ABSTRACT

This paper shows that the centre of (−1)-quantum Weyl algebra is generated by.

Keywords:Weyl Algebra, Quantum Weyl Algebra, Centre of an Algebra, Cohomology

量子Weyl代数的中心

柳鲁宁，王艳华

上海财经大学数学学院，上海

Email: liuluningde@163.com, yhw@mail.shufe.edu.cn

收稿日期：2014年7月16日；修回日期：2014年8月15日；录用日期：2014年8月24日

摘  要

本文给出了(−1)-量子Weyl代数的中心是由生成的。

关键词

Weyl代数，量子Weyl代数，代数的中心，上同调

1. 引言

设是一个代数，的中心定义为代数中与所有元素可交换的元素集合，即。代数的中心对刻画代数本身的性质具有重要作用，如一个代数的零次上同调群就是代数的中心，即。另外，在新近的研究中，我们发现代数的中心对于研究代数的自同构群也起着重要作用，见参考文献[1] [2] 。以往的代数学者大多关注代数中心的性质，见参考文献[3] -[5] ，所研究代数涉及群代数、Leavitt路代数、Effect代数、Kumjian-Pask代数等众多代数，见参考文献[6] -[9] ，但对于计算代数的中心鲜少研究。

量子Weyl代数诞生于上世纪30年代。该代数具有独特的物理背景，是一个典型的结构清晰的无限维非交换代数，其涉及领域之广、研究成果之丰富在非交换代数领域中可以说是独一无二的。研究表明，量子Weyl代数与Lie代数、微分算子代数、代数几何、D2模理论、Artin-Schelter正则代数以及非交换代数几何都有着深刻的联系，为非交换代数理论的发展提供了许多行之有效和值得借鉴的方法。一些代数学者把(量子)Weyl代数作为非交换代数研究的一个范例，例如Weyl代数作为一类具体的2维Artin-Schelter正则代数，其在非交换代数的研究中占据重要的地位，它的许多性质揭示了2维Artin-Schelter正则代数的性质。

实际上，求一个具体的代数的中心不是一件简单的事情，有些代数的中心即使借助计算机辅助计算也很难找到。目前，一些代数的中心我们还不是很清楚，这在一定程度上阻碍了这些代数的进一步发展。本文以(−1)-量子Weyl代数为例，从代数的生成元和生成关系出发，给出了(−1)-量子Weyl代数的中心。此结果对于进一步研究量子Weyl代数的性质，特别是自同构群的刻画起着重要作用。

2. (−1)-量子Weyl代数的中心

设是特征为0的域。令是中的数集，(−1)-量子Weyl代数定义为由生成且满足关系：的代数，一般地我们表示为。利用diamond lemma，易知其基为，其中。

本文主要讨论的中心。首先，我们观察到生成元不可能是的中心元，否则，就是一个交换代数。我们有下面的引理：

引理2.1设、是正整数。如果、中有一个为偶数，则我们有。

证明：由代数的生成关系，我们有，则有：

(1)

依次进行下去，(1)式等于

(2)

每次当与前面的交换位置时用公式。这样，由(1)、(2)两式我们有：

(3)

对(3)式继续上述过程，我们有如下的方程：

(4)

(5)

这样，重复上述过程，由(4)、(5)两式，我们可以得到：

对上式右端再重复以上的过程，我们可以得到：

(6)

(3)、(6)两式意味着、与可以交换。如果是偶数，继续以上过程，则有：

(7)

(8)

这样，由(7)、(8)两式，我们可以得到：

对上式右端再重复以上的过程，我们可以得到：

即当是偶数时，我们得到结论正确。类似地，当是偶数时，我们也可以证明如上结论正确。

引理2.2设、是正整数。若、均为奇数，我们有。

证明：如果是奇数，则由(3)、(6)两式，我们有：

(9)

(10)

如果是奇数，则由(9)、(10)两式，我们有：

引理2.1和引理2.2表明，当和都是奇数时，每次交换都会出现这样的项，所以此时，不能交换，这也就说明、的奇数次幂不会是中心元。

下面假设是代数的中心元，鉴于以上两个引理，我们只需考虑取0或1的情形，其中。

引理2.3设只能取0或1，且不全为0，则不是的中心元。

证明：反证法，如果，则对任意的，有：

。

不妨设，，则有：

所以，

这样，。

定理2.4我们有。

证明：由引理2.1知，，，，而由引理2.2知，，，。进一步由引理2.3可知，，其中取0或1。所以，我们得到的中心就是由，的偶次幂生成的。至此完成了定理的证明。

参考文献 (References)