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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 62-72
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22011 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Ground States of Nonlinear Schrödinger Equation with
Non-Autonomous Nonlinearity
Hong bo Zhu
School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou
Email: zhbxw@126.com
Received: Dec. 14th, 2011; revised: Jan. 3rd, 2012; accepted: Jan. 14th, 2012
Abstract: In this paper, we are concerned with the following nonlinear Schrödinger equation
 

1
,,
,3
N
N
uVxuxfxuxR
uRN
 

 



Vx

,
(P). By using the bounded domain approximate scheme and concen-
tration compactness principle, we prove the existence of a ground state solution of (P) on the N ehari manifold
when constant and

f
xu fu .
Keywords: Nonlinear Schrödinger Equation; Ground State Solutions; Concentration Compactness
带有非自治项的非线性 Schrödinger 方程的
基态解的存在性
朱红波
广东工业大学应用数学学院,广州
Email: zhbxw@126.com
收稿日期:2011 年12 月14 日;修回日期:2012 年1月3日;录用日期:2012 年1月14 日
摘 要:本文考虑如下形式的非线性 Schrödinger 方程







1
,,
,3
N
N
uVxuxfxuxR
uRN
 

 


(P)。利 用 有
界区域逼近和集中紧致原理,当位势函数


Vx不恒等于常数,非线性项


,
f
xu 不恒等于 ()
f
u,本文
证明了方程(P)存在最低能量解。
关键词:非线性 Schrödinger 方程;基态解;集中紧致原理
1. 引言
本篇文章研究如下形式的非线性 Schrödinger 方程:







1
,,
,3
N
N
uVxuxfxuxR
uRN
 

 


(1)
其中 满足下列条件:
 
,,Vx fxt
( ),且存在常数
1
V


,
N
VxCR R

0

使得对任意的
N
x
R,


Vx

。
( )对任意的
2
V
N
x
R,
 




lim 0,
x
Vx VVx

 。
Copyright © 2012 Hanspub
62
朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性
(1
F
)

,
t
f
xt 是Caratheodory 函数,且存在常数 使得C




22
21
,
,1 ,lim
tt
fxt
fxtCtt




 0

关于
N
x
R一致
成立。
(2
F
)
 
2
0
,,
lim0, lim
tt
fxt Fxt
tt


关于
N
R一致成立;并且存在函数


ft CR
x

使得对任意的

,N
x
tRR,



,0Fxt Ft,并且




lim
x,
f
xtf t
 关于有界的 一致成立。 t
N
x
R,

,
f
xt
t关于


\0tR严格递增。 (3
F
)对任意的
关于 Schrödinger 方程(1)的解的存在性的研究已经有了很多结果,具体可参见[1-6]。近年来,关于方程(1)
的基态解(最低能量解)的研究引起了大家的注意,当采用变分方法寻求 Schrödinger 方程(1)基态解的时候,除了
需要非线性项函数

,
f
xt 的增长性条件和 Nehari型条件以外,一般还要求


,
f
xt 满足(A-R)条件(见文献[7]),
即存在常数 2

使得对所有的
N
x
R
 
0
0, ,,,
ud
F
xuufxuFxuf xtt

 

,其中 . (A-R)
在文献[8]中,Liu和Wang 首次采用了比(A-R)条件弱且比较自然的超二次条件:

2
,
lim
t
Fxt
t


关于
N
x
R一致成立。 (SQ)
随后,Z. Q. Wang等在[9]中同样采用(SQ)条件,并在此条件下他们证明了如果

,
f
xt 和满足周期性
条件,也就是关于变量

Vx
x
的每个分量 i
x
都是周期;或位势函数


Vx为井位势同时

,

f
xt ft ,则方程(1)存
在基态解。本篇文章中的主要目的就是把方程(1)的非线性项推广到更一般形式上去,这里我们假设


,
f
xt 不恒
等于

f
t,并且

,

f
xt 和


Vx不满足周期性条件,在此条件下证明方程(1)仍存在基态解。
注1.1


1
2
22
d
N
R
uuVxu





x

表示 Hilbert 空间


1
N
R中的范数,

:,
N
R
BxRxR


:
N
R
ByxRxy R,*2
2,
2
NN
N

3
。
例1.1 设
 
53 73
,fxt hxtt,







lim
x
K
hx hhx hx

 ,,


0hK

,。当 时,3N*
26

,
容易验证

,
f
xt 满足条件(1
F
)-( 3
F
)。
主要结论如下:
定理 1.1 假设条件()( ),(
1
V2
V1
F
)-( 3
F
)成立,则方程(1)存在弱解


