函数方程f15(z)+g15(z)+h15(z)+w15(z) =1的亚纯函数解的研究 The Study of Meromorphic Function Solution of Function Equation of f15(z)+g15(z)+h15(z)+w15(z) =1

doi:10.12677/PM.2018.81006

Pure Mathematics
Vol.08 No.01(2018), Article ID:23399,7 pages
10.12677/PM.2018.81006

The Study of Meromorphic Function Solution of Function Equation of $f^{15} (z) + g^{15} (z) + h^{15} (z) + w^{15} (z) = 1$

E Liang

●How to Cite this Article

School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Dec. 20^th, 2017; accepted: Jan. 2^nd, 2018; published: Jan. 12^th, 2018

ABSTRACT

This paper proves that nonconstant meromorphic function $f (z), g (z), h (z), w (z)$ in the pole is not more than a single pole with public, and $m i n {ρ_{f}, ρ {}_{g}, ρ_{h}, ρ_{w}} < \frac{1}{2}$ , the solution of Fermat function equations $f^{15} (z) + g^{15} (z) + h^{15} (z) + w^{15} (z) = 1$ does not exist.

Keywords:Fermat Type Functional Equation, Meromorphic Functions, Order of Growth

函数方程的亚纯函数解的研究

梁娥

云南师范大学数学学院，云南昆明

收稿日期：2017年12月20日；录用日期：2018年1月2日；发布日期：2018年1月12日

摘要

本文证明了若非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 的极点中至多只有一个是公共单级极点，且 $m i n {ρ_{f}, ρ {}_{g}, ρ_{h}, ρ_{w}} < \frac{1}{2}$ ，则一定不是Fermat型函数方程的解。

关键词 :Fermat型函数方程，亚纯函数，增长极

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及主要结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的基本结果及其标准记号 [1] 。我们考虑如下费马型函数方程：

$f^{n} + g^{n} + h^{n} + w^{n} = 1$ (1)

的非常数亚纯函数解，G.G.GUNDERSEN在文献 [2] 中给出了当时，函数方程(1)的超越亚纯函数解的例子。

我们也知道，用Cartan定理易证 $n \geq 16$ 时，函数方程(1)不存在非常数亚纯函数解，那么就存在一个公开性的问题；当 $9 \leq n \leq 15$ 时，函数方程(1)是否存在非常数亚纯函数解？

基于这个问题，本文我们将研究当 $n = 15$ 时，函数方程(1)的亚纯函数解的状况。

之前苏敏、李玉华 [3] 证明了：费马型函数方程 $f^{6} (z) + g^{6} (z) + h^{6} (z) = 1$ 无级小于1的非常数整函数解以及费马型函数方程 $f^{8} (z) + g^{8} (z) + h^{8} (z) = 1$ 不存在级小于1的非常数亚纯函数解。

加上直接研究费马型函数方程 $f^{15} (z) + g^{15} (z) + h^{15} (z) + w^{15} (z) = 1$ 的非平凡亚纯解较难，从而在引入级小于1的条件的启发下，本文得到了以下结果：

定理1：若非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 的极点中至多只有一个是公共单级极点，且 $\min {ρ_{f}, ρ_{g}, ρ_{h}, ρ_{w}} < 1 / 2$ ，则 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 一定不是Fermat型函数方程 $f^{15} (z) + g^{15} (z) + h^{15} (z) + w^{15} (z) = 1$ 的解。

2. 几个辅助结果

引理1 [4] ：设函数 $f (z)$ 于开平面亚纯，为正整数，则 $f (z)$ 与 $f^{(n)} (z)$ 有相同的级与下级。

引理2 [5] ：若是非常数亚纯函数，且，那么

特别的，若非常数亚纯函数 $f (z)$ 的级 $ρ_{f} < 1$ ，则有。

引理3 [6] ：若 $ψ_{j} (z) (j = 1, 2, \dots, k)$ 为区域上 $k$ 个亚纯函数，且 $ψ_{1}, ψ_{2}, \dots, ψ_{k}$ 线性无关，那么 $ψ_{1}, ψ_{2}, \dots, ψ_{k}$ 的Wronskian行列式

