ABSTRACT

In this paper, we consider the Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -width of infinite-dimension identity operator $I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q$ $\left(1\le q\le p<\infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)$ in probabilistic frames, and obtain its asymptotic degree.

Keywords:Identity Operator, Kolmogorov N-Width, Asymptotic Degree, Probabilistic Frames

概率框架下无穷维恒等算子的 Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -宽度

陈锦，肖寒月

西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2019年4月25日；录用日期：2019年5月10日；发布日期：2019年5月17日

摘 要

本文讨论了无穷维恒等算子 $I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\left(1\le q\le p<\infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)$ 在概率框架下的宽度，并计算了其精确渐近阶。

关键词 :恒等算子，Kolmogorov n-宽度，渐近阶，概率框架

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1. 引言及主要结果

宽度理论是函数逼近论的重要内容之一，也是国内外研究的热点之一，它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念，并给出了Sobolev函数类 $B_2^r$ 到 $L_2$ 上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954年，Stechkin [3] 研究了在 $p=1,q=2$ 特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年，Tikhomirov [4] 给出了宽度 $d_n{\left(B_{\infty }^r\right)}_{\infty }$ 的精确渐近阶。此后两年，Pietsch [5] 和Stein [6] 研究了在一般情形下， $p\ge q$ 时Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年，Ismagilov [7] 研究了当 $q>p$ 时的精确渐近阶估计。1985年，Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。王桐心 [9] 给出了无穷维恒等算子的在最坏框架下的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子在概率框架下的Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -宽度。

首先，我们给出需要用到的基本定义和记号。

定义1.1 [8]：设W为赋范性线性空间 $\left(Y,\Vert \cdot \Vert \right)$ 的一非空子集， $n=0,1,2,\cdots$，称

为W在Y中的Kolmogorov n-宽度，其中 $F_n$ 取遍Y中的维数不超过n的所有线性子空间。

定义1.2 [8]：设 $X,Y$ 为两个赋范线性空间，其范数分别为 ${\Vert \cdot \Vert }_x$与 ${\Vert \cdot \Vert }_Y$，T是X到Y的有界线性算子。记 $n=0,1,2,\cdots$，

称

$d_n\left(T:X\to Y\right)=d_n\left(T\left(B_X\right);\bar{Y}\right)$ (1)

算子T的Kolmogorov n-宽度，其中 $B_X$ 表示X的单位球，即 $B_X:=\left\{x\in X|{\Vert x\Vert }_X\le 1\right\}$。

定义1.3 [10]：设B为W的全部开子集所生成的Borel域，在B上赋予概率测度 $\mu$，即 $\mu$ 为定义在B上的σ-可加的非负函数，且有 $\mu \left(W\right)=1$，令 $\delta \in [0,1)$，

则称

$d_{n,\delta }\left(W,\mu ,Y\right)=\underset{G_{\delta }}{\inf }{d}_n\left(W/G_{\delta },Y\right)$

为W在 $\mathbb{Z}$ 中的Kolmogorov概率 $\left(n,\delta \right)$ -宽度，其中 $G_{\delta }$ 表示取遍B中所有测度不超过 $\delta$ 的子集。

并称

$d_{n,\delta }\left(T:W\to Y,\mu \right)=\underset{G_{\delta }}{\inf }{d}_n\left(T\left(W/G_{\delta }\right),Y\right)=\underset{G_{\delta }}{\inf }\underset{F_n}{\inf }\underset{x\in W/G_{\delta }}{\sup }\underset{y\in F_n}{\inf }{\Vert Tx-y\Vert }_Y$ (2)

为算子Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -宽度，其中 $G_{\delta }$ 表示取遍B中所有测度不超过 $\delta$ 的子集， $F_n$ 取遍Y中的维数不超过n的所有线性子空间。

设 $1\le p\le \infty ,\forall x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，令

