中国地质大学数学与物理学院，湖北 武汉

收稿日期：2024年3月27日；录用日期：2024年4月23日；发布日期：2024年4月30日

摘要

本文研究由常矩阵耦合的热方程采样控制系统的零能控和近似能控问题，所考虑的是给定采样周期情况下系统的两种能控性。我们通过热方程的唯一延拓性，Kalman能控性秩条件和采样周期的选取对系统的能控性进行了刻画。提出在给定采样周期下此类系统近似能控的一个充要条件；并说明当控制施加在整体区域时，这一条件也是在给定采样周期下此类系统零能控的一个充要条件，而当控制只施加在局部区域时，此类系统对任意周期都不是零能控的。

关键词

采样控制，零能控，近似能控，采样周期

Controllability of the Sampled-Data Controlled System of Heat Equations Coupled by Constant Matrices

Jitong Yang, Hanbing Liu

School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan Hubei

Received: Mar. 27^th, 2024; accepted: Apr. 23^rd, 2024; published: Apr. 30^th, 2024

ABSTRACT

This paper studies the null controllability and approximate controllability for sampled-data controlled systems of heat equations coupled by constant matrices. We consider two types of controllability under a given sampled-data period and characterize the controllability of the system through the unique continuation property of the heat equation, the Kalman rank condition and the selection of the sampled-data period. We provide a necessary and sufficient condition for the approximate controllability of such systems under a given sampled-data period; and show that when the control domain is equal to the entire space, this condition is also a necessary and sufficient condition for the null controllability of such systems under a given sampled-data period. However, when the control domain is a proper subset of the entire space, such systems are not null controllable for any period.

Keywords:Sampled-Data Controlled, Null Controllability, Approximate Controllability, Sampled-Data Period

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文的目标是研究关于一类常矩阵耦合的热方程采样控制系统的能控性，并分别提出此类系统的 $T-$ 零能控与 $T-$ 近似能控的充要条件，以及研究条件的适用范围。

在现有的研究文献中，连续时间控制系统及其时间离散化系统的能控性问题已取得诸多理论成果。如郭戈等 [1] 针对周期性系统(包括连续和离散两种情形)的能控性问题。对已有文献中有关周期为T的连续周期性系统的能控性结论进行了完善，推导出系统能控等价于单周期内能控的结论，并将这些结论直接推广到离散周期性系统；进一步探讨了离散前后周期性系统能控性保持不变的可能性 [2] ，证明在采用某种不等间距采样方式时，离散前后周期性系统的能控性保持不变。杨磊等 [3] 用循环不变子空间的性质研究了线性切换系统的能控性和能观性。得到线性周期切换系统完全能控和完全能观测的充分必要条件，进一步给出了一般线性切换系统完全能控和完全能观测的充分条件和必要条件。王俭等 [4] 就离散时间系统保持能控性与能观性的充分条件的物理意义，论证了该充分条件实质上就是信号可重构的临界条件，同时说明该充分条件实际上也是必要条件，在两个概念之间建立起类似于等价的联系。随着数字控制器以及计算机的发展，因为大多数控制都是通过数字技术在系统中实现的，这激发了对具有非连续控制的连续时间系统的研究。其中控制只在有限个时刻取到不为零的值的被称为脉冲控制，而控制在作用时间内取分段常值且只进行有限次变化的被称为采样控制 [5] 。有关热方程脉冲控制的能控性问题，Qin S.等 [6] 对Liu X.等 [7] 关于实现常微脉冲控制系统能控性的最小控制个数问题进行了完善，并得到了具有脉冲控制的热方程连续时间系统近似能控的一个充要条件。Wang L.等 [8] 研究了含实矩阵的热方程的约束近似零能控性，分别给出控制作用于系统全局和局部两种情况下系统是全局约束近似零能控的条件。而对于热方程采样控制系统的能控性研究，Wang G.等 [9] 对有界域中热方程的采样周期最优时间和最优控制关于采样间隔做了上下界的误差分析，给出了一种具有一致代价的 $L^2$ -近似零能控性。在此基础上设计了具有采样数据控制的热方程的时间最优控制，用来近似具有分布式控制的热方程的时间最优控制问题并证明其某种意义上的最优性。Lin P.等 [10] 中给出了一类具有时不变控制热方程的能观不等式和有一致代价的部分近似零能控性，并由此进一步建立了使有界域中采样控制的热方程稳定的输出反馈律。