$W (ψ_{1}, ψ_{2}, \dots, ψ_{k}) ≜ | \begin{matrix} ψ_{1} & \dots & ψ_{k} \\ {ψ^{'}}_{1} & \dots & {ψ^{'}}_{k} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ψ_{1}^{(k - 1)} & \dots & ψ_{k}^{(k - 1)} \end{matrix} | \equiv 0$ .

引理4：若非常数亚纯函数无公共单级极点，且 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 满足函数方程

$f^{15} + g^{15} + h^{15} + w^{15} = 1$ , (2)

令

$τ = | \begin{matrix} f^{3} & g^{3} & h^{3} & w^{3} \\ f^{2} f^{'} & g^{2} g^{'} & h^{2} h^{'} & w^{2} w^{'} \\ 14 f {(f^{'})}^{2} + f^{2} f^{″} & 14 g {(g^{'})}^{2} + g^{2} g^{″} & 14 h {(h^{'})}^{2} + h^{2} h^{″} & 14 w {(w^{'})}^{2} + w^{2} w^{″} \\ L_{3} (f) & L_{3} (g) & L_{3} (h) & L_{3} (w) \end{matrix} |$ ,

其中 $L_{3} (μ) = 182 {(μ^{'})}^{3} + 42 μ μ^{'} μ^{″} + μ^{2} μ^{‴}$ ，( $μ$ 为非常数亚纯函数)。

则 $τ$ 是整函数。

引理4的证明：

因为非常数亚纯函数 $f, g, h, w$ 满足函数方程(2)，则 $f^{15}, g^{15}, h^{15}, w^{15}$ 线性无关。事实上，若 $f^{15}, g^{15}, h^{15}, w^{15}$ 线性相关，则 $f, g, h, w$ 中至少有一个为常数函数，矛盾。结合引理3，则有：

$W (f^{15}, g^{15}, h^{15}, w^{15}) = | \begin{matrix} f^{15} & g^{15} & h^{15} & w^{15} \\ 15 f^{14} f^{'} & 15 g^{14} g^{'} & 15 h^{14} h^{'} & 15 w^{14} w^{'} \\ L_{1} (f) & L_{1} (g) & L_{1} (h) & L_{1} (w) \\ L_{2} (f) & L_{2} (g) & L_{2} (h) & L_{2} (w) \end{matrix} | = 3375 f^{12} g^{12} h^{12} w^{12} τ \equiv 0$ (3)

其中 $L_{1} (μ) = 210 μ^{13} {(μ^{'})}^{2} + 15 μ^{14} μ^{″}$ ； $L_{2} (μ) = 2730 μ^{12} {(μ^{'})}^{3} + 630 μ^{13} μ^{'} μ^{″} + 15 μ^{14} μ^{‴}$ ，(其中 $μ$ 为非常数亚纯函数)。

故 $τ \equiv 0$ 。此外，结合函数方程 $f^{15} + g^{15} + h^{15} + w^{15} = 1$ 以及伏朗斯基行列式的特点可得到：

$\begin{array}{l} W (f^{15}, g^{15}, h^{15}, w^{15}) = | \begin{matrix} 15 g^{14} g^{'} & 15 h^{14} h^{'} & 15 w^{14} w^{'} \\ L_{1} (g) & L_{1} (h) & L_{1} (w) \\ L_{2} (g) & L_{2} (h) & L_{2} (w) \end{matrix} | \\ = 3375 g^{12} h^{12} w^{12} | \begin{matrix} g^{2} g^{'} & h^{2} h^{'} & w^{2} w^{'} \\ 14 g {(g^{'})}^{2} + g^{2} g^{″} & 14 h {(h^{'})}^{2} + h^{2} h^{″} & 14 w {(w^{'})}^{2} + w^{2} w^{″} \\ L_{3} (g) & L_{3} (h) & L_{3} (w) \end{matrix} | \end{array}$ (4)

