 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 256-262 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24039 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Primitively Decomposable rpp Semigroups* Xiaowei Qiu, Xiaojiang Guo, Junqi Wang, Xia Wu Department of Mathematics, Jiangxi Normal University, Nanchang Email: fengliangyushui@163.com Received: Aug. 13th, 2012; revised: Aug. 27th, 2012; accepted: Sep. 6th, 2012 Abstract: Completely 0-simple semigroup is a very important class of regular semigroups, and it’s also the basis for the structure of regular semigroups. Primitively decomposable rpp semigroups are generalizations of completely 0-simple semigroups in the range of rpp semigroups. In this paper, the author studied primitively decomposable rpp semigroups, gave some characterizations for these semigroups and proved that a semigroup S was primitively decomposable rpp semigroup if and only if it was a homomorphic image of Rees matrix semigroup over a left cancellative monoid satisfying some conditions. In addition, some special primitively decomposable rpp semigroups were considered and discussed. Keywords: Primitively Decomposable; rpp Semigroups; Rees Matrix Semigroups 本原可分 rpp 半群* 邱小伟，郭小江，王军旗，吴 瑕 江西师范大学，数学与信息科学学院，南昌 Email: fengliangyushui@163.com 收稿日期：2012 年8月13 日；修回日期：2012 年8月27 日；录用日期：2012 年9月6日 摘 要：完全 0-单半群是一类非常重要的正则半群，也是正则半群结构基础。本原可分 rpp 半群是完 全0-单半群在 rpp半群理论中推广。本文主要研究本原可分 rpp半群，给出了这类半群的若干特征， 并证明了：半群为本原可分 rpp 半群当且仅当它是满足一些条件的左消幺半群上的 Rees 矩阵半群的同 态像。此外，还研究了若干特类。 关键词：本原可分；rpp半群；Rees 矩阵半群 1. 引言 环上的全矩阵环是代数学中最为优美的代数结构之一。采用类似的构造方式，著名半群论学者 Rees 构造了 Rees 矩阵半群。众所周知，半群是完全 0-单半群当且仅当它同构于某个 0-群上的Rees矩阵半群。完全 0-单半 群是半群理论研究中的一类非常重要的半群。它的重要性在于：完全 0-单半群是本原正则半群的构件，而正则 半群均可以本原正则半群出发构作(见[1,2])。值得注意，完全 0-单半群有另一特征，即完全 0-单半群恰为可以 分解为具有 系同构性质的本原幂等元生成的左(右)理想并的正则半群。O. Steinfeld[3]从这一观点出发，对完 全0-单半群做了推广研究。 S 令为半群。称为rpp 半群，如果对于任意的S SaS ，作为 1 S 系是投射的。对偶地，定义 lpp半群。 Fountain[4]指出，半群为 rpp 半群当且仅当它的每个 1 aS * L 类都含幂等元。如[4]，称半群 S为富 足半群 (abundant semigroup)，如果它的每个 * L 类和每个类都含幂等元。等价地，半群为富足半群当且仅当它既为 rpp 半群， 又为 lpp 半群。 * *基金项目：国家自然科学基金(10961014)；江西省自然科学基金(2014BAB201009)；江西省教育厅科研项目助资(GJJ11388)。 