设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
PureMathematics
n
Ø
ê
Æ
,2022,12(5),687-693
PublishedOnlineMay2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2022.125079
/
ª
n
Ý
‚
þ
{
L
n
|
ùùù
[[[
WWW
§§§
¡¡¡
ÿÿÿ
∗
Ü
“
‰
Œ
Æ
ê
Æ
†
Ú
O
Æ
§
[
‹
=
²
Â
v
F
Ï
µ
2022
c
4
11
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2022
c
5
12
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2022
c
5
20
F
Á
‡
©
ï
Ä
/
ª
n
Ý
‚
þ
{
L
n
|
¯
K
.
T
=
A
0
UB
!
´
/
ª
n
Ý
‚
,
Ù
¥
A
Ú
B
´
‚
,
U
´
†
B
-
m
A
-
V
.
©
|
^
A
-
þ
(
)
¢
D
{
L
n
|
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
Ú
B
-
þ
(
)
¢
D
{
L
n
|
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
E
/
ª
n
Ý
‚
T
þ
(
)
¢
D
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
.
'
…
c
/
ª
n
Ý
‚
§
{
L
é
§
{
L
n
|
CotorsionTriplesoverFormalTriangular
MatrixRings
JialeCao,XiaoyanYang
∗
CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,LanzhouGansu
Received:Apr.11
th
,2022;accepted:May12
th
,2022;published:May20
th
,2022
Abstract
Thispaperconsidercotorsiontriplesoverformaltriangularmatrixrings.Let
T
=
∗
Ï
Õ
Š
ö
"
©
Ù
Ú
^
:
ù
[
W
,
¡
ÿ
.
/
ª
n
Ý
‚
þ
{
L
n
|
[J].
n
Ø
ê
Æ
,2022,12(5):687-693.
DOI:10.12677/pm.2022.125079
ù
[
W
§
¡
ÿ
A
0
UB
!
beformaltriangularmatrixring,where
A
and
B
aretworingsand
U
isa
(
B,A
)
-bimodule.Inthispaper,weuseacomplete(resp.perfect)hereditarycotorsion
triple
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
over
A
andacomplete(resp.perfect)hereditarycotorsiontriple
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
over
B
toconstructacomplete(resp.perfect)hereditarycotorsiontriple
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
over
T
.
Keywords
FormalTriangularMatrixRing,CotorsionPair,CotorsionTriple
Copyright
c
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
{
L
n
Ø
d
Salce
3
Abel
+
‰
Æ
Ú
C
q
n
Ø
ï
Ä
¥
J
Ñ
,
d
{
L
n
Ø
2
•
ï
Ä
,
Ù
¥
{
L
é
5
3
ƒ
é
Ó
N
“
ê
ï
Ä
¥
å
5
–
'
-
‡
Š
^
.Estrada
3
©
z
[1]
¥
|
^
quiver
L
«
•{
ï
Ä
{
L
é
Ú
{
L
n
|
ƒ
m
é
X
,
3ù
‰
L
§
¥
,
¦
‚
u
y
Abel
‰
Æ
¥
˜
‡
#
A
,
•
3
¢
D
{
L
n
|
ž
,
3
Abel
‰
Æ
¥
Ò
k
v
Ý
Ú
S
é
–
.
2019
c
,Ren
3
©
z
[2]
¥
‰
Ñ
{
L
n
|
ƒ
'
A^
,
¿
d
˜
‡
{
L
n
|
©
O
p
˜
‡
Ý
Ú
S
.
(
,
Ó
ž
ù
ü
«
.
(
ƒ
m
ƒ
A
d
'
X
.
/
ª
n
Ý
‚
´
˜
a
-
‡
š
†‚
,
C
c
5
,
N
õ
Æ
ö
é
/
ª
n
Ý
‚
?
1
ï
Ä
.