与以往采样控制系统能控性有关的研究相比，本文所考虑的是关于热方程组的能控性问题，我们借鉴了Qin S.等 [6] 关于系统能控性的一些想法。在本文中我们对由一对常矩阵 $\left(A,B\right)$ 耦合的热方程采样控制系统进行了研究，定义了两种与采样周期T有关的能控性，结合热方程的唯一延拓性得出了关于系统能控性的两个主要结论。

2. 问题描述与主要结论

2.1. 问题介绍

为介绍本文研究的采样控制系统，这里我们先给出一些必要的定义和符号说明。设 $\Omega \subset {ℝ}^N\left(N\in {\mathbb{N}}^{+}=\left\{1,2,\cdots \right\}\right)$ 是一具有 $C^2$ 边界 $\partial \Omega$ 的有界域， $\omega \subset \Omega$ 是一非空开子集，其特征函数为 ${\chi }_{\omega }$ ， $\bar{\omega }$ 表示 $\omega$ 在 ${ℝ}^N$ 中的闭包，A和B分别是 $n\times n$ 和 $n\times m$ 实矩阵，视为从 ${ℝ}^n$ 和 ${ℝ}^m$ 到 ${ℝ}^n$ 的线性算子， ${\Delta }_n=diag\left\{\Delta ,\cdots ,\Delta \right\}$ ， $\Delta$ 为拉普拉斯算子。

定义 $\mathcal{A}={\Delta }_n-A$ ， $D\left(\mathcal{A}\right)=H^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\cap H_0^1\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，即对任意 $z\in D\left(\mathcal{A}\right)$ ， $\mathcal{A}z={\Delta }_{n}z-Az$ ，可以得出 $\mathcal{A}$ 在 $L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 上生成了一个 $C_0$ 半群 ${\left\{{\text{e}}^{\mathcal{A}t}\right\}}_{t\ge 0}$ 。

本文考虑如下热方程采样控制系统的零能控与近似能控问题：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}y\left(t\right)-\mathcal{A}y\left(t\right)={\chi }_{\omega }B{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\chi }_{\left[\left(k-1\right)T,kT\right)}\left(t\right)u_k},\begin{array}{cc}& \end{array}在\Omega \times {ℝ}^{+}中,\\ y\left(0\right)=y_0.\end{array}$ (2.1)

其中 ${\chi }_{\left[\left(k-1\right)T,kT\right)}\left(t\right)$ 表示区间 $\left[\left(k-1\right)T,kT\right)$ 上的特征函数， ${\left\{kT\right\}}_{k=1}^p\left(p\in {\mathbb{N}}^{+}\right)$ 被称为采样时刻， $T>0\left(T\in ℝ\right)$ 被称为采样周期， ${\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\subseteq L^2\left(\Omega ;{ℝ}^m\right)$ 被称为采样控制，容易得出方程(2.1)是适定的。记 $y\left(\cdot ;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)$ 为方程(2.1)的解，即

$y\left(t;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)={\text{e}}^{\mathcal{A}t}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\left(k-1\right)T}^{kT}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(t-\tau \right)}}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k,t\ge 0}.$ (2.2)

在本文中记 $\Vert \cdot \Vert$ 和 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 分别表示 $L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 上的范数和内积， $\sigma \left(A\right)$ 和 $\sigma \left({\Delta }_n\right)$ 分别表示所有A和 ${\Delta }_n$ 的特征值的集合， $A^{\ast }$ ， $B^{\ast }$ 和 ${\mathcal{A}}^{\ast }$ 分别代表A，B和 $\mathcal{A}$ 的伴随算子。

