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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 53-61
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22010 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
The Recognition of Degenerate Critical Points of Smooth
Functions*
Wei Wang1, Yangcheng Li2
1College of Information Engineering, Tarim University, Alar
2School of Mathematical Science and Computing Technology, Central South University, Changsha
Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com
Received: Feb. 12th, 2012; revised: Feb. 24th, 2012; accepted: Mar. 6th, 2012
Abstract: By some methods and techniques developed from bifurcation theory, this paper investigates the
recognition problem of degenerate critical p oints of smooth functions. Each one of such critical poin ts lies on
a sub-manifold includ ed in domain of function. The so-called
H

-equivalence theory is established, includ-
ing a theorem to insure
H

-equivalence between two function-germs, an exact formula for higher-order
terms, a characterization of low-order terms, and so on.
Keywords: Recognition Problems; Intrinsic Ideals; Higher-Order Terms
光滑函数的退化临界点的识别*
王 伟1,李养成 2
1塔里木大学信息工程学院,阿拉尔
2中南大学数学科学与计算技术学院,长沙
Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com
收稿日期:2012 年2月12 日;修回日期:2012 年2月24 日;录用日期:2012 年3月6日
摘 要:本文应用分歧理论所发展的一些方法与技巧,研究位于子流形上的光滑函数的退化临界点的
识别问题,建立了
H
-等价理论,包括两函数芽
H

-等价的判别定理,识别问题高阶项的精确表达形
式及低阶项的刻画等。
关键词:识别问题;内蕴理想;高阶项
1. 引言
V. I. Arnold在文献[1]中利用单李群为研究工具,对位于子流形上的光滑函数的退化临界点进行了深入探讨,
得到了称之为简单临界点的分类,它就是文中定理 1。而文中定理 7则给出了函数在子流形上的退化临界点的
更一般的分类结果。我们感兴趣的一个问题是所谓识别问题,即光滑函数位于子流形上的退化临界点附近在什
么条件下等价于给定的标准形式?为解上述识别问题,本文将利用奇点理论与分歧理论之间的密切联系。M.
Golubitsky 和D. G. Schaeffer在文献[2,3]中引入了应用奇点理论方法研究分歧问题的思想,使得分歧理论得到迅
猛发展。我们试图应用分歧理论中所发展的一些方法与技巧(见文献[4])来考虑上述识别问题的解。本文在引入
群
H
、轨道切空间以及
H
-内蕴理想等概念后,建立起
H

-等价理论并给出识别的例子。定理3.1 利用轨道切
空间给出两函数芽
H
-等价的判别方法,定理 3.2 刻画了关于 2
f

的识别问题的低阶项并提供了关于中间项
的有用信息,定理3.5 精确描述了函数芽 f在群
H

作用下的识别问题的高阶项。
*资助信息:国家自然科学基金资助(10971060)。
Copyright © 2012 Hanspub 53
王伟 等  光滑函数的退化临界点的识别
参照文献[1],本文讨论的对象限制为光滑的二元函数芽。文中出现的概念与记号如未解释,请参看文献[4]
或[5]。
2. 预备知识
设是 中包含原点的一维光滑子流形芽,不失一般性,取

,0H2
R


2
,0HxyRy。设
为微分同胚芽,它保持子流形芽

2
0R

:,


2
,0R


,0H不变,因而有


H
H

。记





22
:,0,0
HRR H

 为微分同胚芽 ,H

它是 J. Mather所引入的右等价群 (见文献[5])的正规子群。 
定义 2.1 设 为两个光滑函数芽。如果存在


2
, :,0,0fg RR
H


使得
g
f


,我们说函数芽 f与g
是
H
-等价的,记为 ~
f
g。它表示存在保原点的局部微分同胚



 


,,,,
x
yXxyYxy

,满足


,0 0Yx

,
,使得

xR

,0
 


,,,,
g
xyfX xyY xy。
解关于 ,
x
y
f

的识别问题实际上就是刻画f在等价群
H

作用下的轨道特征。
定义 2.2 设,
x
y
f

。在群
H
作用下于 f处的轨道切空间


H
Tf定义为由所有可表示为下列形式的
组成的集合,

,pxy






,,,,
xy
pxyaxy fxybxyfxy,,




,
,,0,00, ,00
xy
abab x

,


因此 是

H
Tf,
x
y

中的一个理想,它由 ,
x
x
x
fyf及
y
yf 所生成,即


,
,, xy
Hxxy
Tfxf yf yf

 .
,
(2.1)
考虑坐标变换
 

,,,
x
yXxyYxy ,其中




0,0 0,0。定 义

的拉回映射 ,,
:
x
yxy



为

,


,
f
xy f

xy
。

具有下列性质:






