完备次黎曼流形上Schrödinger算子的自伴性 The Self-Adjiontness of the Schrödinger Operator on Complete Sub-Riemannian Manifolds

doi:10.12677/AAM.2022.1110764

设为首页加入收藏期刊导航网站地图

期刊菜单

文章导航

AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2022,11(10),7201-7208

PublishedOnlineOctober2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam

https://doi.org/10.12677/aam.2022.1110764

完备次黎曼流形上Schr¨odinger算子的自伴性

陶陶陶一一一涞涞涞

浙江师范大学，数学与计算机科学学院，浙江金华

收稿日期：2022年9月19日；录用日期：2022年10月11日；发布日期：2022年10月20日

摘要

本文研究次黎曼流形上的Schr¨odinger算子在无界区域内的性质,并得到在完备的次黎曼流形上下

有界的该算子必定是本质自伴的。

关键词

次黎曼流形，Schr¨odinger算子，下有界，本质自伴

TheSelf-AdjiontnessoftheSchr¨odinger

OperatoronCompleteSub-Riemannian

Manifolds

YilaiTao

CollegeofMathematicsandComputerScience,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang

Received:Sep.19

,2022;accepted:Oct.11

,2022;published:Oct.20

,2022

Abstract

ThispaperstudiesthepropertiesoftheSchr¨odingeroperatoronsub-Riemannian

manifoldsintheunboundeddomain.Itisfurtherstudiedthatthesemibounded

operatormustbeessentiallyself-adjointoncompletesub-Riemannianmanifolds.

文章引用:陶一涞.完备次黎曼流形上Schr¨odinger算子的自伴性[J].应用数学进展,2022,11(10):7201-7208.

DOI:10.12677/aam.2022.1110764

陶一涞

Keywords

Sub-RiemannianManifold,Schr¨odingerOperator,Semibounded,EssentiallySelf-Adjoint

2022byauthor(s)andHansPublishersInc.

This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

1962年,TeruoIkebe和TosioKato在[1]中考虑R

上的二阶椭圆算子,

Tu=

j,k=1

∂

∂x

(x)]a

(x)[i

∂

∂x

(x)]u+q(x)u,(1.1)

其中a

(x)是实值函数,a

(x)= a

(x),b

(x)= 0,x=(x

,···,x

),i=

√

−1.设T

=T|

∞

)

他们提及这样一个问题:“在什么情况下,T

是L

)上的一个本质自伴算子?”.TosioKato考虑了

物理上的一个特殊例子,即由s个粒子组成的量子力学系统的Schr¨odinger算子,该系统是通过静态势

相互作用并受到外部静电和磁场的作用.此例中假设m= 3s,a

=δ

(x)=0,q(x)是外部静电

势和粒子间的相互作用势(是一种广义形式的库伦势,通常具有强奇异性),由于q(x)不满足Stark效

应, 所以最后的结果不太理想.后来TosioKato的结论被多位作者推广,最主要的是Stummel在[2]中

处理了上述例子a

(x)=a

(x),b

(x)6=0的情形,并引入q的一个具有一般性的充分条件.虽然他

证明出T

的本质自伴性,但是q(x)仍然不满足Stark效应.Wienholtz进一步推广了Stummel的结论,

他在[3]中考虑了a

(x)6=a

(x),b

(x)6=0的情形,但是他的结论需要T

是下有界的.最后Teruo

Ikebe和TosioKato在[1]中假设a

(x),b

(x)是足够光滑的实值函数,对∀x∈R

,矩阵(a

(x))都是

对称且正定的,q∈L

loc

),其中L

loc



u:R

→R



∀DbR

,u∈L

(D)



,得出T

是本

质自伴的.另外,1983年RobertS.Strichartz在[4]中将上述问题推广到完备的黎曼流形M上,得出

当Schr¨odinger算子是下有界时,它在C

∞

(M)上是本质自伴的.

上述这些工作都是依靠椭圆型方程的理论完成的,PaulR.Chernoﬀ利用双曲型方程的理论也得

到类似的结果,有兴趣的读者可以参考[5].

根据前人的工作,本文将其推广至完备的次黎曼流形M上来.

定理1.1.设(M,H,g

;g)是一个完备的次黎曼流形,且设L= −∆

+q在C

∞

(M)上是下有界的,那

么L在C

∞

(M)上是本质自伴的.

另外我们还得出关于下有界的一个结论,这个结论是[6]中Thereom3.12的推广.

DOI:10.12677/aam.2022.11107647202应用数学进展

陶一涞

定理1.2.设(M,H,g

;g)是一个次黎曼流形,那么以下事实是等价的:

(i)L在C

∞

(M)上是下有界的.

(ii)对任意的Ω bM,算子L

M\Ω

是在C

∞

(M\Ω)上是下有界的.

