 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 237-242 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24036 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Highest Weight Representations of W-Type Lie Algebra Related with Virasoro Algebra* Yongsheng Cheng1, Heshan Chen2 1Institute of Contemporary Mathematics & School of Mathematics and Information Science, Henan University, Kaifeng 2School of Eurasian, Henan University, Kaifeng Email: yscheng@henu.edu.cn Received: Jul. 12th, 2012; revised: Aug. 1st, 2012; accepted: Aug. 14th, 2012 Abstract: W-algebra is a family algebras which are used to describe the conformal field theory. Up to now, the structure theory and representation theory we have obtained are very little. In this paper, we investigate the highest weight representations over a W-type Lie algebra related to Virasoro algebra. Keywords: W-Type Lie Algebra; Virasoro Algebra; Verma Module 一类与 Virasoro 代数密切相关的 W-型李代数的 最高权表示* 程永胜 1，陈河山 2 1河南大学，现代数学研究所和数学与信息科学学院，开封 2河南大学欧亚学院，开封 Email: yscheng@henu.edu.cn 收稿日期：2012 年7月12 日；修回日期：2012 年8月1日；录用日期：2012 年8月14 日 摘 要：W-代数是用来描述理论物理中的共形场论的一类代数，它的结构理论和表示理论我们都知之 甚少。本文研究一类与Virasoro 代数密切相关的 W-型李代数的最高权表示理论。 关键词：W-型李代数；Virasoro 代数；Verma-模 1. 引言 二维共形场论是理论物理和统计物理研究的重要内容。在研究二维共形场的额外对称的过程中，A. B. Zamolodchikov 在1985 年引入了 W-代数。W-代数又被称为扩展的共形代数，主要用来描述共形场的对称性。它 不仅在二维量子场论中有着广应用，而且为研究可积系统提供了有力工具[1]。此外，W-代数具有丰富的代数结 构，与李理论的很多领域密切相关，比如 Virasoro 代数，Kac-Moody 代数，顶点代数，李超代数以及其它的很 多结合代数和非结合代数等等[2,3]。关于这类代数的结构理论和表示理论，只有少数几个具体的代数得到较深刻 的研究。例如，Virasoro 代数，超 Virasoro代数，仿射李代数，Virasoro 顶点代数等[4-6]。而对于其它的 W-代数 结构和表示理论，我们还知之甚少。因此，研究与 W-代数相关联的无限维李代数的结构与表示对理论物理以及 李理论都具有一定的意义。本文研究一类与 Virasoro 代数密切相关的 W-型李代数的最高权表示理论。 2. 一类与 Virasoro 代数密切相关的 W-型李代数 本文我们用 F表示特征为 0的任意域，用 表示整数环。 *资助信息：国家自然科学基金资助项目(No. 11047030，11171055)和河南省科技厅软科学项目(No. 112400430123)与基础与前沿项目(No. 122300410385)。 Copyright © 2012 Hanspub 237  程永胜，陈河山 一类与 Virasoro 代数密切相关的W-型李代数的最高权表示 定义 1 W-代数 是一个无限维李代数，有一个 F-基以及以下李运算关系 3 ,0 1 3 ,0 2 , 12 , 12 0 nm nmnm nm nmnm nm nn LL nmLC nn LL nmWC WW 这里 ，是两个中心元素。显然，可看作是无心的Virasoro 代数的阿贝尔扩张，且同构于 Virasoro 代数和它的伴随模的半直积。在本文中，用域 F的一个任意子群 G代替，我们得到所谓的广义 代 数，记为 ,nm 12 ,CC G。为了书写方便，我们把 简单记为 。 定义 2 G是一个李代数带有F-基 12 ,,,LWCC G 满足关系式定义1中的李运算关系。 这篇文章中，我们固定一个和群G结构相容的全序 ,即若“” x y,则对于任意 ，都有zG x zyz。 记 :0GxGx ， :0GxGx 。则 0GG G 。设 是由和生成的 [G]的子代数。 定义一个满足以下条件的余向量 ， 00 ,,LWC 12 C * 1 o L 且 2 0C 1O WC ；其中 表示 的对偶空间。 