 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 226-236 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24035 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Global Bifurcation of Positive Solutions to a Predator-Prey Model* Wencong Chang#, Hua Nie College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an Email: #changwencong@163.com Received: Aug. 14th, 2012; revised: Aug. 29th, 2012; accepted: Sep. 7th, 2012 Abstract: This paper deals with a Prey-Predator model with Beddington-DeAngelis and Leslie functional re- sponse. First, sufficient and necessary conditions for coexistence solutions of the steady-state are discussed by the global bifurcation theory and the estimate of eigenvalues, and the structure of global bifurcation branch is investigated. It turns out that when , the growth rate of prey, lies between a1 and 2 1 a k , the continuum of nontrivial solution is bounded and joins two branches of semi-trivial solutions. This bifurcation branch goes to infinity with parameter when is larger than ba2 1 a k (see Figure 1). Second, the stability for the coexistence solutions is given by perturbation technique. Keywords: Prey-Predator; The Bifurcation Theory; Perturbation Technique; Positive Steady-State Solution 一类捕食食饵模型正解的整体分歧* 常文丛#，聂 华 陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 Email: #changwencong@163.com 收稿日期：2012 年8月14日；修回日期：2012 年8月29 日；录用日期：2012年9月7日 摘 要：本文考察一类带Beddington-DeAngelie 和Leslie 反应项的捕食食饵模型。首先，采用全局分歧 理论和特征值估计研究了平衡态共存解存在的充要条件，并刻画了共存解分支的全局结构。结果表明， 当被捕食物种的生长率 2 11 ,a ak 时，共存解分支有界，且连接了两半平凡的解分支；当 2 1 a ak 时，共存解分支最终沿参数 b趋于无穷(见图 1)。其次，采用摄动理论分析了共存解分支的稳定性。 关键词：捕食–食饵模型；分歧理论；摄动理论；正平衡解 1. 引言 本文研究如下反应扩散系统 2 11 1 2 , , 1 , , 1 0, . t t av udu aauux mu kv bv vdv bvx hu uv x (1.1) *资助信息：国家自然科学基金(11001160)，陕西省自然科学基础研究计划(2011JQ1015)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 226  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 其中 为有界区域，且具有光滑边界。 1 N RN 为Laplace 算子； 为食饵和捕食者的密度， ,uv 12 ,,,aa a 112 ,, ,,,,bb ddmkh均为常数，且， ，上述参数相应的生物意义见文[1,2]。