${\Vert x\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

$l_p=\left\{x|{\Vert x\Vert }_{l_p}<\infty \right\}$ 可知 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p}$ 为 $l_p$ 上的一个范数，且 $l_p$ 为Banach空间，且

当时， $l_p\subset l_q$，而 $l_q\not\subset l_p$。

故而可知：无穷维恒等算子是 $I:l_p\to l_q$ 的有界线性算子，而不是 $l_q$ 到 $l_p$ 的有界线性算子。

对于 $1\le p\le \infty ;r>0,x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$，令

$x^r:={\left\{n^r{x}_n\right\}}_{n=1}^{\infty },{\Vert x\Vert }_{l_{p,\gamma }}:={\Vert x^r\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|n^r{x}_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\cdot n^r\right|,p=\infty \end{array}$

$l_{p,r}:=\left\{x\in l_p|{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}<\infty \right\}$

则可知， ${\Vert \cdot \Vert }_{l_{p,r}}$ 为 $l_{p,r}$ 上的范数，且 $l_{p,r}$ 为Banach空间，记 $B_{p,r}$ 为 $l_{p,r}$ 中的单位球。

令 $1\le p<q\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ 时，对 $\forall x\in l_{p,r}$ 由Hȍlder不等式：

${\Vert x\Vert }_{l_q}\le \{\begin{array}{l}{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\cdot {\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-\frac{pr}{p-q}}}\right)}^{{}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}<\infty ,1\le p<q\le \infty \\ {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\cdot {\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-\gamma q}}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty ,p=\infty \end{array}$

因此 $x\in l_q$，于是无穷维恒等算子定义为：

$\begin{array}{l}{I}_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\\ x\mapsto x\end{array}$

则 $I_{p,q}$ 为 $l_{p,r}$ 到 $l_q$ 上的有界线性算子。

本文利用离散化的方法讨论了概率框架下无穷维恒等算子的Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -宽度，并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果，即

定理1：设 $1\le q<p\le 2,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p},\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，则

$d_{n,\delta }\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\succ \prec n^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$

其中，符号“ $\succ \prec$ ”的定义如下：假设 $c_i,i=0,\text{1},\cdots$ 是和参数 $p,q,r$ 有关的非负常数。对两个正函数 $a\left(y\right)$ 和 $b\left(y\right)$， $y\in D$，如果存在正常数 $c_1$ 满足条件 $a\left(y\right)\le c_{1}b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$。若存在正常数 $c_2$ 满足条件 $c_{2}a\left(y\right)\ge b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$，若 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$ 且 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$，则记。

2. 主要结果的证明

首先介绍有限维空间的Kolmogorov $\left(n,\delta \right)$ -宽度的相关结论。

令 ${ℝ}^m=\left\{x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)|x_i\in ℝ,i=1,\cdots ,m\right\}$。

设 $1\le p\le \infty ,x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in {ℝ}^m$，

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{1\le n\le m}{\max }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

则 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 为 ${ℝ}^m$ 上的范数， $l_p^m$ 表示 ${ℝ}^m$ 按范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 所构成的Banach空间。

记 $B_p^m$ 为 $l_p^m$ 的单位球，则易知 ${\left\{{e^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^m$ 为 $l_p^m$ 的基，其中 ${e^{\prime }}_n=\left(0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)\in {ℝ}^m$

引理1 [8] [10]：(1)设 $1\le p<q\le \infty ,n=0,1,2,\cdots$，则

$d_n\left(B_p^m,l_q^m\right)=\{\begin{array}{l}{\left(m-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},0\le n\le m\\ 0,n>m\end{array}$

$1\le q\le 2,2n\le m,\delta \in \left(0,\delta \right]$，则有

$d_{n,\delta }\left({ℝ}^m,\gamma ,l_q^m\right)\succ \prec m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}$ .

