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OperationsResearchandFuzziology运筹与模糊学,2022,12(2),429-443
PublishedOnlineMay2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/orf
https://doi.org/10.12677/orf.2022.122045
一类𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程基态解的
存在性
张张张凯凯凯月月月，，，罗罗罗贤贤贤兵兵兵
贵州大学，数学与统计学院，贵州贵阳
收稿日期：2022年4月20日；录用日期：2022年5月18日；发布日期：2022年5月26日
摘要
本文研究一类带有势函数对数非线性项的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程基态解的存在性,通
过𝐸𝑘𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑变分方法,对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式,𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式以及对对数非线项
的技巧性处理,得到𝛼∈(0,3),𝛼= 0以及带有非线性扰动项等三种情况下𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方
程存在基态解的结论。
关键词
𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程，𝐸𝑘𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑变分方法，对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式，𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−
𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式，基态解
ExistenceofGroundstatesfora
ClassofKirchhoff-Choquard
Equations
KaiyueZhang,XianbingLuo
SchoolofMathematicsandStatistics,GuizhouUniversity,GuiyangGuizhou
Received:Apr.20
𝑡ℎ
,2022;accepted:May18
𝑡ℎ
,2022;published:May26
𝑡ℎ
,2022
文章引用:张凯月,罗贤兵.一类𝐾𝑖𝑟 𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程基态解的存在性[J].运筹与模糊学,2022,12(2):
429-443.DOI:10.12677/orf.2022.122045
张凯月，罗贤兵
Abstract
Inthispaper,weconsidertheexistenceofgroundstatesolutionsforaclassof
Kirchhoff-Choquard equations with logarithmic nonlinearterms of potential functions
byEkelandvariational methodlogarithmicSobolevinequality andHardy-Littlewood-
Sobolevinequality.ItisconcludedthattheKirchhoff-Choquardequationhasground
statesolutionsin𝛼∈(0,3),𝛼= 0andwithnonlinearperturbationterm.
Keywords
Kirchhoff-ChoquardEquation,EkelandVariationalMethod,LogarithmicSobolev
Inequality,Hardy-Littlewood-SobolevInequality,GroundStateSolution
Copyright
c
○2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.引言
本文主要研究下列Kirchhoff-Choquard方程基态解的存在性
问题(1):
⎧
⎨
⎩
−(𝑎+𝑏

Ω
|▽𝑢|
2
)∆𝑢+𝑉(𝑥)𝑢= (𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝−2
𝑢+𝐻(𝑥)𝑢log|𝑢|,𝑥∈Ω,
𝑢= 0,𝑥∈𝜕Ω,
(1)
其中Ω ⊂R
3
是有界光滑区域,𝑝∈(2,3+𝛼),𝛼∈(0,3),𝑎,𝑏>0, 𝑉,𝐻是势函数.
作为偏微分方程中的一类经典的方程, 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓型方程有 着深厚的物理背景, 如弹性力学, 人
口动力学等方面.近些年,关于𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓型方程已取得丰富的成果. 可参看文献[1–5].
在方程中, 当𝑏=0且无对数非线性项时, 上述方程简化为𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑−𝑃𝑒𝑘𝑎𝑟方程, 用于描述极
化子的一种量子 理论模型. 自提出以后, 越来越多的学者对𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程感兴趣并且在数学方面已
取得丰富的成果. 在文献[6]中, 作者研究了一类带有𝐻𝑎𝑟𝑡𝑟𝑒𝑒型非线性的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓型系 统非平凡
非负基态解的存在性和集中性. 文献[7]考虑了带有不定势和临界指数增长的𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程. 关于更
多𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑解的性质, 可参看文献[8–15].
DOI:10.12677/orf.2022.122045430运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
基于以上文献, 我们研究了一类带变号势和势函数对数非线性项𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程
基态解的存在性,也就是问题(1)基态解的存在性.
假设问题(1)中势函数𝑉,𝐻满足:
(𝑉):𝑉∈𝐿
3/2
(Ω)和|𝑉
−
|
3/2
<𝑆, 其中𝑉
+
= max{𝑉,0},𝑉
−
= min{𝑉,0}和
𝑆= inf
𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0}
‖𝑢‖
2
𝐻
1
0
/|𝑢|
2
6
;
(𝐻):𝐻∈𝐶(Ω),𝜇:= inf
Ω
𝐻>0,𝑀:= max
Ω
𝐻,满足
𝑀62𝜋(1−𝑆
−1
|𝑉
−
|
3/2
)/𝑒
−8|Ω|
1/2
+2
.
我们有以下结论.
定理1假设条件(𝑉),(𝐻)成立, 则问题(1)存在基态解.
当𝛼= 0时,则问题(1)转化为下列的方程:
问题(2):
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
−(𝑎+𝑏

