ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of K-dual. We investigate the K-duals that are optimal for erasures for Parseval K-frames in finite Hilbert spaces. We will give the necessary and sufficient conditions under which the canonical K-dual is the unique optimal K-duals for erasures. We also discuss some special conditions under which the canonical K-dual is not the optimal K-dual or optimal K-dual but not the unique one.

Keywords:K-frame, Optimal K-dual, Erasure

Parseval K-框架的1-丢失最佳K-对偶

李  亮，李鹏同

南京航空航天大学，数学系，南京

Email: liliang1100@126.com, pengtongli@nuaa.edu.cn

收稿日期：2014年8月20日；修回日期：2014年9月22日；录用日期：2014年10月2日

摘  要

本文引入K-对偶的概念，对有限维Hilbert空间的Parseval K-框架，利用K-对偶来研究在丢失意义下的最佳 K-对偶。本文讨论了Parseval K-框架的典则K-对偶是唯一最佳K-对偶的充分必要条件。并讨论了在某些特殊条件下典则K-对偶不是最佳K-对偶或者不是唯一的最佳K-对偶。

关键词

K-框架，最佳K-对偶，丢失

1. 引言

近些年来研究者从编码学的角度对框架进行研究[1] -[3] ，试图找到最好的紧框架。从而引发了寻求在丢失意义下最佳框架的研究。通常要在编码之前选择最佳框架，使得在发生信号(系数坐标)丢失后，用最佳框架重构的信号(向量)与原始信号(向量)之间的误差达到最小。然后用这些最佳框架进行编码和解码。众所周知，一致紧框架对1-丢失而言是最佳紧框架，而等角框架是2-丢失最佳框架[3] 。由于这种重构思想带有一定的局限性，只能选择有自对偶性质的Parseval框架进行重构。而实际应用中，可能要求编码框架和解码框架不同。在[4] [5] 中，对已选择地编码框架(不一定是紧的)，如果在传输过程中一些系数坐标发生丢失，则选择其对偶框架进行重构，使得重构信号与原始信号误差最小。这类框架称为对丢失而言的最佳对偶框架。

2012年，Gǎvruta在研究关于有界线性算子的原子分解时引入并研究了一种比经典框架[6] [7] 更一般的概念,即-框架[8] 。之后，文献[9] [10] 对这一类新的框架也进行了研究，讨论了紧-框架以及-框架的扰动等问题。把框架研究的范围限制在了子空间的值域上。本文将介绍-对偶的概念，在有限维Hilbert空间上，把用对偶框架重构信号的思想用在-框架上，利用-对偶来重构上的信号“”而不是整个空间上的的信号“”。通过Parseval-框架的典则对偶研究使得Parseval -框架存在丢失意义下唯一最佳-对偶的条件。

本文采用如下记号：表示可分Hilbert空间，表示上的恒等算子。表示到的有界线性算子的集合。特别地，表示从到的有界线性算子的集合。对任意的，或表示算子的值域，或表示的核，表示的共轭算子。

2. 预备知识

本节将介绍-框架， -对偶的基本概念和最佳-对偶的研究方案。

定义2.1 [8] -[10] 设，序列称为的-框架，如果存在常数使得

(2.1)

分别称为框架的下界，上界。特别地，如果

则称为的紧-框架。如果在上式中，则称相应的紧-框架为的Parseval-框架。

下面是-框架的几个等价条件。

引理2.1 [8] 设，序列，则下列叙述是等价的：

1)是的一个-框架；

2)是Bessel序列，且存在Bessel序列，使得

(2.2)

设是Banach空间，是闭值域的。若，则称为的伪逆。特别地，。一般来说的伪逆是不唯一的，下面是的伪逆唯一的充要条件。

引理2.2 [11] 设，且是闭值域的，则的伪逆唯一存在的充分必要条件是：

1);

2);

3).

定义2.2 满足引理2.1(2.2)式的Bessel序列称为-框架的-对偶。是的对偶。

称(2.2)式为-框架的重构公式。特别地，若是闭值域的，并且是Parseval-框架，满足(2.2)式，称为Parseval-框架的典则-对偶。

在编码理论中，可以用框架通过其分析算子将上的向量(信号)编码为，然后传送给接收者，再由接收者来解码而后重构信号。在最后的解码过程中需要用到其对偶框架。但是在传输过程中，可能会丢失编码信息中的系数。由于框架有冗余的性质，可以用剩余的系数来重构原始信号。但是由于丢失系数的位置不确定，重构工作可能有些复杂，这时可用最佳逼近的思想用典则对偶框架去重构原始信号。

一般的-框架，由引理2.1(2.2)式得，其中，分别为，的分析算子。从而可以利用-对偶去重构原始信号“”。在丢失一部分系数后用接收到的系数去重构原始信号。假设接收到的系数是，其中是对角线为个0和个1的矩阵，个0的位置与丢失系数的位置相应.这样重构后的信号与原始信号的误差为

其中是对角线为个1和个0的矩阵，个1的位置与丢失系数的位置相应。用表示丢失个系数的误差算子。这样只要使得某种意义下的误差最小，就使得重构后的信号与原始信号最接近。

设是-框架，定义

，

其中是所有对角线为个1和个0的矩阵的集合。

若，则称是的1-丢失最佳-对偶。

若是的-丢失最佳-对偶，且，则称是的-丢失最佳-对偶。

由于Parseval-框架存在特殊的-对偶(典则-对偶)，即，可以用典则-对偶来重构原始信号。本文主要讨论Parseval-框架的最佳-对偶。

Parseval-框架的所有-对偶可用典则-对偶来构造，即，其中是与正交的Bessel序列。用表示所有与正交的Bessel序列的集合，即。则的-丢失最佳-对偶的形式为：

下面先说明这样定义的最佳-对偶的存在性。

任意，用表示秩-1算子，即。从而有

令，则

.

