 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 53-61 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22010 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) The Recognition of Degenerate Critical Points of Smooth Functions* Wei Wang1, Yangcheng Li2 1College of Information Engineering, Tarim University, Alar 2School of Mathematical Science and Computing Technology, Central South University, Changsha Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com Received: Feb. 12th, 2012; revised: Feb. 24th, 2012; accepted: Mar. 6th, 2012 Abstract: By some methods and techniques developed from bifurcation theory, this paper investigates the recognition problem of degenerate critical p oints of smooth functions. Each one of such critical poin ts lies on a sub-manifold includ ed in domain of function. The so-called H -equivalence theory is established, includ- ing a theorem to insure H -equivalence between two function-germs, an exact formula for higher-order terms, a characterization of low-order terms, and so on. Keywords: Recognition Problems; Intrinsic Ideals; Higher-Order Terms 光滑函数的退化临界点的识别* 王 伟1，李养成 2 1塔里木大学信息工程学院，阿拉尔 2中南大学数学科学与计算技术学院，长沙 Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com 收稿日期：2012 年2月12 日；修回日期：2012 年2月24 日；录用日期：2012 年3月6日 摘 要：本文应用分歧理论所发展的一些方法与技巧，研究位于子流形上的光滑函数的退化临界点的 识别问题，建立了 H -等价理论，包括两函数芽 H -等价的判别定理，识别问题高阶项的精确表达形 式及低阶项的刻画等。 关键词：识别问题；内蕴理想；高阶项 1. 引言 V. I. Arnold在文献[1]中利用单李群为研究工具，对位于子流形上的光滑函数的退化临界点进行了深入探讨， 得到了称之为简单临界点的分类，它就是文中定理 1。而文中定理 7则给出了函数在子流形上的退化临界点的 更一般的分类结果。我们感兴趣的一个问题是所谓识别问题，即光滑函数位于子流形上的退化临界点附近在什 么条件下等价于给定的标准形式？为解上述识别问题，本文将利用奇点理论与分歧理论之间的密切联系。M. Golubitsky 和D. G. Schaeffer在文献[2,3]中引入了应用奇点理论方法研究分歧问题的思想，使得分歧理论得到迅 猛发展。我们试图应用分歧理论中所发展的一些方法与技巧(见文献[4])来考虑上述识别问题的解。本文在引入 群 H 、轨道切空间以及 H -内蕴理想等概念后，建立起 H -等价理论并给出识别的例子。定理3.1 利用轨道切 空间给出两函数芽 H -等价的判别方法，定理 3.2 刻画了关于 2 f 的识别问题的低阶项并提供了关于中间项 的有用信息，定理3.5 精确描述了函数芽 f在群 H 作用下的识别问题的高阶项。 *资助信息：国家自然科学基金资助(10971060)。 Copyright © 2012 Hanspub 53  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 参照文献[1]，本文讨论的对象限制为光滑的二元函数芽。