Ω
|▽𝑢|
2
)∆𝑢+𝑉(𝑥)𝑢= |𝑢|
2𝑝−2
𝑢+𝐻(𝑥)𝑢log|𝑢|,𝑥∈Ω,
𝑢= 0,𝑥∈𝜕Ω.
(2)
定理2在定理1的条件下,问题(2)存在基态解.
基于定理1,定理2,考虑下列带有𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒多项式和对数非线性项的问题.
问题(3):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−(𝑎+𝑏

Ω
|▽𝑢|
2
)∆𝑢+𝑉(𝑥)𝑢= 𝜑(𝑥)𝑢+𝐻(𝑥)𝑢log|𝑢|+𝑓(𝑥,𝑢),𝑥∈Ω,
−△𝜑= 𝑢
2
,𝑥∈Ω,
𝑢= 𝜑= 0,𝑥∈𝜕Ω,
(3)
其中非线性项𝑓满足如下条件𝐻(𝑓):
(𝑓
1
)𝑓∈𝐶(
¯
Ω×R)且存在𝐶>0,𝑞∈(2,2
*
),2
*
=
2𝑁
𝑁−2
指的是𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣临界指数,使得
|𝑓(𝑥,𝑡)|≤𝐶(1+|𝑡|
𝑞−1
),(𝑥,𝑡) ∈
¯
Ω×R;
(𝑓
2
)𝑙𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝
𝑡→0
𝑓(𝑥,𝑡)/𝑡= 𝑓
0
对𝑥∈Ω一致成立;
(𝑓
3
)存在𝛽>4,𝑅>0, 使得
0 <𝛽𝐹(𝑥,𝑡) ≤𝑡𝑓(𝑥,𝑡),𝑥∈
¯
Ω,|𝑡|≥𝑅,
其中𝐹(𝑥,𝑡) =

𝑡
0
𝑓(𝑥,𝑠)𝑑𝑠,(𝑥,𝑡) ∈
¯
Ω×R.
DOI:10.12677/orf.2022.122045431运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
针对问题(3)有以下结论.
定理3假设条件(𝑉),(𝐻),𝐻(𝑓)成立, 则问题(3)存在基态解.
接下来,我们简要的介绍本文的创新:
1) 据我们所知带有变号势函数和对数非线性项的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎ𝑜𝑓𝑓−𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑎𝑟𝑑方程基态解的存在性
目前没有研究过.
2) 对数非线性项不同于一般的多项式. 由于对数非线性项不满足单调性条件和𝐴𝑅条件, 导致对
数非线性项比一般的多项式更加复杂.
3)由于势函数𝑉是变号的,我们需要技巧性的处理𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项和对数非线性项.
4) 本文通过渐近行为考虑了带有多项式和对数非线性的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓方程解的存在性. 值得注意
的是:我们采用问题(1)的证明方法去证明问题(2)的基态解的存在性.
5) 基于𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项, 我们研究了𝑝=2的情形也就是𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛项, 由于能量泛函的最高次数
是4,导致不满足山路结构.为了克服困难,我们需要加扰动项𝑓.
接下来, 我们简单的介绍一下本文的结构. 第二部分, 给出本文所需的一些定义和命题. 第三部
分, 主要证明定理1通过扰动的方法和满足山路结构和(𝑃𝑆)条件. 第四部分, 讨论了带有多项式对数
非线性项基态解的存在性. 最后一部分主要证明定理带有扰动非线性𝑓的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓−𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛方
程基态解的存在性.
2.准备工作
设𝐻
1
0
(Ω)是通常的𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣空间,其范数是
||𝑢||
𝐻
1
0
=


Ω
|∇𝑢|
2
+𝑢
2

1/2
,𝑢∈𝐻
1
0
(Ω).
根据𝑉的条件,定义范数:
||𝑢||=


Ω
(|∇𝑢|
2
+𝑉𝑢
2
)

1/2
,𝑢∈𝐻
1
0
(Ω).
则||·||与||·||
𝐻
1
0
是等价的.对任意的𝑝∈[1,+∞),𝐿
𝑝
(Ω)是通常的𝐿𝑒𝑏𝑒𝑠𝑔𝑢𝑒空间, 其标准范数为
|𝑢|
𝑝
=