再定义。显然连续，其中可以看成上的向量，从而限制在有界子集上最小值存在。

从而将最小化是可以做到的，即1-丢失最佳-对偶是存在的。进而-丢失最佳-对偶也存在.而且所有-丢失最佳-对偶组成的一个凸，闭，有界子集。

3. 主要结论

本节主要介绍Parseval-框架的典则-对偶是唯一最佳-对偶的充分必要条件。并讨论了典则-对偶不是最佳-对偶或者不是唯一的最佳-对偶的充分条件。

下面将说明在一定条件下，Parseval-框架的典则-对偶是唯一的1-丢失最佳-对偶，进而是-丢失最佳-对偶。

定理3.1 设是Parseval-框架，若满足条件，其中为常数，则的典则-对偶是唯一的1-丢失最佳-对偶。

证明 设是的1-丢失最佳-对偶，其中是与正交的Bessel序列，则，从而

又，进而

。

故。即

，. □

推论3.1 设是等范数Parseval-框架，若满足条件，其中

，

是的分析算子。则的典则-对偶是唯一的1-丢失最佳-对偶。

设是一个群，是一个同构映射，其中表示上酉算子构成的群。若是上的-框架，则称为群表示-框架，其中。用表示与可交换的有界线性算子的集合。

推论3.2 设是Parseval-框架，若满足条件，其中。则的典则-对偶是唯一的1-丢失最佳-对偶。

引理3.1 设是的不变子空间，也是的不变子空间，则。

证明 设任意的，其中。由得

，

则。由得。令，则

.

又也是的不变子空间，则

.

从而，即

，

进而

.□

推论3.3 设是Parseval-框架，若满足条件，是的不变子空间，也是的不变子空间，则是唯一的1-丢失最佳-对偶。

设序列，若是直和，即，其中

，则称是的-线性无关分解。

下面是比定理3.1更一般的情况。

定理3.2 设是Parseval-框架，是的-线性无关分解，，则

1)是1-丢失最佳-对偶；

2) 设，则存在唯一的1-丢失最佳-对偶的充分必要是是线性无关的。

证明 1) 设是的1-丢失最佳-对偶，其中，即

.

由是的-线性无关分解得，。令，则由是的1-丢失最佳-对偶得对任意，，即。从而由定理3.1证明过程得，则

得是1-丢失最佳-对偶，但不是唯一的最佳-对偶。

2) 设是的1-丢失最佳-对偶，由(1)可知，。则

.

充分性。由是线性无关的得。从而存在唯一的1-丢失最佳-对偶。

必要性。假设是线性相关的，则由得，不全为。则为非零序列，且。

从而是的-对偶。又，则存在，使得时，，从而是的1-丢失最佳-对偶，与的1-丢失最佳-对偶是唯一的相矛盾。□

设

，，。

.

下面再给出典则-对偶是唯一的1-丢失最佳-对偶的一个充要条件。

定理3.3 设是Parseval-框架，则下列是等价的：

1)是唯一的1-丢失最佳-对偶；

2)且是线性无关的。

证明 (1)Þ(2)。假设是线性相关的，则任意，存在不全为零的使得

.

令。则是非零序列，是的-对偶，且

.

又

，

则存在使得时，。从而，是的1-丢失最佳-对偶，与的1-丢失最佳-对偶是唯一的相矛盾。

下证。

假设，则存在线性无关的集合和不全为零的数，使得。

由是线性无关的，则存在使得

.

事实上， (否则，，显然)。由是线性无关的，从而是线性无关的，则是的一组基，从而存在对偶基使得

，

其中。只需令即可。

令，且。则任意，

从而是的-对偶，其中。又。存在使得时，，且

.

则是的最佳1-丢失最佳-对偶.与的1-丢失最佳-对偶是唯一的相矛盾。

(2)Þ(1)。设是的1-丢失最佳-对偶，其中，即

.

由知，，。再由是线性无关的得，即。设分别为的分析算子。由，可知。从而

.

因是的1-丢失最佳-对偶，则，即。从而

进而，。即

. □

下面给出一个典则-对偶不是唯一的1-丢失最佳-对偶的充分条件。

定理3.4 设是Parseval-框架，且是线性无关的。则是1-丢失最佳-对偶。特别地，是线性相关的Parseval-框架时，不是唯一的1-丢失最佳-对偶。

证明 设是的-对偶，其中，即

.

由得，且。

又是线性无关的，有，即。则

从而是1-丢失最佳-对偶。

由于-框架的-对偶唯一的充要条件是-框架是线性无关的。从而当是线性相关的Parseval-框架时，不是唯一的-对偶，则存在-对偶，当时，不全为零.由知，存在使得时，。从而是的1-丢失最佳-对偶。□

下面将说明在一定条件下，典则-对偶不是1-丢失最佳-对偶。

定理3.5 设是Parseval-框架，是线性无关的，存在使得，且，。则不是的1-丢失最佳-对偶。

证明 因是线性无关的，则由定理3.3证明过程可得，存在使得

。

令，则任意有

，

其中。从而是的-对偶。从而存在使得时，

。

且

。

即。

故不是的1-丢失最佳-对偶。□

推论3.4 设是Parseval-框架，且是线性无关的，只有一个元素。则不是的1-丢失最佳-对偶。

证明 设。由得是线性相关的，即存在非零序列使得

。

又是线性无关的，则。由定理3.5得不是的1-丢失最佳-对偶。□

基金项目

江苏省自然科学基金(No. BK2011720)资助课题。

参考文献 (References)