C
1
Ú
C
2
´
ü
‡
†
A
-
a
,
D
1
Ú
D
2
´
ü
‡
†
B
-
a
.2020
c
,Mao
3
©
z
[3]
¥
ï
Ä
/
ª
n
Ý
‚
þ
{
L
é
,
y
²
(1)
e
é
?
¿
i
≥
1,
k
Tor
A
i
(
U,
C
1
)=0
…
Tor
A
i
(
U,
⊥
C
2
)=0,
K
(
C
1
,
C
2
)
Ú
(
D
1
,
D
2
)
´
{
L
é
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
´
{
L
é
.(2)
e
é
?
¿
i
≥
1,
k
Ext
i
B
(
U,
D
⊥
1
)=0
…
Ext
i
B
(
U,
D
2
)=0,
K
(
C
1
,
C
2
)
Ú
(
D
1
,
D
2
)
´
{
L
é
…
=
(
U
C
1
D
1
,
J
C
2
D
2
)
´
{
L
é
.
Ó
ž
|
^
A
-
Ú
B
-
þ
A
Ï
ý
•
ä
a
Ú
ý
CX
a
‰
Ñ
T
-
þ
A
Ï
ý
•
ä
a
Ú
ý
CX
a
,
¿
…
‰
Ñ
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
1
D
1
,
J
C
2
D
2
)
•
T
-
þ
¢
D
{
L
é
¿
‡
^
‡
.2021
c
,Xu
Ú
Hu
3
©
z
[4]
¥
|
^
Mao
3
n
Ý
‚
þ
E
ü
‡
{
L
é
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
1
D
1
,
J
C
2
D
2
)
E
/
ª
n
Ý
‚
þ
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
).
É
þ
ã
ï
Ä
é
u
,
©
?
˜
Ú
ï
Ä
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
5
Ÿ
.
Ä
k
3
Ú
n
1
¥
|
^
A
-
þ
{
L
n
|
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
Ú
B
-
þ
{
L
n
|
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
E
/
ª
n
Ý
‚
T
DOI:10.12677/pm.2022.125079688
n
Ø
ê
Æ
ù
[
W
§
¡
ÿ
þ
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
);
Ù
g
3
½
n
3
¥
•
Ä
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
¢
D
5
,
3
í
Ø
4
¥
•
Ä
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
¢
D
5
;
•
2
‰
Ñ
k
'
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
A
‡
í
Ø
.
2.
ý
•
£
T
=
A
0
UB
!
´
/
ª
n
Ý
‚
,
A
,
B
´
‚
…
U
´
(
B,A
)-
V
.
?
¿
†
T
-
þ
Œ
^
n
|
M
=
M
1
M
2
!
ϕ
M
5
L
«
,
Ù
¥
M
1
´
†
A
-
,
M
2
´
†
B
-
,
ϕ
M
:
U
⊗
A
M
1
→
M
2
´
B
-
Ó
.
?
¿
ü
‡
†
T
-
M
=
M
1
M
2
!
ϕ
M
Ú
N
=
N
1
N
2
!
ϕ
N
ƒ
m
•
f
1
f
2
!
,
Ù
¥
f
1
:
M
1
→
N
1
´
A
-
Ó
,
f
2
:
M
2
→
N
2
´
B
-
Ó
¿
…
÷
v
X
e
†
ã
:
U
⊗
A
M
1
ϕ
M
1
⊗
f
1
/
/
U
⊗
A
N
1
ϕ
N
M
2
f
2
/
/
N
2
‰
½
T
-
M
=
M
1
M
2
!
ϕ
M
,
k
g
ϕ
M
:
M
1
→
Hom
B
(
U,M
2
),
Ù
¥
g
ϕ
M
(
x
)(
u
)=
ϕ
M
(
u
⊗
x
),
x
∈
M
1
,
u
∈
U
.
½
Â
1
[3]
C
´
˜
‡
†
A
-
a
…
D
´
˜
‡
†
B
-
a
.
½
Â
X
e
n
‡
†
T
-
a
:
U
C
D
=
{
M
1
M
2
!
ϕ
M
:
M
1
∈C
,M
2
∈D}
.