首先建立离散化定理：

定理2：设 $1\le q<p\le 2$， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，非负整数序列 ${\left\{n_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ 满足，且 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k\le n}$。则

$d_{n,\delta }\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\succ \prec {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}{d}_{n_k,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$ .

为了证明定理2，我们先介绍一些记号：对 $\forall k\in \mathbb{N}$，其中 $\mathbb{N}\in \left\{1,2,\cdots \right\}$，记 $S_k=\left\{n\in \mathbb{N}|2^{k-1}\le n<2^k\right\}$，则 $\forall k,k^{\prime }\in \mathbb{N}$，且 $k\ne k^{\prime }$，有 $S_k\cap S_{k^{\prime }}=\varnothing ,\mathbb{N}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{S}_k}$，用 $m_k$ 表示 $S_k$ 中元素的个数，则 $m_k=\left|S_k\right|=2^{k-1}$。

$\forall x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$，有 $x={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_n}{e}_n$ 这里 ，且 ${\left\{e_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 为 $l_p\left(1\le p\right)\le \infty$ 的Schauder基。

对于 $\forall k\in \mathbb{N}$，记 $F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}$，则 $\dim F_n=m_k=2^{k-1}$。

令 $I_k:F_k\to {ℝ}^{m_k}$

$x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n}{e}_n\mapsto {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}}\cdot {e^{\prime }}_{2^{k-1}+j-1}$

则，有

${\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}={\left({{\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }\left|n^r\cdot x_n\right|}}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\succ \prec {\left({{\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }\left|2^{rk}\cdot x_n\right|}}^p\right)}^{\frac{1}{p}}=2^{r\cdot k}{\left({{\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }\left|x_n\right|}}^p\right)}^{\frac{1}{p}}=2^{rk}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$ (1)

且

${\Vert x\Vert }_{l_p}={\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}={\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$ (2)

从而 $I_k$ 为 $l_p\cap F_k$ 到 $l_p^{m_k}$ 上的等距同构映射。

据Gaussian测度 $\mu$ 的定义，在 ${ℝ}^m$ 中赋予标准Guassiam测度

$\gamma ={\gamma }_m,\gamma \left(G\right)={\left(2\text{π}\right)}^{-\frac{m}{2}}{\displaystyle {\int }_G\exp \left(-\frac{1}{2}{\Vert x\Vert }_2^2\right)\text{d}x}$

对 $\forall n\in S_k$，记 $\rho >0$ ${\sigma }_n=\langle c_{\mu }{e}_n,e_n\rangle ={\lambda }_n=n^{-\rho }$， $c_{\mu }$ 为所对应特征向量， $e_k=\left\{0,\cdots ,\underset{\underset{k}{\downarrow }}{1},0,\cdots \right\}$。

则可知：

$\frac{1}{2^{k\rho }}<{\sigma }_n\le \frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }},C_{\mu }{e}_k={\lambda }_k{e}_k$

记 $\sigma =\frac{1}{2^{k\rho }},{\sigma }^{\prime }=\frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }}$ 于是 ${\lambda }_k=k^{-\rho }$。

下面我们来估计定理2的上界：

即：设 $1\le q<p\le 2,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，n为自然数，则 $\forall \delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，对任意满足条件 $0\le n_k\le m_q,{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n,{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_n}\le \delta$ 的数列 $\left\{n_k\right\},\left\{{\delta }_k\right\}$，这里 $\left(n_k=0,1,2,\cdots \right){\delta }_k\ge 0$，有

$d_{n,\delta }\left(I_{p,\gamma }:l_{p,\gamma }\to l_p\mu \right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(\frac{p}{2}+r\right)k}{d}_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)}$

证明： $\forall k\in \mathbb{N}$， $x\in B_{l_{p,r}}\cap F_k$，有

$1\ge {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\gg 2^{\gamma k}\cdot {\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$

$\forall y\in F_k$ 由(2)式有

${\Vert y\Vert }_{l_q}={\Vert I_{k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}$

