 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 202-206 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24031 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Viscosity Hybrid Subsequence Iterative Algorithm for the Fixed Points of Asymptotic Nonexpansive Mappings* Weiwei Sun, Yuanheng Wang# College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua Email: #yhwang@zjnu.edu.cn Received: Jun. 20th, 2012; revised: Jul. 2nd, 2012; accepted: Jul. 17th, 2012 Abstract: A new viscosity hybrid subsequence iterative method for the fixed points of asymptotic nonexpansive mappings is given and studied in Hilbert spaces. The strong convergent theorem for this kind of the iterative se- quences is proved. The results in the present paper extend and im prove some resent resul ts of other authors. Keywords: As ympt otic N onex pansi ve Map ping; Fixe d Point ; Vis cosity Hyb rid It erati ve; Su bseq uence Sequence 渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列 迭代算法收敛性* 孙玮玮，王元恒# 浙江师范大学数理与信息工程学院，金华 Email: #yhwang@zjnu.edu.cn 收稿日期：2012 年6月20 日；修回日期：2012 年7月2日；录用日期：2012 年7月17 日 摘 要：在Hilbert 空间中研究了渐近非扩张映象 T的不动点的一种新型黏性混杂子序列迭代法算法， 并利用该迭代算法特点在一定条件下证明了迭代序列强收敛于 T的不动点。其结果改进和推广了一些 相应的近代结果。 关键词：渐近非扩张映象；不动点；黏性混杂迭代；子序列 1. 引言 不动点的理论及其迭代算法是现在非线性泛函分析的一项重要内容。早在 1953 年Mann 提出了一种称之为 Mann 的迭代格式[1]，其迭代逼近非线性算子 T的不动点序列 n x 的迭代方式为： 0 1 , 1, nnn nn xC xx Txn 0, (1) 其中 0, 1 n n 。1974 年，Ishikawa修改了 Mann 的迭代格式，提出了一种称之为 Ishikawa 的迭代格式[2]，其序 列 x 的构造方式为： 0 1 1 , 1 1, nnn n nnn n xC , n n x x yx T Ty x (2) *资助项目：国家自然科学基金(11071169)和浙江省自然科学基金(Y6100696)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 202  孙玮玮，王元恒 渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性 其中 n ， 0, 1 n 。并且证明了在一定条件下相应迭代序列 n x 的弱收敛性定理。 另一方面，1967 年Halpern引进如下称之为 Halpern 迭代程序[3]： 0 1 , 1. nn n xxC n x uT x 0. (3) 由于 Halpern迭代格式的启发及解决问题的需要，近年来，Xu[4]、张石生[5]等学者又构造了黏性迭代。所谓 的黏性迭代格式就是用一个给定的压缩 f代替 Halpern 迭代的 u，这样我们就得到了下面的格式： 0 1 , 1, nnn nn xC xfx Txn (4) 因Mann 迭代和 Ishikawa 迭代，即使是在 Hilbert 空间下一般也仅有弱收敛性，为克服这一缺点，得到强收 敛结果，Nakajo 等[6,7]、黄建峰等[8]结合 Mann 迭代和 Halpern迭代提出了混杂迭代方法并得到了强收敛定理。2010 年刘立红等[9]关于 k-严格伪压缩映像，提出并改进给出了如下混杂迭代序列： 1 000 0 222 10 10 ,, 1, 1, , :2 ,0. n nnn nn nn nn nnnnn n nH HHx H TIT zx Tx yxITz HzHyzxzx xxz xPxn 0 ,, (5) 并且证明了序列在一定条件下，该迭代序列关于非扩张映像的收敛性。 