反应函 12 112 ,,,,,, 0aaabb dd,, 0mkh 数1 u mu kv 最早由Beddington[3]和DeAngelis[4]给出，描述食饵与捕食物种间的相互作用，被称为Beddington- DeAngelis (B-D)反应函数。与 Holling-Tanner 反应函数相比，B-D函数分母中多了一项 ，刻画捕食者与食饵 之间的相互干涉，更详细的生物背景参见文[5]。反 应 项 kv 2 1 v hu被称为改进的Leslie 反应项[6]，刻画了捕食者在其 喜爱的食物缺乏的情况下，不得不捕食其它食饵，从而导致其数量蒙受一定损失。 如果 且，那么(1.1)式即为带 Holling-Tanner 和Leslie 反应项的捕食–食饵模型。文[7]中， Aziz-Alaoui 等研究了该类模型正解的有界性、正不变集的存在性等。最近，Nie 等在文[8]中又研究了该模型带 有脉冲项的情况。文[9]研究了带B-D 和Leslie 反应项的常微捕食–食饵模型解的存在性和稳定性。 0k0m 本文取扩散系数 ，主要研究(1.1)对应的平衡态系统 12 1dd 2 1 1 , , 1 , , 1 0, av uaau ux mu kv bv vb vx hu uv x (1.2) 正解的存在性及参数对模型正解全局结构的影响。为此，首先引入一些记号和一些已知结论。设 1 为问题 1 = , ; | = 0uux u -的主特征值，相应的主特征函数为 1 ，且 11 1 0 ，。由文[10]知，如果 1 a ， 则零为如下边值问题 2 1 , ; | 0uauaux u (1.3) 的惟一非负解；如果 1 > a ，则(1.3)存在惟一正解，记为 a ，且有如下结论成立。 引理 1.1[10] 若1 > a ，则(1.3)存在惟一正解，记为 a ，且 a 满足以下性质： (i) 11 11 a aa aa ； (ii) a 在上连续可微且关于 逐点单调递增； 1,+a a (iii) 1 lim 0 a a 在x上一致成立； (iv) 记(1.3)在a 处的线性化算子为 1 2 aa Laa ，则 的所有特征值都严格大于零。 a L 注1.1 对如下单物种的平衡态问题 2 1, ; | 0vbvbvxv (1.4) 有类似的结论成立。为后面使用方便，记(1.4)的惟一正解为 b ，相应的线性化算子为 1 2 b Lb b b 。同理 对于 2 11 1 , ; |0 ab vbvvx v aha , (1.5) 当1 > b 时，存在惟一正解，记为 。 b v 显然，系统(1.2)存在非负平凡解分支 0,0,0:SbbR；当 1 > b 时，有非负半平凡解分支 1 ,0,: > b Sb b 1 ；当 1 > a 时，存在另一非负半平凡解分支 ,,0: abR 2 Sb 。下面固定 1 > a ，以 为 分歧参数研究(1.2)正解分支的全局结构，本文所得主要结论如下。 b 定理 1.1 假设 1 > a 固定，则存在(1.2)正解的连续分支 ，它发自分歧点 1,,0 a ，且 具有如下性质： (i) 若2 11 a ak ，则分歧曲线 与半平凡分支 11 ,0,: > b Sb b 相交于点 ˆ ˆ,0, b b ，其中 b由 ˆ Copyright © 2012 Hanspub 227  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 ˆ 2 1 ˆ 1 b b a ak 惟一确定，且 1ˆ : ,,,bbuv b 。又若 ，则有 1 2 > ka ma2 1ˆ :,,,bbuv b 。 (ii) 若2 1 + a ak ，则分歧曲线沿延伸到无穷，且b 1 :,,,bbuv 。而且，对任意 ，若 ，则有 ,, nnn buv lim n nb 2 1 , lim0, nna nn akC vx ux 。其中 2 a ak 为如下问题 lim 2 2 1, ; |0 a ua uauxu k (1.6) 的惟一正解。特别地，当 2 1 a ak 时， 2= 0 a ak 。 定理 1.2 若，则(1.2)存在正解的充要条件为 1 2> ka ma2 2 11 , 1 b b a ab k 。 注1.2 定理 1.1 表明，发自分歧点 的正解分支 1,,0 a 的结构有两种情形，见图 1。对 于2 11 a ak ， 分歧曲线从点出发连接到上的点 1,,0 a A 1 S ˆ ˆ,0, b Bb ，此时 有界。