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PureMathematics
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,2022,12(10),1615-1628
PublishedOnlineOctober2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2022.1210175
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TheAsymptoticBehaviorofSolutions
foraClassofNonclassical
Reaction-DiffusionEquationswith
FractionalLinearMemory
WenhuiMa,YingZhang
CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,LanzhouGansu
Received:Sep.11
th
,2022;accepted:Oct.10
th
,2022;published:Oct.18
th
,2022
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1615-1628.DOI:10.12677/pm.2022.1210175
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J
Abstract
Theasymptoticbehaviorofsolutionsforaclassofnonclassicalreaction-diffusione-
quationswithfractionallinearmemoryisinvestigated.bydefininganappropriate
Lyapunov
functional,itisprovedthatthesolutionofthesystemdecayspolynomially
whenthenonlinearterm
f
satisfiesthegrowthconditionandthememorykernel
g
decaysexponentially.Afterthat,weachievethatthesolutionisnon-exponentially
stablebymeansofthesemigrouptheory.
Keywords
Non-ClassicalReactionDiffusionEquations,FractionalLinearMemory,Polynomially
Decay
Copyright
c
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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DOI:10.12677/pm.2022.12101751617
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t>
0
,
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L
(
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0
.
Z
t
0
P
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L
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,
∀
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0
.
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Ú
n
8
9
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1
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−
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2
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P
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0
.
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dt
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t
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t
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d
dt
P
(
t
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t
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∀
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0
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Ò
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>
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t
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,
Œ
t
P
(
t
)
≤
Z
t
0
P
(
τ
)
dτ
≤
L
(0)
,
∀
t>
0
,
•
3
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C>
0
¦
P
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t
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t
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C
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3
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,
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-
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∀
λ
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.
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K
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m
Œ
+
,
·
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\
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ê
η
t
(
s
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u
(
t
)
−
u
(
t
−
s
)
,
(19)
DOI:10.12677/pm.2022.12101751624
n
Ø
ê
Æ
ê
©
¦
§
Ü
J
d
(1),(19)
Œ
u
t
−
∆
u
t
−
∆
u
−
G
∞
(
−
∆)
α
u
+
R
∞
0
g
(
s
)(
−
∆)
α
η
(
s
)
ds
+
f
(
u
) =
h
(
x
)
,x
∈
Ω
,t>
0
,
u
(
x,t
) = 0
,x
∈
∂
Ω
,t
≥
0
,
η
t
(
x,s
) = 0
,x
∈
∂
Ω
,s
≥
0
,t
≥
0
,
u
(
x,
0) =
u
0
(
x
)
,x
∈
Ω
,
η
0
(
x,s
) =
η
0
(
x,s
)
,x
∈
Ω
,s
≥
0
.
(20)
Ù
¥
G
∞
:=
R
∞
0
g
(
t
)
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,
Š
â
^
‡
(
h
4
)
Œ
•
G
∞
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1
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3
.
L
2
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R
+
,
D
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3
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,
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½
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1
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s
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−
∆)
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1
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−
∆)
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2
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2
(
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…
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Hilbert
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m
Z
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1
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2
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2
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,
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(
t
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u
(
t
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u
0
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0
]
>
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(20)
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t
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(21)
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u
+∆
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U
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(
s
)(
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∆)
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η
(
s
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,
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L
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g
R
+
,
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(
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2
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i
,
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(22)
DOI:10.12677/pm.2022.12101751625
n
Ø
ê
Æ
ê
©
¦
§
Ü
J
…
k
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i
k
L
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1
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Ù
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(
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‡
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1
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z
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…
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2
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(21)
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−
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u
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.
(23)
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λ
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s
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ν
.
…
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Ù
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d
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§
(23)
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qe
ν
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ν
+
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ν
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ν
−
G
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λ
α
ν
pe
ν
+
R
∞
0
g
(
s
)
λ
α
ν
ϕ
(
s
)
dse
ν
+
λ
ν
qe
ν
= 0
,
iλϕ
(
s
)
e
ν
−
qe
ν
+
ϕ
s
(
s
)
e
ν
=
λ
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α
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−
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e
−
λ
1
−
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ν
s
e
ν
.
(24)
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(24)
1
,(24)
2
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λ
2
pe
ν
+
λ
ν
pe
ν
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G
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λ
α
ν
pe
ν
+
Z
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0
g
(
s
)
λ
α
ν
ϕ
(
s
)
dse
ν
= 0
,
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λ
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λ
ν
,
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L
(24)
1
,
2
,
Œ
•
G
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p
=
Z
∞
0
g
(
s
)
ϕ
(
s
)
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(25)
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1
,
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§
(24)
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1
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,
Œ
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+
λ
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2
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1
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ν
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1
−
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λ
1
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ν
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(26)
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Š
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,
k
C
=
−
p
−
λ
−
α
+1
−
2
ν
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1
2
ν
−
λ
1
−
ν
.
DOI:10.12677/pm.2022.12101751626
n
Ø
ê
Æ
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©
¦
§
Ü
J
d
(26)
Œ
•
ϕ
(
s
) = (
−
p
−
λ
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−
2
ν
iλ
1
2
ν
−
λ
1
−
ν
)
e
−
i
√
λ
ν
s
+
p
+
λ
−
α
+1
−
2
ν
iλ
1
2
ν
−
λ
1
−
ν
e
−
λ
1
−
ν
s
,
(27)
Ï
L
(25)
Ú
(27),
k
g
(
s
) =
e
−
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,γ
∈
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+
.
p
=
λ
−
α
+1
−
2
ν
γ
+
λ
1
−
ν
.
Ï
d
,
é
?
¿
α
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[0
,
1),
•
3
∈
(0
,
1),
>α
¦
λ
ν
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ž
,p
≈
Cλ
−
α
+1
−
2
ν
,
-
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Ú
^
u
=
pe
ν
,
Œ
•
λ
ν
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ž
,
k
u
k
D
(
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1
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)
≈
λ
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α
2
ν
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.
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,
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Ú
n
11 ,
½
n
y
.
ë
•
©
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ê
Æ