带有非自治项的非线性Schrödinger方程的基态解的存在性 Ground States of Nonlinear Schrödinger Equation with Non-Autonomous Nonlinearity

doi:10.12677/pm.2012.22011

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 62-72

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22011 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Ground States of Nonlinear Schrödinger Equation with

Non-Autonomous Nonlinearity

Hong bo Zhu

School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou

Email: zhbxw@126.com

Received: Dec. 14th, 2011; revised: Jan. 3rd, 2012; accepted: Jan. 14th, 2012

Abstract: In this paper, we are concerned with the following nonlinear Schrödinger equation

 



uVxuxfxuxR

uRN

 



 







Vx



(P). By using the bounded domain approximate scheme and concen-

tration compactness principle, we prove the existence of a ground state solution of (P) on the N ehari manifold

when constant and



xu fu .

Keywords: Nonlinear Schrödinger Equation; Ground State Solutions; Concentration Compactness

带有非自治项的非线性 Schrödinger 方程的

基态解的存在性

朱红波

广东工业大学应用数学学院，广州

Email: zhbxw@126.com

收稿日期：2011 年12 月14 日；修回日期：2012 年1月3日；录用日期：2012 年1月14 日

摘要：本文考虑如下形式的非线性 Schrödinger 方程















uVxuxfxuxR

uRN

 



 





(P)。利用有

界区域逼近和集中紧致原理，当位势函数





Vx不恒等于常数，非线性项





xu 不恒等于 ()

u，本文

证明了方程(P)存在最低能量解。

关键词：非线性 Schrödinger 方程；基态解；集中紧致原理

1. 引言

本篇文章研究如下形式的非线性 Schrödinger 方程：















uVxuxfxuxR

uRN

 



 





(1)

其中满足下列条件：

 

,,Vx fxt

( )，且存在常数





VxCR R





使得对任意的

R，







。

( )对任意的

R，

 









lim 0,

Vx VVx



 。

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

)



xt 是Caratheodory 函数，且存在常数使得C









,1 ,lim

fxt

fxtCtt





 0



关于

R一致

成立。

)

 

lim0, lim

fxt Fxt





关于

R一致成立；并且存在函数





ft CR



使得对任意的



tRR，







,0Fxt Ft，并且









lim

xtf t

 关于有界的一致成立。 t

R，



t关于





\0tR严格递增。 (3

)对任意的

关于 Schrödinger 方程(1)的解的存在性的研究已经有了很多结果，具体可参见[1-6]。近年来，关于方程(1)

的基态解(最低能量解)的研究引起了大家的注意，当采用变分方法寻求 Schrödinger 方程(1)基态解的时候，除了

需要非线性项函数



xt 的增长性条件和 Nehari型条件以外，一般还要求





xt 满足(A-R)条件(见文献[7])，

即存在常数 2



使得对所有的

R

 

0, ,,,

xuufxuFxuf xtt



 



，其中 . (A-R)

在文献[8]中，Liu和Wang 首次采用了比(A-R)条件弱且比较自然的超二次条件：



lim

Fxt





关于

R一致成立。 (SQ)

随后，Z. Q. Wang等在[9]中同样采用(SQ)条件，并在此条件下他们证明了如果



xt 和满足周期性

条件，也就是关于变量



的每个分量 i

都是周期；或位势函数





Vx为井位势同时



xt ft ，则方程(1)存

在基态解。本篇文章中的主要目的就是把方程(1)的非线性项推广到更一般形式上去，这里我们假设





xt 不恒

等于



t，并且





xt 和





Vx不满足周期性条件，在此条件下证明方程(1)仍存在基态解。

注1.1



uuVxu











x



表示 Hilbert 空间





R中的范数，



BxRxR





ByxRxy R，*2



3

。

例1.1 设

 

53 73

,fxt hxtt，















lim

hx hhx hx



 ，，





0hK



，。当时，3N*



，

容易验证



xt 满足条件(1

)-( 3

)。

主要结论如下：

定理 1.1 假设条件()( )，(

)-( 3

)成立，则方程(1)存在弱解





uR 使得，c为如下定

义



0uc





:inf





其中





 



:H\0: ,

Nu Ruuu





 0

 







1d,

2NN

uuVxuxFx 



dux

注1.2 如果

 

xtb xft，其中











11212

,,,, 0

bxCRR bbxbbb



 

，

 





inf lim

bx bxbx



 ，

作者在文献[9]中已说明定理 3.1仍成立。本篇文章中，非线性项函数





xt 不需要一定具有变量可分离的形式。

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

2. 预备知识

这一节中，首先给出一些预备引理和已知结论，这些引理和结论将为证明定理1.1 奠定基础。

引理 2.1 假设条件(1

)-(3

)成立，则对任意的









1\0

R，存在唯一的



0ttu



使得



tuu N



，且

。

 



max

ttut u u



证明：此引理的证明可参见文献[10]。

考虑方程(1)在无穷远处的方程：















,3.

uVuxfuxR

uRN

 



 





类似地，定义





:inf







 ，这里



  



:H\0 :,

Nu Ruuu







 0

 







1dd

2NN

uuVuxF



 



ux.

