Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.07(2017), Article ID:22434,7
pages
10.12677/AAM.2017.67102
A New Error Bound for Linear Complementarity Problems for Weakly Chained Diagonally Dominant B-Matrices
Xia Jing, Lei Gao
School of Mathematics and Information Science, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji Shaanxi
Received: Oct. 2nd, 2017; accepted: Oct. 16th, 2017; published: Oct. 24th, 2017
ABSTRACT
In this paper, by the infinity norm bound of inverse matrix of weakly chained diagonally dominant M-matrices, we give a new error bound for the linear complementarity problem when the matrix involved is a weakly chained diagonally dominant B-matrix, which improves some existing ones. Numerical examples are given to show the corresponding results.
Keywords:P-Matrix, Weakly Chained Diagonally Dominant B-Matrix, Linear Complementarity Problem, Error Bound
弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界 的新估计式
井霞,高磊
宝鸡文理学院,数学与信息科学学院,陕西 宝鸡
收稿日期:2017年10月2日;录用日期:2017年10月16日;发布日期:2017年10月24日
摘 要
本文利用弱链对角占优M-矩阵逆矩阵无穷范数上界的估计式,结合不等式放缩技术,给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界的一个新估计式。数值算例表明,新估计式改进了现有的几个结果。
关键词 :P-矩阵,弱链对角占优B-矩阵,线性互补问题,误差界
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
线性互补问题在力学、交通、经济、金融和控制等诸多领域具有广泛应用,如市场均衡问题、最优停止问题、期权定价问题、弹性接触问题和自由边界问题等 [1] [2] [3] [4] 。线性互补问题( )是指求 ,满足
其中 为实矩阵,实向量 。众所周知,当矩阵M为P-矩阵(所有主子式都是正的 [1] )时, 不仅存在唯一解 [2] ,而且易于误差分析 [4] 。2006年,陈小君等给出P-矩阵线性互补问题的误差界 [5] :
(1)
其中 为向量 与 对应位置分量最小值, 。不难发现,求解误差界(1)中的最小化问题 十分困难。因此,近年来有众多专家和学者关注于误差界的估计问题,并给出了一些简单易算的估计式 [6] - [13] 。本文将研究P-矩阵的一个重要子类——弱链对角占优B-矩阵的线性互补问题的误差界估计问题,应用弱链对角占优M-矩阵的逆矩阵无穷范数上界的估计式,得到弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界的一个新估计式。数值算例表明,新估计式改进了现有的几个结果。
2. 预备知识
令 ( )表示所有n阶复矩阵(实矩阵)构成的集合,指标集 。设 ,对任意的 ,记
, ,
(2)
,
.
定义1 [14] :设 ,若对任意的 ,有
,
且对每个 存在非零元素链 满足 ,则称A为弱链对角占优矩阵。
定义2 [15] :设 ,记 ,其中
, , (3)
若 为弱链对角占优矩阵且所有的主对角元素皆为正,则称 为弱链对角占优矩阵。
文献 [15] 给出结果:设 是弱链对角占优B-矩阵,记 ,其中 形如(3)式,则
, (4)
其中 且 。
为了给出本文结论,先介绍几个预备引理:
引理1 [16] :设 是弱链对角占优M-矩阵, ,则
,
其中 , 如(2)式所定义。
引理2 [11] :设 和 ,则对任意的 ,有
, .
3. 主要结果
本节给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界新的上界估计式,并和现有结果进行比较。首先给出一个引理:
引理3:设矩阵 主对角元全为正,记 ,其中 形如(3)式。令 ,则对任意的 , 有
,(5)
其中 如(2)式所定义。
证明:下面利用数学归纳法证明(5)式成立。
情形一:k = 1,此时 。
当l = 1时,
,
假设当 时, 式成立,现证 时(5)式也成立,利用引理2易证
.
因此,对于 ,有 。
情形二:当 时,同理可证(5)式成立。
综合情形一与情形二,结论成立。
定理1:设 是弱链对角占优B-阵, ,其中 形如(3)式。若 , ,则
(6)
其中 , 由(2)式所给。
证明:令 ,则
,其中 , 。由文献 [15] 中的定理2知,是弱链严格对角占优M-阵
. (7)
由引理1知
.
由引理2和引理3,得
,
,
,
及
.
则
.(8)
由(7)式和(8)式可知,(6)式成立。
4. 数值算例
例:考虑弱链对角占优B-矩阵 [15] :
,
令 ,其中
.
由(4)式得
由文献 [17] 中的(5)式得
由应用定理1中的(6)式得
.
显然,(7)式优于(4)式和文献 [17] 中的(5)式。
基金项目
陕西省自然科学基础研究计划项目(2017JQ3020);陕西省高校科协青年人才托举基金(20160234);宝鸡文理学院重点项目(ZK2017095, ZK2017021)。
文章引用
井霞,高磊. 弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界的新估计式
A New Error Bound for Linear Complementarity Problems for Weakly Chained Diagonally Dominant B-Matrices[J]. 应用数学进展, 2017, 06(07): 850-856. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.67102
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