Ω
|𝑢|
𝑝

1/𝑝
,𝑢∈𝐿
𝑝
(Ω).
用|·|表示𝐿𝑒𝑏𝑒𝑠𝑔𝑢𝑒测度,𝑜
𝑛
(1)表示无穷小量.根据文献[16–19], 我们有下面的对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式.
命题1(对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式)设𝛼>0, 则对于所有的𝑢∈𝐻
1
(R
3
)∖{0},有
2

R
3
𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
+3(1+log𝑎)|𝑢|
2
2
≤
𝑎
2
𝜋

R
3
|∇𝑢|
2
.
DOI:10.12677/orf.2022.122045432运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
对于所有的𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},当𝑥∈R
3
∖Ω时,定义𝑢(𝑥) = 0,根据命题1,有

Ω
|𝑢
2
|log
|𝑢|
|𝑢|
2
≤
𝑎
2
2𝜋

Ω
|∇𝑢|
2
−
3
2
(1+log𝑎)|𝑢|
2
2
.
命题2(𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式) 设𝑠,𝑡>1,𝛼∈(0,3)且1/𝑠+1/𝑟=1+𝛼/3.存
在常数𝐶(𝛼,𝑠,𝑟) >0使得对任意𝑔∈𝐿
𝑠
(Ω)和ℎ∈𝐿
𝑟
(Ω),有

Ω

Ω
𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)
|𝑥−𝑦|
3−𝛼
d𝑥d𝑦6𝐶(𝛼,𝑠,𝑟)|𝑔|
𝑠
|ℎ|
𝑟
.
根据𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式, 有

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥6𝐶
1
|𝑢|
2𝑝
𝑝𝑟
,
其中𝑟= 6/(3+𝛼). 关于更多𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式,可参看文献[11–14].
为了完成定理1的证明,我们需要给出下列重要的命题.
命题3定义下列的能量泛函族{𝐽
𝜆
}
𝜆∈Λ
⊂𝐶
1
(𝐻
1
0
(Ω),R),
𝐽
𝜆
(𝑢) = 𝐴(𝑢)−𝜆𝐵(𝑢),𝑢∈𝐻
1
0
(Ω),𝜆∈Λ,
其中𝐵(𝑢) ≥0,𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)和𝜆∈[𝛿,1],𝛿∈(0,1), 而且
lim
‖𝑢‖→∞
𝐴(𝑢) = ∞,
或者
lim
‖𝑢‖→∞
𝐵(𝑢) = ∞.
对所有的𝜆∈Λ, 令
Γ
𝜆
= {𝛾∈𝐶([0,1],𝐻
1
0
(Ω)) : 𝛾(0) = 0,𝐽
𝜆
(𝛾(1)) <0}.(4)
如果对每一个𝜆∈Λ, Γ
𝜆
非空,并且都有
𝑐
𝜆
=inf
𝛾∈Γ
𝜆
max
𝑡∈[0,1]
𝐽
𝜆
(𝛾(𝑡)) >0,
那么,对几乎处处的每一个𝜆∈[𝛿,1], 存在序列{𝑢
𝑛
}⊂𝐻
1
0
(Ω),使得
(i){𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中是有界的;
(ii)𝐽
𝜆
(𝑢
𝑛
) →𝑐
𝜆
;
(iii)在𝐻
1
0
(Ω)中,𝐽
′
𝜆
(𝑢
𝑛
) →0.
DOI:10.12677/orf.2022.122045433运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
3.主要结果的证明
根据命题3,定义下面的能量泛函族:
𝐴(𝑢) =
1
2

Ω
(𝑎|∇𝑢|
2
+𝑉𝑢
2
)+
𝑏
4
||𝑢||
4
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|+
1
4

Ω
𝐻𝑢
2
,
显然,lim
‖𝑢‖→∞
𝐴(𝑢) = ∞和
𝐵(𝑢) =
1
2𝑝

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥,𝐵(𝑢) >0.
有
𝐽
𝜆
(𝑢)=
1
2

Ω
(𝑎|∇𝑢|
2
+𝑉𝑢
2
)+
𝑏
4
||𝑢||
4
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
𝑙𝑛|𝑢|+
1
4

Ω
𝐻𝑢
2
−𝜆
1
2𝑝

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥, 𝑢∈𝐻
1
0
(Ω).
则𝐽
𝜆
∈𝐶
1
(𝐻
1
0
(Ω),R)且
⟨𝐽
′
𝜆
(𝑢),𝑣⟩=