由文献[9]中的定理 2.1 可知，且存在达到函数

0cuN





。

引理 2.2 0cc





证明：首先证明，令 0c



















00,1

H\0

:infmax ;:infmax

Ntt

ctuc









t



这里，由引理 2.1，易知



 





:0,1,:00,1



 1



。

对任意的，由(





1\0

uR 2

)，存在充分大的使得0t





0tu



。

令





stu



，则







，且有





 

max

csstu





 



tu.

因此。由(

cc21

)( 2

)，存在0



充分小使得





inf 0









。

由







，对足够大的，0t





，因此，存在





00, 1s使得









，这样











inf 0

cs u







 .

因此。设是c的达到函数，类似于引理 2.1 的证明过程，存在

0cc c u 





0ttu



使得，于是

有

tu N













ctutuuc



 

 .

引理 2.3 (文献[11]，定理 2.1) 设





是





LR 中有界序列， 0



，则存在一子序列(仍记为







)使得下

面其中一种情况发生：

1) 消失：对所有的 0，R







lim supd0

nyR By



 



。

2) 非消失：存在常数0, R



和



yR使得







lim supd0

NRn

nyR By



 



.

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

引理 2.4 设







uR 满足当 n时，









0,, d0

nnn

ufxuuxl





,

则存在序列使得当。

t,1

nn n

ntuNt，

证明：因为，类似于引理 2.1中的证明，存在唯一的使得0

u0

tnn

tu N



，即



nn nnnnn

tuVxuxfxtutu 



. (2)

由(1

) (2

)，对任意的 0



，存在使得 0C













21 1

fxtt tCtq





2,2



 .

由(2)式易知不趋向于零，这样。由(

t00

tt 3

)得到：

 











222

1dd2

NNN

nn nnnn

nnn

RRR

fxtutuF xtu

louVxu xxux

ttu

 





. (3)

由题设条件容易知道



在





R中有界，所以至多相差一平移变换，存在使得



在0u



R上几乎

处处收敛到。令，如果u



u

xR n



，由(2

)和(3)式可导出下面的矛盾：











  

22 2

22 2222

22 22 22

,, ,

12 ddd

,,,

dliminfdliminfd .

nn nnnn

nn n

nn nnnn

nn nn nn

Fxtu FxtuFxtu

louxuxux

tu tutu

Fxtu Fxtu Fxtu

ux uxux

tu tu tu



 



 

 

 





这样。假设

ttC n



 ，断言：T = 1。

因为，由，于是有

tu N









22d,d

nn nn

uVxuxfxuuxo 



因为 n



 ，再有(1

)和(3

)



d,d

nn nn

TuVxuxfxTuTuxo 



也就是













,, ,,

nn nn

fxTufxufxTufxu

uux

TuuTu u



















因为在中收敛到。由(



,2,2

loc

LR q



u3

)和Fatou’s 引理，于是









fxTufxu ux

Tu u











.

再由(3

)可知。 1T

引理 2.5 设



是的一串极小化序列，那么



1) 存在常数 0



使得 liminf 0



 。

2) 在中有





R界。

3) 存在的子序列若收敛到 u不恒等于零。



证明：1) 由(1

)( 2

)，对任意的0



，存在使得 0C





朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性









21 1

fxtt tCtq







,2,2



 . (4)

因为，由(4)容易得到





liminf 0



 。

2) 如果在中





R无界，设n

，令







，则 n



是

LR 中的有界序列。由引理2.3，

我们将分别导出下面两种矛盾：

情形 1：消失

对所有的，

0R



lim supd0

nyRBy



 



。由文献[12]中的消失引理，在

 

2,2

LRq





，中强收

敛到零。再由(4)式，对任意固定的





dRvxo0,

RFx



，(1)，于是







nnn

couRvRFxRv xRo 

d1

选取 2Rc，这样就导出了矛盾。

情形 2：非消失

存在常数 0R



，和



yR使得







lim supd0

NRn

nyR By



 



.

