Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 62-72 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22011 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Ground States of Nonlinear Schrödinger Equation with Non-Autonomous Nonlinearity Hong bo Zhu School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou Email: zhbxw@126.com Received: Dec. 14th, 2011; revised: Jan. 3rd, 2012; accepted: Jan. 14th, 2012 Abstract: In this paper, we are concerned with the following nonlinear Schrödinger equation 1 ,, ,3 N N uVxuxfxuxR uRN Vx , (P). By using the bounded domain approximate scheme and concen- tration compactness principle, we prove the existence of a ground state solution of (P) on the N ehari manifold when constant and f xu fu . Keywords: Nonlinear Schrödinger Equation; Ground State Solutions; Concentration Compactness 带有非自治项的非线性 Schrödinger 方程的 基态解的存在性 朱红波 广东工业大学应用数学学院,广州 Email: zhbxw@126.com 收稿日期:2011 年12 月14 日;修回日期:2012 年1月3日;录用日期:2012 年1月14 日 摘 要:本文考虑如下形式的非线性 Schrödinger 方程 1 ,, ,3 N N uVxuxfxuxR uRN (P)。利 用 有 界区域逼近和集中紧致原理,当位势函数 Vx不恒等于常数,非线性项 , f xu 不恒等于 () f u,本文 证明了方程(P)存在最低能量解。 关键词:非线性 Schrödinger 方程;基态解;集中紧致原理 1. 引言 本篇文章研究如下形式的非线性 Schrödinger 方程: 1 ,, ,3 N N uVxuxfxuxR uRN (1) 其中 满足下列条件: ,,Vx fxt ( ),且存在常数 1 V , N VxCR R 0 使得对任意的 N x R, Vx 。 ( )对任意的 2 V N x R, lim 0, x Vx VVx 。 Copyright © 2012 Hanspub 62 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 (1 F ) , t f xt 是Caratheodory 函数,且存在常数 使得C 22 21 , ,1 ,lim tt fxt fxtCtt 0 关于 N x R一致 成立。 (2 F ) 2 0 ,, lim0, lim tt fxt Fxt tt 关于 N R一致成立;并且存在函数 ft CR x 使得对任意的 ,N x tRR, ,0Fxt Ft,并且 lim x, f xtf t 关于有界的 一致成立。 t N x R, , f xt t关于 \0tR严格递增。 (3 F )对任意的 关于 Schrödinger 方程(1)的解的存在性的研究已经有了很多结果,具体可参见[1-6]。近年来,关于方程(1) 的基态解(最低能量解)的研究引起了大家的注意,当采用变分方法寻求 Schrödinger 方程(1)基态解的时候,除了 需要非线性项函数 , f xt 的增长性条件和 Nehari型条件以外,一般还要求 , f xt 满足(A-R)条件(见文献[7]), 即存在常数 2 使得对所有的 N x R 0 0, ,,, ud F xuufxuFxuf xtt ,其中 . (A-R) 在文献[8]中,Liu和Wang 首次采用了比(A-R)条件弱且比较自然的超二次条件: 2 , lim t Fxt t 关于 N x R一致成立。 (SQ) 随后,Z. Q. Wang等在[9]中同样采用(SQ)条件,并在此条件下他们证明了如果 , f xt 和满足周期性 条件,也就是关于变量 Vx x 的每个分量 i x 都是周期;或位势函数 Vx为井位势同时 , f xt ft ,则方程(1)存 在基态解。本篇文章中的主要目的就是把方程(1)的非线性项推广到更一般形式上去,这里我们假设 , f xt 不恒 等于 f t,并且 , f xt 和 Vx不满足周期性条件,在此条件下证明方程(1)仍存在基态解。 注1.1 1 2 22 d N R uuVxu x 表示 Hilbert 空间 1 N R中的范数, :, N R BxRxR : N R ByxRxy R,*2 2, 2 NN N 3 。 例1.1 设 53 73 ,fxt hxtt, lim x K hx hhx hx ,, 0hK ,。当 时,3N* 26 , 容易验证 , f xt 满足条件(1 F )-( 3 F )。 主要结论如下: 定理 1.1 假设条件()( ),( 1 V2 V1 F )-( 3 F )成立,则方程(1)存在弱解 1 N uR 使得 ,c为如下定 义 0uc :inf uN cu 其中 1 :H\0: , N Nu Ruuu 0 , 22 1d, 2NN RR uuVxuxFx dux . 