若 ，在 轴的投影为 ，这里 由 12 2> ka mab ,v :,bb u 1ˆ ,b ˆ bˆ 2 1 ˆ 1 b b a k a ˆ 惟一确定，由引理2.3， 随的增大严格增大。当 ba1 = a 时， 缩于点 。对于 1,0 ,0C2 1+ a k a，从点 1,,0 a A出发沿 b延伸到无穷，即对任意 b1 > ，(1.2)均存在正 解，而且当 趋于无穷时，捕食者的浓度也趋于无穷，食饵的浓度趋于 b2 a ak ，此时 长度达到无穷大。 u v 1 S ,,0 a b ,,0 a b ˆ b C B b A A A Figure 1. Global bifurcation of positive solutions 图1. 正解分歧曲线 本文主要内容如下：第 2节介绍一些基本的理论知识以及(1.2)正解的先验估计；第 3节将 当作分歧参数， 利用分歧理论研究(1.2)正平衡解存在的充要条件及分歧曲线的全局结构，并给出定理1.1 的证明。最后，采用扰 动理论分析了分歧解的稳定性。 b 2. 预备知识 首先给出一些记号， 1,|| ||C 为Banach 空间，其中 为 范数，定义 1 C 11 : | 0 B CuCu 。 令 11 BB XC C。 2, 2, 1 X CC X 1 YCC ， 。 的包含映射。 1 : iX Y1 引理 2.1[11] 考察特征值问题 , ; | 0uqxu uxu , (2.1) Copyright © 2012 Hanspub 228  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 其中， qx C，则(2.1)存在一列特征值 = 1,2, iqi 使 12 0 < < qq 成立，对应的特征 函数为 12 ,, ，其中 1> 0, x 。而且有如下比较原理成立：若 qx qx，则 , , = 1,2, nn qq xn 。 又若 ，则 qx qx < nn qq , , x = 1,2,3,n。 由上下解原理和Green 公式，易得(1.2)参数和非负解的先验估计如下。 引理 2.2 若 为(1.2)的非负解，且 ,uv 0, 0uv ，则有如下结论成立： (i) 11 1 11 + ,, abb baah v uvv bbbab 1 ； (ii) 11 > , > ab ； (iii) 又若 ，则 1 2 > ka ma2 2 1, 1 b b a ak 1 > b ； (iv) 又若 2 1 < +a ak ，则存在常数，使得 b 0MM 。 注2.1 引理 2.2(ii)说明当食饵或捕食者的出生率很小时，它们不能共存。 为分析分歧曲线的结构，研究特征值问题 2, ; | 0 1 b b a uuuxu k (2.2) 的主特征值 2 11 b b a k 的性质。与文献[12]引理 3.4 相同方法可以证明如下引理成立。 引理 2.3 (2.2)的主特征值 2 11 b b a k 具有以下性质： (i) 2 11 , 1 b b aC k ，且当 1 b 时， 2 11 1 b b a k ； (ii) 1 2 11 , 1 b b aC k ，且 2 10 1 b b a k ，这里 2 11 b b a k 表示 2 11 b b a k 关于 b的导数； (iii) 22 11 lim 1 b bb aa kk 。 注2.2 由引理2.3，函数 2 11 b b a k 的图像大致如图 2所示。 2 1+a k 2 1() 1+ b b a k b 1 Figure 2. Diagram of b b aθ λ kθ 2 11+ 图2. 特征值 b b aθ λ kθ 2 11+ 的图形 Copyright © 2012 Hanspub 229  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 3. 正解全局分歧的结构与稳定性 设1 > a 固定，考察(1.2)沿半平凡分支 2=,,0: a Sb bR 产生的分歧正解及稳定性。令 , auv ， 则 , 满足 12 1 2 2(),, , 1 ,, , 0, , a aa aKa KaKKFx m bK KFx x K (3.1) 其中 为在 1 B C上的逆算子， 2 22 11 ,, 11 a a aa a a Fa mm k 2 1 2,1a b Fh 。 令 12 , = F FF ，则 F 连续，，且其 Frechet导数 0,0 = 0F ,0, 00DF 。定义 为 : TR XX 12 12 ,,2, ,, 1 a aa TbaKa KaKKFbKKF m , 且 ,, ,,,Hb Tb ，则 ,,Tb 为X上可微的紧算子， ,,Hb 为 连续的，且 1 C ,0,0 0Hb 显然，满足 0, ab b v ，且 ,,Hb 0 的解为系统(3.1)的非负解。 