1
N
uR 使得 ,c为如下定
义

0uc


:inf
uN
cu


其中


 

1
:H\0: ,
N
Nu Ruuu


 0
,
 



22
1d,
2NN
RR
uuVxuxFx 

dux
.
注1.2 如果
 
,
f
xtb xft,其中





11212
,,,, 0
N
bxCRR bbxbbb

 
,
 


inf lim
x
bx bxbx

 ,
作者在文献[9]中已说明定理 3.1仍成立。本篇 文章中,非线性项函数


,
f
xt 不需要一定具有变量可分离的形式。
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朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性
2. 预备知识
这一节中,首先给出一些预备引理和已知结论,这些引理和结论将为证明定理1.1 奠定基础。
引理 2.1 假设条件(1
F
)-(3
F
)成立,则对任意的




1\0
N
R,存在唯一的

0ttu

使得

tuu N

,且
。
 

0
max
ttut u u

证明:此引理的证明可参见文献[10]。
考虑方程(1)在无穷远处的方程:







1
,,
,3.
N
N
uVuxfuxR
uRN
 

 


类似地,定义


:inf
uN
cu



 ,这里

  

1
:H\0 :,
N
Nu Ruuu



 0
,
 



22
1dd
2NN
RR
uuVuxF

 

ux.
由文献[9]中的定理 2.1 可知, 且存在达到函数
0cuN



。
引理 2.2 0cc


证明:首先证明,令 0c









1
12
00,1
H\0
:infmax ;:infmax
Ntt
uR
ctuc





t
0

.
这里 ,由引理 2.1,易知



 


1
:0,1,:00,1
N
CR

 1
cc

。
对任意的 ,由(


1\0
N
uR 2
F
),存在充分大的 使得0t


0tu

。
令


s
stu

,则


s

,且有



 
20
max
t
csstu


 

tu.
因此 。由(
1
cc21
F
)( 2
F
),存在0

充分小使得


inf 0
uu




。
由


00

,对足够大的 ,0t

1

,因此,存在


00, 1s使得


0
s


,这样





20
inf 0
u
cs u



 .
因此。设 是c的达到函数,类似于引理 2.1 的证明过程,存在
12
0cc c u 


0ttu

使得 ,于是
有
tu N






ctutuuc

 
 .
引理 2.3 (文献[11],定理 2.1) 设

n

是


1
N
LR 中有界序列, 0
n

,则存在一子序列(仍记为


n

)使得下
面其中一种情况发生:
1) 消失:对所有的 0,R



lim supd0
NR
n
nyR By
xx

 

。
2) 非消失:存在常数0, R

和

N
n
yR使得



lim supd0
NRn
n
nyR By
xx

 

.
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引理 2.4 设


1

N
n
uR 满足当 n时,




0,, d0
N
nnn
R
ufxuuxl


,
则存在序列 使得当。
0
n
t,1
nn n
ntuNt,
证明:因为,类似于引理 2.1中的证明,存在唯一的 使得0
n
u0
n
tnn
tu N

,即



2
22
d,
NN
nn nnnnn
RR
tuVxuxfxtutu 

dx
. (2)
由(1
F
) (2
F
),对任意的 0

,存在 使得 0C






21 1
,,
q
fxtt tCtq



2,2

 .
由(2)式易知 不趋向于零,这样 。由(
n
t00
n
tt 3
F
)得到:
 





222
222
,,
1dd2
NNN
nn nnnn
nn
nnn
RRR
fxtutuF xtu
louVxu xxux
ttu
 

d
n

. (3)
由题设条件容易知道

在

n
u

1
N
R中有界,所以至多相差一平移变换,存在 使得

在0u

n
u
N
R上几乎
处处收敛到 。令,如果u

:0
n
u
N
xR n
n
t

,由(2
F
)和(3)式可导出下面的矛盾:






  
22 2
22 2222
22
22 22 22
,, ,
12 ddd
,,,
dliminfdliminfd .
NN
nn nnnn
nn n
nn nnnn
RR
nn nn nn
nn
nn
nn nn nn
Fxtu FxtuFxtu
louxuxux
tu tutu
Fxtu Fxtu Fxtu
ux uxux
tu tu tu

 

 
 
 