注1.2 如果 , f xtb xft,其中 11212 ,,,, 0 N bxCRR bbxbbb , inf lim x bx bxbx , 作者在文献[9]中已说明定理 3.1仍成立。本篇 文章中,非线性项函数 , f xt 不需要一定具有变量可分离的形式。 Copyright © 2012 Hanspub 63 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 2. 预备知识 这一节中,首先给出一些预备引理和已知结论,这些引理和结论将为证明定理1.1 奠定基础。 引理 2.1 假设条件(1 F )-(3 F )成立,则对任意的 1\0 N R,存在唯一的 0ttu 使得 tuu N ,且 。 0 max ttut u u 证明:此引理的证明可参见文献[10]。 考虑方程(1)在无穷远处的方程: 1 ,, ,3. N N uVuxfuxR uRN 类似地,定义 :inf uN cu ,这里 1 :H\0 :, N Nu Ruuu 0 , 22 1dd 2NN RR uuVuxF ux. 由文献[9]中的定理 2.1 可知, 且存在达到函数 0cuN 。 引理 2.2 0cc 证明:首先证明,令 0c 1 12 00,1 H\0 :infmax ;:infmax Ntt uR ctuc t 0 . 这里 ,由引理 2.1,易知 1 :0,1,:00,1 N CR 1 cc 。 对任意的 ,由( 1\0 N uR 2 F ),存在充分大的 使得0t 0tu 。 令 s stu ,则 s ,且有 20 max t csstu tu. 因此 。由( 1 cc21 F )( 2 F ),存在0 充分小使得 inf 0 uu 。 由 00 ,对足够大的 ,0t 1 ,因此,存在 00, 1s使得 0 s ,这样 20 inf 0 u cs u . 因此。设 是c的达到函数,类似于引理 2.1 的证明过程,存在 12 0cc c u 0ttu 使得 ,于是 有 tu N ctutuuc . 引理 2.3 (文献[11],定理 2.1) 设 n 是 1 N LR 中有界序列, 0 n ,则存在一子序列(仍记为 n )使得下 面其中一种情况发生: 1) 消失:对所有的 0,R lim supd0 NR n nyR By xx 。 2) 非消失:存在常数0, R 和 N n yR使得 lim supd0 NRn n nyR By xx . Copyright © 2012 Hanspub 64 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 引理 2.4 设 1 N n uR 满足当 n时, 0,, d0 N nnn R ufxuuxl , 则存在序列 使得当。 0 n t,1 nn n ntuNt, 证明:因为,类似于引理 2.1中的证明,存在唯一的 使得0 n u0 n tnn tu N ,即 2 22 d, NN nn nnnnn RR tuVxuxfxtutu dx . (2) 由(1 F ) (2 F ),对任意的 0 ,存在 使得 0C 21 1 ,, q fxtt tCtq 2,2 . 由(2)式易知 不趋向于零,这样 。由( n t00 n tt 3 F )得到: 222 222 ,, 1dd2 NNN nn nnnn nn nnn RRR fxtutuF xtu louVxu xxux ttu d n . (3) 由题设条件容易知道 在 n u 1 N R中有界,所以至多相差一平移变换,存在 使得 在0u n u N R上几乎 处处收敛到 。令,如果u :0 n u N xR n n t ,由(2 F )和(3)式可导出下面的矛盾: 22 2 22 2222 22 22 22 22 ,, , 12 ddd ,,, dliminfdliminfd . NN nn nnnn nn n nn nnnn RR nn nn nn nn nn nn nn nn Fxtu FxtuFxtu louxuxux tu tutu Fxtu Fxtu Fxtu ux uxux tu tu tu 2 n T 这样 。假设 0 0n ttC n n t ,断言:T = 1。 因为 ,由,于是有 nn tu N 0 n u 22d,d NN nn nn RR uVxuxfxuuxo 1 T . 因为 n n t ,再有(1 F )和(3 F ) 2 22 d,d NN nn nn RR TuVxuxfxTuTuxo 1, 也就是 22 ,, ,, dd NN nn nn nn nn nn RR fxTufxufxTufxu uux TuuTu u 2 n ux . 因为 在中收敛到 。由( n u ,2,2 qN loc LR q u3 F )和Fatou’s 引理,于是 2 ,, d0 N R fxTufxu ux Tu u . 再由(3 F )可知 。 1T 引理 2.5 设 是的一串极小化序列,那么 n uc 1) 存在常数 0 使得 liminf 0 n nu 。 2) 在中有 n u 1 N R界。 3) 存在 的子序列若收敛到 u不恒等于零。 n u 证明:1) 由(1 F )( 2 F ),对任意的0 ,存在 使得 0C Copyright © 2012 Hanspub 65 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 21 1 , q fxtt tCtq ,2,2 . (4) 因为 ,由(4)容易得到 0 n u liminf 0 n nu 。 2) 如果 在中 u 1 n N R无界,设n nn u vu ,令 1 20 nn v ,则 n 是 N LR 中的有界序列。由引理2.3, 我们将分别导出下面两种矛盾: 情形 1:消失 对所有的 , 0R lim supd0 NR n nyRBy xx 。