Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 243-248 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24037 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Self-Dual Permutation Codes over  F vF 22 Guanghui Zhang School of Mathematical Sciences, Luoyang Normal University, Luoyang Email: zgh09@yahoo.com.cn Received: Jul. 25th, 2012; revised: Aug. 11th, 2012; accepted: Aug. 26th, 2012 Abstract: Self-dual permutation codes over 22 F vF  are studied in this paper. The relationship of the exis- tence of self-dual permutation codes over 22 F vF  and the existence of self-dual permutation codes over the binary field 2 F are obtained. Finally, a necessary and sufficient condition and a sufficient condition for the existence of self-dual permutation codes over 22 F vF  are given under some group theoretical conditions. Keywords: 22 F vF; Self-Dual Permutation Code; Gray Map 环上的自对偶置换码 FvF 22 张光辉 洛阳师范学院数学科学学院，洛阳 Email: zgh09@yahoo.com.cn 收稿日期：2012 年7月25日；修回日期：2012 年8月11日；录用日期：2012年8月26 日 摘 要：利用 Gray映射，研究了环 22 F vF上的自对偶置换码，把环22 F vF  上自对偶置换码的研究归 结到二元域上自对偶置换码的研究。依据群论条件，给出了环 22 F vF  上自对偶置换码存在的一个充要 条件和一个充分条件。 关键词： 22 F vF；自对偶置换码；Gray映射 1. 引言 群码是一类非常重要的码。设 R是一个交换环，G是一个 n阶有限群，群代数 RG 的一个 子模 C称为 环R上一个长为 n的线性码；如果线性码 C是群代数RG 的一个左理想，就称C是一个群码。循环码就是群码， 此时 G是一个循环群；Reed-Muller 码也是群码，此时 G是一个初等交换 R P  群[1]。所以群码很早就是一个重 要的研究对象，见[2]。而群代数 RG 自然地被附带一个非退化的G  不变的对称双线性型，对于这个双线性型， 可以定义线性码 C的对偶码 。如果 CCC  ，我们称线性码 C是自对偶的。因此可以考虑一个自然的问题： R和G满足什么条件时，RG 中存在或不存在自对偶的群码？Hughes 在[3]中考虑了有限交换群的情形；Willems 在[4]中探讨了 Galois 环的情形，给出了Galois 环上群代数 RG 中存在自对偶群码的一个充分必要条件，特别地 对于奇阶群G，RG 中不存在自对偶群码。因此对于奇阶群，Martinez-Pérez 和Willems 在[5]和[6]中研究了自对 偶的扩展群码的存在性条件。 群码的自然推广是置换码。所谓置换码就是群代数上的置换模的一个子模。同样在置换模中也自然地被赋 予一个非退化的对称双线性型，因此可以考虑自对偶的置换码。Fan 和Yuan 在[7]中首次提出了置换码的概念， 并且给出了有限域上自对偶的传递置换码的一些存在性和不存在性条件；Fan 和Zhang 在[8]中探讨了有限域上 Copyright © 2012 Hanspub 243 张光辉  环F2 + vF2上的自对偶置换码 自对偶的扩展的传递置换码，给出了一个有限域上自对偶的扩展的传递置换码的存在性条件，这是一个数论条 件。