$d_{n_k}\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\ll 2^{-rk}\cdot d_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

对于 $\forall k\in \mathbb{N}$，由Kolmogorov- $\left(n,\delta \right)$ 宽度的定义，可知存在 $l_q^{m_k}$ 上的一个秩不大于 $n_k$ 的恒等算子 $I_{n_k}$，使得

$\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,r_k}y-I_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>2^{-rk}{d}_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},\gamma \right)\right\}\le {\delta }_k$

对于 $\forall y\in {ℝ}^{m_k}$，有

${\Vert I_{p,r_k}y-I_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}={\Vert I_k{I}_{p,r}y-I_{n_k}y\Vert }_q$

令

$G_k=\left\{x\in l_2|{\Vert I_{p,r_k}{I}_k^{-1}{n}_{k}x-T_{n_k}{I}_k^{-1}{n}_{k}x\Vert }_q>{\sigma }^{\frac{1}{2}}{2}^{-rk}{d}_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},\gamma \right)\right\}$

由Gaussian测度 $\mu$ 和标准Gaussian测度 $\gamma$ 的定义可得

$\begin{array}{c}\mu \left(G_k\right)={\gamma }_{m_k}\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,r_k}\left(y_{2^{k-1}}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}}\right)-I_{n_k}\left(y_{2^{k-1}}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{\sigma }_{2^k-1}^{\frac{1}{2}}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}\\ >{\sigma }^{\frac{1}{2}}{2}^{-rk}{d}_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{n_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\}\\ \le v\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,r_k}\left(y_{2^{k-1}},\cdots ,y_{2^k-1}\right)-I_{n_k}\left(y_{2^{k-1}}{\sigma }^{\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{\sigma }^{\frac{1}{2}}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}>{\sigma }^{\frac{1}{2}}{2}^{-rk}{d}_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},v_{m_k}\right)\right\}\\ \le {\delta }_k\end{array}$

令 $G={\displaystyle \underset{k}{\cup }{G}_k},I_n={\displaystyle \underset{k}{\sum }{I}_{n_k}}$，则

$\begin{array}{l}\mu \left(G\right)\le {\displaystyle \underset{k}{\sum }\mu \left(G_k\right)}\le {\displaystyle \underset{k}{\sum }{\delta }_k}\le \delta \\ rank{I}_n\le n\end{array}$

从而有：

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_p\to l_q,\mu \right)\ll \underset{x\in l_p/G}{\sup }{\Vert I_{p,r}x-I_{n}x\Vert }_q\ll \underset{x\in \left\{n_{k}x\right\}/\left\{G_k\right\}}{\sup }{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\Vert I_{p,r,k}{I}_k^{-1}{n}_{k}x-I_{n_k}{I}_k^{-1}{n}_{k}x\Vert }_q}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\underset{x\in \left\{n_{k}x\right\}/G_k}{\sup }\Vert I_{p,r,n_k}{I}_k^{-1}{n}_{k}x-I_{n_k}{I}_k^{{}^{-1}}{n}_{k}x\Vert }\\ \ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(r+\frac{\rho }{2}\right)k}}\cdot d_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\end{array}$

现在，我们再来估计定理2的下界：

即：设 $1\le q\le 2,\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right],r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p},n=0,1,2,\cdots$，则有

$d_{n,\delta }\left(I_{\rho ,\gamma }:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+\gamma \right)k}\cdot d_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$

其中 $n\succ \prec 2^k\gg 2n$。

证明： $\forall x\in B_p^{m_k},1\ge {\Vert x\Vert }_{l_p^{m_k}}\ge 2^{rk}{\Vert I_k^{-1}x\Vert }_{l_{p,r}}$，对 $\forall y\in l_q^{m_k}$，则有 ${\Vert y\Vert }_{l_p^{m_k}}={\Vert I_k^{-1}y\Vert }_{l_q}$

