 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 221-225 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24034 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Stability in the Busemann-Petty Problem for Arbitrary Measures* Wei Wang School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Email: wangtou1010@163.com Received: Jul. 2nd, 2012; revised: Jul. 17th, 2012; accepted: Jul. 29th, 2012 Abstract: Zvavitch found a generalization of the Busemann-Petty problem to arbitrary measures. In this pa- per, we study the stability in the Busemann-Petty problem for arbitrary measures by using Radon transform. As application, we obtain a hyperplane inequality for arbitrary measures in dimensions up to four. These re- sults are consistent with Koldobsky’s results which are obtained by using Fourier transform. Keywords: The Busemann-Petty Problem; Star Bodies; Convex Bodies; Radon Transform 一般测度 Busemann-Petty 问题的稳定性* 汪 卫 湖南科技大学数学与计算科学学院，湘潭 Email: wangtou1010@163.com 收稿日期：2012 年7月2日；修回日期：2012年7月17 日；录用日期：2012 年7月29日 摘 要：基于 Zvavitch 将Busemann-Petty 问题推广到了一般测度，本文利用Radon 变换研究了一般测 度Busemann-Petty 问题的稳定性。作为应用，我们建立了 4nn 维空间中的一个关于一般测度的超 截面不等式。这些结果与 Koldobsky 利用 Fourier 变换证明的结论是一致的。 关键词：Busemann-Petty 问题；星体；凸体；Radon 变换 1. 引言 设 表示紧凸集 i vol K K 的维 Lebesgue 测度，并且我们通常把i n vol 简写为 或者 V 。令 和 2 n B1n S 分 别表示 中的欧氏单位球和欧氏单位球面。设 n R1n uS ，u 表示与 u正交的 1n 维线性子空间。如果 中的一 个紧凸集具有非空内部，那么我们就把它称为一个凸体。 n R 众所周知，著名的Busemann-Petty 问题[1]就是：如果 K和L是 中两个原点对称的凸体，并且对任意的 ，都满足 ，那么是否有式子成立， n R 1n uS 11nn volKuvolL u ?VK VL 我们知道：当 时，Busemann-Petty 问题的答案是肯定的；当 时，Busemann-Petty 问题的答案是否 定的。然而这些结果的得到是一个漫长的过程，是经过一大批数学家的辛勤钻研才逐步解决的：Larman 和 Rogers[2] ，Ball[3] ，Giannopoulos[4] 和Bo urg ai n[5] ，Papadimitrakis[6] 和Gardner[7] ， Gardner[8] ，Zhang[9]和Gardner，Koldobsky，Schlumprecht[10]n 4n5n 7 4 12n 3n 10nn5n 。有关 Busemann-Petty 问题更具体和详 细的历史渊源可以参照书本[11]或者[12]。 最近，Zvavitch[ 13]将Busemann-Petty 问题推广到了一般测度。设 是定义在 上的具有偶的连续密度函数 n R *湖南省教育厅资助项目(项目号 11C0542)和国家自然科学基金项目(项目号 11071156)资助。 Copyright © 2012 Hanspub 221  汪 卫 一般测度 Busemann-Petty 问题的稳定性 的一般测度。如果和 是中两个原点对称的星体，并且对任意的K Ln R1n uS 都满足 K uL u，那 么是否有式子成立， ? K L 4n Zvavitch 证明了一般测度的Busemann-Petty 问题与 Busemann-Petty 问题的解是一致的，即：当 时，结 论成立；当 时，结论不成立。 