Copyright © 2012 Hanspub 256  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 Fountain[4]发展了 steinfeld 的观点，定义了半群的本原可分的概念，并研究了本原可分富足半群，证明了： 半群为本原可分富足半群当且仅当它同构于消去幺半群附加零元上的 Rees 矩阵半群。基于此，完全0-单半群恰 为正则的本原可分富足半群。富足半群包含 rpp 半群和其对偶(lpp 半群)的双重特性。因此，研究本原可分 rpp 半群是很自然的问题，这是本文的主要目的。我们将会发现，本原可分 rpp 半群是完全 0-单半群和本原可分富 足半群在 rpp 半群理论中的公共推广。 2. 若干准备 文中的一些定义及符号参见文献[4,5]。首先，回忆一些关于关系 的已知结果，对偶结论关系成立。 * L* 引理 2.1[4,6] 令为半群，且，则下列各款等价： S,ab S 1) ； * aL b 2) 对于任意的 1 ,, x yS axbxby； 3) 存在 系同构满足 a 1 S11 :aS bS b 。 引理 2.2[6] 令为半群，且，则下列各款等价： S2 ,ae eS 1) ； * aL e 2) 且对于任意的 aae 1 ,, x yS axayexey . 众所周知，是 S上的右同余，是 上的左同余。一般地，且 * L* S* LL* 。但当是 的正则元时， 当且仅当 。为方便起见，用 ,ab S * aL b aL b ** aa LR分别表示包含 的a* L 类(* 类)。记 的幂等元构成的集 合为，为与具有关系的幂等元， a S ES * a a * L 为与 a 具有 * 关系的幂等元。 如[4]，S的左理想 I 称为左*理想，如果对于任意的aI 都有 。对偶地，定义右*理想。 S的理 想既为左*理想，又为右* * a LI 理想，则称之为的S* 理想。对于S的任意元 a，我们称含 a的最小的(左；右)* 理想为由 确定的主(左；右)理想，记为( a * La； Ra) J a。在[4]中，Fountain 指出： aL 当且仅当 ( )。注意到，若 ** b La L b Ra R b SeE ，则 是 的左*Se S 理想。事实上，若a，则Seaae ，于 是对任意的，由引理 2.1，知 ，即有，故是 的左* a LbbbeSe * a LSe Se S 理想。即 。 * Le Se 半群的左*理想S I 称为 极小左*理想，如果0 I 是 中所有非零左*S 理想关于集合包含关系的极小 者。对偶地，定义 极小右*理想。半群的非零幂等元 称为本原的(primitive)，如果对于任意的非零幂等 元 0 Se f , f e可推出 e。如果 的所有非零幂等元都是本原的，则称为本原半群(primitive semigroup)。 fS S 引理 2.3 令为含零元 0的rpp 半群。若S 0eES，则下列各款等价： 1) 是极小左 理想； Se 0* 2) 是本原幂等元。 e 证明 设 是1) 2)Se 0 极小左 理想。令* 0fES，且 f e ，则 f effe Se ，于是 。 引理 2.3之前的讨论告知，Sf 为左*理想，而是 0 Sf Se Se 极小左* 理想，于是Sf Se ，从 而，故eLf f ef e 。 因此 是本原幂等元。 e 2) 1)设是本原幂等元。令e I 为包含在 中的任一非零左Se * 理想，显然存在非零元 ，使得 。但为 rpp 半群，所以存在非零幂等元 aI I * La S f ,使得 f * L a 。不难知道， ** SfLfL aISe, 则 f Se，于是 f ef，从而 efES且efe 。由 e是本原幂等元，知 0ef 或ef ;若，则e0ef f ff 与矛盾，故 ef ，即 有。因 此0fef0feeLf Sf Se ，故 I Se 。这样，是 0极小左*理想。 □ Se Copyright © 2012 Hanspub 257  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 对偶地，我们有 引理 2.4 令为含零元 0的lpp 半群。若S 0eES，则下列各款等价： 1) 是极小右 理想； eS0* 2) 是本原幂等元。 e 基于引理 2.3 和引理 2.4，下面推论显然。 推论 2.5 令为含零元 0的富足半群。若S 0eES，则下列各款等价： 1) 是极小左 理想； Se 0* 2) 是本原幂等元； e 3) 是极小右 理想。 eS 0* 引理 2.6 令 为半群，且S f ES，则下列各款等价： 1) ； eDf 2) 是 系同构的； ,eSfs1 S 3) 是 系同构的。 ,Se Sf1 S 证明 设 ，则存在 ，满足1) 2)eD faSeaLf ，显然， a 为正则元，再据引理 2.1，有 (作为aS fs1 S 系)。另一方面， e可推出 eS 。故作为aaS1 S 系， eSfS 。 