由 $I_p$ 为 $F_k\cap l_2$ 到 $l_q$ 上的恒等算子，有

$\mu \left\{x\in F_k\cap l_2:\Vert I_{p}x-y\Vert >2^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}\le \delta$

其中 $d_{n,\delta }=d_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)$。

设 ${G^{\prime }}_k=\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,k}y-I_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}{2}^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}$，则有

$\begin{array}{c}\gamma \left(G_k{}^{\prime }\right)=\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,k}y-I_k{I}_{n_k}{I}_k^{-1}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{{\sigma }^{\prime }}^{\frac{1}{2}}{2}^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}=\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,k}y{{\sigma }^{\prime }}^{\frac{1}{2}}-I_k{I}_{n_k}{I}_k^{-1}y\cdot {{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}\Vert }_{l_q^{m_k}}>2^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}\\ \le \gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert I_{p,k}\left(y_{2^{k-1}}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}\right)-I_k{I}_{n_k}{I}_k^{-1}\left(y_{2^{k-1}}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}>2^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}\\ =\mu \left\{x\in F_k\cap l_q^{m_k}:{\Vert I_{p}x-y\Vert }_q>2^{rk}{d}_{n,\delta }\right\}\le \delta \end{array}$

所以

$d_{n,\delta }\left(I_{p,k}:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\le \underset{y\in {ℝ}^{m_k}/{G^{\prime }}_k}{\sup }{\Vert I_{p,k}y-I_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}\ll 2^{\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}{d}_{n,\delta }$

即：

$d_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\gamma \right)\ge 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot d_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$

综上可知，定理2得证。

有了离散化定理2，下面我们来证明本文的主定理即定理1。

证明：首先建立数列：

$n_k=\{\begin{array}{l}{m}_{k}k\le k^{\prime }\\ \left[2^{\beta \left(k-k^{\prime }\right)}\cdot n\right]k>k^{\prime }\end{array}$， $\delta =\{\begin{array}{l}0k\le k^{\prime }\\ 2^{k-k^{\prime }}\delta k>k^{\prime }\end{array}$

其中 $k^{\prime }=\left[{\log }_2^n\right]+1$ 且 $0<\beta <\rho -\frac{1}{q}$，则

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\ll {\displaystyle \underset{0<k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{k-1}}+n{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}}\ll n$

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_k}\ll \delta {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{k^{\prime }-k}}\ll \delta$

下面我们来证明定理1的上界：

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot d_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\\ \ll {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot {\left[m_k^{\frac{1}{q}}\left(\left(1+\frac{1}{n_k}\ln \frac{1}{{\delta }_k}\right)\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot \left[m_k^{\frac{1}{q}}{\left(\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]+{\left[{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}{m}^{\frac{1}{q}}\cdot \frac{1}{n_k}\ln \frac{1}{{\delta }_k}\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \ll 2^{k^{\prime }\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}\cdot 2^{{}^{\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}}+2^{k^{\prime }\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}\sqrt{\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll n^{{}^{-\left(-\frac{\rho -1}{2}-r+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}=n^{{}^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

即得到定理的上界

下面再来证明主定理1的下界：

设 $k=\left[{\log }_2^n\right]+3$，则 $m_k\ge 2n$，且 $2^k\gg n$

于是

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\ge 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot d_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot m_k^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\left(\frac{1}{m_k}\right)\ln \frac{1}{{\delta }_k}}\\ \gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k+\frac{k}{q}}\cdot \sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)\ln \frac{1}{\delta }}\gg n^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

于是得到

$d_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\succ \prec n^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$ .

综上可知，定理1得证。

文章引用

陈 锦,肖寒月. 概率框架下无穷维恒等算子的Kolmogorov (n,δ)-宽度
Kolmogorov -Width of Infinite-Dimension Identity Operators in Probabilistic Frames[J]. 应用数学进展, 2019, 08(05): 902-909. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.85102

参考文献