5n 几何不等式的稳定性研究也颇受数学界的亲睐(参考[14-20])，几何不等式的稳定性有利于进一步研究几何体 的极值问题。我们利用Radon 变换研究了一般测度Busemann-Petty 问题的稳定性。 定理 1.1 设和 是中两个原点对称的星体，给定任意常数 K Ln R ，并且 是定义在 上的具有偶的连续 密度函数的一般测度。如果 是一个截面体，并且对于任意的 n R K1n uS 都有 Ku Lu , (1.1) 那么我们可以得出 1 1 n n n K LcK n , (1.2) 其中常数 1 1 n n 2 2 n nn B cB n1c 。 ，并且对于任意的非零自然数，都有 n 2. 记号和背景知识 设 是一个关于原点的星形集，则其径向函数定义如下： K ,max 0:1 ,n K uu KuS , (2.1) 如果定义在 的 1n S(,) K 是连续的，并且原点是 的内点，那么我们就称 是一个星体。我们用 表示 中全体星体的集合。对于任意的星体 KK n Sn R n K S，其 Minkowski 泛函定义如下： x min0 : KaxaK. (2.2) n，对于任意的 1n uS ，那么我们容易验证 K S 如果给定星体 1 , K u K u . (2.3) 本文的一个重要研究工具就是 Radon 变换。如果函数 1n fCS ，那么 f 的球面 Radon 变换 定义如下(见 [11])： Rf 1d n Su Rfuf vv . (2.4) 一个熟知的事实是(见[21])：若将球面 Radon 变换限制在具有直到无穷次可微的球面偶连续函数空间 上，则球面 Radon 变换是一个连续双射。球面Radon 变换一个十分有用的性质 是 它的 自共轭 性(见 [12,21])：若 ，则 1n e CS 1n S ,fg C 11 d nn SS Rfgf Rg d . (2.5) 截面体在对偶Brunn-Minkowski 理论中应用相当广泛。给定 中的一个星体 n S K ，其截面体 I K定义如下： 1 ,n I KuvolK u . (2.6) 1988 年Lutwak[22]率先应用 Radon 变换的自共轭性来研究Busemann-Petty 问题与星体的截面体之间的联系， 从而为 Busemann-Petty 问题的彻底解决开创了新局面。进一步，Goodey，Lutwak 和Weil[23]用球面 Radon变换 Copyright © 2012 Hanspub 222  汪 卫 一般测度 Busemann-Petty 问题的稳定性 完全刻画了截面体的概念。 引理 2.1[23] 如果 中的星体 是一个截面体，那么当且仅当存在球面 n SK1n S 上一个非负有限Borel 测度 ， 使得对于任意的函数 ，下面的式子恒成立， 1n fCS 11 1dd nn SS K xfxx Rf 设 是定义在 上的具有偶的连续密度函数 n R f 的一般测度，并且对于任意的 n K S，都有 d K K fxx . (2.7) 特别地，如果我们取 1K f xx，即：如果测度取定为我们熟知的Lebesgue 测度。那么此时 K VK 。 为了后面计算的方便，我们将上面的两个式子化简为极坐标的形式。注意到 1 K xK x ，我们令 x r ，其中 1 1,0 n K Sr ，从而我们可以得出 1 1 1 0 d K nn KS Kfxx rfrr dd . (2.8) 一般地，对于任意的 ，我们也有 1n uS 11 1 2 00 ddd KK nnn KuS u 2 d K ufxx rfrrRrfr r . (2.9) 引理 2.2[9] 设 ,0,, ,abn Nn 2。如果 g 是一个定义在 0, max,ab 上的非负可积函数，那么我们 就有 1212 0000 ddd aabb nnnn rgrrargrr rgrrbrgrr d. 3. 主要结论 引理 3.1 如果 是球面上一个非负有限 Borel 测度，使得对于任意的函数和截面体 K，都 满足 1n S 1n fCS 11 1 1dd nn n SS S K xfxx Rf , 那么 1 1 d1 nn n S n uc n K . 证明 我们都知道 中的单位欧氏球 的体积为 n R2 n B 2 2 π 12 n n Bn , (3.1) 单位欧氏球面 的表面积为 1n S1 2 nn SnB 。 利用 函数的对数凸的性质，我们有这样的结论：对于任意的自然数nN ，都有 1 2 1 2 1 n nn nn B cB . (3.2) 注意到 1 2 11d nn Su Rv S ，在这里 11v 。 下面我们结合引理 2.1，Hölder 不等式，体积的极坐标公式和式子(3.2)，可以得到 Copyright © 2012 Hanspub 223  汪 卫 一般测度 Busemann-Petty 问题的稳定性 11 11 11 1 111 11 2222 111 d1d dd1 nn nn n nnn n nn nnn n K nnnn SS SS K nS n uRuuxxSxx Kc n SSSS K . 