本文所考虑关于系统(2.1)的零能控与近似能控定义如下：

定义2.1

给定 $T>0$ ，若对任意 $y_0\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在 $p\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，和 ${\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\subseteq L^2\left(\Omega ;{ℝ}^m\right)$ 使得

$y\left(pT;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)=0.$ (2.3)

则称系统(2.1)是T-零能控的。

定义2.2

给定 $T>0$ ，若对任意 $\epsilon >0$ ， $y_0,y_1\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在 $p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 和 ${\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\subseteq L^2\left(\Omega ;{ℝ}^m\right)$ 使得

$\Vert y\left(pT;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)-y_1\Vert \le \epsilon .$ (2.4)

则称系统(2.1)是T-近似能控的。

定义2.3

对给定 $n\times n$ 实矩阵A，假设有q $\left(q\in {\mathbb{N}}^{+}\right)$ 个互不相同的特征值 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q$ ，若T对满足

$\mathrm{Re}\left[{\beta }_i-{\beta }_j\right]=0$ ，对任意 $i,j=1,2,\cdots ,q$

的A的特征值成立

$T\ne \frac{2l\pi }{\mathrm{Im}\left({\beta }_i-{\beta }_j\right)},l=\pm 1,\pm 2,\cdots$ (2.5)

则称采样周期T是非病态的，反之称采样周期T是病态的。

定义2.4

对给定 $n\times n$ 实矩阵A，定义如下集合 ${\mathcal{T}}_1$ 和 ${\mathcal{T}}_2$ ：

${\mathcal{T}}_1:=\left\{T|{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }=0,\exists i\in {\mathbb{N}}^{+},j\in \left\{1,\cdots ,q\right\},{\lambda }_i\in \sigma \left({\Delta }_n\right),{\beta }_j\in \sigma \left(A\right)\right\}.$ (2.6)

${\mathcal{T}}_2:=\left\{T|{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\ne 0,\forall i\in {\mathbb{N}}^{+},j\in \left\{1,\cdots ,q\right\},{\lambda }_i\in \sigma \left({\Delta }_n\right),{\beta }_j\in \sigma \left(A\right)\right\}.$ (2.7)

易知若采样周期T是非病态的，则 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 。

2.2. 主要结论

本文的主要结论阐述为以下两个定理。

定理2.1

(i) 当 $\Omega \backslash \bar{\omega }\ne \varnothing$ 时，对于任意采样周期T，系统(2.1)不是T-零能控的。

(ii) $\omega =\Omega$ 时，系统(2.1)是T-零能控的当且仅当 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 且 $rank\left(B,{\text{e}}^{AT}B,\cdots ,{\text{e}}^{A\left(n-1\right)T}B\right)=n$ 。

定理2.2

系统(2.1)是T-近似能控的当且仅当 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 且 $rank\left(B,{\text{e}}^{AT}B,\cdots ,{\text{e}}^{A\left(n-1\right)T}B\right)=n$ 。

推论2.3

(i) $\omega =\Omega$ 时，若T非病态且 $rank\left(B,AB,\cdots ,A^{n-1}B\right)=n$ ，则系统(2.1)是T-零能控的。

(ii) 若T非病态且 $rank\left(B,AB,\cdots ,A^{n-1}B\right)=n$ ，则系统(2.1)是T-近似能控的。

3. 定理2.1的证明

下面我们先给出几个证明定理2.1所需要的引理，引理3.1和引理3.2的证明过程分别参见文献 [6] 的定理3.2和引理4.3。

引理3.1设 ${\omega }_1$ 是 $\Omega$ 的非空开子集，V是 ${ℝ}^n$ 的子集，则以下两条结论成立：

(i) 若 $z\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 且 $t>0$ ， $z\left(x\right)\in V$ 对几乎处处的 $x\in \Omega \iff {\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}z\left(x\right)\in V$ 对于所有 $x\in {\omega }_1$ 。