其中 $L_{3} (μ) = 182 {(μ^{'})}^{3} + 42 μ μ^{'} μ^{″} + μ^{2} μ^{‴}$ ，(其中 $μ$ 为非常数亚纯函数)。

由(3)、(4)可得

$τ = \frac{1}{f^{12}} | \begin{matrix} g^{2} g^{'} & h^{2} h^{'} & w^{2} w^{'} \\ 14 g {(g^{'})}^{2} + g^{2} g^{″} & 14 h {(h^{'})}^{2} + h^{2} h^{″} & 14 w {(w^{'})}^{2} + w^{2} w^{″} \\ L_{3} (g) & L_{3} (h) & L_{3} (w) \end{matrix} |$ (5)

同理，可得：

(6)

(7)

$τ = \frac{1}{w^{12}} | \begin{matrix} f^{2} f^{'} & g^{2} g^{'} & h^{2} h^{'} \\ 14 f {(f^{'})}^{2} + f^{2} f^{″} & 14 g {(g^{'})}^{2} + g^{2} g^{″} & 14 h {(h^{'})}^{2} + h^{2} h^{″} \\ L_{3} (f) & L_{3} (g) & L_{3} (h) \end{matrix} |$ (8)

实际上，因为定义的 $τ (z)$ 为涉及 $f, g, h, w$ 的行列式，则若有极点，其极点只会在 $f, g, h, w$ 的极点处产生，设 $z_{\infty}$ 为 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 的 $m, n, p, q$ 重极点，设 $f, g, h, w$ 在 $z_{\infty}$ 处的洛朗展开式为

$f (z) = \frac{A}{{(z - z_{\infty})}^{m}} (1 + o (1))$ , ,

, $w (z) = \frac{D}{{(z - z_{\infty})}^{q}} (1 + o (1))$ ,

由(2)式成立可知，若继设 $\max {m, n, p, q} = m$ ，根据等式两边对称性，则中至少有两个亚纯函数的极点重数是相同的，不妨设 $\max {m, n, p, q} = m = n \geq p \geq q$ 。根据(5)式，

$τ = \frac{g^{2} g^{'} h^{2} h^{'} w^{2} w^{'}}{f^{12}} | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 14 \frac{g^{'}}{g} + \frac{g^{″}}{g^{'}} & 14 \frac{h^{'}}{h} + \frac{h^{″}}{h^{'}} & 14 \frac{w^{'}}{w} + \frac{w^{″}}{w^{'}} \\ L_{4} (g) & L_{4} (h) & L_{4} (w) \end{matrix} |$ , (9)

其中，(其中 $μ$ 为非常数亚纯函数)。

而行列式

$\begin{array}{l} | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 14 \frac{g^{'}}{g} + \frac{g^{″}}{g^{'}} & 14 \frac{h^{'}}{h} + \frac{h^{″}}{h^{'}} & 14 \frac{w^{'}}{w} + \frac{w^{″}}{w^{'}} \\ L_{4} (g) & L_{4} (h) & L_{4} (w) \end{matrix} | \\ = {[(14 \frac{h^{'}}{h} + \frac{h^{″}}{h^{'}}) - (14 \frac{g^{'}}{g} + \frac{g^{″}}{g^{'}})] [(182 {(\frac{w^{'}}{w})}^{2} + 42 \frac{w^{″}}{w} + \frac{w^{‴}}{w^{'}}) - (182 {(\frac{g^{'}}{g})}^{2} + 42 \frac{g^{″}}{g} + \frac{g^{‴}}{g^{'}})] \\ - [(14 \frac{w^{'}}{w} + \frac{w^{″}}{w^{'}}) - (14 \frac{g^{'}}{g} + \frac{g^{″}}{g^{'}})] [(182 {(\frac{h^{'}}{h})}^{2} + 42 \frac{h^{″}}{h} + \frac{h^{‴}}{h^{'}}) - (182 {(\frac{g^{'}}{g})}^{2} + 42 \frac{g^{″}}{g} + \frac{g^{‴}}{g^{'}})]} \end{array}$ (10)