定理 1.1 的证明 利用极坐标公式和Radon 变换，定理1.1中的条件可以转化为：对于任意的 1n uS ，都 有 11 22 00 d KL nn RrfrruRrfrrud . (3.3) 显然非负函数的 Radon 变换仍然是非负的，上面的不等式两边同时在球面1n S 上关于引理 2.1中的 Borel 测度 积分，我们可以得到 11 11 22 00 dddd d KL nn uu nn SS Rrfruru Rrfruru 1 n S u . (3.4) 注意到星体是一个截面体，结合引理2.1，我们有下面的结论： K 11 11 11 22 00 dddd d KL nn uu nn KK SS urfruruurfruru 1 n S u . (3.5) 我们首先令 11 ,, KL au bugrfru 代入引理 2.2，然后两边同时在球面 上积分可得： 1n S 11 11 11 11 1 12 00 1 12 00 dd dd dd dd. KK nn LL nn uu nn K SS uu nn K SS rfruruu rfruru rfruruu rfruru (3.5) 将式子(3.4)和式子(3.5)两边对应相加，再利用式子(2.8)，我们可以得到： 1d n S K L u. (3.6) 最后结合引理3.1，就证明了我们的定理 1.1。 注记 Koldobsky[24]最近利用 Fourier 变换证明了定理 1.1。同时著名的 Busemann-Petty 问题的稳定性也是由 Koldobsky[17]得到的。 在定理 1.1 中我们交换 K 与 的位置，可以得出下面的推论。 L 推论 3.2 如果 与 都是中的截面体，K Ln R 是定义在 上的具有偶的连续密度函数的一般测度，那么就 有 n R 1 11 maxmax , 1nnn uS n KLKuLuKL n . 特别地，如果我们在推论 3.2 中取 ，我们就有下面的关于截面体的超截面不等式。 L 定理 3.3 如果 K 是 中的一个截面体， n R 是定义在 上的具有偶的连续密度函数的一般测度，那么我们 就有 n R 1 1 max 1nn uS n K KuK n . Gardner[8]和张高勇[9]分别证明了 和 中所有原点对称凸体都是截面体，而 中的原点对称凸体显然是 截面体，从而我们可得下面的结论。 3 R4 R2 R 推论 3.4 如果 是 中的一个原点对称凸体，那么就有 K 2 n Rn 4 1 1 1 max 1n n nn uS n VKvolK u n . Copyright © 2012 Hanspub 224  汪 卫 一般测度 Busemann-Petty 问题的稳定性 Copyright © 2012 Hanspub 225 推论 3.4 与著名的超截面猜想是相关的，超截面猜想表述为：存在一个通用的常数 ，使得对于中任意 的原点对称凸体 ，都满足 Cn R K 11 max nn uS VKCvolKu 。遗憾的是这个猜想至今未被证实，目前对通用常数 最好的估计是由Klartag[25]给出的： 1 4 ~Cn。 参考文献 (References) [1] H. Busemann, C. M. Petty. Problem on convex bodies. Mathematica Scandinavica, 1956, 4: 88-94. [2] D. G. Larman, C. A. Rogers. The existence of a centrally symmetric convex body with central sections that are unexpectedly small. Mathe- matika, 1975, 22(2): 164-175. [3] K. Ball. Cube slicing in Rn. Proceedings of the American Mathematical Society, 1986, 97(3): 465-473. [4] A. A. Giannopoulos. A note on a problem of H. Busemann and C. M. Petty concerning sections of symmetric convex bodies. Mathematika, 1990, 37: 239-244. [5] J. Bourgain. On the Busemann-Petty problem for perturbations of the ball. Geometric and Functional Analysis, 1991, 1(1): 1-13. [6] M. Papadimitrakis. 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