 Finance 金融, 2011, 1, 17-20 http://dx.doi.org/10.12677/fin.2011.11004 Published Online April 2011 (http://www.hanspub.org/journal/fin/) Copyright © 2011 Hanspub FIN Pricing of Reload Option on Stock Driven by Multidimensional Fractional Brown Motions* Dianli Zhao College of Science, University of Shanghai for Science & Technology, Shanghai Email:Dianli-zhao@163.com Received: Apr. 3rd, 2011; revised: Apr. 12th, 2011; accepted: Apr. 19th, 2011. Abstract: Price of the reload option on stock driven by multidimensional fractional brown motions was investigated in the paper; two pricing formulas were presented by using neutral-risk method. Keywords: Reload Option; Multidimensional Fractional Brown Motion; Neutral-Risk Method 多维分数布朗运动环境下再装期权定价公式* 赵佃立 上海理工大学理学院，上海 Email:Dianli-zhao@163.com 收稿日期：2011年4月3日；修回日期：2011年4月12日；录用日期：2011年4月19日 摘 要：本文研究了股价过程服从多维分数几何布朗运动时的再装期 权定价问题，通过风险中性 定价方 法分别给出了无风险利率与红利率为 常数和非随机函数 情况下再装期权的定价公式 ，并利用正态函数的 联合分布给出精确表达式。 关键词：多维分数布朗运动；再装期权； 红利 H Bt是指连续的 Gaussian 过程且满足 00 H B 1. 基础知识 ， 0 H EBt ， 再装期权是一种奇异的欧式看涨期权，它锁定了 持有人在到期前再装时刻的收益，从而相对降低了到 期日只能获得较低收入的风险，主要应用于公司的激 励机制。关于再装期权的理论研究已经吸引了许多研 究者的关注：Johnson[1]研究了服从连续扩散过程的再 装期权定价，冯广波等[2,3]利用二叉树模型研究了再装 期权的定价，并给出了价格服从跳–扩散过程的再装 期权定价公式；傅强等[4,5]研究了标的资产服从几何 O-U 过程的再装期权定价，并研究了其在经理激励中 的应用；李超杰等[6]讨论了再装期权中执行价格的决 定问题；本文将在标的资产符合几何分数布朗运动的 情况下讨论再装期权的风险中性定价。 具有 Hurst指数的分数布朗运动过程 0,1H 22 2 1 2 HH H HH EBs Bttst s。 从定义可知分数布朗运动具有的自相似和长称相 关性。设 i H Bt ,)是指概率空间 (, H HH F P ： ;1,2,,;0 i H tH F Bsim st 上参数为 0,1 i H的分数布朗运动，由构造过程知 0, d ii HH i R BMtsBs 0,1 i Bs N： 满足： 0,0, d sin 1 2 ij ij ijij HH R HH HHHH ij ij MtMsx tsst HH HH t 1 ddd i m tt iH i SSt ttBt 设含有非随机红利率函数 的股价过程满足： (1) *基金项目：*上海高校选拔培养优秀青年教师科研专项基金（No .slg029）。  多维分数布朗运动环境下再装期权定价公式 18 由文献[7]知，存在风险中性概率测度 ˆ H Pˆ P 1 ˆ dd i m iH Bt ，在概率 下(1)可表示为： 1 1111 101 2 ,, 231 231 0242 242 ,, ˆˆ ,, ,, ˆ ˆˆ ,, ,, rT rTR TTRTT rT rT VKTTSNdKe Nd eNdd KeN dd SNd dKeNd d d tt i SSrt tt (2) 其中 ˆi H Bt ˆ 为 H P下的分数布朗运动， 为无风险 利率。若记 rt 1i M m ii M 1 ˆˆ i m iH i B t ˆ d M tBt M Bt 、 ， 则(2)又可表示为： dd tt SSrt t ， 利用Wi 积分求得 ck exp 1ˆ (,) (,) 2 T Tt t SSrs sds RTT RttB ˆ MM TBt ˆM Bt ˆ 其中， 为 H P下的正态分布：期望为零、协方 差为 ,1 , sin2 ij ij HH HH m ij ij ts Rst HH 1 ij HH ij st HH t 。 引理 [7 任意有界 ] F 可测的终值收益 2 TL P rsds tT EhS E 11 :0TTT 1 1,0 T SK hS 的欧式未定权益的定价为： ,T t VSt e 其中 为在风险中性概率测度下的期望值。 2. 主要结论 执行价格为K，到期日为T，在 时刻 通过一次再装的期权支付为：在再装时刻T的支付为 max 在到期日 T时的支付为 11 1 )T TT S K S K r 1 1 max( ,0 ,, max( ,0) TT T KSS S FKTT SK 由此，可得如下结论： 定理 1 如果标的资产价格满足(1)，其中rt 、 ，则具有一次再装时刻 T1、到期时刻 T、执 行价格 K的再装期权在零时刻的价格为： 0t 其中 0 111111 1 ln, , 2 S drTRTTRTT K ， 0 21 1111 1 ln, , 2 S drTRTTRTT K ， 111 22 11 ,, ˆ, RTTRT T dd RT T ， 331 11 ˆ,2, ,ddRTTRTTRT T ， 111 3 111 1,, 2 ,2, , rTTRTTRT T dRTTRTTRT T ， 1 22 11 , ˆ ˆ, RTT dd RT T 44 ˆ,dd RTT ， ， 0 41 ln, , 2 S drTRTTRTT K 111 1 111 11 ,, ,,2, , RTTRT T RT TRTTRTTRT T ， 1 2 11 , ,, RTT RTTRT T 2 2 1d 2 u x Nxe u ， 22 2 2 21 2 1 ,, dd 21 uuvv xy Nxye yx 。 