渐近非扩张映象 T的不动点的一种新型黏性混杂子序列迭代法算法,
并利用该迭代算法特点在一定条件下证明了迭代序列强收敛于 T的不动点。其结果改进和推广了一些
相应的近代结果。
关键词:渐近非扩张映象;不动点;黏性混杂迭代;子序列
1. 引言
不动点的理论及其迭代算法是现在非线性泛函分析的一项重要内容。早在 1953 年Mann 提出了一种称之为
Mann 的迭代格式[1],其迭代逼近非线性算子 T的不动点序列


n
x
的迭代方式为:

0
1
,
1,
nnn nn
xC
xx Txn





 

0,
(1)
其中


0, 1
n



n
。1974 年,Ishikawa修改了 Mann 的迭代格式,提出了一种称之为 Ishikawa 的迭代格式[2],其序
列

x
的构造方式为:


0
1
1
,
1
1,
nnn n
nnn n
xC
,
n
n
x
x
yx T









Ty
x
(2)
*资助项目:国家自然科学基金(11071169)和浙江省自然科学基金(Y6100696)。
#通讯作者。
Copyright © 2012 Hanspub
202
孙玮玮,王元恒  渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性
其中 n

,


0, 1
n

。并且证明了在一定条件下相应迭代序列


n
x
的弱收敛性定理。
另一方面,1967 年Halpern引进如下称之为 Halpern 迭代程序[3]:

0
1
,
1.
nn n
xxC
n
x
uT







x
0.
(3)
由于 Halpern迭代格式的启发及解决问题的需要,近年来,Xu[4]、张石生[5]等学者又构造了黏性迭代。所谓
的黏性迭代格式就是用一个给定的压缩 f代替 Halpern 迭代的 u,这样我们就得到了下面的格式:
 
0
1
,
1,
nnn nn
xC
xfx Txn







 (4)
因Mann 迭代和 Ishikawa 迭代,即使是在 Hilbert 空间下一般也仅有弱收敛性,为克服这一缺点,得到强收
敛结果,Nakajo 等[6,7]、黄建峰等[8]结合 Mann 迭代和 Halpern迭代提出了混杂迭代方法并得到了强收敛定理。2010
年刘立红等[9]关于 k-严格伪压缩映像,提出并改进给出了如下混杂迭代序列:





1
000
0
222
10
10
,,
1,
1,
,
:2
,0.
n
nnn nn
nn nn
nnnnn n
nH
HHx H
TIT
zx Tx
yxITz
HzHyzxzx xxz
xPxn










 





 



0
,,
(5)
并且证明了序列在一定条件下,该迭代序列关于非扩张映像的收敛性。
受上述文章启发,本文的目的是在 Hilbert 空间中提出如下关于渐近非扩张映像 T的黏性混杂子列迭代序列:
 

 




000
0
22
222
00
10
,,
1,
,
:,
:2
,0.
nn
ln
nnnnn
ln
nnn n
nnn
nnnnn
nCQ
CCx C
zfxTx
yfxITz
CvCzvxv
QvCyvxvxxxv
xPxn











 






,,
(6)
其中 为自然数列的一个子序列。并且我们利用这种新的混杂迭代算法特点,证明了在一定条件下序列

ln


n
x
强收敛到。因此,当渐近非扩张映像 T为非扩张映像时,可取


0F
PTx


0
1, 1,
n
klnfxx

,从而将[4-9]
等近代文献中的有关部分结果推广到渐近非扩张映像的黏性混杂迭代上来。
2. 预备知识
假设 H是一个 Hilbert 空间,C为H的一个非空闭凸子集,内积和范数分别为,

和,记
 
:
F
ix TxCxTx为映像 的不动点集合,:TC C


1, 2,N

 为自然数集,I为恒等映像。记
为H到C上的投影。
:
C
PH C
定义 2.1
1) T称为 Lipschitz 的,如果存在常数 ,对所有
0L,
x
yC

,有 TxTyL xy


;T称为非扩张的,如
果常数 ;T称为(具有系数1L

的)压缩的,如果常数 1L


。
Copyright © 2012 Hanspub 203
孙玮玮,王元恒  渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性
2) T称为一致 Lipschitz 的,如果存在数列




0,
n
kL,使得 ,,, 1
nn n
Tx TykxyxyCn

;T称
为(具有系数 的)渐近非扩张的,如果上述的
n
k


lim 1
nn
kn


 。
为了证明本文的主要结果,还需要下列引理。
引理 2.1[10] 在实 Hilbert 空间,成立下列不等式:
1) 222
2,,,;
x
yxy xyyxyH  
2)
 

222 2
111,0,1,txtxtxtyttxytx yH ,.
引理 2.2[11] 设C是Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集, ,
x
HyC

,则存在唯一的 ,满足
0
uC
1) 000
,0
C
uPx uxyu;
2) 0.uxyx
3. 主要结果
定理 3.1 设C是实 Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集。 :
f
CC为具有系数

的压缩映射, 为
具有系数 的渐近非扩张映像,不动点
:TC C
n
k


FT

。当 lim 0
nn
lim
nn




时,则存在子数列

,
使得由式(6)迭代生成的序列
n
lN


n
x
强收敛于



0
FT
Px。
证明 第一步证明

nn
F
TCQ。


pFT 有






 