文中出现的概念与记号如未解释，请参看文献[4] 或[5]。 2. 预备知识 设是 中包含原点的一维光滑子流形芽，不失一般性，取 ,0H2 R 2 ,0HxyRy。设 为微分同胚芽，它保持子流形芽 2 0R :, 2 ,0R ,0H不变，因而有 H H 。记 22 :,0,0 HRR H 为微分同胚芽 ,H 它是 J. Mather所引入的右等价群 (见文献[5])的正规子群。 定义 2.1 设 为两个光滑函数芽。如果存在 2 , :,0,0fg RR H 使得 g f ，我们说函数芽 f与g 是 H -等价的，记为 ~ f g。它表示存在保原点的局部微分同胚 ,,,, x yXxyYxy ，满足 ,0 0Yx ， ，使得 xR ,0 ,,,, g xyfX xyY xy。 解关于 , x y f 的识别问题实际上就是刻画f在等价群 H 作用下的轨道特征。 定义 2.2 设, x y f 。在群 H 作用下于 f处的轨道切空间 H Tf定义为由所有可表示为下列形式的 组成的集合， ,pxy ,,,, xy pxyaxy fxybxyfxy,, , ,,0,00, ,00 xy abab x , 因此 是 H Tf, x y 中的一个理想，它由 , x x x fyf及 y yf 所生成，即 , ,, xy Hxxy Tfxf yf yf . , (2.1) 考虑坐标变换 ,,, x yXxyYxy ，其中 0,0 0,0。定 义 的拉回映射 ,, : x yxy 为 , , f xy f xy 。 具有下列性质： , f gf g f gf g ，即 是 一个环同态。若 是一个可逆坐标变换，则 是一个环同构。事实上，不难验证 。假 设 1 1 是, x y 的一个向量子空间，那么 , ff 也是 x y 的一个向量子空间。倘若 是 , x y 中的一个理想，那 么 也是。 参照[4]中第 2章，引理 12.2 的证明方法，可以证明：若 ~ g f，因而存在 H 使得 g f ，则 . HH Tg Tf (2.2) 定义 2.3 设 为 , x y 中的理想。若 在群 H 作用下不变，则称其为 H -内蕴理想，简说 是内蕴理想。 等价地，下面的蕴含关系成立：对于 , ,, x y fg ,f 且 。 gf g 设 是, x y 中具有有限余维的理想，我们把包含在 中的最大内蕴理想称为理想 的内蕴部分，记为 。易见， 。另外，用 Itr * H It r 表示 , x y 的一个有限维向量子空间，它是由不属于 的诸单项 式所组成。对于 , x y f Sf ，用表示含有 f的最小内蕴理想，它可视为所有含有 f的内蕴理想的交。 利用文献[4]，第 2章中相关命题的证明方法与技巧，可以得到下面三个命题。 命题 2.4 设 是 , x y 中具有有限余维的内蕴理想。若 f ，则 , x x x fyf y yf 均属于 。 命题 2.5 设 是, x y 中具有有限余维的内蕴理想，则 可表示为 11 ss kl kl ky y 11 k , (2.3) 其中 为非负整数，且合于 ,, ii kk l 1 0sss llklkl . (2.4) 此时称 11 ,,, s s kl kl k x xy xy为 的内蕴生成元。 Copyright © 2012 Hanspub 54  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 命题 2.6 设, x y f 具有有限余维，即假定 H Tf在, x y 中具有有限余维，那么 1) 在 Sf , x y 中的余维数有限，并且当 g f时， ,Sg Sf 2) 12 12 , 0,0 0Sfy Df . (2.5) 定义 2.7 设2 f 具有有限余维。把满足下列条件的 , x y p 所成之集记为 f ，该条件是 1) Itr , H pTf 2) 任取 , x y g 。若 ~ g f，则对任意 tR ，有 HH TgtpTg 。 f 的成员叫做 f关于群 H 作用而言的高阶项。读者不难证明下列 命题 2.8 设2 f 具有有限余维，则 f 是内蕴理想，并且当 g f时， g f 。 引理 2.9 设 [6] , , x y fg 且理想 , f g在, x y 中具有有限余维。假定存在 , , x y 使得 ,, ,,xy fxyxygxy 0对所有 2 ,,xy R0, 那么对任意正整数 k，存在 , , x y Qxy 使得下面二式成立： 1 1 ,,,mod ,,,mod k k xy Qxygxy xyQxyf xy , . 3. 