与群码不同的是，我们可以举例说明这个数论条件是充分非必要的，这一点也恰说明了置换码是群码的一 种真正意义上的推广；在[9]中Fan 和Jin 研究了半单的对称模的正交不可分解性，并把它用于探讨自对偶的置 换码，由此说明对称模和双曲模理论(详细内容参看[10]和[11])可用于群码和置换码的研究。进一步，Yuan 在[12] 中研究了有限链环上的自对偶的传递置换码，得到了有限链环上的自对偶的传递置换码的存在性条件。这样我 们的研究兴趣在于探讨其它有限交换环上的自对偶置换码的存在性条件和不存在性条件。 文献[13]证明了某些高效的二元非线性码，如 Kerdock码、Delsarte-Goethals 码可以看做是 4 Z -线性码的 Gray 像，这使得有限交换环上的码受到广泛关注，从而环上码的研究成为编码理论研究的一个新的方向。我们知道， 除了 4 Z 和四元域 4 F 之外，还有两个四元素环：   22 0,1, ,1 F uFu u  ，这里20u  ；  22 0,1, ,1 F vFv v ，这 里。与前三个不一样的是， 2 vv22 F vF不是链环，所以我们不能把环 22 F vF  上的置换码的研究提升到一个 剩余类域上去。我们这里采用的研究方法是通过 Gray映射来探讨环 22 F vF  上的自对偶置换码，把环22 F vF  上 的自对偶置换码的存在性问题研究归结到二元域上的情形。 2. 预备知识 设  22 0,1, ,1 F vFv v ，这里 。易知，环 2 vv22 F vF  等同于商环   2 2 F vvv；它是一个半局部环， 仅有的两个极大理想是v和1v。环 22 F vF中的每一个元素均可以表示成cavb  的形式，这里2 ,ab F  。 下面设 R是一个有单位元的有限交换环。环上长为 的线性码就是的一个子模，这里 RnCn RR    12 ,,, nni RxxxxR。对任意的  12 ,,, n x xx x，   12 ,,, n n yyyy R，我们定义, x y的内积如下： 112 2 ,nn x yxyxy xy . 如果 C是环 R上长为 n的线性码，那么定义   ,0, n CxRxc cC  , 易知也是环 上长为的线性码，称之为 的对偶码。如果CCRnCC  ，称线性码 C是自正交的；如果 CC  ， 称线性码 是自对偶的。[14]证明了对有限Frobenius 环上的任一线性码C，均有 CR n CC R . 仍设 是一个有单位元的交换环，G是一个有限群，R X 是一个有限 G  集，即 X 是有限集，并且在 X 上有 一个 作用，也就是说存在一个 G   ,,GX Xsxsx 的映射，满足条件：   s txstx；1 x x，,; s tG   x X。对每个 x X,   gx|G x x Gg是G的子群，称作点 x 的稳定子群。设  R xx xX ax a  RX  是一 个基为 X 的自由模，通过线性延拓 G在R X 上的作用， RX 成为一个 RG  模，称之为 RG 置换模。如果 C 是的一个子模，我们就称C是的一个置换码；如果X是一个有限的传递 集，那么此时置换码 就是传递的。显然，群码是置换码，此时  RXRG RX G X G  ，G在X上的作用是一个左正则作用。但是置换码不一定是群 码，例如 循环码就是置换码，但不是群码，这里 ，见[7]。 m2m 自由 模 自然地附带一个非退化的对称双线性型RRX ,  ： ,,, xxxx xx xX xXxXxX xX ax bxabax bxRX      . 我们称之为 上的标准内积。对任意的RX s G；, xx xX xX aaxbbxR  X  ，我们有   ,, , xx xxxx xXxXxX xXxX , s asbsaxsbxa sxb sxabab          , Copyright © 2012 Hanspub 244 张光辉  环F2 + vF2上的自对偶置换码 即得 上的标准内积是RX G  不变的： ,,,;, s asbabsGabRX . 在 中可以如下方式定义乘法，使之成为一个环： RX  ,, xxxx xx xXxXxXxX xX axbxab xaxbxRX          . 设 是的一个置换码，定义CRX  ,0,RXaccC  Ca 。任取 s G  ， ，c，根据内积的 不变性，得到 cC  C G 11 ,, ,scc scssc csc    0   . 所以 s cC  ，因此 也是一个置换码，称之为 的对偶码。如果CCCC  ，称置换码C是自正交的；如果 ，称置换码 是自对偶的。 CC  C 3. 主要结果 以后总假设 ，这里  22 0,1, ,1RFvFv v 2 vv  ； 是一个有限群；G X 是一个有限 集，G X n  。