2) 1)设 为 到eS f S的 系同构，易知， 1 SefS 。而 f 是 f S的左单位元，进而 f ee 。另一方 面，存在 x eS，使得 f xex ex . 故。显 然 ， e e f 为正则元。当然， eS fS 。这 样 ， 是 到eS eS 的系同构，再据引理 2.1， 有从而 。因此 。 1 S e * Le eL eeDf 1) 3) 类似于1) 2) . □ 3. 本原可分 rpp 半群 如[4]，半群 称为左(右)本原可分的(primitively decomposable)，如果 可以表示为： S S ;Se ( ; i eS iI ) 其中所有 e 和 都是本原幂等元，所有都 i e i See S 1 S 系同构。而且，半群称为本原可分的，如果它既是左 本原可分的，又是右本原可分的。 S 本节将给出本原可分的 rpp 半群的结构定理。首先，给出本原可分 rpp 半群的一些性质。 引理 3.1 令为 rpp 半群。若 为(左；右)本原可分的，则为本原半群，且其幂等元都具有 D关系。 S SS 证明 令，由 是(左)本原可分的，知存在 eESS eES ， 满足eSe ，从而 Se Se 。而 e 是 本原的，由引理 2.3，知 Se Se 是极小左* 理想，再运用引理 2.3，可得 是本原幂等元。故为本原半群。 (若 是右本原可分的，则存在，i满足ee eS S eES iIiS ，于是 ， i e SeS i ee e 。从而 ，即得 E S i ee ii eee ， 由 是本原幂等元，知，故 。而若 i ei ei ee i ee f e ，则 i f feefeSe S ，类似地也可得 i f e。因此ef ， ，即证 是本原的)。 efefe 事实上，我们已经证明了：任意的 eES，存在 ,eES ，使得 Se Se 。这意味着， eLe 。注 意到，所有的是系同构，由引理 2.6知， Se 1 S e 具有 D关系，从而 S中幂等元都具有D关 系(S是右本原可分的情形可类似证明)。 □ 命题 3.2 令S为rpp 半群，则以下各款等价： 1) S为本原可分的； Copyright © 2012 Hanspub 258  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 2) S为右本原可分的。 证明 仅需证明， 。现设 S为右本原可分的。考虑到，S是rpp 半群，显然 2) 1) *; e SLeES. 由引理 3.1，知S是本原半群，进而 S的所有幂等元都是本原的，再据引理 2.3，是极小左*理想。由 引理 2.2，不难知道， ，于是 Se e LSe ;SSeeES. 另一方面，据引理 3.1，S中幂等元都具有 D关系，利用引理2.6，我们知道，所有 都 Se eES 1 S 系 同构的，这样，为左本原可分的。故S为本原可分的。 □ ;SSeeES 命题 3.3 令S为本原可分 rpp 半群，且 0eES，则 0Le Se。 证明 若 ，则，与 * 0e L00ee 0eES矛盾，故 * 0e L ，于是显然有 *0 e LSe。反之，令 0aSe， 注意到，Se 为的左*理想，而S * La是的含 的最小左*S a 理想，于是 * La Se。但 是0-极小左*Se 理 想，从而 ，故 。因此 La S ** Lee * aLe *0 e LSe。 □ 令 为非空数集合，M为幺半群， ,I i p P是0 M 上的 I 阶矩阵。记 0TMI，规定 如果 0 j p ; ,, ,,, ,0 j apb i aibj 否则, 且 ,,0000ai 0;,MM 。容易验证，构成半群。我们将称半群T为幺半群 M上的以 P为夹心阵的Rees 矩 阵半群，记为。如果矩阵 P的每一行和每一列都有元为 M的群元，则称 P为正规的。 ,T ;IP 引理 3.4 对于 Rees 矩阵半群 ，若 M为左消幺半群，且 P为 0;, ;SMMIP0 M 上的正规矩阵，则 1) ； 1,, :0 ii ESp ipM 为的群元 2) S的所有非零幂等元都是本原的； 3) * ,,, ,aiLb j 当且仅当 ； 4) S的所有非零幂等元具有 D关系； 5) S为本原可分 rpp 半群。 证明 1) 令 ，则 ,,aiES ,,,,,,,, i ai aiai aPai , 于是 ，而 M为左消幺半群，1 i aaPa i Pa ，其中1为M的幺元，从而 ii PaP P i ，显 然ii aPaPaPi ， 据M为左消幺半群，故1i aP ，这说明，i P 为M的单位，且 a为i P 的逆元。易验证， ,, ES 1 i pi 。因 此 1,, :0 ii ESp ipM 为的群元 . 2) 现令 11 ,, ,j, ij pi p ，则 111 11 ,,,,, ,, ,,,, ii ijj pipip jp jpi 比较分量，得 ,ij ，从而 11 ,,,, ij pip j , 故S的所有非零幂等元都是本原的。 