(ii) 若 $z\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 且 $t>0$ ，则 ${\chi }_{{\omega }_1}{\text{e}}^{\mathcal{A}t}z=0$ 当且仅当 $z=0$ 。

引理3.2 设 $\left(A,B\right)$ 满足 $rank\left(B,AB,\cdots ,A^{n-1}B\right)<n$ 。则存在 $z\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ 使得 ${\chi }_{\omega }{B}^{\ast }{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}z=0$ 对于任意 $t>0$ 。

引理3.3 对任意 $t\ge 0$ 有以下等式成立

${\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}={\text{e}}^{-A^{\ast }t}{\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}.$

因为引理3.3的证明要点是 ${\Delta }_n$ 和 $A^{\ast }$ 的交换性，方便起见将这部分放在了引理3.5的证明中，这里省略了具体证明。

引理3.4对任意 $t>0$ ， $T\in {\mathcal{T}}_2$ 则有以下两结论成立：

(i) 对于任意的 $\bar{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在唯一 $\hat{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }\text{d}\tau \hat{y}}={\text{e}}^{\mathcal{A}t}\bar{y}.$

(ii) 对于任意的 $\bar{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在唯一 $\hat{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }\text{d}\tau \hat{y}}={\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}\bar{y}.$

引理3.4的证明：(i) 首先我们先证明对于任意的 ${\bar{y}}_1\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ， $T\in T_2$ ， $t>0$ ，存在唯一 $\hat{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\Delta }_n-A\tau }\text{d}\tau \hat{y}}={\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}{\bar{y}}_1$ (3.1)

设 ${\Psi }_{kj}={\phi }_k{e}_j$ ， $e_j$ 为 ${ℝ}^n$ 的单位向量，则 ${\left\{{\Psi }_{ij}\right\}}_{i\ge 1,1\le j\le n}$ 是 $L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 的一组正交基。对于任意的 ${\bar{y}}_1\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 可将其表示为

${\bar{y}}_1={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{+\infty }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{b}_{kj}}}{\Psi }_{kj},b_{kj}\in ℝ.$

并且有 ${\Vert {\bar{y}}_1\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}={\left({\displaystyle {\sum }_{k=1}^{+\infty }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{b}_{kj}^2}}\right)}^{1/2}$ 。显然 $\hat{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 是(3.1)的解等价于 $\hat{y}$ 可唯一表示为 $\hat{y}={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{+\infty }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{kj}}}{\Psi }_{kj},a_{kj}\in ℝ$ ，其中 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $1\le j\le n$ 。满足

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-A\tau }\text{d}\tau }{a}_{ij}{e}_j{\phi }_i\left(x\right)}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}{b}_{ij}{e}_j{\phi }_i}}\left(x\right).$ (3.2)

且 ${\Vert \hat{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}={\left({\displaystyle {\sum }_{k=1}^{+\infty }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{kj}^2}}\right)}^{1/2}<\infty$ ，其中 ${\lambda }_i\in \sigma \left({\Delta }_n\right)$ 。用 ${\text{b}}_i$ 表示 ${\left(b_{i1},\cdots ,b_{in}\right)}^{\prime }$ ，则(3.1)有唯一解 $\hat{y}$ 等价于存在唯一 ${\left\{{\text{a}}_i\right\}}_{i\in {\mathbb{N}}^{+}}\in L^2\left({\mathbb{N}}^{+};{ℝ}^n\right)$ 使得对每一 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-A\tau }\text{d}\tau }{\text{a}}_i={\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}{\text{b}}_i.$ (3.3)

对任意A存在非奇异矩阵P，使得 $\hat{A}=P^{-1}\left(A\right)P$ 是A的若当形式，用 ${\beta }_j,j=1,2,\cdots ,r$ 表示的A特征值，对每个j， ${\beta }_j$ 的代数重数记为 $m_j$ ，即

$\hat{A}=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_r\end{array}\right),$