,
f
gf

 g

 


f
gf

 g

,即


是
一个环同态。若 是一个可逆坐标变换,则



是一个环同构。事实上,不难验证 。假 设
 
1

1

是,
x
y

的一个向量子空间,那么



,
ff

 也是
x
y

的一个向量子空间。倘若 是
,
x
y

中的一个理想,那
么 也是。



参照[4]中第 2章,引理 12.2 的证明方法,可以证明:若 ~
g
f,因而存在
H


使得

g
f


,则






.
HH
Tg Tf


 (2.2)
定义 2.3 设 为
,
x
y

中的理想。若 在群

H

作用下不变,则称其为
H

-内蕴理想,简说 是内蕴理想。
等价地,下面的蕴含关系成立:对于

,
,,
x
y
fg

,f

且 。 gf g
设 是,
x
y

中具有有限余维的理想,我们把包含在

中的最大内蕴理想称为理想 的内蕴部分,记为
。易见, 。另外,用
Itr 

*
H



 It r


表示 ,
x
y

的一个有限维向量子空间,它是由不属于 的诸单项
式所组成。对于

,
x
y
f



Sf
,用表示含有 f的最小内蕴理想,它可视为所有含有 f的内蕴理想的交。
利用文献[4],第 2章中相关命题的证明方法与技巧,可以得到下面三个命题。
命题 2.4 设 是
,
x
y

中具有有限余维的内蕴理想。若 f

,则 ,
x
x
x
fyf
y
yf 均属于 。

命题 2.5 设 是,
x
y

中具有有限余维的内蕴理想,则

可表示为
11 ss
kl
kl
ky
 
 y
11
k
, (2.3)
其中 为非负整数,且合于 ,,
ii
kk l
1
0sss
llklkl  . (2.4)
此时称 11
,,,
s
s
kl
kl
k
x
xy xy为

的内蕴生成元。
Copyright © 2012 Hanspub
54
王伟 等  光滑函数的退化临界点的识别
命题 2.6 设,
x
y
f

具有有限余维,即假定


H
Tf在,
x
y

中具有有限余维,那么
1) 在

Sf ,
x
y

中的余维数有限,并且当
g
f时,




,Sg Sf
2)
 


12
12
,
0,0 0Sfy Df
 






. (2.5)
定义 2.7 设2
f

具有有限余维。把满足下列条件的 ,
x
y
p


所成之集记为


f

,该条件是
1)

Itr ,
H
pTf
2) 任取 ,
x
y
g

。若 ~
g
f,则对任意 tR

,有




HH
TgtpTg 。

f

的成员叫做 f关于群
H
作用而言的高阶项。读者不难证明下列
命题 2.8 设2
f

具有有限余维,则


f

是内蕴理想,并且当
g
f时,




g
f

。
引理 2.9 设
[6]
,
,
x
y
fg

且理想 ,
f
g在,
x
y

中具有有限余维。假定存在 ,
,
x
y



使得

 




,, ,,xy fxyxygxy

0对所有




2
,,xy R0,
那么对任意正整数 k,存在


,
,
x
y
Qxy

使得下面二式成立:





 
1
1
,,,mod
,,,mod
k
k
xy Qxygxy
xyQxyf xy


,
.




3. 主要结果
定理 3.1 设,
x
y
f

。若 ,且

H
pT f




HH
TftpTf 对所有


0, 1t皆成立,则
f
tp与f是
H

-
等价的。
证明 我们将证明分成以下几步来作。
1) 若 ,并且

H
pT f




H
TftpTf
H
, (3.1)
对充分接近于0的所有t值成立,则存在 ,,
,
x
yt
ab


使得









,,,,,,,,
x
pxyaxytFxytbxytF xyt,
y
, (3.2)
其中



,, ,,
F
xytf xytpxy,并且



0,0, 0,,0, 0atbxt

。
事实上,由 知,存在

H
pT f 111 ,
,,
x
y
ABC


使得
111
x
x
pA xfByfCyf
y
. (3.3)
又据假设条件,存在足够小的使得(3.1)式成立,因而
00t


p
的生成元可写成

f
的生成元的
线性组合,于是存在 4,使得
0H
Tft

H
T

,, 2,3,
ii
ABC i
,i xy


0222
0333
0444
,
,
.
x
xxxy
x
xxx
yyx x
y
y
x
ftxpA xfByfCyf
y
f typAxfByf Cyf
y
ftypA xfByfCyf
  