定理 3.1 假设 1 > a ，则 为(1.2)的分歧点，并且存在 1,,0 a 01 ，当 11 ,+b 时，(1.2)存在正平 衡解。 证明 考察在点 的分歧。令 1 ,, ,0,0b 0, ,0,0 ,0,0LbDHb 为 H 关于 , 在处的 Frechet 导数，易验证核空间 ,0,0b 11 , 01 ,0,N L0span ，值域 1 d 0x 01 ,0,0RL = ,: X 。其 中12 11 1 a aa a Lm － ，故 00 codimRL dim NL 1。而且 2 1 11 ,,0,0, b LDH 11 ,0 11 ,0 , 10 1 0 , ,0,0RL . 于是，由文[13]的定理13.5 可知，(1.2)在点 1,,0 a 附近存在一条光滑的正解分支曲线 11 :,, : 0 a bssssss 1 , 且满足 11 0, 000, ,, bss 。将 11 ,,, , a bs us vsbsssss 代入(1.2)，得 关于 bs s 在 处的导数0s 0>0b。故 在分歧点 1,,0 a 向右分出，从而定理3.1 成立。 下面研究定理3.1 所得分歧解的稳定性，为此首先给出几个引理。由定理 3.1 的证明可知如下引理成立。 引理 3.1 0为的 i-简单特征值，其中 01 ,0,0L 01 ,0,0L 由定理3.1 给出。 引理 3.2 0 为01 (,0,0)L 实部最小的特征值，其余特征值的实部均大于 0。 证明 由引理 3.1 知，0为01 ( ,0,0)L 的特征值。令 0 L1 -- ，易知 0为 的主特征值。假设 0 L 0 为 0 L1 -- 的特征值，且00Re ，对应特征函数为 , ，则有 2 10 10 2, 1 , , 0, a aa a aa x m x x . , 如果 0 ，因为算子 0a L -可逆，则 0 ，矛盾。所以显然0 ，故 0 为 的特征值，因而 0 L 0R ，且 0< 0 ， 这与的主特征值为 0矛盾。 0 L Copyright © 2012 Hanspub 230  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 记 是(1.2)在点 ,,Lbs us vs 11 ,,, , a bs us vsbsssss 的线性化算子，则 由文[13]的定理 13.8 得如下引理。 引理 3.3 存在1 和0的小邻域到的函数：RX1 C ,, ,bbUbssVs ，使得 ，且有 11 11 ,,UV 0,,0 0 1 ,0,0, 1, ,, , LbUbbUb b LbsusvsV ssVss 1, (3.2) 其中 12 12 ,, ,Ubu b ubVsv s vs 。另外， 10 。若 0, 1ss ，则有 11 sb s s 0 lim s。 引理 3.4 ，其中 1< 0 1 由引理3.3 给出。 证明 由(3.2)知 2 11 121 22 2 12 2, 1 , , 0, a aa a uaauubux m ubu bux uu x . , 因为 11b ，则有 1b 。如果20u ，对于11b ，有 10u ，矛盾。所以 ，则 20u b 为 的特征值。因为 0 ˆ Lb1>0 ，则对于 1 b 1， b 是的主特征值，且关于 单调递减。由 0 ˆ Lb 10 ， 则 。 10 结合定理3.1 及引理 3.1-3.4，我们有如下结论成立。 定理 3.2 对于 ，，且由定理 3.1给出的共存解渐近稳定。 01s 0s 下面我们给出定理 1.1 的证明。 定理 1.1 的证明 首先证明 可延拓为全局分歧 。 ,,Tb 在 ,0, 0处的线性化算子为 2 1 ,,0,0,2, 1 a aa a DTbKaa KbK m 。显然 ,,0,0DTb 为紧线性算子。由度理论知， ,,0 1 p iTb，其中为大于 1的特征值的代数重数之和。设p ,,0,0DTb 1 为 的特征值， 对应的特征函数为 ,,0,0DTb , ，则 2 1 2, 1 0, , 0, a aa a aa x m bx x . , 若0 ，则 0 矛盾，故0 ，所以 i b ，其中 i 为 的第个特征值，i1, 2,3,i 。 易知，对于 1 1, :2a La a 的特征值均大于0，则12 1 a a a Lm ，故 , 为 ,,0,0DTb 的特征函数，即 1 是 的特征值当且仅当 ,,0,0DTb , 1,2,3, i bi 。 