1
1
1
1.
ln
nnn nn
ln
nnnn
nnn n
ln
nnn
ln
zpfxpTxp
fxpTxp
xpk xp
kxp


 
 
 
 
 
 
对于每一个


0, 1
n

,由 可得,存在一个正整数序列lim 1
nn
k
 


ln使得



1n
ln
kon



,故存在
0
nN,当 时,必有
0
nn

1k1
11
ln
nn






,即得



1
nn
ln
k
 
1

,则当n充分大时
 
.
nn
zp xp  (7)
由p的任意性可得

n
F
TC。
对


pFT ,由引理 1得






 




2
2
0n
2
22
0n
22
22
0n
22
22
0n
() 1
1
1
11.
ln
nn n
ln
nn
ln
nn
ln
nn lnn
ypfx pTzp
fxpkT zp
xpk xp
2
()
x
pxp kxp


 
 
 
 
 
 
因lim 0
nn

 ,同理由 可得,存在一个正整数序列

lim 1
nln
k
 


ln

使得



1n
ln
kon




。为了方
便,我们仍记为 。于是又存在,当 时,由

ln


ln 1
nN1
nn



22
1
1
ln
ln
nln
k
k
k




可得



2
11 nn
ln
k


 ,

从而有
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204
孙玮玮,王元恒  渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性








2
2
0n
22
22
0n
222
n0
22
00
1
2,.
ln
nn n
nn
nn
nn n
ypfxpTzp
2
n
x
pxp xp
xpxp xp
xpx xxp

 


 

 
 

n
F
TQ。综上可得


nn
F
TCQ由p的任意性可得,当 n充分大时有 。
第二步证明

n
x
为柯西列。
显然

F
T是 的非空闭凸子,存在唯一的


0
uFTH集。由引理 1.2知,
x
H

,使得。对于
固定 数

00
FT
uPx
的正整m,
0000
,
nm nm
nmC Qnmnm
xxP xxzxzCQ

 
 

所以

n
x
有界,由式(7)得 也有界。
得,

n
z
由

nn
FT CQ 对于
0
u00
0, nm 0
xxux
。由n nn
CQ

的定义,显然
0
x。
得
0
,
nmnnnm
QQxxx


对,存在常数 c,使0n 0
limnn
x
xc


,由引理 2可知, nm nn
x
CQ


,0
nn
nCQ
x
Px

且
00
n
x。因此, ,
n
x


n m
xx 
2
n nm
x x22 22
00 000
2, .
nmnnnq nnmn
xx xxxxxxxxxx
 
 (8)
故lim 0
nnmn
xx
 ,所以

n
x
为柯西列。即


s
n
xqHn

。
第三步 证明


lim 0
nnn
lim 0yx
nnn

和limnn
x
 0
n
zxpz p


 。

以及
由nm
x
H
:


222
00
2,
n nmnnmnnnm
yxxxx xxx


 

由已知条件 lim 0
nn

 及

n
x
的有界性易得
limn 0.
nn
yx

 (9)
同理由 nm
x
H
,得: nnm nnm
zx xx

,由


n
x
的有界性易得以下两式:
lim 0.xz
nnn

 (10)


0.
n
plimnn
xpz



第四步 证明
 
(11)
lim 0
nnn
xTx


。







 

 



2
22
2
2
22
2
22
11
1
1
ln lnln
nnnn nnnnn
ln
nnn nn
nnn n
ln
T xfpTxpfxpTxp
fxpT xpzp
xp kxp
 

 
 

 
1
nn n
fx x





22
22
22
1.
n
nnnn
ln
zp
kxpzp
 


因,则,同第一步可得

lim 1
nln
k
 

2
lim 1
nln
k
 





21n
ln
kon


,故存 ,当时,必有
1
n1
nn

22
121
11
nn
ln
k





 
即得 nn
 



22
11
ln
k,则
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206



222
1ln
nn nnnnnnnn
f
x zTx xppxpzpxpzp


由(11)式可得


2
lim 0.
ln
nn n
fxT x


 (12)







ln lnln
nnnnnnnnnn
x
Txxzfx Txxzfx Tx


由(10),(12)式可得

lim 0
ln
nn n
xTx


 (13)
在(8)式中取在 ,可得1m
 
 
11
11 11
1
11111 2
ln ln
nnnnnnnnnn
ln ln
nnnnn nnn
11ln ln
x
TxxxxTxTxTx
xxxTxLxx LTxx

 

 
  
  
则
TxTx

 
lim 0
nnn
xTx
 ,由(7)(9)式可得





nnn
x
yz均强收敛于

0
F
Tx
P。
定理 3.2 设C是实 Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集,且 为非扩张影像。 序列:TC C

FT 


n
x
和

n
y
由下列迭代生成:
00 0
, HHx H
 


1
22
1
10
1
:
n
ln
nnnnn
nnnn
nH
yf
x Tx
H
zHy zx z
xPx













其中 。则序列




0,1,0
nn



n
x
和


n
y
均强收敛于 。
证明 在定理2.1 中令

0
FT
Px
0, 1
n
k


,则上述结论成立。
注3.1 由此可见,此文 为[4 等近代 分结果的推广与改进。
参考
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Journal of Mathematical
, K. Shimoji and W. Takahashi. Strong convergence theorems by the hybrid method for families of nonexpansive mappings in Hil-
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a new it
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[4] H. K. Xu. Viscosity approxima
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