由文献[12]中的消失引理,在 n v 2,2 qN LRq ,中强收 敛到零。再由(4)式,对任意固定的 dRvxo0, Nn R RFx ,(1),于是 2 11 1, 22 N nnn R couRvRFxRv xRo d1 , 选取 2Rc,这样就导出了矛盾。 情形 2:非消失 存在常数 0R ,和 N n yR使得 lim supd0 NRn n nyR By xx . 令,则 在 : nn wx vxy n n w 1 H N R中有界,于是存在 1 H N wR使得: 在中 n w 1 N R若收敛到 , 在中几乎处处收敛到 , wn w N Rw n w在中收敛到 , qN loc LR w 22 0dd nn R nnn xy RxyRB vxwxy xwx 2 d n 0 . 这意味着 不恒为零。令。因为w , N xRwx 1 n uco ,于是 2 22 ,1 1d0 2N nn n Rn Fxu co vx uu . 由Fatou’s 引理和(2 F ),导出下面的矛盾: 22 22 22 22 22 22 , , 1dd 2 ,, dd ,, liminfd liminfd. NN N R nn n nnn nnn RR nn nnn n nn nn nn nn nnn n nn nn nn nn Fx yux y Fxu vx wx uuxy Fxyuxy Fxyuxy wx wx uxy uxy Fx yu x yFx yu x y wx wx uxy uxy 这样 在中 n u 1 N R有界。 3) 因为 在中 n u 1 N R有界,所以存在 1 N uR使得 n u在 1 N R tN 中若收敛到 ,在中几乎处处收敛到 , un uN Ru n u在 2,2 loc LR r ,中收敛到 。 u 如果 ,由( ),显然有 0u2 V 2d0 Nn R Vx Vux . Copyright © 2012 Hanspub 66 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 下面我们证明 ,d Nnn R Fxu Fux 0。 因为 ,d,d, Nnnnnnn xR xR R d F xuFuxFxuFuxFxuF ux . (5) 注意到 在 n u 2,2 qR LB q ,中收敛零,于是 ,d nn xR Fxu Fu x 0 . 对任意的 0 , 11 ,,, 22 2 12 3 ,d ,d dd nnn NNN nn xR nn xRu xR uxRu nnn RRR FxuFux 2 d, F xuFux uxRuxu x 这里 当 12 ,0 , 0sup xR t Fxt Ft t ,0 ,(由条件(2 F )); 当 1 2, sup ,0 xR t RR FxtFt ,, 固定 (由条件(2 F )); 当 * 1 32 , , 0sup xRt Fxt Ft t ,0 ,(由条件(1 F ))。 这样就得到 11 n cou o , 类似地可以得到 11 dd NN nnnnnn n RR uuoofuuxfu uxul 0 ,. 由引理 2.1,存在 使得,于是 1 n tnn tuN 11 1 nnn cou otuoco 1, 这与引理 2.2 矛盾,这样就完成了这个引理的证明。 下面考虑方程(1)在上的 Dirichlet 问题 0 R B ,, 0 00. R R uVxuxfxux B uxB , 类似地定义 1 00inf R RRR N NN Bcu ,。由文献[8]中的结果可知, R c存在达到函数 R u,显然, 如果能证明 ,这意味着 R cc lim R Rcc R u是c的一串极小化序列,这样我们就找到一串特殊的的极小化序列。 c 引理 2.6 设 inf R RN cu ,那么 lim R Rcc c 。 Copyright © 2012 Hanspub 67 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 证明:显然 c,假设 ,那么对任意的c c c0 (可取 2cc ),则存在 uN 使得 2uc cc 。 因为 在中 0N CR 1 N R稠密,那么存在 0 N n uCR 使得 强收敛于 n uu 1 N R,于是 22 ,d,d, ,d,d ,d ,d0 NNNN NN nn n RRRR nn nn RR , f xuuxfxuuxFxuxF xux uufxuux ufxuux . 由引理 2.4,存在 使得 ,设,则1 n tnn tu Nn nR Suppu B R n nn B tuN ,这样 2 n Rnn n ctuu ucc , 于是 lim lim2 n RR RR ccccc . 这与 相矛盾。 c c 下面采用集中紧致原理证明上述找到的极小化序列具有紧性性质。 引理 2.7 设 R R uN是 R c的达到函数,记 :, n nRn uuR ,则 存在 N n yR使得对任意的 0 ,存在 使得当 0rr rr 时,有 22 limsup d n nn nxy r uVxu x . 证明:由引理 2.6可知 n u是c的一串极小序列,再由引理2.5 知 n u在 1 N R中有界,因此可以假设 22 d0 Nnn R uVxu xA . 如果 ,由(4)式得到 0A 22 ,ddd 0 NN N q nnn n RR R FxuxuuxCux , 于是,这与 矛盾,因此。 0 n u 0c0A 令 22 : nn n x uVxu ,下 面 证明n 是紧的。由集中紧致原理,只需排除“vanishing”和“dichotomy”, 首先我们排除“vanishing”,假设“vanishing”发生,那么对任意的 0R ,有 22 lim supd0 Nnn nyR xyR uVxu x . 由文献[12]中的消失引理可得到 d0,2,2 N q n R ux q 。