既 然是一个有单位元的交换环，那么 具有维数不变性，所以作为自由 R R R  模，同构于 。因此的一 个子模可视为一个环上长为 的线性码。 RX n RRX RRn 首先构造一个环 到环 R22 F F的一个Gray 映射  如下： ()(,)caab   ，这里 ，，这 样cavb 2 ,ab F  是一个环同构。利用 Gray映射  ，我们可以构造一个如下的自然的环同构：  22 ,, xxxx xXxX xX RXFX FXaxrxrq x        , 其中 x xx arvq ， 。仍记这个环同构为 2 ,, xx rqFx X  。显然  由下面两个自然的环同构合成而得：    22 :,, xxx xX xX RXFFXaxrrqx     x   , 其中 x xx arvq ， ； 2 ,, xx rqFx X   222 2 :,, xxx x xXxX xX , F FXFXFXa b xaxbx        , 所以   是一个环同构，且    ,, g aga aRXgG    , 即  是 同态的。 G 设22 F XFX到第一个 2 F X的典范投射为 ，到第二个 1 π2 F X的典范投射为 。记 2 π π ii   ， 。 1, 2i 设 是 12 ,CC 2 F X中的两个置换码，记        11 121212 ,, ii CCRTCCCCccc Ci    ,1,2, 称 为置换码的中国积。 C12 ,CC 在22 F XFX上定义内积[,如下：任取]   12 ,aaa，   12 22 ,bbb FXFX，     112 2 11 ,,,,ababab, 其中 1 ,是2 F X上的内积。 引理 1 符号如上。设 ，则 ,ab RX Copyright © 2012 Hanspub 245 张光辉  环F2 + vF2上的自对偶置换码       ,,aba b      . 证明：设 ，，则  xx xX arvq   x  xx xX bsvpxR   X      , x xxxxxxx xxxx xXxX xX abrvqsvprs vrpqspq     . 故   ,, , xxxxxxxxxxxxxxxx xX xX abrsrs rp qspqrsrq sp            x    . 又     ,, , xxxx xx xX xX arxrqxbsxsp        , 故     ,, xxxx xx xX abrsrqspab          ,. 引理 2 符号如上。设是 12 ,CC 2 F X中的任意两个置换码，   12 ,CCRTCC，则 是 中自正交的置换码 当且仅当 是 CRX 12 ,CC 2 F X中两个自正交的置换码。 证明：由 的同态性，易证 是中的置换码当且仅当是 1,,1,2 ii  GCRX 12 ,CC 2 F X中置换码。首先设C 是 中自正交的置换码。任取，RX  xx xX arvq   x   xx xX bsvp  x  C  ，则有        0, x xxxxxxx xxxx xXxX xX abrvqsvprs vrpqspq     , 即得    0; 0 xxx xxxxx xX xX rsrp qspq      . 因此    11 ,, xx xx xX xXxX abrxsx rs   0    ;       22 ,, 0  x xxx xxx xX xXxX xxxxxxxx xX xX abrqxspx rqsp rsrpqspq           x C , 由此可得 ，均是自正交的。  11 CC    22 C   再设是F2X中两个自正交的置换码。任取 12 ,CC   xx xX arvq  x  ，   xx xX bsvpx  C    ，则有     ,, , xxxx xx xX xX arxrqxbsxsp         x    , 进而得        1122 11 ,, ,,, xxxxxx xX abrsrqspa bab     0         . 由引理 1知  ,ab  0。而  是双射，所以,0ab  ，,ab C  ，即得 是中自正交的置换码。 CRX Copyright © 2012 Hanspub 246 张光辉  环F2 + vF2上的自对偶置换码 引理 3 符号如上。设是 12 ,CC 2 F X中的任意两个置换码，   12 ,CCRTCC，则 是 中自对偶的置换码 当且仅当 是 CRX 12 ,CC 2 F X中两个自对偶的置换码。 