其中 $J_j$ 是对角线为 ${\beta }_j$ 的若当块 $j=1,2,\cdots ,r$ 。记 ${\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i=P^{-1}{\text{a}}_i$ ， ${\text{<mover accent="true"> b <mo> ^ </mo> </mover>}}_i=P^{-1}{\text{b}}_i$ 。则存在唯一 ${\left\{{\text{a}}_i\right\}}_{i\in {\mathbb{N}}^{+}}\in L^2\left({\mathbb{N}}^{+};{ℝ}^n\right)$ 满足(3.3)等价于存在唯一 ${\left\{{\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i\right\}}_{i\in {\mathbb{N}}^{+}}\in L^2\left({\mathbb{N}}^{+};{ℝ}^n\right)$ 使得每一 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }{\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i={\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}{\text{<mover accent="true"> b <mo> ^ </mo> </mover>}}_i.$ (3.4)

而矩阵 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }$ 是上三角形式，又 $T\in {\mathcal{T}}_2$ ，故矩阵对角线上元素 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }$ 非零， $j=1,2,\cdots ,r$ 。因此对每一 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，有

$\det \left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{r}{\prod }}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\right)}^{m_j}}\ne 0.$ (3.5)

这意味着矩阵 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }$ 可逆，由此可得对每一 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，存在唯一 ${\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i$ 满足方程(3.4)，即

${\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)}^{-1}{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}{\text{<mover accent="true"> b <mo> ^ </mo> </mover>}}_i.$ (3.6)

接下来证明 ${\Vert \hat{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}<\infty$ ，即存在常数 $C>0$ 使得

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\Vert P{\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i\Vert }_{{ℝ}^n}^2}\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\Vert P{\text{<mover accent="true"> b <mo> ^ </mo> </mover>}}_i\Vert }_{{ℝ}^n}^2}.$ (3.7)

这里 ${\Vert \hat{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2={{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{+\infty }\Vert P{\text{<mover accent="true"> a <mo> ^ </mo> </mover>}}_i\Vert }}_{{ℝ}^n}^2$ ， ${\Vert {\bar{y}}_1\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2={{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{+\infty }\Vert P{\text{<mover accent="true"> b <mo> ^ </mo> </mover>}}_i\Vert }}_{{ℝ}^n}^2$ 。易知矩阵 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }$ 的元素是 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }$ 对于某些 $j=\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ 或者是 $\frac{1}{k!}{\displaystyle {\int }_0^T{\tau }^k{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }$ 对于某些 $j=\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ ， $k\in \left\{1,2,\cdots ,\bar{m}-1\right\}$ ，其中 $\bar{m}=\max \left\{m_j,j=1,2,\cdots ,r\right\}$ 。存在与 $i,j,k$ 无关的常数 $C_1\left(\sigma \left(A\right),T\right)\ge 1$ 和 $C_2\left(\sigma \left(A\right),T\right)\ge 1$ 使得对于所有 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $j=\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ ， $k\in \left\{1,2,\cdots ,\bar{m}-1\right\}$ ，

$\frac{1}{k!}{\displaystyle {\int }_0^T{\tau }^k{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\le C_1{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\le C_2{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }.$ (3.8)

定义集合 $O_i:=\left\{i\in {\mathbb{N}}^{+},{\lambda }_i-{\beta }_j=0,对某些j\in \left\{1,2,\cdots ,r\right\}\right\}$ 。存在与 $i,j,k$ 无关的常数 $C_3\left(\sigma \left(A\right),T\right)\ge 1$ ，使得对于所有 $i\in {\mathbb{N}}^{+}\backslash O_i$ ， $j=\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ ，

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\ge C_3{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }.$ (3.9)

用 $A_{jk}$ 表示矩阵 ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }$ 的代数余子式。由(3.8)可知存在与 $i,j,k$ 无关的常数 $C_4\ge 1$ ，使得 $A_{jk}\le C_4{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }\right)}^{n-1}$ ， $1\le j,k\le n$ 。由(3.9)可知存在与i无关的常数 $C_5\ge 1$ ，使得对于所有 $i\in {\mathbb{N}}^{+}\backslash O_i$ ， $\det \left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)\ge C_5{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }\right)}^n$ 。因此对于所有 $i\in {\mathbb{N}}^{+}\backslash O_i$ ，

