Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 268-275 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24041 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On the Function Estimate on Complete Riemannian Manifolds with Ricci Curvature Bounded from Below* Xiaole Su1, Hongwei Sun2, Yusheng Wang1# 1Laboratory of Mathematics and Complex Systems of Ministry of Education, School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 2School of Mathematical Science, Capital Normal University, Beijing Email: suxiaole@bnu.edu.cn, hwsun@bnu.edu.cn, #wwyusheng@gmail.com Received: Aug. 19th, 2012; revised: Sep. 2nd, 2012; accepted: Sep. 13th, 2012 Abstract: U. Abresch and D. Gromoll found a theorem on the function estimate on complete Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded from below[1]. In this paper, it is proved that the conclusion of the theorem still holds when a crucial condition of the theorem is weakened. Keywords: Ricci Curvature; Function Estimate; Laplace Comparison 关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计* 苏效乐 1，孙宏伟 2，王雨生1# 1北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统教育部重点实验室，北京 2首都师范大学数学科学学院，北京 Email: suxiaole@bnu.edu.cn, hwsun@bnu.edu.cn, #wwyusheng@gmail.com 收稿日期：2012 年8月19日；修回日期：2012 年9月2日；录用日期：2012 年9月13日 摘 要：U. Abresch 和D. Gromoll 给出了一个关于Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上函数估计的重要 定理[1]，本文利用更为精细的论述证明了将这个定理中的一个关键条件变弱后，定理的结论依然成立。 关键词：Ricci 曲率；函数估计；Laplace 比较定理 1. 引言 在黎曼几何中，由 Ricci曲率有下界决定的比较定理中比较著名的有距离函数的Laplace 比较定理和体积比 较定理，这其中的关键是距离函数的 Laplace 和流形的体积均受Ricci 曲率限制。基于这些基本的比较定理，关 于Ricci 曲率有下界的流形有一些非常漂亮的结果，比如U. Abresch和D. Gromoll在1990 年的文章[1]中证明了 Ricci 曲率非负的开黎曼流形在一定条件下的同伦有限性。这是Ricci 曲率比较几何方面比较重要的结果，被广 泛引用。这个同伦有限性结果的证明用到了一个关键的定理(本文中的定理 2.1)，这个定理是利用函数的梯度上 界及 Laplace 上界给出函数本身的估计。本文的主要工作就是推广这个关键定理：对函数 Laplace 的条件放宽后， 证明结论依然成立。 2. 记号及主要结论 在讨论具有常截面曲率k的完备的单连通空间型 的测地极坐标系时，几何学家们经常引入统一的三角函 数及 如下[1,2]： n k S   sn, cs kk rr  ctkr *资助信息：国家自然科学基金资助项目(11001015, 11171025, 10801011)。 #通讯作者。 Copyright © 2012 Hanspub 268 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计          1sin ,0cos ,0 cs sn,0 ,cs1,0 ,ct. sn 1cosh, 0 sinh , 0 k kk k kr kkr k kr rrkrkr r kr k kr k k               k  2  这里面要求，直接演算可知关于 k和r分别都是严格单调减函数。 