主要结果 定理 3.1 设, x y f 。若 ，且 H pT f HH TftpTf 对所有 0, 1t皆成立，则 f tp与f是 H - 等价的。 证明 我们将证明分成以下几步来作。 1) 若 ，并且 H pT f H TftpTf H , (3.1) 对充分接近于0的所有t值成立，则存在 ,, , x yt ab 使得 ,,,,,,,, x pxyaxytFxytbxytF xyt, y , (3.2) 其中 ,, ,, F xytf xytpxy，并且 0,0, 0,,0, 0atbxt 。 事实上，由 知，存在 H pT f 111 , ,, x y ABC 使得 111 x x pA xfByfCyf y . (3.3) 又据假设条件，存在足够小的使得(3.1)式成立，因而 00t p 的生成元可写成 f 的生成元的 线性组合，于是存在 4，使得 0H Tft H T ,, 2,3, ii ABC i ,i xy 0222 0333 0444 , , . x xxxy x xxx yyx x y y x ftxpA xfByfCyf y f typAxfByf Cyf y ftypA xfByfCyf (3.4) 引入记号：对任意 , x y h vf ，令 ，其中“T”表转置，则(3.3)式与(3.4)式可以用矩 阵方程表示为 ，其中 Q是矩阵，其元素均为 T xxy vhhxhyhyh 44 vpQ, x y 中的光滑函数芽，并且 的第一列元素全为 零。因 Q F ftp，故 ，从而有 vf v F tvp vFQtvIQ p，其中I是单位矩阵。当 t充分 小时， 44 I tQ是一个可逆 4矩阵，其元素为4,, x yt 中的芽，于是有。注意到 的第一列 的元素全为零，所以 vp 1 t IQ vFQ Q ,, ,,, x xyx pxF yFyFyt . Copyright © 2012 Hanspub 55  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 令,axyby ，这样便得到(3.2)式。 2) 同样在 1)的假设条件下，即 H pT f ，且 (3.1)式对接近于 0的t值成立，则对充分接近于 0的所有t， f tp必 H -等价于 f。理由如下： 因为(3.2)式对函数芽成立，因此这一关系式对于点 0,0,0 在 x yt 空间中的某一邻域内成立。选取区间 ,, K LM使得(3.2)式在上成立，我们需证对充分接近于 0的每一 t， KLM ,, F t 是 H -等价于 f，因而需构 作光滑映射 ,, , ,, X xytY xyt 使得 1,,,,,,, 20,0,0,, ,0, 3,0,0,,,0. , F XxytYxyttfxy XtXxyx Yx tYxyy (3.5) 而 d(, ,),, ,,(, ,),, ,,, , d ,, ,,, ,,, ,,, ,,,, xt yt t F Xxyt YxyttFXxyt YxyttXxyt t F XxytYxyttYxyt FXxytY xytt (3.6) 现考虑下列常微分方程组 d,,,, ,,,, , d d,,,, ,,,, , d ,,0 ,,,0. X x yta XxytYxytt t Y x ytb XxytYxytt t Xxyx Yxyy (3.7) 根据常微分方程组的基本定理(见文献[7])，存在区间00 , K L及正实数 ，使得 00 0,0 K LKL， , M ，并且在 00 ,KL 上，方程组(3.7)有唯一光滑解 ,,, ,, X xyYxytt 0,0, 0Xt 。特别， ， 是方程组(3.7)的解， 满足方程组(3.7)中的第 2个方程。 0,0, 0Yt Yx ,0, 0t 将方程组(3.7)的解 , X Y代入(3.6)式并利用 F ftp ，我们得到 d,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, , d ,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,,. x y F XxytYxyttaXxytY xyttFX xytYxytt t bXxytY xyttFX xytY xyttpXxytY xyt 由(3.2)式立 即有 d,, ,,,,0 dF X xytY xytt t ，于是有 ,, ,,, ,,,0,,,0,0,, F XxytYxytt FXxyYxyfxy 从而(3.5)式成立。 3) 由2)知，本定理的局部形式已成立。利用区间[0,1]的连通性或紧致性容易导出本定理，细节留给读者或 参看文献[4]，p. 98。 