证明：由引理1， 1 1 11 1 1 1 ,,max( ),0 max( ),0 max( ),0 T T rT QT rT QTT SK T rT QTSK VKTTeESK K eES SI S eES KI 对于等式右边的第一项，利用文献[7]的结果知： Copyright © 2011 Hanspub FIN  Pricing of Reload Option on Stock Driven by Multidimensional Fractional Brown Motions 19 1 12 ( ),0 T rT S K e Nd 1 1 01 max rT Q VeE SNd K 其中： 0 11 11 1 ln , 2 S drTRT K 11 ,TRTT 0 21 11 1 ln , 2 S drTRT K 11 ,TRTT 下面来求等式右边第二项 1 1 1 1 2max max1 , 1TT rT QTT T rT QT T rT QT SS T K VeE SS S S eE KS S eEK I S 1 1 11 ,0 0 T T T SK SK S K I I I 作变换 11 11 , ˆˆ , MM RTT BTX YBT RT T 1 1 ,, RTTX 其中， 21 11 ,R TT T ,0,1XY N 11 2,, , RTT RT T RT 且互相独立 的随机变量 。 若记 111 ,RT T 0 11 1 ln , 2 , KrT TRTT S ART T ， 1 2 BrTTRTT 111 ,, RTT ， 1 11 , , RTT RT T a 从而 11 , 1 d d RT T a B x xybx yx 2 31 1 ˆˆ ,,Ndd 2 22 1 2 exp exp 2 rT A Ve KBa xy 整理后得 1111 ,, 2 23 ,, rTR TTRTT rT Ve KeN dd 其中 111 22 11 ,, ˆ, RTTRT T dd RT T ， 111 3 111 1,, 2 ,2, , rTTRTTRT T dRTTRTTRT T 331 11 ˆ,2, ,ddRTTRTTRT T 111 1 111 11 ,, ,,2, , RTTRT T RT TRTTRTTRT T 1 1 3max(),0 T TT rT QTSK rT QTSK SK VeESK I eES KII 下面来求等式右边第三项 作变换 1111 11 , ˆˆ ,, , MM RTT BTX YBTRTTX RT T 记 011 ln , 2 S CrTRTT K 则有 3 2 0 22 1 2 1 exp 2 expdd 2 rT a AxC M Ve SrT TaxyK xy yx 30 242242 ˆ ˆˆ ,, ,, rT VSNdd KeNdd 从而有 其中 1 22 11 , ˆ ˆ, RTT dd RT T ， 0 41 ln, , 2 S drTRTTRTT K ， 44 ˆ,dd RTT ，1 2 11 , ,, RTT RTTRT T 结合(3)(4)(5)可知结论成立。 证毕。 定理2 如果标的资产价格满足(1)，其中 rt、 t 为 非随机函数，则具有一次再装时刻T1、到期时刻T1、 Copyright © 2011 Hanspub FIN  多维分数布朗运动环境下再装期权定价公式 Copyright © 2011 Hanspub FIN 20 2 1 242 ,, T sds Nd dd Nd d 执行价格K的再装期权在零时刻的价格为： 11 00 1111 01 0 00 10 1 ,, 23 231 0242 ,, ˆˆ ,, ,, ˆ ˆˆ ,, TT TT T T T sds r rsdssdsRTTRT T rsds sds rsds VKTTSeNd Ke eN KeN dd SeN ddKe 其中 1 0 0 1 11 ln d , T Srss s K dRTT 11 1, 2RTT 1 0 0 2 11 ln d , T Srss s K dRTT 11 1, 2RTT 111 ,, ˆ, RTTRTT dd RT T 22 11 ， 33 1 11 ˆ,2, ,ddRTTRTTRTT 1 3 1 2 ,2, T Trss dsRTT dRTT RTT 11 111 ,, , RTT RTT ， 44 ˆ dd ,RTT ，1 22 11 , ˆ ˆ, RTT dd R TT ， 0 0 4 ln d , T Srss s K dRTT 1, 2RTT 111 1 111 11 ,, ,,2, , RTTRT T RT TRTTRTTRTT ， 1 2 11 , ,, RTT R TTRT T 证明：证明类似于定理1。 3. 结束语 再装期权作为一类奇异的欧式看涨期权，比具有 相同执行价格和相同有效期的经典欧式期权有更多的 权益，因而其价格高于经典期权的价格；不难发现再 装期权的价格低于两个期权价格的加和，从而为投资 者提供了更多的选择机会，与传统期权的结合将有可 能为期权理论取得更为广泛的应用。 参考文献 (References) [1] S. A. Johnson, Y. S. Tian. The value and incentive effects of nontraditional executive stock option plans. Journal of Finance Economics, 2000, 57(1): 3-34. [2] 冯广波, 刘再明, 候振挺. 用二项式期权定价模型估价美式 再装期权的价值[J]. 长沙铁道学院学报, 2002, 20(3): 71-73. [3] 冯广波, 刘再明, 候振挺. 服从跳–扩散过程的再装股票期 权的定价[J]. 系统工程学报, 2003, 18(1): 91-93. [4] 傅强, 喻建龙. 股票价格服从指数 O-U 过程的再装期权定价 [J]. 经济数学, 2006, 23(1): 36-40. [5] 傅强, 喻建龙. 再装期权定价及其在经理激励中的应用[J]. 商业研究, 2006, 49(343): 147-150. [6] 李超杰, 何建敏. 再装股票期权执行价格最低水平的决定[J]. 系统工程理论方法应用, 2004, 13(6): 508-511. [7] 刘韶跃, 丛金明, 杨向群. 多为分数次 Black-Scholes 模型中 欧式未定权的定价[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 2006, 33(3): 128-131. |