B
C
D
=
{
M
1
M
2
!
ϕ
M
:
M
1
∈C
,M
2
/
im(
ϕ
M
)
∈D
,ϕ
M
´
ü
}
.
J
C
D
=
{
M
1
M
2
!
g
ϕ
M
:ker(
g
ϕ
M
)
∈C
,M
2
∈D
,
g
ϕ
M
´
÷
}
.
½
Â
2
[5]
A
´
˜
‡
k
v
Ý
Ú
S
é
–
Abel
‰
Æ
,
¡
(
X
,
Y
)
•
A
¥
{
L
é
,
X
J
÷
v
X
=
⊥
Y
…
Y
=
X
⊥
,
Ù
¥
⊥
Y
=
{
X
|
Ext
1
A
(
X,Y
)=0
,
∀
Y
∈Y}
…
X
⊥
=
{
Y
|
Ext
1
A
(
X,Y
)=
0
,
∀
X
∈X}
.
¡
{
L
é
(
X
,
Y
)
´
,
e
÷
v
e
¡
ü
‡
^
‡
¥
˜
‡
^
‡
:
1)
é
?
¿
R
-
M
,
•
3
Ü
0
/
/
M
/
/
B
/
/
A
/
/
0,
Ù
¥
A
∈X
,
B
∈Y
.
2)
é
?
¿
R
-
M
,
•
3
Ü
0
/
/
B
0
/
/
A
0
/
/
M
/
/
0,
Ù
¥
A
0
∈X
,
B
0
∈Y
.
DOI:10.12677/pm.2022.125079689
n
Ø
ê
Æ
ù
[
W
§
¡
ÿ
¡
{
L
é
(
X
,
Y
)
´
¢
D
,
e
é
?
¿
i
≥
1,Ext
i
A
(
X,Y
)=0,
Ù
¥
X
∈X
,
Y
∈Y
.
d
u
,
e
0
/
/
X
3
/
/
X
2
/
/
X
1
/
/
0
´
Ü
,
X
2
,X
1
∈X
,
K
X
3
∈X
;
½
d
u
,
e
0
/
/
Y
1
/
/
Y
2
/
/
Y
3
/
/
0
´
Ü
,
Y
1
,Y
2
∈Y
,
K
Y
3
∈Y
.
¡
{
L
é
(
X
,
Y
)
´
,
e
X
´
CX
a
…
Y
´
•
ä
a
.
½
Â
3
[2][6]
¡
Abel
‰
Æ
A
¥
n
|
(
X
,
Z
,
Y
)
•
{
L
n
|
,
X
J
(
X
,
Z
)
Ú
(
Z
,
Y
)
Ñ
•
{
L
é
.
¡
{
L
n
|
(
X
,
Z
,
Y
)
´
(
¢
D
)
,
X
J
(
X
,
Z
)
Ú
(
Z
,
Y
)
´
ü
‡
(
¢
D
)
{
L
é
.
¡
A
÷
f
‰
Æ
C
´
thick
,
e
C
'
u
†
Ú
µ
4
…
÷
v
:
é
A
¥
?
¿
Ü
0
/
/
A
/
/
B
/
/
C
/
/
0
,
e
A
,
B
,
C
¥
k
ü
‡
3
C
¥
,
K
1
n
‡
•
3
C
¥
.
½
Â
4
[3]
R
´
‚
…
C
´
˜
‡
†
R
-
a
.
1)
¡
C
´
Œ
)
,
e
C
'
u
*
Ü
µ
4
,
'
u
÷
Ó
Ø
µ
4
…
C
•
¹
¤
k
Ý
†
R
-
.
2)
¡
C
´
{
Œ
)
,
e
C
'
u
*
Ü
µ
4
,
'
u
ü
Ó
{
Ø
µ
4
…
C
•
¹
¤
k
S
†
R
-
.