受上述文章启发，本文的目的是在 Hilbert 空间中提出如下关于渐近非扩张映像 T的黏性混杂子列迭代序列： 000 0 22 222 00 10 ,, 1, , :, :2 ,0. nn ln nnnnn ln nnn n nnn nnnnn nCQ CCx C zfxTx yfxITz CvCzvxv QvCyvxvxxxv xPxn ,, (6) 其中 为自然数列的一个子序列。并且我们利用这种新的混杂迭代算法特点，证明了在一定条件下序列 ln n x 强收敛到。因此，当渐近非扩张映像 T为非扩张映像时，可取 0F PTx 0 1, 1, n klnfxx ，从而将[4-9] 等近代文献中的有关部分结果推广到渐近非扩张映像的黏性混杂迭代上来。 2. 预备知识 假设 H是一个 Hilbert 空间，C为H的一个非空闭凸子集，内积和范数分别为, 和，记 : F ix TxCxTx为映像 的不动点集合，:TC C 1, 2,N 为自然数集，I为恒等映像。记 为H到C上的投影。 : C PH C 定义 2.1 1) T称为 Lipschitz 的，如果存在常数 ，对所有 0L, x yC ，有 TxTyL xy ；T称为非扩张的，如 果常数 ；T称为(具有系数1L 的)压缩的，如果常数 1L 。 Copyright © 2012 Hanspub 203  孙玮玮，王元恒 渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性 2) T称为一致 Lipschitz 的，如果存在数列 0, n kL，使得 ,,, 1 nn n Tx TykxyxyCn ；T称 为(具有系数 的)渐近非扩张的，如果上述的 n k lim 1 nn kn 。 为了证明本文的主要结果，还需要下列引理。 引理 2.1[10] 在实 Hilbert 空间，成立下列不等式： 1) 222 2,,,; x yxy xyyxyH 2) 222 2 111,0,1,txtxtxtyttxytx yH ,. 引理 2.2[11] 设C是Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集， , x HyC ，则存在唯一的 ，满足 0 uC 1) 000 ,0 C uPx uxyu; 2) 0.uxyx 3. 主要结果 定理 3.1 设C是实 Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集。 : f CC为具有系数 的压缩映射， 为 具有系数 的渐近非扩张映像，不动点 :TC C n k FT 。当 lim 0 nn lim nn 时，则存在子数列 ， 使得由式(6)迭代生成的序列 n lN n x 强收敛于 0 FT Px。 证明 第一步证明 nn F TCQ。 pFT 有 1 1 1 1. ln nnn nn ln nnnn nnn n ln nnn ln zpfxpTxp fxpTxp xpk xp kxp 对于每一个 0, 1 n ，由 可得，存在一个正整数序列lim 1 nn k ln使得 1n ln kon ，故存在 0 nN，当 时，必有 0 nn 1k1 11 ln nn ，即得 1 nn ln k 1 ，则当n充分大时 . nn zp xp (7) 由p的任意性可得 n F TC。 对 pFT ，由引理 1得 2 2 0n 2 22 0n 22 22 0n 22 22 0n () 1 1 1 11. ln nn n ln nn ln nn ln nn lnn ypfx pTzp fxpkT zp xpk xp 2 () x pxp kxp 因lim 0 nn ，同理由 可得，存在一个正整数序列 lim 1 nln k ln 使得 1n ln kon 。为了方 便，我们仍记为 。于是又存在，当 时，由 ln ln 1 nN1 nn 22 1 1 ln ln nln k k k 可得 2 11 nn ln k ， 从而有 Copyright © 2012 Hanspub 204  孙玮玮，王元恒 渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性 2 2 0n 22 22 0n 222 n0 22 00 1 2,. ln nn n nn nn nn n ypfxpTzp 2 n x pxp xp xpxp xp xpx xxp n F TQ。综上可得 nn F TCQ由p的任意性可得，当 n充分大时有 。 第二步证明 n x 为柯西列。 显然 F T是 的非空闭凸子，存在唯一的 0 uFTH集。由引理 1.2知， x H ，使得。对于 固定 数 00 FT uPx 的正整m， 0000 , nm nm nmC Qnmnm xxP xxzxzCQ 所以 n x 有界，由式(7)得 也有界。 得， n z 由 nn FT CQ 对于 0 u00 0, nm 0 xxux 。由n nn CQ 的定义，显然 0 x。 得 0 , nmnnnm QQxxx 对，存在常数 c，使0n 0 limnn x xc ，由引理 2可知， nm nn x CQ ，0 nn nCQ x Px 且 00 n x。因此， , n x n m xx 2 n nm x x22 22 00 000 2, . nmnnnq nnmn xx xxxxxxxxxx (8) 故lim 0 nnmn xx ，所以 n x 为柯西列。即 s n xqHn 。 第三步 证明 lim 0 nnn lim 0yx nnn 和limnn x 0 n zxpz p 。 