(3.4)
引入记号:对任意 ,
x
y
h



vf
,令 ,其中“T”表转置,则(3.3)式与(3.4)式可以用矩
阵方程表示为 ,其中 Q是矩阵,其元素均为



T
xxy
vhhxhyhyh
44

vpQ,
x
y

中的光滑函数芽,并且 的第一列元素全为
零。因
Q
F
ftp,故 ,从而有

vf v

F
 
tvp






vFQtvIQ p,其中I是单位矩阵。当 t充分
小时,
44
I
tQ是一个可逆 4矩阵,其元素为4,,
x
yt

中的芽,于是有。注意到 的第一列
的元素全为零,所以

vp
 
1
t
IQ

vFQ

Q
,,
,,,
x
xyx
pxF yFyFyt




 .
Copyright © 2012 Hanspub 55
王伟 等  光滑函数的退化临界点的识别
令,axyby
 
 ,这样便得到(3.2)式。
2) 同样在 1)的假设条件下,即


H
pT f ,且 (3.1)式对接近于 0的t值成立,则对充分接近于 0的所有t,
f
tp必
H
-等价于 f。理由如下:
因为(3.2)式对函数芽成立,因此这一关系式对于点


0,0,0 在
x
yt

空间中的某一邻域内成立。选取区间
,,
K
LM使得(3.2)式在上成立,我们需证对充分接近于 0的每一 t,
KLM


,,
F
t

是
H
-等价于 f,因而需构
作光滑映射

,,

, ,,

X
xytY xyt 使得









 
 
1,,,,,,,
20,0,0,, ,0,
3,0,0,,,0.
,
F
XxytYxyttfxy
XtXxyx
Yx tYxyy



(3.5)
而










d(, ,),, ,,(, ,),, ,,, ,
d
,, ,,, ,,,
,,, ,,,,
xt
yt
t

F
Xxyt YxyttFXxyt YxyttXxyt
t
F
XxytYxyttYxyt
FXxytY xytt






(3.6)
现考虑下列常微分方程组
 

 

 
d,,,, ,,,, ,
d
d,,,, ,,,, ,
d
,,0 ,,,0.
X

x
yta XxytYxytt
t
Y
x
ytb XxytYxytt
t
Xxyx Yxyy









(3.7)
根据常微分方程组的基本定理(见文献[7]),存在区间00
,
K
L及正实数

,使得

00
0,0
K
LKL,

,
M


,并且在

00 ,KL



 上,方程组(3.7)有唯一光滑解






,,, ,,
X
xyYxytt

0,0, 0Xt
。特别,

,
是方程组(3.7)的解, 满足方程组(3.7)中的第 2个方程。

0,0, 0Yt

Yx

,0, 0t
将方程组(3.7)的解 ,
X
Y代入(3.6)式并利用
F
ftp

,我们得到












d,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,
d
,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,,.
x
y
F
XxytYxyttaXxytY xyttFX xytYxytt
t
bXxytY xyttFX xytY xyttpXxytY xyt

 

 
由(3.2)式立 即有


d,, ,,,,0
dF X xytY xytt
t


,于是有










,, ,,, ,,,0,,,0,0,,
F
XxytYxytt FXxyYxyfxy
从而(3.5)式成立。
3) 由2)知,本定理的局部形式已成立。利用区间[0,1]的连通性或紧致性容易导出本定理,细节留给读者或
参看文献[4],p. 98。
由命题 2.6 立即可证明下列。
定理 3.2 设2
f

具有有限余维,且
g
f,则
1) 对每一个单项式

12
x
ySf


,有


0,0 0,Dg




12
,


,
2) 对于 的每一个内蕴生成元

Sf 12
x
y

,有


0,0 0,Dg



12
,


。

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王伟 等  光滑函数的退化临界点的识别
该定理刻画了关于 2
f