2 kr   ctkr 取上一点p，记 n k S  ,dp  为到点 p的距离函数，且记     , n k BplxS dpxl,    。解方程        ,1, ,\ ,0,,|0,, q f dpxx Bplp f dpqdpxqBpl        可得    1 sn dd sn n k dt lk f d t   t          ，其中 时要补充条件0k22 πkl  。记[1]    1 , sn ,dd sn n k nk tl k lt t   .            (1) 易见  ,, nk l   为非负函数，且当k = 0 时[3]，   222 ,0 222 12 +, 22 2 ,=11 ln +,2 24 nn n n ll nn n ll ll       3n n              . 现在我们给出文章[1]中我们要推广的定理： 定理 2.1[1] 令n M 是一个 n维完备黎曼流形，f是定义在 M上以 p为中心R为半径的开球 上的非负 Lipschitz 函数。假设  ,BpR   (i) 流形 M在上的Ricci 曲率  ,BpR   Ric 1nk ， (ii) 函数 f的Lipschitz系数  1 Lip f C， (iii) f在处取得 0值，且记  ,zBpR    ,ldpz， (iv) 在 上，在闸函数意义下有  ,BpR  2 f C ， 则有      12, (0, ) inf +, nk l f pCC    l. (2) 注1 连续函数 f在某区域 D上在闸函数意义下(in the barrier (or support) sense) f C  是指对任意 qD  及任 意0  ，存在点 q的小邻域  ,Bqr   及其上的一个光滑函数 ,qr f  满足          ,, , (, ) ,, qr qrqr xBqr fqfqfxfx fqC    +   . (3) 我们称 ,qr f  为f在q处的一个闸函数。 注2 显然，在定理 2.1中C1  0；而且由下面的极大值原则(定理2.3)可得 C2  0。 注3 由经典的 Bonnet-Myers 定理[4]知当 k > 0 时我们可设kR2  2，进而有kl2 < 2。 注4 定理 2.1 的一个直接应用就是用来估计 Ricci 曲率有下界的黎曼流形上的Excess 函数[1](Excess 函数定 义如下：给定黎曼流形 M上两个不同的点 p和q，对于任意的 x M  ，定义     ,,exdpx dqx dpq,， 其中   ,d 为M上的距离函数，称 e(x)为M上由点 p和q决定的 Excess 函数)，利用对 Excess 函数的估计 U. Abresch Copyright © 2012 Hanspub 269 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计 和D. Gromoll 证明了引言中的同伦有限性结果。 本文证明了在减弱定理2.1 中的条件(iv)后，定理2.1 的结论依然成立，具体描述如下： 定理 2.2 在定理2.1 中如果将条件(iv)改为如下(其它条件不变)： (iv)' 在闭球  ,Bpl上，在闸函数意义下有 2 f C  ；在  ,\ ,BpR Bpl上，在闸函数意义下 3 f C ，则定 理2.1 的结论即(2)式依然成立 。 注5 条件(iv)'减弱了条件(iv)，(iv)中要求 2 f C  在整个   ,BpR上成立，而(iv)中只要求 2 f C 在  ,Bpl (注意 l < R)上成立，在  ,\ ,BpR Bpl上3 f C (这里C3可以任意大)。虽然我们减弱了条件，但是定理2.2的 结论依然是(2)式成立，而(2)式仅仅与C1和C2有关，与 C3无关! 定理 2.2 的证明思路与定理 2.1 的相同，只是需要更为精细巧妙的讨论。证明的主要工具是极大值原则和 Laplace 比较定理。 定理 2.3(极大值原则[1,3]) 令M是一个连通的黎曼流形，f是M上的连续函数。如果在闸函数意义下有 0f   (0)，则f不可能取得局部极大值(极小值)，除非f可以取到局部常值。 定理 2.4(Laplace 比较定理[1,5]) 令n M 是完备黎曼流形，且其 Ricci 曲率   Ric 1nk。记    ,rxd px为 到点 pM的距离函数，则在r的光滑点处有     1ct k rn r . 3. 定理 2.2 的证明 首先注意到由定理 2.1 我们可以设。假设定理 2.2 中的结论不正确(参见(2)式)，则存在 3 CC2   00,l  使 得     102,0 , nk f pC Cl   . 由于对k连续依赖，所以对于小于且充分接近k的都有 1  ,0 , nk l    k      10 20 ,, nk f pC Cl   . 