非线性抛物方程古典解的一个先验估计 A Priori Estimates for Classical Solutions of Fully Non-linear Parabolic Equations

doi:10.12677/PM.2012.24038

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 249-255

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24038 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

A Priori Estimates for Classical Solutions of Fully

Nonlinear Parabolic Equations*

Yi Cao, Zhiguo Wang

College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an

Email: caoyi@snnu.edu.cn

Received: Aug. 14th, 2012; revised: Aug. 29th, 2 012 ; acc ep ted : Sep . 7th, 2012

Abstract: For the fully nonlinear uniformly parabolic equations





uFDu



, it is well known that the

viscosity solutions are of 2,



if the nonlinear operators are convex (or concave). In this paper, we study the

classical solution for the fully nonlinear parabolic equations, where the nonlinear operators F is local 1,



almost everywhere for 01





. It will be shown the interior 2,



regularity of the classical solutions pro-

vided there exists a function ρ that is a continuous modulus of second order derivatives of the classical solu-

tion.

Keywords: Nonlinear; Uniformly Parabolic; Classical Solutions

非线性抛物方程古典解的一个先验估计*

曹毅，王治国

陕西师范大学数学与信息科学学院，西安

Email: caoyi@snnu.edu.cn

收稿日期：2012 年8月14 日；修回日期：2012 年8月29 日；录用日期：2012 年9月7日

摘要：给定常数 01



，假定非线性算子 F几乎处处是局部 1,



的，本文研究了完全非线性抛物

方程的古典解的性质。如果上述方程的古典解的二阶导数有一个连续模 ρ，

证明了其解

的一个内部



uFDu

0



估计，这里 α是一个仅依赖于非线性算子 F的常数。

关键词：完全非线性；一致抛物；古典解

1. 引言

本文中我们用记号 n

表示所有 n阶对称矩阵的集合， n



NS，并且表示 N是非负定的对称矩阵。0N

表示向量，



,,DuDu 



D u

u表示矩阵，表示

Du t

uut



。考虑下面的完全非线性一致抛物方程：







Du . (1.1)

本文中我们假定非线性算子 F是一致椭圆的，即存在两个正常数 0





，使得：对任意的，

有下式成立：

MN NS0









NFMNFM N



 . (1.2)

如果 F是凸的，在文献[1]中，王立河给出了方程(1.1)的粘性解 u的内部 2,



估计：

*资助项目：国家自然科学基金资助的项目(NSFC)：11126201。

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计







2, 121 1,

CQ LQ

uCu









这里 ,C



都是仅依赖于非线性算子 F和维数 n的常数。在椭圆方程的情形中，类似的结论首先被 Evans 证明，

后来 Caffarelli化简了该证明。在上述证明中 F的凸性假定是本质的(见[2,3])。本文中我们去掉了凸性假定，仅

假设 F几乎处处是局部1,



的，即对于任意 n

中的有界集合 D, F是几乎处处可微的，并存在常数 K使得

 



1,FMFNtrFNMNKMN







  (1.3) ,MND

(这里



表示矩阵 A的迹)。特别的，我们指出，如果 F是凸的，那么由 Alexandroff-Buselman-Feller 定理([3,4])，

F是几乎处处局部的。在文献[4]中，作者对于椭圆方程得出了与本文类似的结论。

1,1

我们将在文中使用下面这些记号：表示中以点 x为中心，r为半径的开球，并记。



Bx n



BB





Qxt

表示中的开圆柱

R





Bx tr



,tr，





,Qxt

表示





Qxt的抛物边界，并记





0,0

QQ，

。表示集合



t



,DxQ Qxt



中半径为 r的开球， E表示集合 E的测度，表示向量 x的转置，

表示 u在集合 D上的积分平均值，osc 表示 u在集合 D上的振幅，即

 

,

osc sup

DxyD

xuy。下面给出

本文的主要定理：

定理 1.1 假定 0



，F是几乎处处是局部1,



的，且





uCQ是方程(1.1)的古典解(1



)，如果

存在单增的连续函数满足









:0, 0,



 





lim 0







，并且 u的二阶导数满足















srsr

tx tx

DDuXDDuYXY











(1.4)

其中，22sr







表示两点间的抛物距离；则存在仅依赖于 ,,n





的一致常数 01



使得





2, 12

uC Q



，

且

 

2, 1,1

12 34

CQ CQ

uCu



 (1.5)