对于任意的 ,令 * * , H=,HX GXG HX QG和 。于是 n GG,其中 ,0 xx x GC CWxG L 。令 xG x GG ， xG x GG ，则有以下三角分解 GG G 。 对任意 x G ，注意到子群 x 继承了群 G的序，也是一个全序的阿贝尔群。易知 。对于任意的 “” ax bx,ab ,ab *:GG0，显然， x G。令 [] x 是的由[]G12 {, ,,|} nx nx LWCCn 生成的 F-子空间。由下面的引理易知[] x 是一个同构于W-代数 的李代数，该引理直接验证即得。 引理 3 对于任意的 n ，映射 : x f Z : 1 1,0 24 nnxn x x LxL ， 1 1,0 2 24 nnxn xx WxW C ， 112 CxCCxC 2 可以唯一的扩张为 到 x 的李代数同态。 3. G 的最高权表示理论 令 UG是 G的泛包络代数。令 M 为一个 G 模， * ，且 是u M 中一个满足 ，对任意的 及 H uuHH 0Gu和 GuMU 的非空向量。则 M 是一个具有最高权 的 G模。向量 u被称为是相应于权 的最高权向量。易知任意的 G 模 M 都是一个权 G 模： x xG MM ，其中每一个空间 x M 由向量 12 zz , k z X XXu i zi z,,1, i X UGz G ik 生成。 12 zz k zx G上的 Verma 模 V ，* 被定义为由代数 G的子代数 G v所诱导的 的一维表示 H vHv 对于任意的 ，H 0Gv ，即 VU ，其中 P是GCvP UGCv 的一个子空间，由向量 X YvXYv ，其中 ,GXU YUG 生成。 G U在 V 上的作用 由 X Yv XYv， , X YUG给出。不难验证 UG 在 V 和 VU 上自由的作用， 即向量 Gv X YvXYv , 其中 ,XU G YUG 生成。 UG在 V 上的作用由 X Yv XYv ， , X YU G， , X YU G给出。不难验证 GU在 V 和 VU L LG ,WL v v上自由的作风。即向量 212nk xxx yyy WW 其中 ,0,, ij s kxyG 和12 0 s x xx ， ，1, 12 0k yy y1is jk 构成空间 V 的 一组基。于是我们有分解 Copyright © 2012 Hanspub 238  程永胜，陈河山 一类与 Virasoro 代数密切相关的W-型李代数的最高权表示 x xG VV , 其中 x V 是一个由基 2 12 , n k x xxyyy WW WLLLv 11sk x xy yx 构成的向量空间。易知 V 是一个具有最高权 ， 的模且由 Verma模。下面的两个引理描述了 V 的性质，直接计算可得。 引理 4 记 Pm为数m 的拆分数，易得 0 dim,01 n nm VPnmPmP . 引理 5 对于任意的具有最高权 和最高权向量 u的 G 模 M ，存在唯一的 G同态 ()VM 把v映到u。 因为 x V ，0 x GG 是一个关于算子 L0对应特征值 x 的特征子空间，则对于任意的 V 的真 子 G模V，有 0 x GGx VV ，其中 VUG v。从 GVU v可得 0 x GGx VV ，因此 V 有唯一的极大真子模。记 V 的这个因子模为 L 。 4. G 上的 Verma 模的可约性 令 为 12 ,,,Vcc G上的一个由最高权 12 ,,,cc 和最高权向量 v生成的 Verma 模，即 12 ,,,VccUG v 00112 ,,,LvvWvvCvcvCv cv及2 。在本节中，我们将决定 的可约性。 12 ,,,Vcc 回忆是一个 Abel 群的整序。记 ,G |0Bxy Gyx 其中 x G 。如果对于任意的 x G ，都有 ，则称序“”是浓的；如果存在某个 a #Bx G 使得 Ba ，则称该序是离散的，此时被称为 G 的极小正元素。我们将用文献[2,4,7]的方法来研究 a G上的最高权表示。首先我们做一些准备工作。 引理 6 假设的序“”是浓的。令v是中具有权 h的最高权向量。令 12 ,,,Vcc UGu是 中的任意给定的权向量。则存在一个具有权 12 ,,,Vcc 的权向量 0 UGuu满足 11 1 ,, 0 s s s xx xx xx uaWW v(有限和)对于某些 1 * ,, 0 s xx aFF y Lv 。 证明 由(3.1)，对于每一个 m，令 11 1 1 0 0; :sk s k mxxy xx yykm VFWWL 易得 , x mmxm LV VWV V m ，其中 x G 。我们可以把 写作 0 u 11 11 1 1 0,,,,, 0 0 sks k s k xxyyxx yy xx yy uaWWL Lv 对于某些 。令 11 * ,,,,, sk xxyy aF 11 ,,,,, :max0 sk xxyy rka0r 。若 ，则断言显然成立。假设，且写 ，其中 1r 00 moduu 1r V 11 1212 1 1 0,,, 0 0: sk s k x xy yxxxyyyk xx yykr uaWWWLL Lv 令 x G 使得 1 min 0 pj xja。