(iii)存在Ω bM,使得算子L

M\Ω

是在C

∞

(M\Ω)上是下有界的.

2.预备知识

次黎曼几何的简介可以参看[7] [8].设M是m+d维光滑流形,TM是M的切丛,H是切丛TM的

一个m维子丛,子丛H称为M的水平丛.对任意开邻域U,可如下归纳定义{Γ

(U,H)}

i≥1

(U,H) = Γ(U,H),

i+1

(U,H) = Γ

(U,H)+[Γ

(U,H),Γ

(U,H)]∀i∈Z

其中Γ(U,H)为H在U上的光滑截面空间,在不引起混淆的前提下,本文简记为Γ(U).

给定一个m+ d维光滑流形M,H是满足r步括号生成条件的水平分布,g

是定义在H上的度

量,(H,g

)称为M上的次黎曼结构.我们把被赋予次黎曼结构(H,g

)的流形M称为次黎曼流形,记

为(M,H,g

称g为g

的黎曼延拓,如果M上的黎曼度量g在H上的限制正好是g

.此后,我们在次黎曼

流形(M,H,g

)上固定一个黎曼延拓g,记为(M,H,g

;g).设V是H在黎曼延拓g下的正交补,显

然g

= g|

是V的度量.TM具有正交分解

TM= H⊕V,

并且诱导了两个投射π

: TM→H和π

: TM→V,此时称V是垂直分布.由H与V形成的分布也

分别记为H与V.

设(M

m+d

,H,g

;g)是次黎曼流形且子丛H的秩为m.称一个光滑向量场X在M上是水平的,如

果对∀p∈M, 有X

∈H

.设u是M上的光滑函数, 称∇

u是u的水平梯度, 如果对∀q∈M, ∀X∈H

有g

((∇

,X)=du(X).设Ω是(M,g)的一个开集,取其上的一个局部正交标架场{e

}

m+d

A=1

,使

得span{e

}

i=1

= H且span{e

}

m+d

j=m+1

= V,那么有

∇

i=1

u)e

.(2.1)

设X是(M,g)上的向量场,称div

X是X的散度,如果

div

m+d

A=1

g(X,e

)−g(X,∇

)},(2.2)

其中∇

是黎曼联络.

DOI:10.12677/aam.2022.11107647203应用数学进展

陶一涞

设u是(M

m+d

,H,g

;g)上的函数,称∆

u是u的sub-Laplacian,如果

∆

u= div

(∇

u).(2.3)

下面这个定理是次黎曼流形上的散度定理.

定理2.1.设(M,H,g

;g)是无边的次黎曼流形,记∆

是sub-Laplacian,则对函数u,v∈C

∞

(M),

满足

u∆

vdv

h∇

u,∇

vidv

= 0.

本文还涉及二阶椭圆型方程的相关内容,在此做简要介绍.设ΩbM,在分布意义下,Folland-

Stein空间S

(Ω)的定义如下:

(Ω) =



u∈L

(Ω)



∇

u∈L

(Ω),∀i≤k



,(2.4)

但S

k,0

(Ω)是C

∞

(Ω)在S

−范数下的闭包.当p=2,k=1时,S

(Ω)的对偶空间记为S

−1

(Ω),且

有S

(Ω) ⊂L

(Ω) ⊂S

−1

(Ω).

引理2.2.假设M是带光滑边界的次黎曼流形,ΩbM且g∈S

−1

(Ω),那么Dirichlet方程∆

f=g存

在唯一解f∈S

1,0

(Ω).

∆

在Folland-Stein空间中满足L

初始正则性提升,参考[9]中第121页定理3.4的证明方法.

定理2.3.假设对 1<p<∞,f∈L

loc

(Ω)且在分布意义下∆

f=g.如果g∈S

(Ω)其中k≤−1,那

么∀DbΩ,f∈S

k+2

(D)且

kfk

k+2

(D)

≤C(kgk

(Ω)

+kfk

(Ω)

).(2.5)

其中C与f,g无关.

当k∈N时,∆

在Folland-Stein空间中仍满足L

正则性提升(参考[10]的Theorem2.6).

由于本文是研究Schr¨odinger算子的自伴性,所以接下来先回顾泛函分析中关于自伴算子的

一些内容(具体可参考[11]).以下假设H是Hilbert空间,h·,·i

是其配备的内积,k·k

是它的范数.