通过代换 $f, g, h, w$ 的洛朗展开式进行运算可得，上面的行列式实际可以表示为，同样通过代换 $f, g, h, w$ 的洛朗展开式计算可得到 $\frac{g^{2} g^{'} h^{2} h^{'} w^{2} w^{'}}{f^{12}} = R {(z - z_{\infty})}^{12 m - 3 (n + p + q + 1)} (1 + o (1))$ (其中 $R = \frac{- B^{3} C^{3} D^{3} n p q}{A^{12}}$ 是常数)，从而由(9)式可知，当

$12 m - 3 (n + p + q + 1) \geq 3$ (*)

时， $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。下面我们将分类讨论如下：

I) 若 $m = n = p = q \geq 2$ ，

易见此情况下满足(*)式，故此时 $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。

II) 若，

此情况下 $q \geq 2, m \geq 3$ ，也是符合(*)式，故此时 $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。

III) 若 $m = n > p \geq q \geq 1$ ，

此情况下 $q \geq 1, p \geq 1, m \geq 2$ ，也是符合(*)式，故此时 $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。

IV) $m = n \geq p > q \geq 1$ ，

此情况下 $q \geq 1, p \geq 2, m \geq 2$ ，符合(*)式，故此时 $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。

V) $m = n \geq p > q = 0$ ，

即在 $z_{\infty}$ 处函数解析而另外三个函数不解析，该情况下 $q = 0, p \geq 1, m = n \geq 1$ ，显然符合(*)式，故此时 $z_{\infty}$ 不是 $τ$ 的极点。

VI) $m = n = p = q = 1$ ，

不妨设 $z_{\infty} = 0$ 为的公共单级极点，则 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 在0处的洛朗展开式为

， $g (z) = \frac{B}{z} + B_{0} + B_{1} z + B_{2} z^{2} + B_{3} z^{3} + O (z^{4})$ ，

$h (z) = \frac{C}{z} + C_{0} + C_{1} z + C_{2} z^{2} + C_{3} z^{3} + O (z^{4})$ ， $w (z) = \frac{D}{z} + D_{0} + D_{1} z + D_{2} z^{2} + D_{3} z^{3} + O (z^{4})$ 。

通过计算可知(10)式在公共单级极点处可能产生一阶极点，从而在公共单级极点处可能不解析。

综上所述，若非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 无公共单级极点，则 $τ$ 为整函数，引理4得证。

3. 定理1的证明

记为引理4中所定义的行列式，由引理4的证明过程知，且由(5)、(6)、(7)、(8)可得

$τ^{4} = \frac{1}{{(f g h w)}^{3}} | \begin{matrix} \frac{g^{'}}{g} & \frac{h^{'}}{h} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (g) & L_{5} (h) & L_{5} (w) \\ L_{6} (g) & L_{6} (h) & L_{6} (w) \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{h^{'}}{h} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (f) & L_{5} (h) & L_{5} (w) \\ L_{6} (f) & L_{6} (h) & L_{6} (g) \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{g^{'}}{g} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (f) & L_{5} (g) & L_{5} (w) \\ L_{6} (f) & L_{6} (g) & L_{6} (w) \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{g^{'}}{g} & \frac{h^{'}}{h} \\ L_{5} (f) & L_{5} (g) & L_{5} (h) \\ L_{6} (f) & L_{6} (g) & L_{6} (h) \end{matrix} |$