则 11 12111 1 1 111 11 1 1 0,,, 01 0: ,,,,, 2 01 0; mod sksiiii k skiii k s k r xxxyyxxxiyyxyy xx i yykr r xxyyi pxyyyyyr xx i yykm WuaW WWxy LLWLLv axyWWLLLLvV yr 若 11 ,, ,, s s x xxx 且 11 ,, ,, kk y yyy ，则 Copyright © 2012 Hanspub 239  程永胜，陈河山 一类与 Virasoro 代数密切相关的W-型李代数的最高权表示 111iiir P xj jjjj WW LLLL 和111 s ss r p xy yyyy WW LLLL 1 对于1, 线性相关。因此 is r10 0: x r uWuV 。同理，像(4.3)一样,令 11 2 mod r uu V ，则 10u 。对于 我们定义如下并可以用归纳法严格证明 2, ,kr 11 :mod kxkrkkkrkk uWuVuuVu ,0 令，可得 。自此完成了引理的证明。 kr0 0r uV 定理 7 令12 ,,,cc F 。对于 的浓序“ ”，Verma 模G 12 ,,,Vcc 是不可约的 G模当且仅当 20c 。 证明 设 的定义象(4.1)一样。令u 1 1,, :,,0 s sxx Xxxa 。我们在 X上定义全序“ ”如下：对于 任意的 11 , ,, ss ,, x xxx X ，若 s t，令 0 i x 其中 1, ,it s 。于是可得 ,, ) x11s ,, x xxxk ，1满足ks kt x x 且tk x x 对于 tk 。令 21 1 ,,,,0eee 00 kk e e是X 中的唯一极大元素。 设。显然 20c 2F g :,spanW CG 是 G的一个理想， G上的 Verma模 由一个真子 模 满足商模 1 ,,,0Vc V 1 ,,,0Ug c 1 ,gV 1 ,, ,0, ,0U c Vc 是广义 Virasoro代数 Vir[G]: = 1 , F s pan L CGG g 上的单的Verma 模，它的不可约性已经由文献[3]完全解决。因此上面 的定理实际上由 G上的所有 Verma模决定。 假设 。令使得 20cyG 0 11121 ,,, k xGey xexxxxX 0 k * 。 则。对于某些 ， 11111 00 10 ,, ,, :kk k eyxxey xxzz xxG uLuaLWWvaWWv aF 其中 满足 00 212 1 ,,, ,0 kk zz zzzzz 0 03 1,2, ,, ,,, ik zik eeey 2 。 i) 若 02 1, 2,,241 i zi kc ，则 1 000 k ZZ fvLL uUGu ，其中 02* 2 1 1 21 12 k ii i f zzca F ii) 若存在某个20 24 1,1 i zci k。假设 0 1, ik z z kkki 。否则我们仅需循环下面的证 明即可。令 21 1 00 13 12 1 1 :2 12 ikk i i zzznnn zzz n wLLLuazz zcWWWv 0 其中 。取 * aF x G 满足 。则 0 , ik zxzikk 01 1 0 132 1 1 :22 12 iki i zxinnnzk zzx n wLwazxzzzcWWWWv 0 和 00 11 2 ,,, 241 kk i zzzxuc 。如果我们取 u 为w ，则问题变成情形 i)。因此在任意情况下都有 0 vU Gu，所以 是不可约的。 12 ,,,Vcc 假设 G的序“ ”是离散的带有一个极小正元素 。则 。对于任意的aaG x G，若 x na对于任意的 ，则 n x a 。令 :GxGxZa ，GG ，0 GZa 。易得 0 GGG G 。群 的离散序的最 简单的情况是，在这种情况下，的 Verma 模 G G ,cc0,0,V的不可约性由文献[7]给出。 定理 8 若，则 是可约的，且0c 0,0, ,Vc c 11 ULvUW v是 0,0, ,Vcc c 的一个真子模；Verma 模 ,,,Vc 是不可约的当且仅当对于任意的非零整数 ，都有n 3 112 12 nc 0 。 对于任意的 x G ，令 12 ,,,VccUx v是 12 ,,,Vcc 的由一个最高权 v生成的 x 子模。则 12 , 0cc,, a GV 。 Copyright © 2012 Hanspub 240  程永胜，陈河山 一类与 Virasoro 代数密切相关的W-型李代数的最高权表示 引理 9 作为一个 G模，有 11 11 12121 2 ,,,,, , 24 24 xxx xx VccVxcxcxcxc . 引理 10 设G的序“”是离散的带有一个极小正元素 。设a 12 ,, , a Vcc 是一个不可约的 a 模。 令 为中任意不为零的权向量。则 0 uFv 12 ,,,Vcc 12 0 ,,, 0 a VccUGu 。 证明 记对于某些 11 1111 11 ,,,,, 0,,,,, ,,, sk sk s sk lk sr xxyy xxyyxxyy xxyy xyGxya ub WWLLWWLL k v 11 11 ,,,,, * ,,,,, sk sk xxyy xxyy bF 。若 1 11 ,, ,,, 1,,,,, :,,0 xk sk xxyy kxxyy Jyyb ，令 1 11 ,, ,,, 1,,,,, 0: min0 xk sk xxyy xxyy yyb ，则存在某个 满足 m 11 11 11 ,, ,,,,, ,,, 1,,,,, ,,,,, 00 xk xk sk sk xxyy xxyy l xxyy xxyy ybxb l , , 其中 0 y ma 。