由命题 2.6 立即可证明下列。 定理 3.2 设2 f 具有有限余维，且 g f，则 1) 对每一个单项式 12 x ySf ，有 0,0 0,Dg 12 , ， 2) 对于 的每一个内蕴生成元 Sf 12 x y ，有 0,0 0,Dg 12 , 。 Copyright © 2012 Hanspub 56  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 该定理刻画了关于 2 f 的识别问题的低阶项并提供了关于中间项的有用信息。下面讨论高阶项，为此需 作如下准备。 引理 3.3 设2 f 具有有限余维， 是, x y 中的一个内蕴理想且 H Tf 。假定对于每一 p ，有 ，那么 Tfp HH Tf f 。 证明 因 是 , x y 中的一个内蕴理想且 H Tf ，故 Itr H Tf ，这说明 中的成员满足定义 2.7 中条件 1)，以下验证条件2)。 设，且p g f因而存在 H 使得 g f ，需证对任意tR ， H TgtpTg H 。事实上， * 1 HH H TgtpTf tpTf tp * 1 . (3.8) 其中最后一个等式是由于(2.2)式。 注意到 是内蕴理想，故。依假设条件， * 1tp * 1. H Tf tpTf H (3.9) 由(3.8)，(3.9)两式，再利用(2.2)式便得到 HH TgtpTg ，故 pf ，从而 f 。 设, x y f ，令 , x y 中的理想 22 ,,, x xy yHx f x fyfxyfy fTfRyf . 不难证明：假若 H 满足 g f ，那么 * g f 。 2 引理 3.4 设f 具有有限余维，则 1) Itr H Tf f ， 2) 由 可推得 It rpf xH y pTf 。 证明 1) 令。依引理 3.3，只需证明：对每一 Itr H Tf p ，有 H TfpTf H 即可。因 为是一个内蕴理想并且具有有限余维，据命题 2.4，若p ，则 ,, x xy x pypyp均属于 。而 H Tf ， 因此 ,, x xy x pypyp H T 均属于。应用 Nakayama 引理的一个推论(见[4])可以导出 f ,, ,, Hx xxxyyxxyH Tf pxfxpyfypyfypxfyfyfTf , 因此据引理 3.3，有 。 Itr H Tf f 2) 因为 具有有限余维，易见 H Tf f 也具有有限余维，因此 It r f 是一个具有有限余维的内蕴理 想。据命题 2.4，若 It rpf ，则 22 ,Itr ,,, xxxx yy , x p ypffxfyf xyfyf 从而存在 , ,,, x y 使得 , , x xy x xy x pfyf ypf yf (3.10) 其中 0,00,00,00,0,00,00,0 0 xx 。若能证明 0,0 0 y ，则从(3.10)的第二式可 见 xH y pTf 。 将(3.10)式中的第一式乘以 y，第二式乘以x，然后相减得 0 xy yxf yxyf . 注意到理想 , xy H f yf Tf 因而在 , x y 中具有有限余维，由引理2.9 可知，存在 , , x y Qxy 使得 Copyright © 2012 Hanspub 57  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 mod , mod , k y k x yx Qyf yxQf (3.11) 其中正整数 k可取足够大。 对(3.11)的第一式两边求关于 , x y的二阶混合偏导数并在原点取值，得 0,00,0 0,0 yx Qf y . 再对(3.11)的第二式两边求关于 y的一阶偏导数并在原点取值，注意到 0,0 0,0,0 0 x f ，得 0,00,0 0 xy Qf ，从而 0,0 0 y ，2)得证。 定理 3.5 设2 f 具有有限余维，则 Itr f f。 证明 1) 首先证明 Itr f f 。因为 Itr f 是一个具有有限余维的内蕴理想，显然有 Itr H f Tf。依引理 3.3 需证明：对于任意 Itrpf ， HH TfpTf 。 据命题 2.4，当 Itrpf 时， ,, Itr xxy x pypypf f，因而存在 ，合于 , ,, 1,2,3 iii xy ABC i 111 222 333 , , , y yxx x yx x x yx ypAyfB xfCyf x x pA yfB xfCyf ypA yfB xfCyf (3.12) 其中。此外，由引理 3.4，2)知， 0,00,00( 1,2,3) ii AB i 30,0 0C 。