设T: D(T) ⊂H→H是一个线性算子并且D(T)在H中是稠定的.记

D(T

∗

) = {y∈H|∃u∈H,使得hTx,yi

= hx,ui

,x∈D(T)}.(2.6)

事实上,由Riesz表示定理知,向量y∈H属于D(T

∗

)当且仅当映射x7→hTx,yi

是(D(T),k·

)上的一个有界线性泛函,或者等价地说,∃c

>0,使得|hTx,yi

|≤c

kxk

.因为D(T)在H中是

稠密的,向量u∈H,满足hTx,yi

=hx,ui

,∀x∈D(T)完全由y决定,所以我们得到一个定义良好

的映射T

∗

: H→H,T

∗

y= u,并且它还是线性的.因此,线性算子T

∗

称作T的伴随算子.根据前面的

定义,我们有

DOI:10.12677/aam.2022.11107647204应用数学进展

陶一涞

hTx,yi

= hx,T

∗

∀x∈D(T),∀y∈D(T

∗

).(2.7)

定义2.4.称T是对称的,如果

hTx,yi

= hx,Tyi

∀x,y∈D(T).(2.8)

注意对称算子不需要定义域是稠密的.不过当对称算子T的定义域D(T)在H中是稠密的,此

时T⊂T

∗

定义2.5.设T是一个对称算子,称T是下有界的,如果存在c∈R,使得

∀x∈D(T),hTx,xi

≥ckxk

.(2.9)

这样的c我们称之为T的下界.

定义2.6.设T是Hilbert空间H上的一个稠定对称算子,称T是自伴算子,如果T=T

∗

;称T是本质自

伴算子,如果它的闭包T是自伴算子,即(T)

∗

= T

∗

而下有界的算子和自伴算子有着密不可分的联系.

命题2.7(参考[11]中的Proposition3.9).设T是Hilbert空间H上一个下有界的的稠定对称算子.如果

存在λ∈R,使得Ker(T

∗

−λI) = {0},那么T是本质自伴的.

设(M,H,g

;g)是一个次黎曼流形,L

(M)是一个Hilbert空间,h·,·i是其配备的内积.众所周知,

∞

(M)在L

(M)中是稠密的.Schr¨odinger算子可定义为:

= −∆

+q: C

∞

(M) ⊂L

(M) →L

(M),(2.10)

其中∆

是sub-Laplacian.对任一个开集Ω⊂M,可类似定义在C

∞

(Ω)上的Schr¨odinger算子L

Ω

当Ω=M时,我们把L

简记为L.由散度定理可知，L是对称算子.类似于(2.9),可定义L是下有界

的.易知当q∈L

∞

(M)时,Schr¨odinger算子L是下有界的.

注记2.8.当Ω bM,q∈L

∞

loc

(M)时,L

Ω

在C

∞

(Ω)上是下有界的.事实上,

∀φ∈C

∞

(Ω),hL

Ω

φ,φi=

Ω

|∇

φ|

+qφ

≥

Ω

qφ

≥−kqk

∞

(Ω)

Ω

3.主要结果的证明

首先我们证明定理1.1.

DOI:10.12677/aam.2022.11107647205应用数学进展

陶一涞

Proof.我们假设q∈L

∞

loc

(M)=



u: M→R



∀DbM,u∈L

∞

(D)



以及L的下界是A,其中A是一

个常数,即

|∇

φ|

+qφ

≥A

,∀φ∈C

∞

(M).(3.1)

因为L是对称的,所以根据命题2.7,只需要证明存在实数λ,使得Ker(L

∗

−λI)={0}.假

设f∈Ker(L

∗

−λI),即在分布意义下(−∆

+q)f= λf.

取M的一个有界集D,且∂D是C

∞

.设χ是一个截断函数并满足suppχ⊂D.对∀ψ∈C

∞

(D),

∆

(χf)ψ= −

h∇

(χf),∇

ψi

= −

hf∇

χ+χ∇

f,∇

ψi

= −

h∇

χ,f∇

ψi−

h∇

f,χ∇

ψi

= −

h∇

χ,f∇

ψ+ψ∇

fi−

h∇

f,χ∇

ψ+ψ∇

χi

h∇

χ,ψ∇

fi+

h∇

f,ψ∇

χi

= −

h∇

χ,∇

(fψ)i−

h∇

f,∇

(χψ)i+2

h∇

χ,∇

fiψ

(f∆

χ)ψ+

(χ∆

f)ψ+

2h∇

χ,∇

fiψ,

从而得出,在分布意义下有∆

(χf) = f∆

χ+χ∆

f+2h∇

χ,∇

fi.

由于f∈L

(M),∆

f=(q−λ)f以及q∈L

∞

loc

(M),所以f∆

χ+ χ∆

f+ 2h∇

χ,∇

fi∈

(D) ⊂S

−1

(D).那么有χf满足Dirichlet方程







−∆

(χf) = g,在D内

χf= 0,在∂D上

(3.2)

其中g= −f∆

χ−χ∆

f−2h∇

χ,∇

fi∈S

−1

(D).由定理2.3知,χf∈S

1,0

(D),f∈S

1,loc

(M) =



u: S

(M) →R



∀DbM,u∈S

(D)



因为M是完备的,给定x

∈M,0 <r<+∞,取满足如下条件的截断函数

(1)ϕ

(x) = 1,在B(x

,r)上,

(2)ϕ

(x) = 0,在M\B(x

,2r)上,

(3)|∇

(x)|<

,其中常数C>0与r无关.