假设 1 b ，则有1, 1,2,, 1 i bi 。此时， ,,0,0DTb 没有大于 1的特征值，所以当 1 b 时， 。 ,,iTb 0 1 假设 12 b ，则 < , 1, 2 i bi 。显然存在惟一的 1 1 b ，使得 1 = b 。下证 为简单的。易 Copyright © 2012 Hanspub 231  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 证， ,,0,0span,NIDTb ， , dim,0,0 1NIDTb ，其中 0 为 0, ; |0bx 的主特征函数， 12 1 a a a Lm 。下面证明 0RIKb NIKb 。反设 ,RIKb ， 即存在 , X ，使 ,,IKb ，则 , ; |0bx 。两端乘以 ，在 上 积分得 d d d0xbxb x 则有 2dbx 0，矛盾，所以 的代数重数为 1。故当12 b 时， ,,0 1iTb 。 由标准的全局分歧理论[14]得，存在发自分歧点 1,0,0 的 ,, 0Hb 的解曲线 。定义 0 C 101 1 ,, :CC bssssss 0 . 显然，在分歧点附近， 包含 1,0,0 1 C 11 ,, :0bs sssss 。令 1 ,,:,, a bb C, 则 为(1.2)的解曲线，且在分歧点 1 ,,,,0 a buv 附近， 上的解均为正的。定义 1 1 1 :0, ; 0, ,,: ; , u PuCuxxxxPbuvbRuvP n ，. 显然，在 的小邻域内， 1,,0 a P 。 由文[14]的定理 2.1知，连续分支 必满足以下三条件之一： 1,,0 a 1) 连接到分歧点 ，其中,,0 a b 1 b ； 2) 延伸到无穷； 3) 包含形如 和 的点。 ,, a buv ,, a buv 下面分(i) 2 11 < +a ak ，(ii) 2 1+a ak 两种情况讨论。首先证明(i)，假定 2 11 < +a ak 。若 1,,0 a P ，显然(1)(3)不可能发生。由引理 2.2 知，如果 2 1 < +a ak ，则存在 ，使 得 > 0M1bM 。 又由 p L估计和Sobolev 嵌入定理得，存在常数 ，使得 1>0M1 , uv M，所以(2)不可能发生，故 1,,0 aP 。因而存在 1, ,0 a ˆˆˆ ,, buv P，且存在一列 ,, nnn bu vP，使 ˆ lim n nbb ， ˆˆ lim,,= 0 nn X nuv uv ，因为 ，则 ˆˆˆ ,, buv P1 ˆ uP 或1 P ˆ v 。若 1 P ˆ u ，则 0x ˆ ux ，且存在 0 x ， 使或存在，使得 0 ux ˆ01 x 1 ˆ0 ux n 。由极值原理知，u ˆ0 。同理，若 1 P ˆ v ，则 。故有 ˆ v0ˆ0 u 或 。 ˆ v0 假设 且 ，即 ˆ0 uˆ0v ˆ lim= , lim,0,0= 0 nnn X nn bb uv 。令 =n nn u Uu，由(1.2)得 22 1 = , ; U|= 0 1 nn nn nnn nn aUv UaUauU x mu kv (3.3) 由 p L估计和Sobolev 嵌入定理得， 1 lim 0 nC nUU (必要时 取子列)，且 n U 0, 0,Ux x 。对(3.3)式两端 取极限得 。由最值原理得，, ; |0UaUxU > 0, Ux ，故 1 = a 矛盾。 假设 ，由解的惟一性知， ˆˆ > 0, 0 uv ˆˆ ,, a uv 0 ，则 ˆˆˆ ,, buv 位于半平凡分支 上，即 2,,0: a Sb bR Copyright © 2012 Hanspub 232  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 ˆ lim, lim,,00 nnna X nn bb uv 。令 =|||| n nn v Vv，同上述证明得1 ˆ b ，矛盾。 综上所述，有 ，由 ˆˆ 0, > 0 uvb 的惟一性知 ˆˆ , = 0, b uv ，故 ˆˆˆ ,, buv 位于半平凡分支 11 =,0,: > b Sb b ， 交点为 。类似地，可以证明 ˆ = bb ˆ 2 1 ˆ = 1 b b a ak 。又由引理 2.3 得，对于 2 11 < < +a ak ，存在惟一的 ，使得 ˆ b ˆ 2 ˆ 1 b b a k 1 = a 2b :, bb 。显然有。由引理 2.2(iii)及引理 2.3 得，若，曲线在 轴的 投影为 。 1ˆ :,, , bbuv b 1ˆ , b 1 2ka ma , = uv 下面考察(ii) 2 1+a ak 的情况。