ABSTRACT

The essay has introduced the notion of circumcentre line, and has obtained several inequalities related to circumscribed sphere radius in an n-dimensional simplex by making use of it.

Keywords:n-Dimensional Simplex, Circumcentre Line, Circumscribed Sphere Radius

n维单形中与外心线相关的几个不等式

章乐，王卫东

三峡大学理学院数学系，湖北 宜昌

收稿日期：2015年11月25日；录用日期：2016年1月21日；发布日期：2016年1月28日

摘 要

本文引入了n维单形外心线的概念，并应用它建立了几个与n维单形外接球半径有关的不等式。

关键词 :n维单形，外心线，外接球半径

最近，文[1] 引入了与三角形高线，内角平分线和中线平行的一个新概念——三角形的外心线。结合这个新概念，文 [1] [2] 通过类比三角形中与高线、内角平分线和中线相关的不等式，建立了如下与三角形外心线相关的不等式。

定理A ( [2] ). 在锐角DABC中，设三条外心线的长为，，，外接圆半径为。

若，则

； (1)

若，则不等式(1)是逆向的。当时，不等式(1)和它的逆形式中等号成立当且仅当DABC为正三角形；当时，(1)是恒等式。

定理B ( [2] ). 在锐角DABC中，设三条外心线的长为，，，外接圆半径为。若，则

，

等号成立当且仅当DABC为正三角形。

定理C ( [1] ). 在锐角DABC中，设三条外心线的长为，，，外接圆半径为，则有

，

等号成立当且仅当DABC为正三角形。

关于三角形中与外心线相关的几何不等式研究，还可以参见文 [3] [4] 。

在文 [5] 中，段继艳和王卫东把定理A和定理C中的不等式推广到四面体中，建立了四面体中与外心线相关的不等式。本文将上述不等式推广到n维单形中，得到了n维单形中与外心线相关的不等式。这里，我们先给出n维单形外心线的概念如下：

定义1. 设为n维欧氏空间中的单形，其顶点集为，过n维单形的一个顶点和它的外接球的球心的直线，与顶点所对面所在的平面相交于一点，该顶点与交点之间的线段就叫做n维单形中过顶点的一条外心线。

在n维单形中，我们记过顶点的外心线长为，的外接球的半径为。结合定义1，我们建立了如下n维单形中与外心线相关的不等式。

定理1. 在n维单形中，设外接球的球心O在的内部，若，则

； (2)

若，则不等式(2)是逆向的。等号成立当时当且仅当中诸外心线长都相等；当时，(2)是恒等式。

定理2. 在n维单形中，设外接球的球心O在的内部，若，则

， (3)

等号成立当且仅当中外心线长都相等。

定理3. 在n维单形中，设外接球的球心O在的内部，则有

，(4)

等号成立当且仅当在中外心线长都相等。

下面我们给出上述定理1~3的证明。

引理1 (Holder不等式[6] ). 设均为正实数，为实数，且，若，则有

， (5)

等号成立当且仅当；若或，则不等式(5)是逆向的。

定理1的证明. 由于外接球的球心O在n维单形的内部，为此设n维单形，，，，的体积分别为，，，，，则的体积为。又设的延长线交所对面于点，则知，。由于

，

于是令，则有，且

。 (6)

因而可得

，

即

。 (7)

因此，利用(7)和Holder不等式(5)知：当时有

。(8)

由此可得不等式(2)。

同理，当时，利用Holder不等式(5)的逆形式，可得不等式(8)的逆形式，即得不等式(2)的逆为真。

显然，由(7)知，当时，(2)中等号成立；当时，根据Holder不等式取等号的条件知，不等式(8)和它的逆形式中等号成立当且仅当诸外心线长相等，即知不等式(2)和它的逆形式中等号成立当且仅当的诸外心线长都相等。定理1证毕。

定理2的证明. 当时，由Holder不等式(5)有

， (9)

且根据Holder不等式取等号的条件知，(9)中等号成立当且仅当诸外心线长都相等。

又由Holde不等式(5)有

，

由此利用(7)可得

， (10)

且等号成立当且仅当诸外心线长都相等。

于是由(9)和(10)知

，

即有

。

此即为不等式(3)。根据不等式(9)和(10)中取等号的条件知：不等式(3)中等号成立当且仅当诸外心线长都相等。

当时，由不等式(2)的逆和Holder不等式(5)有

，

由此仍然得到不等式(3)。定理2证毕。

定理3的证明. 由(6)知：

， (11)

又

， (12)

等号成立当且仅当诸都相等。

于是知

，

由此结合，则有。将其代入(11)中有

。

因此即得不等式(4)。

由不等式(12)取等号的条件知，不等式(4)中等号成立当且仅当诸相等，由(6)即知诸相等，定理3证毕。

利用Holder不等式(5)和不等式(4)，易知

。

根据Holder不等式(5)取等号的条件知，上述不等式中等号成立当且仅当诸相等，即诸相等。由此可得如下结论：

推论1. 在n维单形中，设外接球的球心在的内部，则有

，

等号成立当且仅当n维单形中外心线长都相等。

基金项目

国家自然科学基金项目(11371224)；三峡大学“求索”大学生创新活动计划重点项目。

文章引用

章 乐,王卫东. n维单形中与外心线相关的几个不等式
Several Inequalities Related to Circumcentre Lines for n-Dimensional Simplexes[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 37-41. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61006

参考文献 (References)