DOI:10.12677/aam.2022.11107647206应用数学进展

陶一涞

将fϕ

带入(−∆

+q)f= λf计算得,



∇

f,∇

(fϕ

)



+qf

|∇

(fϕ

+q(fφ

)

−

|∇

≥A

(fϕ

)

−

最后一个不等式由(3.1)得出.让r→+∞,可得(A−λ)

≤0.若A>0,令λ=A,那

么A

≤0.若A<0,令λ=2A,那么−A

≤0.故在L

(M)上f=0,Ker(λ−L

∗

)={0},

于是L是本质自伴的.

接下来证明定理1.2.

Proof.由定理内容知, 只需要证明(iii)能够推出(i)即可.设Ω bB

, B

是以半径为R的球.不失一般

性,∀φ∈C

∞

(M\Ω),

M\Ω

(∇

φ)

+qφ

≥0.而根据积分区域的单调性(参见[10]的Lemma2.10),

∀φ∈C

∞

(M\B

M\B

(∇

φ)

+qφ

≥0.(3.3)

令η(x) = ϕ(r(x)) ∈C

∞

)且满足

η|

≡1 且

|∇

η|

≤

其中r(x)是由黎曼度量g诱导的距离函数,C只依赖于ϕ

.因此我们取R1使得

≤1,直接计算

|∇

φ|

−

|∇

(1−η)φ|

(2η−η

)|∇

φ|

φ(1−η)h∇

η,∇

φi−

|∇

η|

≥

(2η−η

−|∇

η|

)|∇

φ|

−

((1−η)

+|∇

η|

)φ

≥

(1−

)η|∇

φ|

−C

≥−C

所以,

|∇

φ|

+qφ

≥

|∇

(1−η)φ|

+qφ

−C

|∇

(1−η)φ|

+q(1−η)

(2η−η

)qφ

−C

≥

M\B

|∇

(1−η)φ|

+q(1−η)

−C

≥−C

DOI:10.12677/aam.2022.11107647207应用数学进展

陶一涞

其中最后一个不等式是根据式(3.3),这意味着L在C

∞

(M)上是下有界的.

参考文献

[1]Ikebe,T.andKato,T.(1962)UniquenessoftheSelf-AdjointExtensionofSingularElliptic

DiﬀerentialOperators.ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis,9,77-92.

https://doi.org/10.1007/BF00253334

[2]Stummel, F.(1956) Singul¨are elliptischeDiﬀerentialoperatoren inHilbertschenR¨aumen.Math-

ematischeAnnalen,132,150-176.https://doi.org/10.1007/BF01452327

[3]Wienholtz,E.(1958)Halbbeschr¨anktepartielleDiﬀerentialoperatorenzweiterOrdnungvom

elliptischen Typus. MathematischeAnnalen, 135,50-80. https://doi.org/10.1007/BF01350827

[4]Strichartz,R.S.(1983)AnalysisoftheLaplacianontheCompleteRiemannianManifold.

JournalofFunctionalAnalysis,52,48-79.https://doi.org/10.1016/0022-1236(83)90090-3

[5]Chernoﬀ,P.R.(1973)EssentialSelf-AdjointnessofPowersofGeneratorsofHyperbolicEqua-

tions.JournalofFunctionalAnalysis,12,401-414.

https://doi.org/10.1016/0022-1236(73)90003-7

[6]Pigola,S.,Rigoli,M.andSetti,A.G.(2008)VanishingandFinitenessResultsinGeometric

Analysis:AGeneralizationoftheBochnerTechnique.SpringerScience&BusinessMedia,

Berlin.

[7]Dong,Y.(2021)Eells-SampsonTypeTheoremsforSubellipticHarmonicMapsfromSub-

RiemannianManifolds.TheJournalofGeometricAnalysis,31,3608-3655.

https://doi.org/10.1007/s12220-020-00408-z

[8]邹文婷.次黎曼流形上的次椭圆调和映射梯度估计[J].应用数学进展,2021,10(11):3912-3922.

https://doi.org/10.12677/AAM.2021.1011416

[9]陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京:科学出版社,2005.

[10]Gao,L., Lu,L. and Yang, G. (2022) Liouville Theorems of Subelliptic Harmonic Maps. Annals

ofGlobalAnalysisandGeometry,61,293-307.https://doi.org/10.1007/s10455-021-09811-3

[11]Schm¨udgen,K.(2012)UnboundedSelf-AdjointOperatorsonHilbertSpace.SpringerScience

&BusinessMedia,Berlin.https://doi.org/10.1007/978-94-007-4753-1

DOI:10.12677/aam.2022.11107647208应用数学进展