若 1,,0 a P ，则存在 1 ˆˆˆ ,,, ,0 a buv P 。同上述证明得， 或。类似于 (i)的情形，可以证明 ˆ0 uˆ0vˆˆ 0, 0 uv ˆ 和，均不成立。因此仅考虑 ，此时 必存在一列 ˆ 0, 0 uvˆˆ 0, 0 uv ,, nnn buv P，满足 ˆ, lim nn bb ˆ 0, n uv v lim 0 nn X (必要时取子列)。且有 22 1 = , ; |= 0 1+ + nn nn nn nn auv uauaux u mu kv 。令 =n nn u Uu，存在U，满足0, 0, x 1 lim= 0 nC nUU ，则 2ˆ, ; |0 ˆ 1 av UUaUxU kv 由最大值原理U，则02 1 ˆ = ˆ 1 av akv 。又因为22 11 ˆ ˆ 1 aa akk v v 矛盾。所以分歧曲线 1,,0 a P 。 由文[14]的定理 2.1知，必在内延伸到。再根据引理 2.2 可知，在 内PP 只能沿 b延伸到无穷。最后，考 察 时，分歧解的走势。设 为(1.2)的一列正解，若b ,, nnn bu v li n nmb = 。由 引 理2.2知，lim= n nv 。 由 p L估计和Sobolev 嵌入定理得，存在 1 uC ，且 ，使0, 0u 1 lim= 0 nC nuu (必要时取子列)，且有 2 2 1 = , ; |= 0 a ua uauxu k 。因 为2 1 a ak ，故 2 a ak u ，特别地 2 1 = +a ak 时，u。这 里 = 0 2 a ak 为(1.6)的惟一正 解。 注3.1 对于2 1 a ak ，由引理2.2知，存在 0，使得在 的任意紧子集 上有 1 11 vx aah bab 。因 此在的任意紧子集上，与 b趋于无穷的速度相同。 vx 注3.2 由定理1.1，引理 2.2(iii)及引理 2.3 易证定理1.2 成立。 定理 1.1表明(1.2)的正解曲线 从分歧点 1,,0 a 向右分歧，且在该分歧点附近渐近稳定。对于2 1+a ak ，分 歧曲线沿参数b趋于无穷；对于2 11 a ak 分歧曲线 与另一半平凡解分支 11 ,0,: b Sb b 相交与 点 ˆ ˆ,0,b b ，故 ˆ ˆ,0,b b 也是分歧点。为此，我们进一步分析分歧曲线 在 ˆ ˆ,0,b b 附近的形状及稳定性。 定理 3.3 假设 2 11 a ak ，1 > b ，则在 ˆ ˆ,0,b b 附近的正解分支为一条光滑的曲线 ˆ 11 ˆˆˆ : 0 bsss , , sbs s ， 满足 11 ˆˆˆˆˆ 0, 00, 00, (,),bb ss ，且ˆ 。 证明 类似于定理 3.1 的证明可得，当 2 11 , a ab k1 ，时，系统(1.2)在点 ˆ ˆ,0,b b 处的线性化算子记 Copyright © 2012 Hanspub 233  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 为 ˆ 0ˆ ˆ,0, b Lb ，则 ˆ 2 ˆ ˆ 0 2 ˆˆ 11 0 ˆ ˆ1 ,0, ˆ2 b b b bb a ak Lb hbbb 易验证核空间 ，值域 ˆ 01 ˆ ˆ,0,, b NL bspan 1 ˆ 01 ˆ ˆ,0,,: d0 b RL buvXux ，其中 10 为特 征值问题 ˆ 2 ˆ , ; | 0 1 b b a uuauxu k 的主特征函数，且 -1 2 ˆˆ 11 1 1, bb Lhb 1 ，其中 ˆˆ 1 2 bb bb 。而且 ˆ 11110 ˆ ˆ ,0,, =,0, bb Lb RLb ˆ = Lˆ ˆ ˆ 。由文[13]的定理13.5 知，结论成立。 为研究局部分歧曲线 ˆ 上正解的稳定性。将曲线 ˆ 上的点 ˆ 11 ˆˆ ,,, , b bs us vsbsssss 代入系统(1.2)的第二式，并在 处求导，经过简单计算得，0s 0 = 0b的符号不易确定，故我们采用摄动技术 研究该分歧解的稳定性。为此，设 ,, nnn buv ，且 ˆ 0, nn b bu n ˆ ,, , n v b 。记 为(1.2)在 点 处的线性化算子，则 ˆ,, nnnn Lbuv ,, nnn buv 22 122 2 11 2 11 2 11 ˆ,, 2 1 1 nnn n n nn nn nnnn nn nn n av kvau mu aaumukvmukv Lbuv hb vb v bhu hu . 