令，则在



wx vxy







R中有界，于是存在





wR使得：在中





R若收敛到，

在中几乎处处收敛到，

w在中收敛到，



loc







0dd

nn R

nnn

xy RxyRB

vxwxy xwx



 



 

这意味着不恒为零。令。因为w





xRwx 









uco ，于是









1d0

Fxu co







由Fatou’s 引理和(2

)，导出下面的矛盾：













1dd

liminfd liminfd.

nn n

nnn

nn nnn n

nn nn

nn nnn n

nn nn

Fx yux y

Fxu vx wx

uuxy

Fxyuxy Fxyuxy

wx wx

uxy uxy

Fx yu x yFx yu x y

wx wx

uxy uxy



 







 





 













这样



在中





R有界。

3) 因为



在中







R有界，所以存在





uR使得

u在



R

中若收敛到，在中几乎处处收敛到，

u在



2,2

loc

LR r









，中收敛到。 u

如果，由( )，显然有 0u2

 





2d0

Vx Vux





.

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

下面我们证明





Nnn

Fxu Fux

0。

因为

 

,d,d,

Nnnnnnn

xR xR

xuFuxFxuFuxFxuF ux







. (5)

注意到在





2,2

LB q







，中收敛零，于是







Fxu Fu x







.

对任意的 0



，









  

,,,

12 3

nnn

NNN

xRu xR uxRu

nnn

RRR

FxuFux

xuFux

uxRuxu x

 

 







  







 





 



 



这里

当





 

0sup

xR t

Fxt Ft











，0

，(由条件(2

))；

当





 

sup ,0

xR t

RR FxtFt









，，

固定



(由条件(2

))；

当





 

0sup

xRt

Fxt Ft













，0

，(由条件(1

))。

这样就得到













cou o



,

类似地可以得到

 















11 dd

nnnnnn n

uuoofuuxfu uxul



0



 



，.

由引理 2.1，存在使得，于是 1

tnn

tuN























11 1

nnn

cou otuoco



1,

这与引理 2.2 矛盾，这样就完成了这个引理的证明。

下面考虑方程(1)在上的 Dirichlet 问题





















,, 0

00.

uVxuxfxux B

uxB

 







，

类似地定义











00inf

RRR

NN Bcu ，。由文献[8]中的结果可知，

c存在达到函数

u，显然，

如果能证明，这意味着



cc

lim R

Rcc

 



u是c的一串极小化序列，这样我们就找到一串特殊的的极小化序列。

引理 2.6 设





inf

cu ，那么 lim R

Rcc



 c



。

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

证明：显然 c，假设，那么对任意的c

c

c0



(可取





2cc





 )，则存在 uN



使得



2uc cc





 。

因为在中









R稠密，那么存在









uCR



使得强收敛于

uu



R，于是















 



,d,d, ,d,d

,d ,d0

NNNN

nn n

RRRR

nn nn

xuuxfxuuxFxuxF xux

uufxuux ufxuux





 





由引理 2.4，存在使得，设，则1

tnn

tu Nn

Suppu B

nn B

tuN



，这样















Rnn n

ctuu ucc



  ,

于是





lim lim2

ccccc



 

 .

这与相矛盾。 c

c

下面采用集中紧致原理证明上述找到的极小化序列具有紧性性质。

引理 2.7 设

uN是

c的达到函数，记 :,

nRn

uuR



，则存在





yR使得对任意的 0



，存在

使得当



0rr



 rr



时，有







limsup d

nxy r

uVxu x









.

证明：由引理 2.6可知





u是c的一串极小序列，再由引理2.5 知





u在





R中有界，因此可以假设



Nnn

uVxu xA 

.

如果，由(4)式得到 0A







,ddd 0

NN N

nnn n

RR R

FxuxuuxCux







 



于是，这与矛盾，因此。



u 0c0A

令

 

nn n

uVxu



 ，下面证明n



是紧的。由集中紧致原理，只需排除“vanishing”和“dichotomy”,

首先我们排除“vanishing”，假设“vanishing”发生，那么对任意的 0R



，有







lim supd0

Nnn

nyR xyR

uVxu x

 





.

由文献[12]中的消失引理可得到





d0,2,2

ux q





。于是



2,d

nnn

ufxuux0





，这与

liminf0



 相矛盾，因此“vanishing”不会发生。

下面排除“dichotomy”：

令，则是一非减、非负且在实数集中一致有界的序列，因此存在函数

 

sup d

yR B

QR xx













QR使

得















lim, lim0,

QR QRQRAA

 

.