其中 $L_{5} (μ) = 14 {(\frac{μ^{'}}{μ})}^{2} + \frac{μ^{″}}{μ}$ ； $L_{6} (μ) = 182 {(\frac{μ^{'}}{μ})}^{3} + 42 \frac{μ^{'}}{μ} \cdot \frac{μ^{″}}{μ} + \frac{μ^{‴}}{μ}$ ( $μ$ 为非常数亚纯函数)。

从而有

$\begin{matrix} τ^{15} = \frac{τ^{3}}{{(f g h w)}^{9}} {| \begin{matrix} \frac{g^{'}}{g} & \frac{h^{'}}{h} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (g) & L_{5} (h) & L_{5} (w) \\ L_{6} (g) & L_{6} (h) & L_{6} (w) \end{matrix} |}^{3} \cdot {| \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{h^{'}}{h} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (f) & L_{5} (h) & L_{5} (w) \\ L_{6} (f) & L_{6} (h) & L_{6} (g) \end{matrix} |}^{3} \\ \cdot {| \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{g^{'}}{g} & \frac{w^{'}}{w} \\ L_{5} (f) & L_{5} (g) & L_{5} (w) \\ L_{6} (f) & L_{6} (g) & L_{6} (w) \end{matrix} |}^{3} \cdot {| \begin{matrix} \frac{f^{'}}{f} & \frac{g^{'}}{g} & \frac{h^{'}}{h} \\ L_{5} (f) & L_{5} (g) & L_{5} (h) \\ L_{6} (f) & L_{6} (g) & L_{6} (h) \end{matrix} |}^{3} \end{matrix}$ (**)

因为非常数亚纯函数满足费马型函数方程(2)，所以，又 $\min {ρ_{f}, ρ_{g}, ρ_{h}, ρ_{w}} < \frac{1}{2}$ ，所以有 $ρ_{f} = ρ_{g} = ρ_{h} = ρ_{w} < \frac{1}{2}$ ，下面分两种情况来讨论：

情况一：若非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 无公共单级极点，则采用反证法，假设函数方程(2)存在级小于 $\frac{1}{2}$ 的非常数亚纯函数解，根据引理1知

$ρ_{f} = ρ_{f^{'}} = ρ_{f^{″}} = ρ_{f^{‴}}$ , $ρ_{g} = ρ_{g^{'}} = ρ_{g^{″}} = ρ_{g^{‴}}$ ,

$ρ_{h} = ρ_{h^{'}} = ρ_{h^{″}} = ρ_{h^{‴}}$ ,。

于是 $\max {ρ_{f}, \dots, ρ_{f^{‴}}, ρ_{g}, \dots, ρ_{g^{‴}}, ρ_{h}, \dots, ρ_{h^{‴}}, ρ_{w}, \dots, ρ_{w^{‴}}} < \frac{1}{2}$ ，又根据引理2和(**)式有

再结合引理4的结论知 $τ$ 为整函数，则 $τ (z) = 0$ ，这与 $τ (z) \equiv 0$ 矛盾。

情况二：若非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 仅有一个公共单级极点 $z_{0}$ ，不妨设 $z_{0} = 0$ ，由函数方程(2)有 $f^{15} (z^{2}) + g^{15} (z^{2}) + h^{15} (z^{2}) + w^{15} (z^{2}) = 1$ 成立，兹令

$F (z) = f (z^{2}), G (z) = g (z^{2}), H (z) = h (z^{2}), W (z) = w (z2)$

则有 $F^{15} (z) + G^{15} (z) + H^{15} (z) + W^{15} (z) = 1$ ，且 $ρ_{F} = ρ_{G} = ρ_{H} = ρ_{W} = 2 ρ_{f} < 2 \times \frac{1}{2} = 1$ ，而非常数亚纯函数 $f (z), g (z), h (z), w (z)$ 仅有一个公共单重极点0，则 $F (z), G (z), H (z), W (z)$ 无公共单级极点，此时可转化为同情况一一样的讨论亦得出矛盾。

综上，定理1得证。

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