以及 由nm x H ： 222 00 2, n nmnnmnnnm yxxxx xxx 由已知条件 lim 0 nn 及 n x 的有界性易得 limn 0. nn yx (9) 同理由 nm x H ，得： nnm nnm zx xx ，由 n x 的有界性易得以下两式： lim 0.xz nnn (10) 0. n plimnn xpz 第四步 证明 (11) lim 0 nnn xTx 。 2 22 2 2 22 2 22 11 1 1 ln lnln nnnn nnnnn ln nnn nn nnn n ln T xfpTxpfxpTxp fxpT xpzp xp kxp 1 nn n fx x 22 22 22 1. n nnnn ln zp kxpzp 因，则，同第一步可得 lim 1 nln k 2 lim 1 nln k 21n ln kon ，故存 ，当时，必有 1 n1 nn 22 121 11 nn ln k 即得 nn 22 11 ln k，则 Copyright © 2012 Hanspub 205  孙玮玮，王元恒 渐近非扩张映象不动点的黏性混杂子序列迭代算法收敛性 Copyright © 2012 Hanspub 206 222 1ln nn nnnnnnnn f x zTx xppxpzpxpzp 由(11)式可得 2 lim 0. ln nn n fxT x (12) ln lnln nnnnnnnnnn x Txxzfx Txxzfx Tx 由(10)，(12)式可得 lim 0 ln nn n xTx (13) 在(8)式中取在 ，可得1m 11 11 11 1 11111 2 ln ln nnnnnnnnnn ln ln nnnnn nnn 11ln ln x TxxxxTxTxTx xxxTxLxx LTxx 则 TxTx lim 0 nnn xTx ，由(7)(9)式可得 nnn x yz均强收敛于 0 F Tx P。 定理 3.2 设C是实 Hilbert 空间 H中的非空闭凸子集，且 为非扩张影像。 序列:TC C FT n x 和 n y 由下列迭代生成： 00 0 , HHx H 1 22 1 10 1 : n ln nnnnn nnnn nH yf x Tx H zHy zx z xPx 其中 。则序列 0,1,0 nn n x 和 n y 均强收敛于 。 证明 在定理2.1 中令 0 FT Px 0, 1 n k ，则上述结论成立。 注3.1 由此可见，此文 为[4 等近代 分结果的推广与改进。 参考 [1] W. R. Mann. Mean value methods in iteration. Proceedings of American Mathematical Society, 1953, 4: 506-501. [2] S. Ishikawa. Fixed points byeration method. Proceedings of American Mathematical Society, 1974, 44: 147-150. xpanding maps. Bulletin of the American Mathematical Society, 1967, 73: 957-961. tion methods for nonexpansive mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 298: Journal of Mathematical , K. Shimoji and W. Takahashi. Strong convergence theorems by the hybrid method for families of nonexpansive mappings in Hil- 动点的迭代算法[J]. 数学的实践与认识, 2010, 41(9): 11-17. , 2009,1: 55- 结果 -9] 文献中有关部 文献 (References) a new it [3] B. Halpern. Fixed points of none [4] H. K. Xu. Viscosity approxima 279-291. [5] 张石生. Banach空间中非扩张映像的黏性逼近方法[J]. 数学学报(中文版), 2007, 50(3): 485-492. [6] K. Nakajo, W. Takahash. Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups. Analysis and Applications, 2003, 279(2): 372-379. [7] K. Nakajo bert spaces. Taiwanese Journal of Mathematics, 2006, 10(2): 339-360. [8] 黄建锋, 王元恒. 关于一种严格伪压缩映象Mann 迭代序列的强收敛性[J]. 浙江师范大学学报(自然科学版), 2006, 29(4): 378-381. [9] 刘立红, 陈东青. Hilbert空间 k-严格伪压缩映像不 [10] 谈斌. 几类非线性算子零点或不动点迭代算法追究[D]. 军械工程学院, 2004: 6-11. 王元恒, 曾六川. Banach空间中广义投影变形迭代法的收敛性[J]. 数学年刊[11] 30A()62. |