我们可以将(3.12)式写成矩阵形式 ,, yy xx xx yp yf x pxyxf yp yf Q 其中 矩阵是一个上三角矩阵，其对角线上的元素全为零。进而有 33 0,0Q , yy x x x x yf pyf x fp xf yf pyf IQ 这里在点 的某一邻域内是可逆的。上式表明IQ 0,0 H Tfp 及 H Tf的生成元是由一个可逆的线性变 换相关联，因此Tf 。据引理3.3， H pTf It r f f 。 H 2) 其次证明 It r f f。任取 pf ，由高阶项的定义知 p满足定理3.1 的条件，故存在一个光 滑依赖于 t的 等价变换，使得 H ,, ,,,,, f xytpxyfX xytY xyt , (3.13) ,,0, ,,0, X xyxY xyy (3.14) 0,0, 0,,0, 0,XtYxt (3.15) 将(3.13)关于 t求导并在 处取值，借助于(3.14)得 0t ,,,,0,, xy pxyf xyXxyfxyYxy ,0, 其中 X 表示 X关于 t求导。由(3.15)式知，在环 , x y 中， ,,0, ,,,0 X xyxyY xyy 。 如果可以证得 ，那么这说明 0,0,00,0,0 0 xy XY 22 ,,0 ,,,,0 ,, X xy xyYxy xyy 从而有 2 ,,2 ,, x xy y xyfyfpx yxfyf。由p的任意性知， f f 。而 f 是内蕴理想，因此有 It r f f 。 实际上，我们将证明 Copyright © 2012 Hanspub 58  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 0,0, 1,0,0, 1 xy XtYt . (3.16) 设包含 f的最小内蕴理想具有如下分解 11 . ss kl kl k Sf y y (3.17) 且其中的指数满足(2.4)式。定理 3.2 表明 1 ,0 mod kk fx ax , 此处 。因0ak x 是 的内蕴生成元，故 Sf P k x f，从而有 1 ,0 k px 。 现计算(3.13)式左右两端中 k x 的系数。用 分别表示左端与右端函数(为简单起见，以下省略其中 变量 t)，我们有 LHS RHS， 1 ,0mod , kk LHS xax 11 ,0,0 mod0,0mod, kkkk x RHS xaXxaXx k 故得关系式 0,0 1, k x X (3.18) 即。而由(3.14)式知，当 时， 0,0, 1 k x Xt0t 0,0,0 1 x X 。由连续性知，当 t充分小时，亦有 0,0, 1 x Xt 。 为了得到(3.16)的后一等式,针对 Sf的分解式，分两种情形讨论。 情形 1： 。取0s1 11 1l 1 kl Hy ，则 H是不含11 kl x y的最大内蕴理想。由于11 kl x y是的内蕴生成 元，故 Sf 11 kl x yPf。又由 于的其它内蕴生成元都属于 H，且 Sf Pf是内蕴理想，故 。考 虑(3.13) 式，得到 HPf 11 mod kl LHSbx yH, 此处 。又 0b 111 1 11 mod0,0 0,0mod klkl kl xy RHSbX YHbXYx yH , 故得关系式 11 0,00,0 1 kl xy XY . (3.19) 由于已证得，因此 。类似于(3.18)式的讨论，可得 0,0 1 x X 10,01 l y Y 0,0, 1 y Yt 。 情形 2： 。将0sk 中的单项式按下述方式“从小到大”进行排列 111 ,,,,,,,,, kkkk kk k xxyyxxyyx 2 . (3.20) 设 g f，则 k Sg Sf 。按照上述排列，可将g按“从小到大”顺序展开成如下形式 11 kl k gax bxy . (3.21) 此处。在所有与 f等价的函数芽中，选取这样的 g，使得(3.21)式中项0, 0ab 11 kl x y在排列(3.20)的意义下“最 大”。我们将证明 Itr g g 。注意到 g f蕴含 ItrItr , g fg f ，故结论成立。 由g的构造知 11 kl x yPg。取 11 1 1kl l H 1 y ，这是不含 11 kl x y的最大内蕴理想，故 。考 虑(3.13)式(其中的 f换为 g)，有 Pg H 11 mod kl k LHSaxbx yH. (3.22) 111 111 mod0,00,0mod klklkl kk xy RHSaXbXYHaXbXYxy H . (3.23) 若能证得 k X 中11 kl x y的系数为零，则比较11 kl x y的系数，可得关系式(3.19)。