½
Â
5
[5]
R
•
‚
,
‰
½
a
X
,
é
†
R
-
M
,
k
±
e
n
‡
^
‡
:
1)
•
3
φ
:
M
→
X
,
Ù
¥
X
∈X
:
2)
é
?
¿
X
0
∈X
,
?
¿
φ
0
:
M
→
X
0
Ñ
•
3
f
:
X
→
X
0
,
¦
φ
0
=
fφ
;
3)
X
J
f
:
X
→
X
,
¦
φ
=
fφ
,
K
f
•
g
Ó
.
1)2)
÷
v
ž
,
¡
φ
:
M
→
X
•
M
X
-
ý
•
ä
;
3)
•
÷
v
ž
,
¡
φ
:
M
→
X
•
M
X
-
•
ä
.
é
ó
/
,
Œ
½
Â
X
-
ý
CX
Ú
X
-
CX
.
¡
ü
α
:
M
→
X
,
Ù
¥
X
∈X
•
M
A
Ï
X
-
ý
•
ä
,
e
é
?
¿
X
0
∈X
,
k
Ext
1
R
(coker(
α
)
,X
0
)=0.
é
ó
/
,
Œ
½
Â
A
Ï
X
-
ý
CX
.
3.
Ì
‡
(
J
Ú
n
1
C
1
,
C
2
,
C
3
´
n
‡
†
A
-
a
,
D
1
,
D
2
,
D
3
´
n
‡
†
B
-
a
.
b
é
?
¿
i
≥
1,
k
Tor
A
i
(
U,
C
1
)=0=Tor
A
i
(
U,
⊥
C
2
)
…
Ext
i
B
(
U,
D
2
⊥
)=0=Ext
i
B
(
U,
D
3
).
K
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
Ú
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
{
L
n
|
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
{
L
n
|
.
y
²
:
‡
y
²
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
{
L
n
|
,
•
I
y
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
ü
‡
{
L
é
.
Ï
•
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
A
-
þ
{
L
n
|
,(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
B
-
þ
{
L
n
|
,
¤
±
(
C
1
,
C
2
)
Ú
(
C
2
,
C
3
)
•
A
-
þ
{
L
é
,(
D
1
,
D
2
)
Ú
(
D
2
,
D
3
)
•
B
-
þ
{
L
é
.
d
[3][
½
DOI:10.12677/pm.2022.125079690
n
Ø
ê
Æ
ù
[
W
§
¡
ÿ
n
4.4(1)]
9b
•
,(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
•
T
-
þ
{
L
é
.
2
d
[3][
½
n
4.4(2)]
9b
•
,(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
{
L
é
.
Ï
d
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
{
L
n
|
.
‡
ƒ
,
e
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
{
L
n
|
,
K
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
ü
‡
{
L
é
.
2
d
[3][
½
n
4.4]
9b
•
,(
C
1
,
C
2
),(
D
1
,
D
2
)
Ú
(
C
2
,
C
3
),(
D
2
,
D
3
)
©
O
•
A
-
Ú
B
-
þ
{
L
é
,
=
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
•
A
-
þ
{
L
n
|
…
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
•
B
-
þ
{
L
n
|
.
Ú
n
2
[3]
C
´
˜
‡
†
A
-
a
…
D
´
˜
‡
†
B
-
a
.
1)
b
U
C
D
´
{
Œ
)
a
…
é
?
¿
i
≥
1,
k
Tor
A
i
(
U,
⊥
C
)=0.
e
C
Ú
D
´
A
Ï
ý
•
ä
a
,
K
U
C
D
´
˜
‡
A
Ï
ý
•
ä
a
.
e
U
⊗
A
⊥
C⊆
⊥
D
,
K
_
·
K
¤
á
.
2)
b
U
C
D
´
Œ
)
a
…
é
?
¿
i
≥
1,
k
Ext
i
B
(
U,
D
⊥
)=0.
e
C
Ú
D
´
A
Ï
ý
CX
a
,
K
U
C
D
´
˜
‡
A
Ï
ý
CX
a
.
e
Hom
B
(
U,
D
⊥
)
⊆C
⊥
,
K
_
·
K
¤
á
.
e
¡
´
©
Ì
‡
(
J
.