3) 由于 P为M上的正规矩阵，存在使得iI i p 为M的单位。显然， 1' ,,,,, , i aiaip i . Copyright © 2012 Hanspub 259  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 令 ,,, ,, x jyk S，我们考虑如下两种情况： ,,, ,,,aixjai ，则比较分量，有j aP xa ，且 ，而 M为左消幺半群，则前一等式蕴含着： 11 ii j pPxp ，于是 11 ,,,,,, =,, iij pi xjpPxipi 1 i . ,,, ,,,, ,0aixjaiyk ，则 ,, ,, jk aPx iaPy i ，比较分量，我们有 j k aP xaPy 且 。 注意到，M为左消幺半群，前一等式可推出 11 '' j k ii pPx pPy ，从而 1111 , ,,,,,,, ,,,, iijiki p ixjpPxipPyip iyk 这证明了，对于 ，若 1 ,, ,,,xjyk S ,,, ,,,, ,aix jaiyk ，则 11 ,, ,,,,,,pi xjpiyk ii . 据引理 2.2，现在有 *1 ,,, , i aiL pi 。 设 * ,,, ,aiLb j ，那么由上面的证明，知 *1' ',, ,, i pi Lbj ，再由引理 2.2，我们有 1, ,, ,, , i bjbjpi ，比较分量，有 。反之，若 ，则由上面的证明，有 **1 ,,, ,, , i aiLpiLb j ，于是 * ,,, ,aiLb j 4) 由 111 ,,,,,j, , iij pipi p 111 ,,,, ,, iii pipi pi , 知 11 ,, ,, ii pi pi 。另一方面，由(3)，知 *11 ,,, , ij piLp j ，从而 11 ,,, , ij piLpj 。故 11 ,,, , ij piDpj ，这证明了，S的所有非零幂等元具有 D关系。 5) 注意到， 1,,,, :,0 i pi SaiaM . 所以，再据引理 2.6 及(2)(4)，有 1,, : i SpiSi I 1,, : i SpiSiI 是右本原可分的。事实上，(3) 的证明过程中，证明了：S是rpp 的。现利用命题 3.2，S是本原可分 rpp 半群。 □ 我们将称具有正规夹心矩阵的 Rees矩阵半群为正规 Rees 矩阵半群；称保持 * L 类的同态为同态。现在 我们可以给出本文的主要结果。 * L 定理 3.5 令S为半群，则 S是本原可分 rpp半群当且仅当存在左消幺半群上正规 Rees 矩阵半群 和从到 S上的 0;, ;MMIP 0;, ;MMIP * L 满同态 ，使得 在 的正则元集合上的限制是单射； 0;, ;MMIP 对于 S的任意正则元 a ，都存在正则元 ，使得 0;, ;xMMIP x a 。 证明 设S是本原可分 rpp半群，E为S的非零幂等元集。记 I为 E 的代表元集，为EL的代表元 集，且满足 I e。由引理3.1，知 S为本原半群且其非零幂等元都具有D关系，于是对任意的 aS ，存 在 满足 , i ee Ei aeSSe ，从而存在 满足,fgIagSSf 。故 ;;SSff gSgI . 令 0MeSe。由命题 3.3，知任意 x M ，都有 。对于 * eL x,uv M ，若 x uxv，则由引理 2.1，知 ，于是 M是以为幺元的左消幺半群。 ueuevv e Copyright © 2012 Hanspub 260  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 考虑分解 。可证不同 ;,SgSf gI f g Sf 的交等于 0(事实上，若egSfhSk 且 ，则由命题 3.3，知，又 均为 0e fLeLk ,fk EL的代表元，从而 fk 。另一方面，由 egShS ，采用类似引理 3.1中右 本原情形的证明方法，证得 g eh ，而 , g h均为E 的代表元，从而 g h 。因此 g Sf hSk，故不同 g Sf 的交 等于 0。)现记 0 i MiS ，对于,iI 。对于hI ，由于，存在eDhh ahSe ， 使得 h beShh habh ， (事实上，若 ，则存在满足 hh aebeDh SaV, ea aaah ，又 aaa e ，aLaah ，从而，同理， )。为方便计，对于给定的 h，我们取定 ，且 aeSh ahSe , h ah be ae e b 。规定 :; iii M Mx axb . 显然， i 有定义。注意到，基于此，我们容易证明： i ii ba xbaexex 是单射。另一方面，对于任意 Mi y ， 显然 ，并且，于是 i bya M iiii byaabyab iy y i 是满射。故 i 是双射。 易知， 。