对任意的 0



，选取足够大使得对任意的，则

RR

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性



QR AA





 





于是存在充分大使得当，

nn



QR AA





 





也就是说，存在



yR使得当时，

,RRnn

 







nnn

QRuVxuxAA





 









, (6)

特别地，我们可以找到使得

R



QR AA





 









. (7)

选取截断函数







满足 0,1







，且当 2x时0





，当 1x



时1



；当 2x时1





，

当1x时0



。令





0







 R

，其中待定，

R





R









，当

nn



nnnnnn nnn

uux uuux



 







 









 ,



Nnnnnn

uuux





 



,

选取充分大使得

RR0



，那么



Nnn nn

uux











 









, (8)



Nnnnnn

uuux











 





. (9)

由(4)式、



的定义和(6) (7)两式，于是

  



,,d ,,

nn nnnnnnn nnnnn

Rxy R

uf xuufxuxuf xuuf xux

CuVxuxC

 



 



 











，

(10)

类似地可以得到



Nnnnn

uux





 









, (11)



Nnnnnn

uuux





 







, (12)

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

 



,,d

Nnnn nnnn

uf xuufxux



 

















, (13)

其中当 0



时，。







记，不妨设，由(6) (7)式，有



nnnn

wxuv u





nn 1n

RR



d1d

Nnnn nnn

Rx R

uwvx ux







 







22 22

d1 d

11 d

nnnnnnnnnn

Rx R

nnn nnn

RxR n

uwvxuuux

Cuuu ux

 







  



 







.



综上两式，我们得到





nnn

uwv





 , (14)

由(6) (7)两式可得



2222

d1 d

nnnnnn

Rx R

nnnnnn nn

uwvxux

uux uux









 

 





(15)



222

nnn

uwvx





 

, (16)

类似于(10)式的计算过程，有

 







,,d ,,d

nnnnnn

Fxu FxwxFxu Fxvx



 



 





；.

于是

 



,,,d

Nnnn

FxuFxw Fxvx







 







. (17)

注意到 n

uA，由得定义，再由(7) (14)两式，于是得到 ,



wAvAA





 



由(5) (6) (7)式，















nnn

uwv





; (18)

再由(8) (9) (10)式，

 



nnn

wuw







 . (19)

由于对任意的，









朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性









nnn

uVxufxux

 



 



0





. (20)

在(20)式中选取 n



，从而







uw o



1，再由(19)式于是得到















nnn

wuwo





 0



类似地由(11) (12) (13)式，我们有













。由引理 2.4，存在使得，于

是

1, 1

ts ,

nn nn

tw Nsv N





















11o c



nnn nnnn

couw vsvtw













 矛盾，这样就排除了

“dichotomy”。由集中紧致原理，紧性情形必然发生，也就是说存在





yR使得对任意的 0



，存在



0rr



使得



limsup d

nxy r

uVxu x





 

成立，这样就完成了该引理的证明。

3. 主要结论的证明

证明定理 1.1：令是

nnn

nRRR

uuu N n

c的达到函数，令，则

R





u是的一串极小化序列，由引

理2.5 可知



在





R中有界，并且在





R中若收敛到 u不恒为零，由引理 2.7 知，存在



yR使得

对任意的 0



，存在使得



0rr











limsup d

nxy r

uVxu x











. (21)

其中



一定是有界的。如果 n

y，由( )和(21)，则有

   

  

222

ddd

dsupd 1

Nnn

n n

nnn

xy rxy r

xy r

xy rxy r

Vx VCuxVxVuxVxVux

VxVuxCVxVux CoC.





 



 

 

 







由(4) (21)两式和嵌入定理，可以得到

  





,d,d,d

,d1,

Nnn

nnn nnnnnn

xy rxy r

nnn

xy r

xuf uuxfxufuuxfxuf uux

fxufu uxCoC



 





 





 



这是因为对任意给定的和充分大，0Rn







xyrxx R ，那么对任意的 0



，于是有

















  

,,,

222

123

,d,

ddd

nnn

NNN

nnn nnn

xy rxR

nnn

xRu xR uxRu

nnn

RRR

fxufu u xfxufu u xd

xufuux

uxRuxu x

 

 





 

  









 





 



 



这里

当





 

1,0

0, sup0

xR t

fxt ft











 

，(由条件(2

))；

当





 

,sup,

xRt

RR fxtft









 ，0固定



(由条件(2

))；

朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性

当





 

321

0, sup0

xRt

fxt ft

















 

，(由条件(1

))。

这样，，类似地可以得到

 

uuoo



1

















uuoco



1，由引理 2.4，存在

使得，这样

t

tu N















liminfliminf liminf

nnn n

nnn

ctu u



 

 uc,

这与相矛盾，这样









是有界的，从而在









2,2

LR q



，中，这意味着是弱下半连续

的。如果，则有；如果 u，类似于引理2.1 的证明，存在唯一的使得

uu



u



0uuN



ucNtttu N



，那

么











liminfliminf n

ctu tu u

 

c,

由于是光滑的，这个极小可达元就是的临界点，这样就完成了定理1.1 的证明。 N

4. 致谢

本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11026138)的资助及审稿人提出的宝贵建议。

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