这里常数 C仅依赖于,,n



和函数



。

本文的结构安排如下：在第二部分我们说明 Holder 连续性可以被

L范数所刻画，在第三部分我们通过迭代

的方法证明定理 1.1。

2. Holder连续

我们用





t表示时空 1n



中的点，这里 x是n维的，我们也将 1n



中的点记作



xt。中任意两

R

点X和Y之间的抛物距离定义为







,max ,

xyxy tt





。设函数 u定义在中的开圆柱体

R1

Q上，



0，如果存在常数 C使得













1,,

,: sup,

XY Q XY

ux uy

uQ C











，我们称 u是的；如果存在常数 C

使得，则称 u是







DDu C









22rs





2, 1



的。这是Holder连续一般的定义，这里u是连续性被它的 L



范数

刻画，而下面的定理说明 Holder 连续也能被

L范数刻画，这里。 1p

引理 2.1[5,6] 假定





uLQ，，如果存在常数1p01





和使得对任意的0A1

Q和任意的，

都有

0r



uu Ar





, (2.1)

则



uCQ



，并且





uCA



; (2.2)

250

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计



的常数。(注意这里

 



,rrx

Dx D

DxQ Qxuu





)。其中是仅依赖于 n和

推论 2.2 假定，，如果存在常数



uLQ1p01



，01



和使得对任意的



0A12

Q和任意的

存在常数满足

1, 2,,m,Xm

 

0,0

pmp

QmX

rmX

ua Ar





 (2.3)

则



uCQ







，并且



uCrA







， (2.4)

其中仅依赖于

C,n



和



u的常数。

证明：只需证存在常数代替使(2.1)对任意的

10A0A12

Q及成立，这样由(2.2)式即得(2.4) 0r

式。当且

rr



upQ

AQr





时，(2.1)显然成立，我们只需证 0



的情况。

如果，那么(因为

rr

 

DxQx



012r



，12

Q)。选择 m满足 10

rrr

m



，容易看出



rrr

Xm XmXm

Qx Qx Qx

u auaua

QX Qx



 







那么



 



11 1

r r

rr r

ppp

Xm XmXm

Qx Qx

Qx QxQx

rr r

uuuau aua

Qx QxQx



 





 







(2.5)

由





及(2.3)，得到



11 2

,,0

11 X

pp n

amp a

ampp a

QXm Xm

XQX n

QAr

uauaArArr

QX QXQX









 





 

 



 



 



 0

选择 10

npa

AAr



，结合(2.5)即得(2.1)。于是，令



max ,2

LQ Pnpa





















，则对任意的 12

Q

和任意的，(2.3)(2.4)成立。 0r

3. 主要定理的证明

在证明主要定理之前，我们先证明下面的引理。

引理 3.1 假定是方程(1.1)的解，且对所有的



uCQ2



，F满足(1.3)。设 u的二阶导数在区域

中满足



DDuX2

tx ，其中；则存在仅依赖于2sr,,,,nK







的正常数 0





和仅依赖于 ,,n





正常

数0

014



 ，使得：如果

OSC sr

Qtx

DDu





(3.1)

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计

并且存在常数 0



 和对称矩阵，(这里



BM2



B表示 1n



中以 2半径的开球)，满足







111

M 









MMS



122

Qtx

DDu

;











M (3.2)

则存在一个对称矩阵





BM2

，并满足







211

M 









MMS



Qtx

DDu

















M

(3.3)

证明：由(3.2)及F在集合是几乎处处局部可微的，我们可选择





M使



Qtx

DDu











M



(3.4)

并且 F在处可微，我们记。由(1.2)可知



1ij n









ij nn



I



 (3.5)

我们说





sup 3

DDuX0



M. (3.6)

我们用反正法来证明(3.6)，假定(3.6)错误，由(3.1)得：对所有 1



，





DDuX0



M，这与(3.4)矛盾。

设



Pxt mtxxM，



xt R



，由 Poincare’s 不等式，存在仅依赖维数 n的常数 C使得

 







12 1212

11 11

QQ LQ

LQ rs

uPDuPxuPCDDu

 u





 







M.

令是下面线性方程的解：



 

12 12

11 1

0in

tijij

haDhQ

huPDuPx uPQ











12

这里方程的系数







1ij nn



M，显然它是满足(3.5)的常数矩阵。由经典Schauder 估计，可知对任意常数



，我们有



 







2,1 2

2,1

12 12

14 1

11 11

,22

sr sr

tu xtu

QLQ

WQ rs

DDhChCuP DuPxuPCDDu











 





 

M;

其中 C是仅依赖于 n，



，



和



的常数。结合(3.4)，得到：

,ˆ

tu Q

DDh C









 , (3.7)

其中仅依赖于，



，和



。令 12



，取

011

min ,ˆ

42C

























. (3.8)

那么对任意的 0



，

 

1/4 00

sr srsr

tututu Q

DDhXDDhDDhC









 







. (3.9)

252

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计

设





















ij ijij

XFDuXFMaDuXm (3.10)

结合(1.3)，我们有

 

211

XKDuXM XQ







.