$\Vert {\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)}^{-1}\Vert \le {\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{A_{jk}^2}{{\left(\det {\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)}^2}}}\right)}^{1/2}\le \frac{C_{4}n}{C_5{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }}.$ (3.10)

对于 $i\in O_i$ ，可知存在与i无关的常数 $C_6\ge 1$ ，使得 $\det \left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)\ge C_6{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }\right)}^{n-1}$ ，故对于 $i\in O_i$ ，

$\Vert {\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)}^{-1}\Vert \le \frac{C_{4}n}{C_6}.$ (3.11)

综上，我们由(3.6)，(3.10)和(3.11)推得使不等式(3.7)成立只需取

$C=\max \left\{\underset{i\in {\mathbb{N}}^{+}\backslash O_i}{\max }\frac{C_{4}n{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{C_5{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }\text{d}\tau }},\underset{i\in O_i}{\max }\frac{C_{4}n{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{C_6}\right\}<\infty .$

而不等式(3.7)成立意味着

${\Vert \hat{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2\le C\Vert P\Vert \Vert P^{-1}\Vert {\Vert {\bar{y}}_1\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2<\infty .$ (3.12)

由此得映射 ${\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\Delta }_n-A\tau }\text{d}\tau }\right)}^{-1}{\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}:{\bar{y}}_1\mapsto \hat{y}$ 在 $L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 上有界，于是我们证明了存在唯一 $\hat{y}$ 是(3.1)的解。又对于 $t>0$ ， ${\text{e}}^{At}$ 可逆，故对任意 ${\bar{y}}_1\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在唯一 $\bar{y}\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 使得

${\bar{y}}_1={\text{e}}^{-At}\bar{y}.$

结合(3.12)我们得到 ${\Vert \hat{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2\le C\Vert P\Vert \Vert P^{-1}\Vert {\Vert {\text{e}}^{-At}\bar{y}\Vert }_{L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)}^2<\infty .$ 综上我们证明了引理3.4的(i)。

(ii) 同理可证引理3.4的(ii)成立。

引理3.5对任意 $n\times n$ 矩阵A， $t>0$ ， $T\in {\mathcal{T}}_2$ 有下列等式成立

(i) ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\text{e}}^{\mathcal{A}t}={\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau$ 且 ${\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}t}$ 。

(ii) ${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }}\text{d}\tau {\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}={\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }}\text{d}\tau$ 且 ${\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }t}$ 。

引理3.5的证明：(i)由 $\mathcal{A}$ 的定义知 $\mathcal{A}={\Delta }_n-A$ ， ${\Delta }_n=\Delta I_{n\times n}$ ， $I_{n\times n}$ 表示n阶单位阵。 $\mathcal{A}$ 在 $L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 上生成了一个 $C_0$ 半群 ${\left\{{\text{e}}^{\mathcal{A}t}\right\}}_{t\ge 0}$ ， ${\text{e}}^{\mathcal{A}t}={\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}{\text{e}}^{-At}$ 。于是对任意 $n\times n$ 矩阵A， $z={\left(z_1,\cdots ,z_n\right)}^T\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，有

${\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}Az=\left(\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{\Delta t}& & \\ & \ddots & \\ & & {\text{e}}^{\Delta t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1j}{\text{e}}^{\Delta t}}{z}_1\\ ⋮\\ {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{nj}}{\text{e}}^{\Delta t}{z}_n\end{array}\right).$

$A{\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}z=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{\Delta t}& & \\ & \ddots & \\ & & {\text{e}}^{\Delta t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1j}{\text{e}}^{\Delta t}}{z}_1\\ ⋮\\ {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{nj}}{\text{e}}^{\Delta t}{z}_n\end{array}\right).$

其中 $a_{ij}\left(i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,n\right)$ 表示A的元素，由此可得 ${\text{e}}^{-At}{\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}={\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}{\text{e}}^{-At}$ 。故有