的识别问题的低阶项并提供了关于中间项的有用信息。下面讨论高阶项,为此需
作如下准备。
引理 3.3 设2
f

具有有限余维, 是,
x
y

中的一个内蕴理想且


H
Tf 。假定对于每一 p

,有
,那么

Tfp

HH
Tf

f
 。
证明 因 是
,
x
y

中的一个内蕴理想且


H
Tf ,故


Itr H
Tf ,这说明 中的成员满足定义 2.7
中条件 1),以下验证条件2)。

设,且p
g
f因而存在
H

 使得


g
f


,需证对任意tR

,


H
TgtpTg

H
。事实上,









*
1
HH H
TgtpTf tpTf tp
 


 


*
1
. (3.8)
其中最后一个等式是由于(2.2)式。
注意到 是内蕴理想,故。依假设条件, 


*
1tp







*
1.
H
Tf tpTf


 
H
(3.9)
由(3.8),(3.9)两式,再利用(2.2)式便得到




HH
TgtpTg ,故


pf ,从而

f
 。
设,
x
y
f

,令 ,
x
y

中的理想





22
,,,
x
xy yHx
f
x fyfxyfy fTfRyf

 .
不难证明:假若
H

 满足

g
f


,那么






*
g
f

 。
2
引理 3.4 设f

具有有限余维,则
1)




Itr H
Tf f

 ,
2) 由 可推得

It rpf

xH
y
pTf

 。
证明 1) 令。依引理 3.3,只需证明:对每一

Itr H
Tf

 p

,有


H
TfpTf

H
即可。因
为是一个内蕴理想并且具有有限余维,据命题 2.4,若p

,则 ,,
x
xy
x
pypyp均属于 。而


H
Tf

 ,
因此 ,,
x
xy
x
pypyp

H
T

均属于。应用 Nakayama 引理的一个推论(见[4])可以导出

f
 
,, ,,
Hx xxxyyxxyH
Tf pxfxpyfypyfypxfyfyfTf ,
因此据引理 3.3,有 。
 
Itr H
Tf f

 
2) 因为 具有有限余维,易见

H
Tf


f
也具有有限余维,因此


It r
f
是一个具有有限余维的内蕴理
想。据命题 2.4,若


It rpf ,则




22
,Itr ,,,
xxxx yy
,
x
p ypffxfyf xyfyf  
从而存在 ,
,,,
x
y


使得
,
,
x
xy
x
xy
x
pfyf
ypf yf



 (3.10)
其中





0,00,00,00,0,00,00,0 0
xx
  
 。若能证明


0,0 0
y


,则从(3.10)的第二式可
见

xH
y
pTf

 。
将(3.10)式中的第一式乘以 y,第二式乘以x,然后相减得



0
xy
yxf yxyf
 

 .
注意到理想


,
xy H
f
yf Tf 因而在 ,
x
y

中具有有限余维,由引理2.9 可知,存在

,
,
x
y
Qxy

使得
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mod ,
mod ,
k
y
k
x
yx Qyf
yxQf





 (3.11)
其中正整数 k可取足够大。
对(3.11)的第一式两边求关于 ,
x
y的二阶混合偏导数并在原点取值,得






0,00,0 0,0
yx
Qf

 y
.
再对(3.11)的第二式两边求关于 y的一阶偏导数并在原点取值,注意到


0,0 0,0,0 0
x
f


,得




0,00,0 0
xy
Qf ,从而


0,0 0
y

,2)得证。
定理 3.5 设2
f

具有有限余维,则




Itr
f
f。
证明 1) 首先证明


Itr

f
f

 。因为


Itr
f
是一个具有有限余维的内蕴理想,显然有
 
Itr H
f
Tf。依引理 3.3 需证明:对于任意


Itrpf ,


HH
TfpTf

。
据命题 2.4,当


Itrpf 时,




,, Itr
xxy
x
pypypf f,因而存在 ,合于

,
,, 1,2,3
iii xy
ABC i



111
222
333
,
,
,
y
yxx
x
yx x
x
yx
ypAyfB xfCyf
x
x
pA yfB xfCyf
ypA yfB xfCyf



(3.12)
其中。此外,由引理 3.4,2)知,

0,00,00( 1,2,3)
ii
AB i


30,0 0C

。我们可以将(3.12)式写成矩阵形式

,,
yy
xx
xx
yp yf
x
pxyxf
yp yf
 
 

 
 