Ω
(𝑎∇𝑢·∇𝑣+𝑉𝑢𝑣)+𝑏||𝑢||
2

Ω
(𝑢,𝑣)−

Ω
𝐻𝑢𝑣log|𝑢|
−𝜆

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝−2
𝑢𝑣d𝑥, 𝑢,𝑣∈𝐻
1
0
(Ω).
接下来,我们给出四个重要的引理.
引理1对于所有的𝜆∈[𝛿,1], Γ
𝜆
̸= ∅.
证明取𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},则对于所有的𝜆∈[𝛿,1], 有
𝐽
𝜆
(𝑡𝑢)=
𝑡
2
2
||𝑢||
2
+
𝑡
2
2

Ω
𝑉𝑢
2
+
𝑏𝑡
4
4
||𝑢||
4
−
𝑡
2
2

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑡𝑢|+
𝑡
2
4

Ω
𝐻𝑢
2
−
𝜆𝑡
2𝑝
2𝑝

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥
≤
𝑡
2
2
||𝑢||
2
+
𝑡
2
2

Ω
𝑉𝑢
2
+
𝑏𝑡
4
4
||𝑢||
4
−
𝑡
2
log𝑡
2

Ω
𝐻|𝑢|
2
2
−
𝑡
2
2

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
+
𝑡
2
4

Ω
𝐻𝑢
2
−
𝜆𝑡
2𝑝
2𝑝

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥,𝑡>0.
注意到𝑝∈(2,3+𝛼), 𝛼∈(0,3). 因此,当𝑡→∞时, 有𝐽
𝜆
(𝑡𝑢) →−∞. 不难发现,存在足够大的𝑡
0
, 对
于𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},使得𝐽
𝜆
(𝑡
0
𝑢) <0.
接下来, 给出带有势函数𝐻对数非线性项的一个重要不等式.设Ω
1
= {𝑥∈Ω :|𝑢(𝑥)|/|𝑢|
2
<1},
DOI:10.12677/orf.2022.122045434运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
对于所有的𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},根据H¨older不等式和命题1,我们有

Ω
𝐻𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
=

Ω
1
𝐻𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
+

Ω∖Ω
1
𝐻𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
6𝑀

Ω
1
𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
+𝑀


Ω
𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
−

Ω
1
𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2

6𝑀|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2
+𝑀

𝑎
2
2𝜋

Ω
|∇𝑢|
2
−
3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
+|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

6𝑀

𝑎
2
2𝜋

Ω
|∇𝑢|
2
−
3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
+2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

.
对于所有的𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},有
𝐽(𝑢)>
1
2

Ω
𝜇|∇𝑢|
2
+
𝑏
4
‖𝑢‖
4
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
log
|𝑢|
|𝑢|
2
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
2
−𝐶
1
𝑘|𝑢|
2𝑝
𝑝𝑟
>
1
4

2𝜇−
𝑀𝑎
2
𝜋


Ω
|∇𝑢|
2
+
𝑏
4
‖𝑢‖
4
+
𝑀
4
(3+3log𝑎−4|Ω|
1/2
−2log|𝑢|
2
)|𝑢|
2
2
−𝐶
2
𝑘‖𝑢‖
2𝑝
.
其中𝜇= 1−𝑆
−1
|𝑉
−
|
3/2
.当|𝑢|
2
<𝑎
3
2
𝑒
3−4|Ω|
1/2
2
,有
3+3log𝑎−4|Ω|
1/2
−2log|𝑢|
2
>0.
另一方面,根据𝑎的任意性,存在𝑎>0使得
2𝜇−
𝑀𝑎
2
𝜋
>0.
取‖𝑢‖=𝜌>0足够小,存在𝑐>0,使得对所有的𝜆∈[𝛿,1],有𝐽
𝜆
(𝑢)≥𝑐.因此,Γ
𝜆
̸=∅,所以存
在𝛾∈Γ
𝜆
. 于是, 固定𝜆∈Λ, 根据Γ
𝜆
的定义, 我们就可得到||𝛾(1)||
𝐻
1
0
(Ω)
>𝑟. 利用连续函数介值性定
理,那么就存在𝑡
0
∈(0,1),使得||𝛾(𝑡
0
)||
𝐻
1
0
(Ω)
= 𝑟.因此,有
𝑐
𝜆
≥inf
𝛾∈Γ
𝜆
𝐽
𝜆
(𝛾(𝑡
0
)) ≥𝑐>0.
引理2对于所有的𝜆∈[𝛿,1],𝐽
𝜆
的每一个有界𝑃𝑆序列都有收敛子列.
证明设{𝑢
𝑛
}⊂𝐻
1
0
(Ω)是𝐽
𝜆
的一个有界𝑃𝑆序列,则存在𝐶>0,使得对所有的𝑛, |𝐽
𝜆
(𝑢
𝑛
)|≤𝐶;
DOI:10.12677/orf.2022.122045435运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
当𝑛→∞时,𝐽
′
𝜆
(𝑢
𝑛
)→0.因为{𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中有界,则存在弱收敛的子序列{𝑢
𝑛
},在𝐻
1
0
(Ω)中
有𝑢
𝑛
⇀𝑢.
𝑜
𝑛
(1)=⟨𝐽
′
𝜆
(𝑢
𝑛
)−𝐽
′
𝜆
(𝑢),𝑢
𝑛
−𝑢⟩
=||𝑢
𝑛
−𝑢||
2
+