令 1 11 ,,,,, 0,,,,, max 0 xk sk xxyy xxyy nkb ，根据引理6，则有 1 0 111 11 ,, 0,,, ,, ,, :0 s ssk sk lsr xx nxxxxyy xxyy xGxy a uWubW WW WLLv 对于某个 。， 自然地有 1 11 ,, * ,,,,, s sk xx xxyy b FJ 0 u u 的形式。令 1 11 ,, 1,,,,, :,,0, s sk xx sxxyy Qxxbst ，其中 1 11 ,, ,,,,, min 0 s sk xx xxyy tsb 。若t = 0，因为 u 12 ,e 是一个权向量，定理显然成立。设，则Q。我们再一次 象(4.4)一样在 上定义整序“”。ee ，为Q中的唯一的极小元素。对于 1t t Q 1 2 :, ,0 t eeee e m ， 令 111 ',, , :ss lir mxxxx xGxyasm V FWWWWLL k yy v 则 1 111 11 ' ,, 1 ,,,,, ,, , mod s ssk sk lir xx xxxxyy t xxyy xGxyasm ubWWWWLLv V. 于是 11 1 '111 11 11 1 ,, ,,,,, ,,1 1: mod sssk sk s l ij xx axx yyt xxyy ea xx xG xy ast uLub WWWWWLLvV 其中 。定义 1 1 11 ,, * ,,,,, s s sk xx xxyy bF 12,, t eee 11 1 11 , 111 1,,,,, ,, 0 s sk xx sxxyy xb Qx ， 。由假设和 G的李括号关 系有，因此。而且 是中唯一的极小元素。 1 1 11 ,, ,,,,,0 s s sk xx xxyy b 1 Q 1 e 1 Q 对于 ，我们可以类似的定义和利用归纳证明： 2,3, ,nt 1 i) 令。则对于某个 : n ea unLun 11 1 11 ,, ,,,,,0 s sk xx xxyy b ，有 1 11 11 1 1 , 1 ,,,,, , ,, mod nn snn sk sk n l ij xx axxyytn xxyy x x xG xy Zastn usbWWWWW LLvV . ii) 令 1 :,, nnt eee 1 11 ,, 1,,,,, :,,0 nn s sk nnn xx sxxyy xb Qx ，而且 为中的唯一的极小元素。令 n Qnt 且记 是一个权向量，则 tu 0 0 a tUGuV cc u12 ,,,，这是(4.7)所需要的。 定理 11 令12 ,,,cc F 。相对于 的带有极小正元素G 的离散序“ ”，Verma 模 是一个 不可约的 12 ,,,Vcc G模当且仅当V(cf. (4.6))是一个不可约的 ,, c 12 ,c a a 模。 Copyright © 2012 Hanspub 241  程永胜，陈河山 一类与 Virasoro 代数密切相关的W-型李代数的最高权表示 Copyright © 2012 Hanspub 242 证明：设序“”是离散的。因为 12 12 () ,,, ,,, a UaG VccUGV cc ，因此 G 模 的不可约性可推出 12 ,,,Vcc a模 12 ,, , a Vcc 的不可约性。相反地，由引理10， G模 12 ,,,ccV 的不可约性可以立刻得到。 至此，定理 7，8，11完整地刻画了 G的Verma 模 12 ,,,Vcc 的不可约性，不管群 G全序是离散的或 是浓的。 参考文献 (References) [1] T. Arakawa. Representation theory of W-algebras. Inventiones Mathematicae, 2007, 169(2): 219-320. [2] Y. Cheng, Y. Su. Generalized verma module over some Block algebras. Frontiers of Mathematics in China, 2008, 3(1): 37-47. [3] B. Feigin, D. Fuchs. Verma modules over the virasoro algebra. Lecture Notes in Mathematics, 1984, 1060: 230-245. [4] J. Hu, W. Wang and K. Zhao. Verma modules over generalized Virasoro algebras Vir[G]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2003, 177(1): 61-69. [5] V. G. Kac, M. Wakimoto. On rational of W-algebras. Transformation Groups, 2008, 13(3-4): 671-713. [6] W. Zhang, C. Dong. 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