 
Q
其中 矩阵是一个上三角矩阵,其对角线上的元素全为零。进而有 33

0,0Q






,
yy
x
x
x
x
yf pyf
x
fp xf
yf pyf











IQ
这里在点 的某一邻域内是可逆的。上式表明IQ

0,0



H
Tfp

及


H
Tf的生成元是由一个可逆的线性变
换相关联,因此Tf 。据引理3.3,
 
H
pTf




It r
f
f 。

H
2) 其次证明
 
It r
f
f。任取


pf

,由高阶项的定义知 p满足定理3.1 的条件,故存在一个光
滑依赖于 t的 等价变换,使得
H










,, ,,,,,
f
xytpxyfX xytY xyt , (3.13)



,,0, ,,0,
X
xyxY xyy

 (3.14)



0,0, 0,,0, 0,XtYxt

 (3.15)
将(3.13)关于 t求导并在 处取值,借助于(3.14)得 0t









,,,,0,,
xy
pxyf xyXxyfxyYxy

,0,
其中
X
表示 X关于 t求导。由(3.15)式知,在环 ,
x
y

中,




,,0, ,,,0
X
xyxyY xyy

。
如果可以证得 ,那么这说明

0,0,00,0,0 0
xy
XY




22
,,0 ,,,,0 ,,
X
xy xyYxy xyy
从而有

2
,,2
,,
x
xy y
xyfyfpx yxfyf。由p的任意性知,




f
f

 。而


f

是内蕴理想,因此有



It r
f
f

 。
实际上,我们将证明
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



0,0, 1,0,0, 1
xy
XtYt

. (3.16)
设包含 f的最小内蕴理想具有如下分解

11 .
ss
kl
kl
k
Sf y y
 
  (3.17)
且其中的指数满足(2.4)式。定理 3.2 表明


1
,0 mod
kk
fx ax


,
此处 。因0ak
x
是 的内蕴生成元,故

Sf


P
k
x
f,从而有


1
,0 k
px


。
现计算(3.13)式左右两端中 k
x
的系数。用 分别表示左端与右端函数(为简单起见,以下省略其中
变量 t),我们有
LHS RHS,


1
,0mod ,
kk
LHS xax








11
,0,0 mod0,0mod,
kkkk
x
RHS xaXxaXx

k



故得关系式


0,0 1,
k
x
X

(3.18)
即。而由(3.14)式知,当 时,

0,0, 1
k
x
Xt0t


0,0,0 1
x
X

。由连续性知,当 t充分小时,亦有

0,0, 1
x
Xt

。
为了得到(3.16)的后一等式,针对


Sf的分解式,分两种情形讨论。
情形 1: 。取0s1
11 1l
1
kl
Hy



,则 H是不含11
kl
x
y的最大内蕴理想。由于11
kl
x
y是的内蕴生成
元,故

Sf

11
kl
x
yPf。又由 于的其它内蕴生成元都属于 H,且

Sf


Pf是内蕴理想,故 。考 虑(3.13)
式,得到

HPf
11
mod
kl
LHSbx yH,
此处 。又
0b




111 1 11
mod0,0 0,0mod
klkl kl
xy
RHSbX YHbXYx yH ,
故得关系式




11
0,00,0 1
kl
xy
XY

. (3.19)
由于已证得,因此 。类似于(3.18)式的讨论,可得

0,0 1
x
X

10,01
l
y
Y


0,0, 1
y
Yt

。
情形 2: 。将0sk

中的单项式按下述方式“从小到大”进行排列
111
,,,,,,,,,
kkkk kk k
xxyyxxyyx


2
. (3.20)
设
g
f,则
 
k
Sg Sf

。按照上述排列,可将g按“从小到大”顺序展开成如下形式
11
kl
k
gax bxy

. (3.21)
此处。在所有与 f等价的函数芽中,选取这样的 g,使得(3.21)式中项0, 0ab 11
kl
x
y在排列(3.20)的意义下“最
大”。我们将证明
 
Itr
g
g

 。注意到
g
f蕴含






ItrItr ,

g
fg

f

 ,故结论成立。
由g的构造知


11
kl
x
yPg。取 11 1
1kl l
H

1
y




,这是不含 11
kl
x
y的最大内蕴理想,故 。考
虑(3.13)式(其中的 f换为 g),有

Pg H
11
mod
kl
k
LHSaxbx yH. (3.22)




111 111
mod0,00,0mod
klklkl
kk
xy
RHSaXbXYHaXbXYxy H . (3.23)
若能证得 k
X
中11
kl
x
y的系数为零,则比较11
kl
x
y的系数,可得关系式(3.19)。若还有 ,则
10l