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\text{e}}^{\mathcal{A}t}={\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\Delta }_n\tau }}{\text{e}}^{-A\tau }\text{d}\tau {\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}{\text{e}}^{-At}={\text{e}}^{{\Delta }_{n}t}{\text{e}}^{-At}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\Delta }_n\tau }}{\text{e}}^{-A\tau }\text{d}\tau ={\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau .$

有上述等式成立则有

$\begin{array}{c}{\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}t}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}\\ ={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}t}.\end{array}$

(ii)与(i)同理可证，接下来我们依次证明定理2.1的(i)和(ii)。

证明：(i) 当 $\Omega \backslash \bar{\omega }\ne \varnothing$ 时，因为对任意 $T>0$ 或 $T\in {\mathcal{T}}_1$ 或 $T\in {\mathcal{T}}_2$ ，故第一步证明此时对任意 $T\in {\mathcal{T}}_1$ 系统(2.1)不是T-零能控的，第二步证明此时对任意 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 系统(2.1)也不是T-零能控的。第一步，任取采样周期 $T\in {\mathcal{T}}_1$ ，故此时存在 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $j\in \left(1,\cdots ,r\right)$ ，使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }=0.$

结合引理(3.5)可知对此时的 $i\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $j\in \left(1,\cdots ,r\right)$

$\det \left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\lambda }_i\tau }{\text{e}}^{-\hat{A}\tau }\text{d}\tau }\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{r}{\prod }}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\left({\lambda }_i-{\beta }_j\right)\tau }\text{d}\tau }\right)}^{m_j}}=0.$

这意味着存在 ${\phi }^{\prime }\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ 使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }\text{d}\tau {\phi }^{\prime }}=0.$

这意味着存在 $\phi \in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ 使得

${\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }\text{d}\tau \phi }=0.$ (3.13)

采用反证法，假设存在采样周期 $T\in {\mathcal{T}}_1$ 使系统(2.1)是T-零能控的。由定义2.1知，对于任意

$y_0\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ ，存在 $p\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， ${\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\subseteq L^2\left(\Omega ;{ℝ}^m\right)$ 使

$y\left(pT;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)={\text{e}}^{\mathcal{A}pT}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{P}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k=0}.$

于是与(3.13)一起有

$\begin{array}{l}\langle \phi ,{\text{e}}^{\mathcal{A}pT}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{P}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\rangle \\ =\langle {\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }pT}\phi ,y_0\rangle +{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}\langle {\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\left(p-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }\tau }}\text{d}\tau \phi ,{\chi }_{\omega }B{u}_k\rangle }\\ =\langle {\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }pT}\phi ,y_0\rangle =0.\end{array}$

由于 $y_0\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)$ 为任取的，这意味着 ${\text{e}}^{{\mathcal{A}}^{\ast }pT}\phi =0$ ，再由引理3.3与热方程的倒向唯一性我们得 $\phi =0$ ，与 $\phi \in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ 相矛盾，由此得出，当取采样周期 $T\in {\mathcal{T}}_1$ 时，系统(2.1)不是T-零能控的。注意到当取采样周期 $T\in {\mathcal{T}}_1$ ，此时无论控制域 $\omega$ 是否是全空间 $\Omega$ ，系统(2.1)都不是T-零能控的。

第二步，采用反证法，我们假设此时系统(2.1)对于某采样周期 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 是T-零能控的。那么根据定义2.1，任取 $y_0\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ ，存在 $p\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， ${\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\subseteq L^2\left(\Omega ;{ℝ}^m\right)$ 使得

$\begin{array}{l}0=y\left(pT;y_0,{\left\{u_k\right\}}_{k=1}^p\right)\\ \text{}={\text{e}}^{\mathcal{A}pT}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\left(k-1\right)T}^{kT}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(pT-\tau \right)}}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\\ ={\text{e}}^{\mathcal{A}pT}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\\ ={\text{e}}^{\mathcal{A}pT}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}+{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_P\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \left[{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}T}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right)+{\chi }_{\omega }B{u}_p\right].\end{array}$