于是 2,d N nnn R ufxuux0 ,这与 liminf0 n nu 相矛盾,因此“vanishing”不会发生。 下面排除“dichotomy”: 令,则 是一非减、非负且在实数集中一致有界的序列,因此存在函数 sup d NR nn yR B QR xx n QR QR使 得 0 lim, lim0, n nR QR QRQRAA . 对任意的 0 ,选取 足够大使得对任意的,则 0 R0 RR Copyright © 2012 Hanspub 68 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 00 , 44 QR AA . 于是存在 充分大使得当, 0 n0 nn 00 , 44 n QR AA , 也就是说,存在 N n yR使得当 时, 0 ,RRnn 0 22 00 d, 22 Rn nnn By QRuVxuxAA , (6) 特别地,我们可以找到 使得 n R 00 , 22 nn QR AA . (7) 选取截断函数 1 , N CR 满足 0,1 ,且当 2x时0 ,当 1x 时1 ;当 2x时1 , 当1x时0 。令 1 n n x y R 0 x R ,其中 待定, 1 R n nn x y x R ,当 0 nn 2 2 22 11 1 dd NN nnnnnn nnn RR C uux uuux RR , 2 1 d Nnnnnn R C uuux R , 选取 充分大使得 1 RR0 1 C R ,那么 2 2d Nnn nn R uux , (8) 2d Nnnnnn R uuux . (9) 由(4)式、 的定义和(6) (7)两式,于是 11 11 2 22 2 ,,d ,, d Nn n nn nnnnnnn nnnnn Rxy R R nn Rxy R uf xuufxuxuf xuuf xux CuVxuxC , d (10) 类似地可以得到 2 2d Nnnnn R uux , (11) 2d Nnnnnn R uuux , (12) Copyright © 2012 Hanspub 69 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 ,,d Nnnn nnnn R uf xuufxux , (13) 其中当 0 时, 。 0 记,不妨设 ,由(6) (7)式,有 , nnnn wxuv u nn 1n RR 11 22 2 d1d Nnnn nnn Rx R R uwvx ux , 1 1 2 1 2 22 22 22 21 11 d1 d 11 d Nn n nnnnnnnnnn n Rx R R nnn nnn RxR n uwvxuuux RR Cuuu ux RR . 综上两式,我们得到 nnn uwv , (14) 由(6) (7)两式可 得 1 2222 22 2 22 22 22 d1 d dd Nn NN nnnnnn Rx R R nnnnnn nn RR uwvxux uux uux , (15) 222 d N R nnn uwvx , (16) 类似于(10)式的计算过程,有 ,,d ,,d NN nnnnnn RR Fxu FxwxFxu Fxvx ;. 于是 ,,,d Nnnn R FxuFxw Fxvx . (17) 注意到 n uA,由 得定义,再由(7) (14)两式,于是得到 , nn wv 22 00 , nn wAvAA . 由(5) (6) (7)式, nnn uwv ; (18) 再由(8) (9) (10)式, , nnn wuw . (19) 由于对任意的 , 1 0n R B Copyright © 2012 Hanspub 70 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 ,d Rn nnn B uVxufxux 0 . (20) 在(20)式中选取 n w ,从而 , nn uw o 1,再由(19)式于是得到 ,1 nnn wuwo 0 . 类似地由(11) (12) (13)式,我们有 1 n vo 。由引理 2.4,存在使得,于 是 1, 1 nn ts , nn nn tw Nsv N 11o c 2 nnn nnnn couw vsvtw 矛盾,这样就排除了 “dichotomy”。由集中紧致原理,紧性情形必然发生,也就是说存在 N n yR使得对任意的 0 ,存在 0rr 使得 22 limsup d n nn nxy r uVxu x 成立,这样就完成了该引理的证明。 3. 主要结论的证明 证明定理 1.1:令 是 , nnn nRRR uuu N n R c的达到函数,令 ,则 n R n R u是的一串极小化序列,由引 理2.5 可知 在 c n u 1 N R中有界,并且在 1 N R中若收敛到 u不恒为零,由引理 2.7 知,存在 N n yR使得 对任意的 0 ,存在 使得 0rr 22 limsup d n nn nxy r uVxu x . (21) 其中 n y 一定是有界的。如果 n y,由( )和(21),则有 2 V 222 22 ddd dsupd 1 Nnn n n n nnn xy rxy r R nn xy r xy rxy r Vx VCuxVxVuxVxVux VxVuxCVxVux CoC. 