Ω
𝑉(𝑢
𝑛
−𝑢)
2
+𝑏[||𝑢
𝑛
||
4
−||𝑢
𝑛
||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)−||𝑢||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)+||𝑢||
4
]
−

Ω
(𝐻𝑢
𝑛
log|𝑢
𝑛
|−𝐻𝑢log|𝑢|)(𝑢
𝑛
−𝑢)
−

Ω
[(𝐼
𝛼
*|𝑢
𝑛
|
𝑝
)|𝑢
𝑛
|
𝑝−2
𝑢
𝑛
−(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝−2
𝑢](𝑢
𝑛
−𝑢)d𝑥.
根据𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣嵌入定理和𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式, 有
⃒
⃒
⃒
⃒

Ω
(𝐻𝑢
𝑛
log|𝑢
𝑛
|−𝐻𝑢log|𝑢|)(𝑢
𝑛
−𝑢)d𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
→0.
和
⃒
⃒
⃒
⃒

Ω
[(𝐼
𝛼
*|𝑢
𝑛
|
𝑝
)|𝑢
𝑛
|
𝑝−2
𝑢
𝑛
−(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝−2
𝑢](𝑢
𝑛
−𝑢)d𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
→0.
此外,因为𝑉∈𝐿
3/2
,则有

Ω
𝑉(𝑢
𝑛
−𝑢)
2
d𝑥→0.
𝑜
𝑛
(1) = ||𝑢
𝑛
−𝑢||
2
+𝑏[||𝑢
𝑛
||
4
−||𝑢
𝑛
||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)−||𝑢||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)+||𝑢||
4
],
注意到
||𝑢
𝑛
||
4
−||𝑢
𝑛
||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)−||𝑢||
2

Ω
(𝑢
𝑛
,𝑢)+||𝑢||
4
≥||𝑢
𝑛
||
4
−||𝑢
𝑛
||
3
||𝑢||−||𝑢||
3
||𝑢
𝑛
||+||𝑢||
4
= (||𝑢
𝑛
||
3
−||𝑢||
3
)(||𝑢
𝑛
||−||𝑢||) ≥0.
因此,有||𝑢
𝑛
−𝑢||
𝐻
1
0
(Ω)
→0.
引理3对几乎处处的每一个𝜆∈𝐻
1
0
(Ω),存在𝑢
𝜆
∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0},使得𝐽
𝜆
(𝑢
𝜆
) = 𝑐
𝜆
且𝐽
′
𝜆
(𝑢
𝜆
) = 0成
立.
证明根据引理2和𝜆
𝑛
∈𝐶
1
(𝐻
1
0
,R), 我们容易得出引理3的结论.
引理4设{𝑢
𝑛
}是𝐽
𝜆
𝑛
在水平𝑐
𝜆
𝑛
的临界点序列,则对于所有的𝑛∈N, 序列{𝑢
𝑛
}是有界的.
证明因为{𝑢
𝑛
}是𝐽
𝜆
𝑛
在水平𝑐
𝜆
𝑛
的临界点序列,则存在𝐶>0,有|𝐽
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
)|≤𝐶且𝐽
′
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
) = 0.
DOI:10.12677/orf.2022.122045436运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
则
𝐶≥𝐽
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
)−
1
2𝑝
⟨𝐽
′
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
),𝑢
𝑛
⟩
=

1
2
−
1
2𝑝

||𝑢
𝑛
||
2
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝑉𝑢
2
𝑛
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢
𝑛
‖
4
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
−

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
2
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢
𝑛
||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢
𝑛
|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢
𝑛
|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)log|𝑢|
2
|𝑢|
2
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢
𝑛
‖
4
.
根据对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式,存在𝑎>0, 使得