2
n
T
这样 。假设
0
0n
ttC n
n
t

 ,断言:T = 1。
因为 ,由,于是有
nn
tu N

0
n
u






22d,d
NN
nn nn
RR
uVxuxfxuuxo 

1
T
.
因为 n
n
t

 ,再有(1
F
)和(3
F
)




2
22
d,d
NN
nn nn
RR
TuVxuxfxTuTuxo 

1,
也就是






22
,, ,,
dd
NN
nn nn
nn
nn nn
RR
fxTufxufxTufxu
uux
TuuTu u






2
n
ux





.
因为 在中收敛到 。由(
n
u

,2,2
qN
loc
LR q

u3
F
)和Fatou’s 引理,于是




2
,,
d0
N
R
fxTufxu ux
Tu u





.
再由(3
F
)可知 。 1T
引理 2.5 设

是的一串极小化序列,那么

n
uc
1) 存在常数 0

使得 liminf 0
n
nu

 。
2) 在中有

n
u

1
N
R界。
3) 存在 的子序列若收敛到 u不恒等于零。

n
u
证明:1) 由(1
F
)( 2
F
),对任意的0

,存在 使得 0C


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



21 1
,
q
fxtt tCtq




,2,2

 . (4)
因为 ,由(4)容易得到

0
n
u

liminf 0
n
nu

 。
2) 如果 在中

u

1
n
N
R无界,设n
nn
u
vu
,令


1
20
nn
v

,则 n

是
N
LR 中的有界序列。由引理2.3,
我们将分别导出下面两种矛盾:
情形 1:消失
对所有的 ,
0R


lim supd0
NR
n
nyRBy
xx

 

。由文献[12]中的消失引理,在
n
v
 
2,2
qN
LRq


,中强收
敛到零。再由(4)式,对任意固定的


dRvxo0,
Nn
R
RFx

,(1),于是



2
11
1,
22
N
nnn
R
couRvRFxRv xRo 
d1
,
选取 2Rc,这样就导出了矛盾。
情形 2:非消失
存在常数 0R

,和

N
n
yR使得



lim supd0
NRn
n
nyR By
xx

 

.
令,则 在


:
nn
wx vxy
n


n
w

1
H
N
R中有界,于是存在


1
H
N
wR使得: 在中
n
w

1

N
R若收敛到 ,
在中几乎处处收敛到 ,
wn
w
N
Rw
n
w在中收敛到 ,

qN
loc
LR

w


22
0dd
nn R
nnn
xy RxyRB
vxwxy xwx

 

 
2
d
n
0
.
这意味着 不恒为零。令。因为w


,
N
xRwx 




1
n
uco ,于是




2
22
,1
1d0
2N
nn
n
Rn
Fxu co
vx
uu



.
由Fatou’s 引理和(2
F
),导出下面的矛盾:


















22
22
22
22
22
22
,
,
1dd
2
,,
dd
,,
liminfd liminfd.
NN
N
R
nn n
nnn
nnn
RR
nn nnn n
nn
nn nn
nn nnn n
nn
nn
nn nn
Fx yux y
Fxu vx wx
uuxy
Fxyuxy Fxyuxy
wx wx
uxy uxy
Fx yu x yFx yu x y
wx wx
uxy uxy


 



 


 








这样

在中

n
u

1
N
R有界。
3) 因为

在中

n
u

1

N
R有界,所以存在


1
N
uR使得
n
u在

1
N
R
tN
中若收敛到 ,在中几乎处处收敛到 ,
un
uN
Ru
n
u在

2,2
loc
LR r




,中收敛到 。 u
如果 ,由( ),显然有 0u2
V
 


2d0
Nn
R
Vx Vux


.
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66
朱红波  带有非自治项的非线性 Schrödinger方程的基态解的存在性
下面我们证明


,d
Nnn
R
Fxu Fux
0。
因为
 
,d,d,
Nnnnnnn
xR xR
R
d
F
xuFuxFxuFuxFxuF ux



. (5)
注意到 在
n
u


2,2
qR
LB q



,中收敛零,于是



,d
nn
xR
Fxu Fu x

0


.
对任意的 0

,




  
11
,,,
22
2
12 3
,d
,d
dd
nnn
NNN
nn
xR
nn
xRu xR uxRu
nnn
RRR
FxuFux
2
d,
F
xuFux
uxRuxu x
 
 



  




 



 

 