引理 3.5 设2 11 a ak 固定， ,, nnn buv 为(1.2)的一列正解，且，则(1.2)在点 处 ˆ lim= n nbb ,, nnn bu v 的线性化算子 存在一个特征值 ˆ,, nnnn Lbuv 0 nn ，所有其它特征值的实部均大于 0。 证明 显然，对于 2 11 a ak 固定，由定理 1.1 及定理 3.3 知，时必有 n b ˆ ,0, nn b uv ，从而 ,, nnnn Lbuv ˆ以算子范数收敛到 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆˆ 11 0 ˆ ˆ1 ,0, = ˆ2θ b b b bb a ak Lb hbb b . ˆ ˆ,0, b Lb 的特征值问题 考察 ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆˆ 11 , , 1 ˆ2, 0, . b b bb a ax k bb hbx x, 由引理 1.1(iv)知，算子ˆ 1 ˆ2b bb 的特征值均为正。又由 ˆ 2 1 ˆ = 1 b b a ak 知， ˆ 2 ˆ 1 b b a ak 的最小特征值为 0， 其它特征值均大于 0。因此由文[16]的引理3.5 知，= 0 为 ˆ ˆ ˆ,0, b Lb 的最小特征值，对应的特征函数为 11 , ， 其中 11 , 由定理 3.3 给出， ˆ ˆ ˆ,0, b Lb 的所有其它特征值均大于零。由摄动理论[15]有存在特征值 ˆ,, nnnn Lbuv ，且所有其它特征值的实部均大于零。从而引理 3.5 得证。 0 n Copyright © 2012 Hanspub 234  常文丛，聂 华 一类捕食食饵模型正解的整体分歧 引理 3.6 令 2 ˆ 11 d bb ˆ I h x，则若 ，对足够大的 n，有0I0 n 。这里 n 由引理 3.5 给出。 证明 设n 相应的特征函数为 , nn ，且 11nn ，则 11 ,, nn n ，且 22 122 2 11 2 11 2 11 2 11 0 nnn n nnnnnn nn nn nn nn nnnn nn nn av kvau mu aau x mu kvmu kv bv hbv bx hu hu x ,, , , , . (3.4) 在 所满足的方程两端同乘以 n vn ，在上积分并利用 Green 公式得 1 d 1 n nn nnn n bv vxb v hu d x , (3.5) 将(3.4)的第二式 代入(3.5)得 23 11 2 d 11 nn nn nnn nn bv bhv vx huhu d x . (3.6) 又由 ˆ11 ˆ ,,,0, ,, nnnn n b buv b ，，在(3.6)式两端取极限得 2 ˆˆ 1111 limdd 0 nnn bb nvxbh xbI , 故对于充分大的 ，有n>0 n 。 注3.3 由于 2212 ˆˆ ˆˆˆ 111 11 d bb bbbb ˆ d I hxhbL x，故只要 适当大，即可达到。 1 b0I 由引理 3.5 和引理3.6 知，如下结论成立。 定理 3.4 如果 ，则由定理 3.3 给出的分歧解渐近稳定。 0I 4. 致谢 非常感谢国家自然科学基金(11001160)和陕西省自然科学基础研究计划(2011JQ1015)的大力支持。同时也感 谢为本文做出贡献的老师和同学们。 参考文献 (References) [1] M. A. Aziz-Alaoui. Study of a Leslie-Gower-type tritrophic population model. Chaos Solutions Fractals, 2002, 14(8): 1275-1293. [2] 陈滨, 王明新. 带有扩散和 Beddington-DeAngelis响应函数的捕食模型的正平衡态[J]. 数学年刊, 2007, 28A(4): 495-506. [3] J. R. Beddington. Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiency. Journal of Animal Ecology, 1975, 44: 331-340. [4] D. L. DeAngelis, R. A. Goldstein and R. V. O’Neill. A model for tropic interaction. Ecology, 1975, 56(4): 881-892. [5] D. T. 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