3(1+log𝑎)
2
−2|Ω|
1/2

>0和𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
>0,从而有

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢
𝑛
||
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢
𝑛
‖
4
+

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)‖𝑢
𝑛
‖
3
<𝐶.
则{𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中有界.
定理1的证明因为𝜆
𝑛
→1
−
, 所以我们易知{𝑢
𝑛
}是𝐽的一个𝑃𝑆序列. 事实上, 序列{𝑢
𝑛
}的有界性
暗示了{𝐽(𝑢
𝑛
)}的有界性.另外, 因为
⟨𝐽
′
(𝑢
𝑛
),𝑣⟩= ⟨𝐽
′
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
),𝑣⟩+(𝜆
𝑛
−1)

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢
𝑛
|
𝑝
)|𝑢
𝑛
|
𝑝−2
𝑢
𝑛
𝑣d𝑥𝑣∈𝐻
1
0
(Ω),
所以𝐽
′
𝜆
𝑛
→0,这就说明{𝑢
𝑛
}是𝐽的一个有界𝑃𝑆序列. 于 是, 根据引理2, 则{𝑢
𝑛
}有一个收敛子列. 不
妨我们仍记为{𝑢
𝑛
},则有𝑢
𝑛
→𝑢,进而𝐽
′
(𝑢) = 0.再根据引理3,有
𝐽(𝑢) =lim
𝑛→∞
𝐽(𝑢
𝑛
) =lim
𝑛→∞
𝐽
𝜆
𝑛
(𝑢
𝑛
) ≥𝑐>0.
因此,问题(1)有一个非平凡解.设
𝐾= {𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0}: 𝐽
′
(𝑢) = 0}.
显然, 𝐾是非空的. 于是我们断言, 存在𝜌>0, 使得对所有的𝑢∈𝐾, 都有||𝑢||
𝐻
1
0
(Ω)
≥𝜌成立.对所有
的𝑢∈𝐾,有
0 = ⟨𝐽
′
(𝑢),𝑢⟩= ||𝑢||
2
+

Ω
𝑉𝑢
2
+𝑏||𝑢||
4
−

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|−

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
d𝑥.
根据对数不等式和𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式, 存在𝐶
2
,𝐶
4
>0使得
‖𝑢
𝑛
‖
2
+‖𝑢
𝑛
‖
4
=𝑘

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢
𝑛
|
𝑝
)|𝑢
𝑛
|
𝑝
d𝑥+

Ω
𝐻𝑢
2
𝑛
log|𝑢
𝑛
|
6𝐶
2
‖𝑢
𝑛
‖
2𝑝
+𝐶
4
‖𝑢
𝑛
‖
4
.
DOI:10.12677/orf.2022.122045437运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
则
‖𝑢‖
2
6𝐶
2
‖𝑢‖
2𝑝
+𝐶
4
‖𝑢‖
4
.
进一步,我们推断出存在𝑐>0, 使得‖𝑢‖>𝑐.对所有的𝑢∈𝐾, 有
𝐽(𝑢)−
1
2𝑝
⟨𝐽
′
(𝑢),𝑢⟩
=

1
2
−
1
2𝑝

||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝑉𝑢
2
𝑛
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
−

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
2
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)log|𝑢|
2
|𝑢|
2
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)|𝑢|
3
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
.
则𝐽在𝐾上是强制的, 进而𝐽在𝐾上有下界. 因此,我们可以定义
𝑐
0
:= inf
𝐾
𝐽.
最后,设{𝑢
𝑛
}⊂𝐾是𝐽的一个极小化序列, 即
𝐽(𝑢
𝑛
) →𝑐
0
,𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.
类似于引理2和引理3的证明, 可知序列{𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中是有界,进而存在𝑢∈𝐻
1
0
(Ω), 使得𝑢
𝑛
→𝑢,
𝑛→∞,所以𝐽(𝑢)= 𝑐
0
且𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.又有𝑢̸= 0,因此, 𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)是问题(1)的一个基态解.
定理2的证明在𝐻
1
0
(Ω)上,定义关于问题(2)的能量泛函𝐽
1
𝐽
1
(𝑢) =
1
2