½
n
3
C
1
,
C
2
,
C
3
´
n
‡
†
A
-
a
,
D
1
,
D
2
,
D
3
´
n
‡
†
B
-
a
.
b
é
?
¿
i
≥
1,
k
Tor
A
i
(
U,
C
1
)=0=Ext
i
B
(
U,
D
3
).
e
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
A
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
B
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,
K
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
_
·
K
¤
á
^
‡
•
é
?
¿
i
≥
1,Tor
A
i
(
U,
C
1
)=Tor
A
i
(
U,
⊥
C
2
)=0=Ext
i
B
(
U,
D
⊥
2
)=Ext
i
B
(
U,
D
3
)=0
…
U
⊗
A
⊥
C
2
⊆
⊥
D
2
,Hom
B
(
U,
D
⊥
2
)
⊆C
⊥
2
.
y
²
:
d
Ú
n
1
•
,(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
•
T
-
þ
{
L
é
.
Ï
•
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
A
-
þ
¢
D
{
L
n
|
…
Tor
A
i
(
U,
C
1
)=0=Tor
A
i
(
U,
⊥
C
2
),
¤
±
d
Ú
n
2(1)
•
,
U
C
2
D
2
´
A
Ï
ý
•
ä
a
,
¤
±
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
´
{
L
é
.
q
Ï
•
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
B
-
þ
¢
D
{
L
n
|
…
Ext
i
B
(
U,
D
⊥
2
)=0=Ext
i
B
(
U,
D
3
),
¤
±
d
Ú
n
2(2)
•
,
U
C
2
D
2
´
A
Ï
ý
CX
a
,
¤
±
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
{
L
é
.
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
{
L
n
|
.
Ï
•
C
2
,
D
2
´
{
Œ
)
,
¤
±
U
C
2
D
2
´
{
Œ
)
.
u
´
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
é
;
Ï
•
C
2
,
D
2
´
Œ
)
,
¤
±
U
C
2
D
2
´
Œ
)
.
u
´
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
é
.
Ï
d
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
‡
ƒ
,
e
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,
K
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
é
.
d
^
‡
Ú
Ú
n
1
Œ
,(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
•
A
-
þ
{
L
n
|
…
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
•
B
-
þ
{
L
n
|
.
q
Ï
•
U
⊗
A
⊥
C
2
⊆
⊥
D
2
…
Hom
B
(
U,
D
⊥
2
)
⊆C
⊥
2
,
¤
±
d
Ú
n
2
Ú
[3][
½
n
5.6],
Œ
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
A
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
B
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
a
q
u
½
n
3
Υ
Ä
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
).
í
Ø
4
C
1
,
C
2
,
C
3
´
n
‡
†
A
-
a
,
D
1
,
D
2
,
D
3
´
n
‡
†
B
-
a
.
b
é
?
¿
i
≥
1,
k
Tor
A
i
(
U,
C
1
)=0=Tor
A
i
(
U,
⊥
C
2
)
…
Ext
i
B
(
U,
D
2
⊥
)=0=Ext
i
B
(
U,
D
3
).
e
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
A
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
B
-
þ
¢
D
{
L
n
|
…
C
1
,
C
2
Ú
D
1
,
D
2
'
u
•
4
•
µ
4
,
K
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
y
²
:
a
q
u
½
n
3
y
²
Œ
,(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
ü
‡
¢
D
{
L
é
.
Ï
•
C
1
Ú
D
1
'
u
•
4
•
µ
4
,
¤
±
d
[3][
í
Ø
5.8(1)]
•
,(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
é
.