进而由对l的连续依赖(注意此时  ,0 , nk l   2  2 πkl  ，见注3)知对于大于且充分接近l的都有 l      10 20 ,, nk f pC Cl   . (4) 引理 3.1 对于满足(4)式的充分接近l的 ，都存在相应的l    ,lll 满足          12 12 12 ||,||,| lll lll gg gg gg|        , 其中       12 23 ,, ,, , nk nk g ClgCl     。 证明 由定义(见(1)式)知     1 , sn ,=d d sn n ll k nk t k lt t              , 对  求导可得                  1 1 ,, sn sn ,=d,, =1+1ctd sn sn n n l l k k nknk k k k lln                          , (5) 这里的“'”和“"”都是指对  求导，下同。因此在 l   时，    ,, nk l  单调递减到 0，    ,, nk l    单调递增 到0，于是我们知存在   12 ,,llll 使得(注意 )。 3 CC2 1因为流形 M在B(p,R)上满足 Ric  (n1)k，所以我们只考虑小于 k的，这对于引理 3.2来说至关重要。  k Copyright © 2012 Hanspub 270 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计        12112 ,2 g lgl glgl   . 另外由(5)式知在 时， (注意 时我们可以假设l  1  2    ,, nk l    0 k  2 πkl  ，因为充分接近于 而且 ，见注 3)，从而当充分接近于 时有(注意 ) l l 22 πkl l l32 CC     12 <,, g lg ll    . 此时由   ,, nk l   及    ,, nk l    的单调性知取 即可。证毕。  12 max ,ll   l 令   2 cllclgl  01 ,,llHg   cc ll   。由引理3.1 知 ，则   01 0, 0,0cc Hgl . (6) 接下来我们要在(4)式成立的前提下构造一个连续函数 2    :, 0,hBpl c  ，然后得到矛盾，从而完成 定理的 证明。对于任意的  ,qBplc ，定义       0,hqdpq   , (7) 其中          0 102 00 , 2 , 30 , ,, 0 ,, ,, nk nk nk CdCl d dCdl d CdclH ldl  0 l c                    . (8) 断言 1    0 ,\,  B plcBpp fh  在   0 ,\,Bpl cBp   的内部取得极小值。 证明 首先，对任意  0 ,xBp  ，有                   102 0 , 11020 1 , 111 ,, ,,, ,,,0, nk nk fhxfx hxfxCdpxCl f xCdpxCClfxCdpx fp Cdp xfpfxCdp xCdp x               (9) 其中第一个不等号用到了(4)式，倒数第二步用到了f的Lipschitz 性质即条件(ii)。 再者，对任意  , x Bpl c有(注意lcc l )              30 , 303 ,, 000 ,, ,, 00 , nk nk nk fhxfxhxfxCdpxclH 0 f xC lcclHfxC llH fxHH H                  (10) 其中倒数第三步用到了   ,, nk l   的定义(见(1)式)，倒数第二步用到了定理的条件f非负。 最后，注意  0 ,\,zBplc Bp   (参见条件(iii))，进而结合(6)式有            10 0,fhzfz hzhdpzhlglH 0. (11) 综合(9)~(11)三式就是        000 , , |0, |,| z Bpl c Bp fhfhH fhH   0    . 由此可知断言 1成立。 断言 2 在闸函数意义下，    0 ,\, |0 BplcBp fh    . 2本文的证明与定理 2.1 的证明[1]的关键不同之处在于此处函数的构造，而且证明所构造函数的 Laplace 在闸函数意义下有相应下界要复杂很多。 Copyright © 2012 Hanspub 271 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计 显然由定理 2.3 知，断言1与断言 2矛盾，由此可知(4)式不成立，从而定理2.2 成立。 剩下的任务就是证明断言 2。而由条件(iv)'知仅需要证明在闸函数意义下    02 ,\ , 3 ,\, | | Bpl Bp BplcBpl hC hC         . 下面我们分a)，b)，c)三部分完成此证明，进而就完成了定理 2.2 的整个证明。 a)   02 ,\ , |Bpl Bp h  C  。这是下面引理 3.2的推论。 引理 3.2 在 上，在闸函数意义下  ,Bpl      ,,, 1 nk dp l    。 证明 距离函数 在  ,dp  ,qBpl  处不一定光滑，但是我们知道在 p与q之间的某测地线   pq 上取到点p 距离为  的点 p  后，函数在 q处一定光滑。