Ω
(|∇𝑢|
2
+𝑉𝑢
2
)+
𝑏
4
||𝑢||
4
−
1
2𝑝

Ω
|𝑢|
2𝑝
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|+
1
4

Ω
𝐻𝑢
2
,
对于所有的𝑢∈𝐻
1
0
(Ω).通过计算,有𝐽
1
∈𝐶
1
(𝐻
1
0
(Ω),R). 此外,
⟨𝐽
′
1
(𝑢),𝑣⟩=

Ω
(∇𝑢·∇𝑣+𝑉𝑢𝑣)+𝑏||𝑢||
2
(𝑢,𝑣)−

Ω
|𝑢|
𝑝−2
𝑢𝑣−

Ω
𝐻𝑢𝑣log|𝑢|,
对于所有的𝑣∈𝐻
1
0
(Ω).
DOI:10.12677/orf.2022.122045438运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
类似于问题(1)的证明方法,易证,问题(2)存在非平凡解.这里我们忽略这部分的证明.
接下来,我们证明问题(2)存在基态解.设
𝐾
1
= {𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)∖{0}: 𝐽
′
(𝑢) = 0}.
显然,𝐾
1
是非空的.于是,我们断言,存在𝜌>0,使得对所有的𝑢∈𝐾
1
,都有||𝑢||
𝐻
1
0
(Ω)
≥𝜌成立且
0 = ⟨𝐽
′
(𝑢),𝑢⟩= ||𝑢||
2
+

Ω
𝑉𝑢
2
+𝑏||𝑢||
4
−

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|−

Ω
(𝐼
𝛼
*|𝑢|
𝑝
)|𝑢|
𝑝
𝑑𝑥.
根据对数不等式和𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式, 有
‖𝑢
𝑛
‖
2
+‖𝑢
𝑛
‖
4
6𝐶
2
‖𝑢
𝑛
‖
2𝑝
+𝐶
4
‖𝑢
𝑛
‖
4
.
则
‖𝑢‖
2
6𝐶
2
‖𝑢‖
2𝑝
+𝐶
4
‖𝑢‖
4
.
进一步,我们推断出存在𝑐>0, 使得‖𝑢‖>𝑐.对所有的𝑢∈𝐾
1
,有
𝐽(𝑢)−
1
2𝑝
⟨𝐽
′
(𝑢),𝑢⟩
=

1
2
−
1
2𝑝

||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝑉𝑢
2
𝑛
+

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
−

1
2
−
1
2𝑝


Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
2
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)log|𝑢|
2
|𝑢|
2
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)|𝑢|
3
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
.
则𝐽在𝐾上强制, 进而𝐽在𝐾上是有下界. 因此,我们可以定义
𝑐
1
:= inf
𝐾
𝐽.
DOI:10.12677/orf.2022.122045439运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
最后,设{𝑢
𝑛
}⊂𝐾是𝐽的一个极小化序列, 即
𝐽(𝑢
𝑛
) →𝑐
1
,𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.
类似于引理2和引理3的证明，序列{𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中有界，进而存在𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)，使得𝑢
𝑛
→𝑢,
𝑛→∞,所以𝐽(𝑢)= 𝑐
1
且𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.又有𝑢̸= 0,因此,𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)是问题(2)的一个基态解.
定理3的证明首先,定义问题(3)的能量泛函族:
𝐽
2𝜆
(𝑢)=
1
2

Ω
(𝑎|∇𝑢|
2
+𝑉𝑢
2
)+
𝑏
4
||𝑢||
4
−
1
2

Ω
𝐻𝑢
2
𝑙𝑛|𝑢|+
1
4

Ω
𝐻𝑢
2
−
1
4

Ω
𝜑
𝑢
𝑢
2
−𝜆

Ω
𝐹(𝑥,𝑢),𝑢∈𝐻
1
0
(Ω).
则𝐽
2𝜆
∈𝐶
1
(𝐻
1
0
(Ω),R)且
⟨𝐽
′
2𝜆
(𝑢),𝑣⟩=

Ω
(𝑎∇𝑢·∇𝑣+𝑉𝑢𝑣)+𝑏||𝑢||
2
(𝑢,𝑣)−

Ω
𝐻𝑢𝑣log|𝑢|
−
1
4

Ω
𝜑
𝑢
𝑢𝑣−𝜆

Ω
𝑓(𝑥,𝑢)𝑣,𝑢,𝑣∈𝐻
1
0
(Ω).
类似于定理1的证明, 根据𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项的性质和命 题, 我们可知问题(3)存在非平凡解. 由于大部
分证明类似,我们在这里忽略,值得注意的是我们取𝐵(𝑢) = 𝜆