若还有 ，则 10l 0,0 1 y Y 。于是 Copyright © 2012 Hanspub 59  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 归结为证明下列 引理 3.6 在(3.23)式中，且 10lk X 中11 kl x y的系数为零。 证明 用反证法不难证明 。而 12kk 11 klk ，因此 。其次用归纳法证明：对于任意的不超过 的正整数 j，存在二元函数芽Z，使得 12l 11 2klk mo,,d j XxyxZxy 。 事实上，当 时，结论显然成立(因 1jX )。假设 112jklk 时，结论成立。如有必要，适当地修 改Z，可使 1 mod j j XxZcy , (3.24) 其中 ，从而有cR mod k kj XxZcy jk 。 另一方面，借助于二项式定理可知 12 mod kkk j jj x ZcyxZk xZcyy ，故有 12 mod kk kjj XxZk xZcyy kj . (3.25) 由于 及，可得 并且 12kk11 2jklk 1 jl 11 1kjkl 。而111 11kl l Hy 因而 1kj x yH ， (3.22)式表明 中LHS 1kj x y 项的系数为零。现考虑(3.23)式 中j RHS 1k x y 项的系数。因 ，由(3.25)式可知 中 1 jlRHS 1kj x y 的系数为。比较 及中 0,0akZc kk ak 0,0 x X 11 cLHS RHS 1kj x y 项的系数，立得 。于是(3.24) 式变为 0c 1 mod j XxZ ，表明结论对 也成立。 1j 现取，则存在二元函数芽 Z，使得 11 2jklk 11 2 ,,mod klk XxyxZxy ，因而有 ，它说明 11 1 mod kl k Z kk Xxk X 中11 kl x y的系数为零。 综上所述， Itr f f 得证。 例1 关于的识别问题，这里的h属于文献[1]中的标准形式 42 ,hxyx xyy 38 K 。由(2.5)式知， 4 Sh y 2 。又 32 322 ,, 4,4,23 Hxxy Thxhyhyhxxy yx yyxyy, 22522332233 ,,,4,4,23 ,23. xx yy hxhyhxyhyhxx yxyyxyxyxyy 4 经计算，可知 5223 3 4hyxy y。由此可见， h具有有限余维，从而 也具有有限余 维，并且 H Th 522 hy 。若 g h，则 Sg Sh，并且 4233 ,,, g x yAxBxyCyDx ypx y 其中 ,,, A BCDR， ，，，并且在点0A0B pPh 0,0 处， 0 x xxxxx y xy yy xxy gg gggggg . 作变换 ,,, 4 D X xyxyY xyy A 得到 42 3 ,mod 44 DBD g xyyAxBxyC yPh AA ，因此 g h 当且仅当 42 ,4 BD 3 g x yAxBxyCy A 等价于 h。再作变换 ,,,0,XxyxYxyy 0 ，则有 442233 ,4 BD g xyAxBxyCy A 。将上式的三个系数与h的相应系数比较，我们得到 88512 0,0,40,44 A B ACBDACBDAB , 是g与h等价的充分条件。另一方面，任取局部微分同胚 2 121 ,,,,,,XxyxyxyY xyxyy2 ,, 假如 ,, ,,mod g XxyYxyhxyh，那么比较 3 x y的系数，立得30A ，故 0 。进而可以验证 Copyright © 2012 Hanspub 60  王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 Copyright © 2012 Hanspub 61 ,, ,,modP g XxyYxygx yh . 综上所述， 2 ,gxy 等价于423 x xy y当且仅当在点 0,0 处， 0, x xxxxx y xy yy xxy gg gggggg 81 5 8 44 4! 3!2! 3!4!2! yyyxyy xxxyxyy xxxx xxxx ggg g gg 2 , 0, 0,30. xxxxxyyxxxx yyyxyyxxxy gggggg 有兴趣的读者可进一步考虑文献[1]中其它标准形式的识别问题的解。 参考文献 (References) [1] V. 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