显然，  ,dp          ,| ,| q dp dp   q   ，而且在q的任一邻域上有 。因此   dp p     ,,d        ,, ,,| ,,| q nk nk dpldpl       q   , (12) 且由   ,, nk l  对ρ单调递减(参见(5)式)知在q的充分小的邻域上有        ,, ,, ,, nk nk dpldp l       . (13) 由关于k是严格单调减函数知  ctkr          ct, ct,0 k kdpqdpq    . 再由在处连续知当 ε充分小时  ctkr   ,rdpq           ct, ct,0 k kdpqdpq    . 于是当 ε充分小时直接计算可得(其中为了方便计算，我们记   ,dpq    )                        2 ,, , 11 ,,,,,,, , sn sn 1ctd1 1d1ct, sn sn sn 11 ctct,sn qq q nk nknk q nn ll kk k k kk k k k k dp ldp ldpdp ldp nn ndpq                                                1 d1, n l         q dpq  (15) 其中求导运算参见引理3.1 证明中的(5)式，第一个不等号是因为   , q dp  1  ，且由定理 2.4(注意条件(i))有        ,| 1ct, qk dp ndpq   ; 第二个不等号由(14)式得到。 由(12)，(13)，(15) 三式知 是    ,,, nk dp l         ,,, nk dp l     1l 在q处的一个闸函数(参见(3)式)。由 的任意 性知在 上，在闸函数意义下成立。证毕。 q  ,Bpl      ,,dp   ,nk b)  3 ,\, | BplcBpl h C 。同样这是下面引理 3.3 的推论。 引理 3.3 当充分接近于 l时，在l    0 ,\,Bpl cBpr上，在闸函数意义下    ,,, nk dp cl   1    ，其中 。 0 0rl 证明 由引理 3.2 的证明知不妨设  ,dp c  在   0 ,\,qBplc Bpr 处光滑(否则取相应的 p  讨论然后令 0  即可)。因为 且, 所以可设kk2 πkl 222 πkl  (注意 l与l充分近)，从而。由ctk(r)在   22 πkl  22 πkr  时 Copyright © 2012 Hanspub 272 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计 关于 k严格单调递减知(注意 )  ,dpql         ct,ct,0 k kdpqdpq   . (16) 另外注意到 在闭区间  ctkr 0, I rl   上关于 r一致连续，则对于任意 10  存在 10  使得只要 12 ,rr I  且 12 1 rr  就有     12 ct ct kk rr 1     . (17) 特别地取 (参见(16) 式)。由于   1ct ,0 kdpq      ct , kdpq   0 0,,rdpqdpqcl    ，所以只要 1 ll   ，则    1 ,,dpqcdpqcl l    ，于是可以在(17)式中取   12 ,,rdpqcr d  ,pq得       1 ct ,ct , kk dpqcdpq     . (18) 结合(16)，(18)两式就有         ct,ct,0 k kdpqcdpq    . (19) 类似引理3.2 的证明，计算可得(其中为了方便计算，我们记   ,dpqc   )                      2 ,, , 1 ,,,,,,,, sn 11 ctct,d1, sn q nk nknk q qqq n lk k k k dp cldp cldpdp cldp ndpq                      | 其中最后一个不等号应用了(19)式。证毕。 c) 在闸函数意义下 。  2 , |Bpl hC   证明 注意，则由引理3.1 知 ˆ llc        12 12 , g lglc glglc     . 