0,0 1
y
Y

。于是
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归结为证明下列
引理 3.6 在(3.23)式中,且
10lk
X
中11
kl
x
y的系数为零。
证明 用反证法不难证明 。而
12kk 11
klk

,因此 。其次用归纳法证明:对于任意的不超过
的正整数 j,存在二元函数芽Z,使得
12l
11 2klk




mo,,d
j
XxyxZxy

。
事实上,当 时,结论显然成立(因
1jX


)。假设 112jklk

时,结论成立。如有必要,适当地修
改Z,可使
1
mod
j
j
XxZcy


 , (3.24)
其中 ,从而有cR

mod
k
kj
XxZcy jk


 。
另一方面,借助于二项式定理可知

 
12
mod
kkk
j
jj
x
ZcyxZk xZcyy

 ,故有
 


12
mod
kk
kjj
XxZk xZcyy


 
kj
. (3.25)
由于 及,可得 并且
12kk11 2jklk 1
jl


11
1kjkl

 。而111
11kl l
Hy




 因而 1kj
x
yH


,
(3.22)式表明 中LHS 1kj
x
y
项的系数为零。现考虑(3.23)式 中j
RHS 1k
x
y
项的系数。因 ,由(3.25)式可知
中
1
jlRHS
1kj
x
y
的系数为。比较 及中


0,0akZc

kk
ak



0,0
x
X

11
cLHS RHS 1kj
x
y
项的系数,立得 。于是(3.24)
式变为
0c
1
mod
j
XxZ


,表明结论对 也成立。 1j
现取,则存在二元函数芽 Z,使得
11 2jklk




11 2
,,mod
klk
XxyxZxy



,因而有
,它说明
11
1
mod kl
k
Z


kk
Xxk
X
中11
kl
x
y的系数为零。
综上所述,



Itr
f
f

 得证。
例1 关于的识别问题,这里的h属于文献[1]中的标准形式

42
,hxyx xyy 
38
K
。由(2.5)式知,

4
Sh y

 2
。又







32 322
,, 4,4,23
Hxxy
Thxhyhyhxxy yx yyxyy,

22522332233
,,,4,4,23 ,23.
xx yy
hxhyhxyhyhxx yxyyxyxyxyy 
4
经计算,可知


5223 3
4hyxy

 

y。由此可见,


h具有有限余维,从而 也具有有限余
维,并且

H
Th

522
hy

 。若
g
h,则




Sg Sh,并且



4233
,,,
g
x yAxBxyCyDx ypx y 
其中 ,,,
A
BCDR, ,,,并且在点0A0B

pPh


0,0 处,
0
x xxxxx y xy yy xxy
gg gggggg  .
作变换
 
,,,
4
D
X
xyxyY xyy
A
 得到

42 3
,mod
44
DBD
g
xyyAxBxyC yPh
AA
 

 
 ,因此
g
h
当且仅当

42
,4
BD 3
g
x yAxBxyCy
A

 


等价于 h。再作变换




,,,0,XxyxYxyy


0


,则有

442233
,4
BD
g
xyAxBxyCy
A
 

 


。将上式的三个系数与h的相应系数比较,我们得到

88512
0,0,40,44
A
B ACBDACBDAB ,
是g与h等价的充分条件。另一方面,任取局部微分同胚









2
121
,,,,,,XxyxyxyY xyxyy2
,,



 
假如




,, ,,mod

g
XxyYxyhxyh,那么比较 3
x
y的系数,立得30A


,故 0

。进而可以验证
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







,, ,,modP
g
XxyYxygx yh

.
综上所述,

2
,gxy

等价于423
x
xy y当且仅当在点


0,0 处,
0,
x xxxxx y xy yy xxy
gg gggggg  
81
5
8
44
4! 3!2! 3!4!2!
yyyxyy xxxyxyy
xxxx xxxx
ggg g
gg







2
,



0, 0,30.
xxxxxyyxxxx yyyxyyxxxy
gggggg 
有兴趣的读者可进一步考虑文献[1]中其它标准形式的识别问题的解。
参考文献 (References)
[1] V. I. Arnold. Critical points of functions on a manifold with boundary, the simple lie groups Bk,Ck and F4 and singularities of evolutes. Russian
Mathematical Surveys, 1978, 33(5): 99-116.
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1979, 32(1): 21-98.
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