Ï
DOI:10.12677/pm.2022.125079691
n
Ø
ê
Æ
ù
[
W
§
¡
ÿ
•
C
2
Ú
D
2
'
u
•
4
•
µ
4
,
¤
±
d
[3][
í
Ø
5.8(2)]
•
,(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
é
.
u
´
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
©
ï
Ä
é
–
þ
•
‚
,
•
Ä
–
“
ê
(
,
J
‰
Ñ
ä
N
•
ý
~
f
,
•
`
²
©
•{
k
5
,
Œ
‰
Ñ
T
-
þ
{
L
n
|
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
A
‡
í
Ø
.
e
U
C
½
n
3
b
^
‡
,
Œ
‰
Ñ
X
e
í
Ø
:
í
Ø
5
C
1
,
C
2
,
C
3
´
n
‡
†
A
-
a
,
D
1
,
D
2
,
D
3
´
n
‡
†
B
-
a
.
b
U
A
´
²
"
,
B
U
´
Ý
…
U
⊗
A
⊥
C
2
⊆
⊥
D
2
,Hom
B
(
U,
D
⊥
2
)
⊆C
⊥
2
.
K
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
Ú
(
D
1
,
D
2
,
D
3
)
´
¢
D
{
L
n
|
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
b
R
´
‚
,
e
T
•
A
Ï
/
ª
n
Ý
‚
R
0
RR
!
,
Œ
‰
Ñ
X
e
í
Ø
:
í
Ø
6
b
R
´
‚
…
T
=
R
0
RR
!
,
K
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
R
-
þ
¢
D
{
L
n
|
…
=
(
B
C
1
C
1
,
U
C
2
C
2
,
J
C
3
C
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
í
Ø
7
b
R
´
‚
…
T
=
R
0
RR
!
,
C
1
,
C
2
,
C
3
´
n
‡
†
R
-
a
.
e
C
1
Ú
C
2
'
u
•
4
•
µ
4
…
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
´
R
-
þ
¢
D
{
L
n
|
,
K
(
B
C
1
C
1
,
U
C
2
C
2
,
J
C
3
C
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
í
Ø
8
e
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
{
L
n
|
,
K
U
C
2
D
2
´
thick
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
y
²
:
e
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
{
L
n
|
,
K
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
{
L
é
.
Ï
d
,
U
C
2
D
2
´
thick
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
)
Ú
(
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
¢
D
{
L
é
…
=
(
B
C
1
D
1
,
U
C
2
D
2
,
J
C
3
D
3
)
´
T
-
þ
¢
D
{
L
n
|
.
Ä
7
‘
8
I
[
g
,
‰
Æ
Ä
7
]
Ï
‘
8
(11761060)
"
ë
•
©
z
[1]Enochs,E.E.,Estrada,S.,GarciaRozas,J.R.andIacob,A.(2007)GorensteinQuivers.
Archiv
derMathematik
,
88
,199-206.https://doi.org/10.1007/s00013-006-1921-5
[2]Ren,W.(2019)ApplicationsofCotorsionTriples.
CommunicationsinAlgebra
,
47
,2341-2356.
[3]Mao,L.X.(2020)CotorsionPairsandApproximationClassesoverFormalTriangularMatrix
Rings.
JournalofPureandAppliedAlgebra
,
224
,ArticleID:106271.
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.106271
DOI:10.12677/pm.2022.125079692
n
Ø
ê
Æ
ù
[
W
§
¡
ÿ
[4]Fu,X.R.andHu,Y.G.(2021)TheRecollementsofAbelianCategories:CotorsionDimensions
andCotorsionTriples.
BulletinoftheIranianMathematicalSociety
,
48
,963-977.
[5]Beligiannis,A.andReiten,I.(2007)HomologicalandHomotopicalAspectsofTorsionTheo-
ries.DepartmentofMathematics,UniversityofIoannina,Ioannina.
[6]Estrada,S.,Perez,M.A.andZhu,H.Y.(2020)BalancePairs,CotorsionTripletsandQuiver.
ProceedingsoftheEdinburghMathematicalSociety
,
63
,67-90.
https://doi.org/10.1017/S0013091519000270
DOI:10.12677/pm.2022.125079693
n
Ø
ê
Æ