记，则 P是 0 ii PbaM ,, i Pi PI0 M 上的 I 矩阵。对于任意i，不难知道，I iiS iS ，即存在 使得iS 含有非零幂等元 ，由上面的证明，知wii wM aMb 。设 i wadb ， 那么 i dbadb w iii adbadbwa ww ，从而 iiiiii db adbab adbadbadbad , 而M为左消幺半群，于是，进而为M的正则元，从而 ideba i Pba ii P 为M的单位。类似地，对于任 意 ，存在 使得iIi P 为M的单位。因此 P为正规 Rees 矩阵。构作 Rees半群 。定义 0;, ;MMIP 0;,;; M MI SP ,,; 00xi aixb . 则 是到 的映射。因为 0;, ;MMIP S ,0 iI i SM ，所以 是满射。 下证明： 是半群同态。事实上， ,,,,,,,,, , jij yxiy jxbayiaxbabxiy j , 于是 为半群同态。 现令 ，若 0 ,,,,,; ,;xiyjMM I P ,,, ,xiy j ，则 ij y axba b ，再据命题 3.3，有 ** ij yab L Laxb L，进而 ,，而 均为 EL的代表元，故 。如果 ,,,, , x iyj 都是半群 的正则元，那么 ;, ;IPi axb 0 MM 是S的正则元。假设 g ES，且 i g axb ，ii iaxbaxb ，是 ig g ， 进而 , g iESgii，现在由引理 3.1，知 g ii ，ig i axb ；同理， j jayb ax i b 。注意到， 都是,ijE 的代表元，所以 。这样， ij iijj x exeba xbabaybaeyey . 因此 在 的正则元集合上的限制是单射。 0;, ;MMIP 另一方面，若 i axb 为S的非零正则元，则存在 y S 使得 iii a xba xbya xb 于是 iiiiiii x b axbabaxbyaxbaex byaxex byax . 由于 ,0 iI i SM ，在 ,kI 使得 k yM ，而 k yazb ，中 zM 。现在 ,,, ,,,,,,,,, ki i xyx x izkxi xbazbaxibai xi 且 ,, i x iaxb 。这样，证明了：对于S任意正则元 ，存在正则元，得a 0;, ;xMMIP x a 。 最后，证明： 为 同态。为此，设，且 * L 0 ,,,,,; ,;xiy jMM I P * ,,,, , x iyj L , 由引理 3.4，知 ，这样 , ij axba ybS ，据命题 3.3，有 * ij Laxbayb ，故 保持 类，即 * L 为 同态。 * L Copyright © 2012 Hanspub 261  邱小伟 等 本原可分 rpp 半群 Copyright © 2012 Hanspub 262 设存在左消幺半群上正规Rees 矩阵半群 和从 到S上的 满同态 0;, ;MMIP 0;, ;MMIP* L ， 使得 在 的正则元集合上的限制是单射； 0;, ;MMIP 对于 S的任意正则元 a ，都存在正则元 ，使得 0;, ;xMMIP x a 。 由于 是rpp的，我们知道，S是rpp 的。另一方面，由于上面两性质，我们知道， 的正则元集在 0;, ;MMIP ;, ;MIP 0 TM 下的像恰为 S的正则元集。这一性质表明，S的所有非零幂等元都是本原的。 另一方面，由引理 3.4(5)的证明，知 1,, iIi Tpi T 是右本原可分的。易知， 1,, iI i STpiT 是S的右本原分解，再据命题 3.2，S是本原可分 rpp 半群。 □ 注意到，正则左消幺半群是群。所以下面是定理 3.5的直接推论。 推论 3.6 半群是本原可分正则半群当且仅当它同构于 0 群(0-group)上的 Rees 矩阵半群，即它是完全0 单 半群(completely 0-simple semigroup)。 现在让我们回到定理 3.5必要性的证明，叙述“若 ,,, ,xiy j ，则 ij axba yb ，再据命题 3.3， 有* ij Laxba yb L * ，进而 L ，而 , 均为 EL的代表元，故 ”中，我们仅用到了条件： ij axba yb 与某幂等元具有关系。因此若 * Li b a j ax yb 与某幂等元具有 * 关系，则 ij 。这时，我们有 ii ii x baxb abaybaeye y . 这证明了，若S是富足半群，则 是半群同构。由命题3.3 及其对偶，知 M为包含幂等元e的H*-类，故M为 消去幺半群。因此，我们有 定理 3.7 令 为非空集合，M为消去幺半群。若P为 ,I0 M 上正规 I 矩阵，则 是本原可 分富足半群。反之，任一本原可分富足半群均可以这样构作。 0;, ;MMIP 参考文献 (References) [1] K. 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