Ω
𝐹(𝑥,𝑢).
设
𝐾
2
= {𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)/{0}: 𝐽
′
2
(𝑢) = 0,𝜆= 1}.
显然, 𝐾
2
是非空的. 于是, 我们断言存在𝜌>0, 使得对所有的𝑢∈𝐾
2
, 都有||𝑢||
𝐻
1
0
(Ω)
≥𝜌成立. 则对所
有的𝑢∈𝐾
2
,有
0 = ⟨𝐽
′
(𝑢),𝑢⟩= ||𝑢||
2
+

Ω
𝑉𝑢
2
+𝑏||𝑢||
4
−

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|−
1
4

Ω
𝜑
𝑢
𝑢
2
−

Ω
𝑓(𝑥,𝑢)𝑢.
根据文献[20–22],我们推出

𝑅
𝜑𝑢
2
≤4||𝑢||
4
.根据条件𝐻(𝑓), 有
‖𝑢‖
2
+‖𝑢‖
4
+
𝑀
4
(3+3log𝑎−4|Ω|
1/2
−2log|𝑢|
2
)|𝑢|
2
2
=

Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|+
1
4

Ω
𝜑
𝑢
𝑢
2
+

Ω
𝑓(𝑥,𝑢)𝑢
6𝐶
2
‖𝑢‖
2𝑝
+𝐶
4
‖𝑢‖
4
+
𝑓
0
+1
2
|𝑢|
2
2
+𝐶‖𝑢‖
𝑞
.
根据对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式,有
‖𝑢‖
2
6𝐶
4
‖𝑢‖
4
+𝐶‖𝑢‖
𝑞
.
DOI:10.12677/orf.2022.122045440运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
进一步,我们推断出存在𝑐>0, 使得‖𝑢‖>𝑐.对所有的𝑢∈𝐾
2
,有
𝐽
2
(𝑢)−
1
4
⟨𝐽
′
2
(𝑢),𝑢⟩
=

1
2
−
1
4

||𝑢||
2
+

1
2
−
1
4


Ω
𝑉𝑢
2
𝑛
+

1
4
−
1
4

‖𝑢‖
4
+

Ω
(
1
4
𝑓(𝑥,𝑢)𝑢−𝐹(𝑥,𝑢))
+

1
2
−
1
4


Ω
𝐻𝑢
2
−

1
2
−
1
4


Ω
𝐻𝑢
2
log|𝑢|
2
+(
1
4
−
1
4
)

Ω
𝜑
𝑢
𝑢
2
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)log|𝑢|
2
|𝑢|
2
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
≥

1
2
−
1
2𝑝

(𝜇−𝑀
𝑎
2
2𝜋
)||𝑢||
2
+

1
2
−
1
2𝑝

𝑀

3(1+log𝑎)
2
|𝑢|
2
2
−2|Ω|
1/2
|𝑢|
2
2

−

1
2
−
1
2𝑝

(𝑀+1)|𝑢|
3
2
+

1
4
−
1
2𝑝

‖𝑢‖
4
.
则𝐽在𝐾上强制, 进而𝐽在𝐾上是有下界. 因此,我们可以定义
𝑐
2
:= inf
𝐾
𝐽.
最后,设{𝑢
𝑛
}⊂𝐾是𝐽的一个极小化序列, 即
𝐽(𝑢
𝑛
) →𝑐
2
,𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.
类似于引理2和引理3的证明,序列{𝑢
𝑛
}在𝐻
1
0
(Ω)中是有界的,进而存在𝑢∈𝐻
1
0
(Ω),使得𝑢
𝑛
→𝑢,
𝑛→∞,所以𝐽(𝑢) = 𝑐
2
且𝐽
′
(𝑢
𝑛
) = 0.又有𝑢̸= 0,因此, 𝑢∈𝐻
1
0
(Ω)是问题(3)的一个基态解.
4.总结
本文利用单调性技巧, 对数𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式和𝐻𝑎𝑟𝑑𝑦−𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒𝑤𝑜𝑜𝑑−𝑆𝑜𝑏𝑜𝑙𝑒𝑣不等式研究一类 带
有对数非线性项和𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓方程基态解的存在性. 值得注意的是势函数𝑉是变号
的, 对数非线性项含有势函数.另外, 为研究𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项参数趋于𝑁和0打下一定的基础, 我们猜
测带有对数非线性项和𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒非线性项的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓方程的基态解趋于带有对数非线性项和多项
式的𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓方程的基态解.
基金项目
项目名称：随机最优控制问题的高效MonteCarlo有限元法合同编号：国家自然科学基金项
目(11961008)。
DOI:10.12677/orf.2022.122045441运筹与模糊学
张凯月，罗贤兵
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