证明：首先设 是 12 ,CC 2 F X中两个自对偶的置换码，则对于每个12i  ，都有2 i Cii CC  22 nn F。 既然是 Frobenius 环，则有 2 RF F 24 nn CC R   ；又 12 CCC，因此 222 12 4n CCCCC  ， 由此可得 CC  。再根据引理2，有CC  。因此 CC  ，即 C是 中自对偶的置换码。 RX 再设 是中自对偶的置换码，那么可视 C是环上的长为 的自对偶的线性码。既然是Frobenius 环，则有 CRX RnR 24 nn CCCR   2。根据引理 2，对于每个1i  ，我们有 C i C i  ，所以 2 22 nn CCCF   ii i。 因此 222 12 44 n nn RCCC ，这表明对于每个12i  ，都有 2 2 n CF2n i  ；进而可得ii CC  ，1, 2i  。 这样就得到，，即 是 ii CC  1, 2i12 ,CC 2 F X中两个自对偶的置换码。 定理 4 中存在自对偶的置换码当且仅当RX 2 F X中存在自对偶的置换码。 证明：由引理 3即得。 引理 5([7]，命题 2)设有限域 F 的特征为 2； X 是一个有限的传递 G  集； x X  。若 有一个子群G H 满足 x H G且|:，则|2 x HG F X中含有自对偶的置换码。 定理 6 设 X 是一个有限的传递 集；G x X  。若 G有一个子群 H 满足 x H G  且|:，则 中 含有自对偶的置换码。 |2 x HGRX 证明：由定理 4和引理 5可得。 引理 7 ([7]，定理 1)设 F 是一个有限域；GTS  ，这里 是一个有限 T2  群， 是一个有限的S2   群； X 是一个有限的传递 集，则G F X中存在自对偶的置换码当且仅当域 F 的特征和 X 均为偶数。 定理 8 设GT ，这里T是一个有限S 2  群， 是一个有限的S2   群； X 是一个有限的传递 G集，则 中存在自对偶的置换码当且仅当 RX X 为偶数。 证明：由定理 4和引理 7可得。 4. 例子 例：设 是一个有限群，G X 是一个有限的传递 G  集， x X  ；G有一个子群 H 满足 x H G，|: |2 x HG  ， 。设 |: |GH2 x x H GhG， x hHG ，2 x hG ；GHsH  ， s GH  ，2 s H。再令 ，那 么  ,Yxhx  ,,,  X YsYxhxsx shx。则中的一个自对偶置换码 为 RX C     CRxhx Rsxshx. 下面我们分步证明   CRxhx Rsxshx   是 中的自对偶置换码。 RX 1) 是模 的子模，即  Rx hxRH RY   Rx hx是 H  不变的。任取 x x hHGhG   ，这里 2 x hG。若 x hG ，则 x x Ghh h hG，所以 h；若  xhx hh  x hxhxx   x hhG   ，注意到 x x hGGh，2 x hG，则 2 x xx Ghh h GhhG ，所以有 。因此  x hxhhx hhx  hx x     hxRx是 H  不变的。 2) 是G不变的。注意到  CRxhx Rsxshx           CR xhxR sxshxR xhxsR xhx   . 任取 g GHsH ，2 s H。若 g H，则 g sHssH  。既然   Rx hx是 H  不变的，那么 g CC；若 g sH，则 2 g ssHs HsH，因此仍有 g CC。故     shxCRx xhxRs是 不变的。 G 3) 是自正交的。任取  CRxhx Rsxshx       12 arxhxrsxshx ，     12 bqxhx qsxshx， 这里 ，则 12 1 2 ,,,rrqq R 11112 222112 2 ,2a brqrqrqrqrqrq20. 所以     CRxhx Rsxshx是自正交的。 Copyright © 2012 Hanspub 247 张光辉  环F2 + vF2上的自对偶置换码 Copyright © 2012 Hanspub 248  4) 是自对偶的。因为  CRxhx Rsxshx2 4C  ，44 4CC R   ，所以 2 4CC ，因此 ，即得 是自对偶的。证毕。 CC    CRxhx Rs  xshx 参考文献 (References) [1] P. 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