结合引理3.4，其中

$\bar{y}=0,\hat{y}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}T}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right)+{\chi }_{\omega }B{u}_p.$

可得

${\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}T}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right)+{\chi }_{\omega }B{u}_p=0.$

因 $\Omega \backslash \bar{\omega }\ne \varnothing$ ，存在 $B_r\left(x_0\right)\subset \Omega$ 使得

$B_r\left(x_0\right)\subset \Omega \backslash \bar{\omega }.$ (3.14)

这里 $B_r\left(x_0\right)$ 表示在 ${ℝ}^N$ 上以 $x_0$ 为中心以 $r>0$ 为半径的邻域，这意味着在 $B_r\left(x_0\right)$ 上 ${\chi }_{\omega }B{u}_p=0$ ，结合引理3.5可知在 $B_r\left(x_0\right)$ 上

$\begin{array}{l}0={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}T}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right)\\ ={\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right).\end{array}$

令 $g={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}\left({\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}\right)$ 。

再由引理3.1的(ii)，其中

${\omega }_1=B_r\left(x_0\right),t=\frac{T}{2},z=g.$

我们得到对几乎处处的 $x\in \Omega$ 有

$g=0.$

由引理3.4和热方程倒向唯一性可知

${\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1\right)T}{y}_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p-1}{\sum }}{\text{e}}^{\mathcal{A}\left(p-1-k\right)T}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_k}=0.$ (3.15)

同理重复上述得到(3.15)的过程最终我们可得

${\text{e}}^{\mathcal{A}T}{y}_0+{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_1=0.$ (3.16)

由(3.16)结合引理3.5得

$\begin{array}{l}0={\text{e}}^{\mathcal{A}T}{y}_0+{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau {\chi }_{\omega }B{u}_1\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \left[{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0+{\chi }_{\omega }B{u}_1\right].\end{array}$

再由引理3.4得

${\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0+{\chi }_{\omega }B{u}_1=0.$

结合(3.14)我们发现在 $B_r\left(x_0\right)$ 上 ${\chi }_{\omega }B{u}_1=0$ ，再根据引理3.1的(ii)

此时 ${\omega }_1=B_r\left(x_0\right)$ ， $t=\frac{T}{2}$ ， $z={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0$ 。

得到

${\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0=0.$

令 $\bar{g}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \right)}^{-1}{\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0$ ，于是有

${\text{e}}^{\mathcal{A}\frac{T}{2}}{y}_0={\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\mathcal{A}\tau }}\text{d}\tau \bar{g}=0.$

进一步由倒向唯一性我们得出 $y_0=0$ ，这与 $y_0\in L^2\left(\Omega ;{ℝ}^n\right)\backslash \left\{0\right\}$ 相矛盾，因此假设不成立，故当 $\Omega \backslash \bar{\omega }\ne \varnothing$ 时，系统(2.1)对于任意非病态周期 $T\in {\mathcal{T}}_2$ 不是T-零能控的。定理2.1的(i)得证。

(ii) 当 $\omega =\Omega$ 时，我们先证明其充分性，为此，任取 $T\in {\mathcal{T}}_2$ ，并设 $rank\left(B,{\text{e}}^{AT}B,\cdots ,{\text{e}}^{A\left(n-1\right)T}B\right)=n$ 。我们定义如下 ${ℝ}^n$ 的子空间 $V_k$ ， $k\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$ ，

$V_k=\left\{{\text{e}}^{AkT}Ba\in {ℝ}^n:a\in {ℝ}^m\right\}.$ (3.17)

由假设和(3.17)得 ${ℝ}^n={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n-1}{V}_k}$ ，因此存在线性映射 $P_k:{ℝ}^n\to V_k$ 使对任意 $a\in {ℝ}^n$ 有 $a={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n-1}{P}_k}a$ 。从 $V_k$ 的定义可以看出对任意 $k\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$ ，有