又由(3.4)及(3.6)，



211

21 2

1011

Qx Qx

fKDuM KDMKQ













(3.11)

令



2,1

212

vW Q



是下面线性方程的弱解：

in ;

0on

tijij

vaDvf Q











.

则存在依赖于 ,,n



的常数 C使得：

 



2,1 2

12 12

210

WQ LQ

vCf QCK







于是我们可以选择合适的常数 0



使

Qtx

DDv















, (3.12)

其中 0



由(3.8)给定。

令是下面的线性方程的弱解：



221 1

in ;

0on

tijij

DPa D PFmQ











因为是常数矩阵，所以是二阶多项式，即属于集合



ij nn



DDP 1n



。

设

 

12 12

121 1xQQ

wPPvhDuPxuP，那么





tij ijij ijtij ij

waDwam FfuaDu Q M2

又由 12 12



，在区域 12

Q中，并且 wu



12 in

sr 12

rsrsr sr

txtxtxtx tx

DDuDDPDDv DDhQ M

w DD.

设







21 20

sr sr

tx tx

DDP DDh MM ，那么对任意的 0





，





  

200

srsrsr srsrsr sr

txtxtxtxtxtxtx

DDu XDDv XDDhXDDhDDv XDDhXDDh M.

对上式两边在 0



上积分，结合(3.9)和(3.12)，得(3.3)。再由





12 1

DD QB和0





，得





BM。

推论 3.2 设引理 3.1 中的假设都成立， 0



和0



也由引理 3.1 给定。如果(3.1)成立并且存在对称矩阵



BM

满足





1ln1 2

2ln

1sr

Qtx

DDu













M (3.13)

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计

其中 22sr；那么



2, 12

uC Q







，这里





ln1 2





，并有



10 0











 (3.14)

其中 C1是推论(2.2)中给定的常数。

证明：由推论 2.2，我们只需证对任意的 012

, 1,2,XQk，存在对称矩阵



0, 2

XBM，满足







2ln1 2

2ln

sr X

QXDDu

















M



(3.15)

我们用数学归纳法来证明(3.15)。首先当 k = 1时，因为





QX Q



1

，取



0,1 1XMM，由(3.13)既得(3.15)。

假设 k = m时(3.15)成立，并有。当



0, 2

XBM1km



时，对于









xtQ X



 ，设







00 0 0

yxxx y

yxxt tttt

,ux y22m

vyt









 



，则





yt Q



。因为

 

sr sr

tx tx

DDuXDDvY，于是将 u换成 v，(3.1)也成立，并且





vFDv



，由归纳假设得存在矩阵



0, 2

XBM

满足









0, 0,

12ln1 2

00 0

m m

sr sr

Qtx tx

DDv DDu

QQX

























MM,

我们指出这里



ln1 2

012



。

由引理 3.1，存在



0, 12

M矩阵使得





0,1

1ln 1 2

2ln

sr X

Qtx

DDv

















M,

即







0,1

2ln1 2

2ln

sr X

DDu

















M.

因此，当时，(3.15)成立。

km

定理 1.1 的证明由不妨设



uCQ



34 1

u



令集合





DDDuQ其中 22sr。因为

DDu连

续，则 D是中的有界集。由 F是几乎处处局部

S1,



的，则存在常数 K，使(1.3)成立。设 0



和0



由引理(3.1)

给定(注意 0



和0



仅依赖于 ,,,,nK





)，对任意的012



，取足够小，使得

r034

QQ，



 

0000

sr sr

tx txrx

DDuXDDuXXQX

 







, (3.16)

于是有



12 ln1 2

2ln

sr sr

tx tx

DDuDDu XQ





















. (3.17)

254

曹毅，王治国  非线性抛物方程古典解的一个先验估计



对于

 

xtQ X ，设



yxxr ，





xx X

tttr ，







00 0

XxXyX

vytuxrytr tr ，

则。当时，显然有



yt 1

Q1

YQ







sr sr

tx tx

DDvYDDu X，于是 v是方程(1.1)的解。由(3 .16)、( 3.17)易得引理

3.1 的所有条件，(3.1)和(3.13)都对 v成立，所以由推论 3.4 得：





2, 12

vC Q



，这里



ln1 2





，并且有



2, 1,1

12 34

CQ CQ

vCv







;

其中只依赖于

C,n



。即



2, 20

uC QX



，并且



2, 1,1

/203 4

CQ XCQ

uCru









.

因为 0

是任意的， 12

Q被N个半径为的球覆盖，其中 N只依赖于，n和



，证毕。

4. 致谢

本文衷心感谢国家自然科学基金的资助以及审稿人的帮助。

参考文献 (References)

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