由(4) (21)两式和嵌入定理,可以得到 ,d,d,d ,d1, Nnn n nnn nnnnnn xy rxy r R nnn xy r f xuf uuxfxufuuxfxuf uux fxufu uxCoC 这是因为对任意给定的 和充分大,0Rn :: n x xyrxx R ,那么对任意的 0 ,于是有 11 ,,, 222 2 123 ,d, ,d ddd n nnn NNN nnn nnn xy rxR nnn xRu xR uxRu nnn RRR fxufu u xfxufu u xd , f xufuux uxRuxu x 这里 当 1,0 , 0, sup0 xR t fxt ft t ,(由条件(2 F )); 当 1 2, ,sup, xRt RR fxtft ,0固定 (由条件(2 F )); Copyright © 2012 Hanspub 71 朱红波 带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性 Copyright © 2012 Hanspub 72 当 1 321 , , 0, sup0 xRt fxt ft t ,(由条件(1 F ))。 这样, ,类似地可以得到 1 nn uuoo 1 1 nn uuoco 1,由引理 2.4,存在 使得 ,这样 1 n t nn tu N liminfliminf liminf nnn n nnn ctu u uc, 这与 相矛盾,这样 cc n y 是有界的,从而在 2,2 qN LR q ,中,这意味着 是弱下半连续 的。如果,则有;如果 u,类似于引理2.1 的证明,存在唯一的 使得 n uu n u 0uuN ucNtttu N ,那 么 liminfliminf n nn ctu tu u c, 由于 是光滑的,这个极小可达元就是的临界点,这样就完成了定理1.1 的证明。 N 4. 致谢 本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11026138)的资助及审稿人提出的宝贵建议。 参考文献 (References) [1] L. Jeanjean. On the existence of bounded Palais-Smale sequence and application to a Landesman-Lazer-type problem set on RN. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1999, 129(4): 787-809. [2] L. Jeanjean, K, Tanaka. A positive solution for an asymptotically linear elliptic problem on RN autonomous at infinity. ESAIM Control Opti- misation and Calcules of Variations, 2002, 7: 597-614. [3] L. Jeanjean, K. Tanaka. A positive solution for a linear Schrödinger equation on RN. Indiana University Mathematics Journal, 2005, 54(2): 443-464. [4] C. Y. Liu, Z. P. Wang and H. S. Zhou. Asymptotically of nonlinear Schrödinger equation with potential vanishing at infinity. Journal of Dif- ferential Equations, 2008, 245(1): 201-222. [5] G. Li, H. S. Zhou. The existence of a positive solution to asymptotically linear scalar field equation. Proceedings of the Royal Societyof Edin- burgh, 2000, 130(1): 81-105. [6] H. B. Zhu. A note on asymptotically linear Schrödinger equation on RN. Advanced Nonlinear Studies, 2009, 9(1): 81-94. [7] A. Ambrosetti, P. H. Rabinowitz. Dual variational methods in critical point theory and application. Journal of Functional Analysis, 1973, 14(4): 349-381. [8] Z. L. Liu, Z. Q. Wang. On the Ambrosetti-Rabinowitz superlinear condition. Advanced Nonlinear Studies, 2004, 4(4): 561-572. [9] Y. Q. Li, Z. Q. Wang and J. Zeng. Ground states of nonlinear Schrödinger equations with potentials. Annales de I’Institut Henri Poincare, 2006, 23(6): 829-837. [10] M. Willem. Minimax theorems. Boston: Birkhauser, 1996. [11] X. P. Zhu, D. M. Cao. The concentration-compactness principle in nonlinear elliptic equations. Acta Mathematica Scientia, 1989, 9(3): 307-323. [12] P. L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variation. The locally compact case, Part I and II. Annales de I’Institut Henri Poincare, 1984, 1(4): 109-145, 223-283. |