令 ，则  12 ugg  c           12 12 0, 0.ulglg lculglg lc     由此可知  u  在l的右邻域内单调递减, 即对充分小的 0  及任意   ,ll    都有           1212 0 g gcuulglglcH   , (20) 由于       12 23 , ,, , nk nk, g ClgCl      (参见引理3.1)，(20)式可变形为         0 23 0 ,, ,, , nk nk ClCclHll  ,         ,l . (21) 另外，由 的定义知(注意 δ充分小)  0        0 2,,, nk Cl l      . (22) 综合(21), (22)两式就有      02,,, , nk Cl ll        . (23) 对于任意 ，取 q的小邻域  ,qBpl   , q UBq  ，则对于任意 q x U  ，在(23)式中取 可得  ,dpx         2,,,, q nk hxCd pxlxU   . (24) Copyright © 2012 Hanspub 273 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计 另一方面由 h的定义知 ，结 合 (24)式可知     2,,, nk hqCd pq l        2,,, nk Cdp  l  在q处的闸函数也是 h的 闸函数(参见(3)式)。进而由引理 3.2 知在闸函数意义下 2 |q hC  ，从而由 q的任意性知在闸函数意义下 。证毕。  2 , |Bpl h  C 4. 小结 本文主要推广了U. Abresch和D. Gromoll的关于Ricci 曲率有下界黎曼流形上的一个函数估计定理(定理 2.1)，我们放宽了定理2.1 中关于 Laplace 的条件(由条件(iv)改为了(iv)')，证明了定理 2.1 的结论依然成立，即证 明了定理2.2。证明是应用反证法，首先构造了一个关键的辅助函数(参见(8)式)，之后应用极大值原则和Laplace 比较定理得到矛盾，进而完成证明。定理2.1 是有很好的应用的(参见注 4)；我们推广了定理 2.1，使得定理2.1 应用范围可以更为广泛(但笔者当前还未找到定理2.2 直接的应用)。所以我们对定理 2.1 的推广是有一定意义的。 参考文献 (References) [1] U. Abresch, D. Gromoll. On complete manifolds with nonnegative Ricci curvature. Journal of AMS, 1990, 3(2): 355-374. [2] P. Peterson. Riemannian geometry, GTM 171. New York: Springer-Verlag, 1998. [3] S. Zhu. The comparison geometry of Ricci curvature. Comparison Geometry (MSRI Publications), 1997, 30: 221-262. [4] 伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林. 黎曼几何初步[M]. 北京: 北京大学出版社, 1989. [5] 丘成桐, 孙理察. 微分几何[M]. 北京: 科学出版社, 1988. Copyright © 2012 Hanspub 274 苏效乐 等  关于 Ricci 曲率有下界的完备黎曼流形上的函数估计 Copyright © 2012 Hanspub 275 附录 在附录中我们介绍一下我们给出的定理 2.2 的证明与定理 2.1的原证明的主要不同之处。 首先指出定理2.2 的证明思路与定理 2.1 原证明的思路是一样的。在假设定理结论不成立的前提下，构造辅 助函 (参见(8)式)，可以证明 h f h在相应区域上可以取到极小值，且同时满足在闸函数意义下 Laplace小于或 等于 0，这与极大值原则矛盾。 定理 2.2 的证明与定理2.1 的证明的关键不同之处在于函数 或说h   0    (参见(8)式)的构造。由于在定理2.1 中，在整个 上在闸函数意义下有  ,BpR  2 f C (条件(iv))，所以   0    仅需要构造为[1]        0 102 00 , 20 , ,,0 ,, 0, nk nk CdCl d dCdl ldR  dl                  . 而由于定理 2.1中的条件(iv)被减弱为定理 2.2 中的条件(iv)'，定理 2.1原证明中的   0   已经不能满足我们的需 要。我们需要更为精巧的辅助函数，本文中   0    的构造(参见(8)式)          0 102 00 , 20 , 30 , ,, 0 ,, ,, nk nk nk CdCld dCdl d CdclH ldl  l c                     的关键是 (注意)的存在(参见引理3.1，当然引理3.1及其相关讨论在原证明中并不需要)。由于本文中 ˆ lˆ llc   0   的构造基于引理3.1，所以在证明 f h在相应区域上可以取到极小值(即证明断言1)时要用到引理 3.1；而 原证明中的讨论要容易很多。而且由于原证明中   0    的构造相对容易，证明 f h  在相应区域上在闸函数意义 下Laplace 小于或等于 0也要容易些，只用到证明断言 2中的 a)部分或说引理 3.2 的讨论即可，与 b)部分和 c) 部分无关；而对于定理2.2 的证明来说，证明断言 2中的 b)部分和 c)部分是至关重要，不可缺少的。

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