这里
当


 
12
,0
,
0sup
xR t
Fxt Ft
t





,0
,(由条件(2
F
));
当


 
1
2,
sup ,0
xR t
RR FxtFt




,,
固定

(由条件(2
F
));
当


 
*
1
32
,
,
0sup
xRt
Fxt Ft
t






,0
,(由条件(1
F
))。
这样就得到






11
n
cou o

,
类似地可以得到
 







11 dd
NN
nnnnnn n
RR
uuoofuuxfu uxul

0

 

,.
由引理 2.1,存在 使得,于是 1
n
tnn
tuN












11 1
nnn
cou otuoco

1,
这与引理 2.2 矛盾,这样就完成了这个引理的证明。
下面考虑方程(1)在上的 Dirichlet 问题

0
R
B









,, 0
00.
R
R
uVxuxfxux B
uxB
 



,
类似地定义





1
00inf
R
RRR
N
NN Bcu ,。由文献[8]中的结果可知,
R
c存在达到函数
R
u,显然,
如果能证明 ,这意味着

R
cc
lim R
Rcc
 

R
u是c的一串极小化序列,这样我们就找到一串特殊的的极小化序列。
c
引理 2.6 设


inf
R
RN
cu ,那么 lim R
Rcc

 c

。
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证明:显然 c,假设 ,那么对任意的c
c
c0

(可取


2cc


 ),则存在 uN

使得


2uc cc


 。
因为 在中

0N
CR



1
N
R稠密,那么存在




0
N
n
uCR

使得 强收敛于
n
uu

1
N
R,于是







 

22
,d,d, ,d,d
,d ,d0
NNNN
NN
nn n
RRRR
nn nn
RR
,
f
xuuxfxuuxFxuxF xux
uufxuux ufxuux


 


.
由引理 2.4,存在 使得 ,设,则1
n
tnn
tu Nn
nR
Suppu B
R
n
nn B
tuN

,这样







2
n
Rnn n
ctuu ucc

  ,
于是


lim lim2
n
RR
RR
ccccc

 
 .
这与 相矛盾。 c
c
下面采用集中紧致原理证明上述找到的极小化序列具有紧性性质。
引理 2.7 设
R
R
uN是
R
c的达到函数,记 :,
n
nRn
uuR

,则 存在


N
n
yR使得对任意的 0

,存在
使得当

0rr

 rr

时,有



22
limsup d
n
nn
nxy r
uVxu x




.
证明:由引理 2.6可知


n
u是c的一串极小序列,再由引理2.5 知


n
u在


1
N
R中有界,因此可以假设


22
d0
Nnn
R
uVxu xA 
.
如果 ,由(4)式得到 0A



22
,ddd 0
NN N
q
nnn n
RR R
FxuxuuxCux




 

,
于是,这与 矛盾,因此。

0
n
u 0c0A
令
 
22
:
nn n
x
uVxu

 ,下 面 证明n

是紧的。由集中紧致原理,只需排除“vanishing”和“dichotomy”,
首先我们排除“vanishing”,假设“vanishing”发生,那么对任意的 0R

,有



22
lim supd0
Nnn
nyR xyR
uVxu x
 


.
由文献[12]中的消失引理可得到


d0,2,2
N
q
n
R
ux q


。于是

2,d
N
nnn
R
ufxuux0


,这与
liminf0
n
nu

 相矛盾,因此“vanishing”不会发生。
下面排除“dichotomy”:
令,则 是一非减、非负且在实数集中一致有界的序列,因此存在函数
 
sup d
NR
nn
yR B
QR xx




n
QR


QR使
得







0
lim, lim0,
n
nR
QR QRQRAA
 
.
对任意的 0

,选取 足够大使得对任意的,则
0
R0
RR
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
00
,
44
QR AA



 


.
于是存在 充分大使得当,
0
n0
nn

00
,
44
n
QR AA



 


,
也就是说,存在

N
n
yR使得当 时,
0
,RRnn
0
 



22
00
d,
22
Rn
nnn
By
QRuVxuxAA



 




, (6)
特别地,我们可以找到 使得
n
R

00
,
22
nn
QR AA



 




. (7)
选取截断函数


1
,
N
CR

满足 0,1



,且当 2x时0


,当 1x

时1

;当 2x时1


,
当1x时0

。令

1
n
n
x
y
R

0
x



 R
,其中 待定,
1
R

n
nn
x
y
x

R




,当
0
nn

2
2
22
11
1
dd
NN
nnnnnn nnn
RR
C
uux uuux
RR

 




 




 ,

2
1
d
Nnnnnn
R
C
uuux
R


 

,
选取 充分大使得
1
RR0
1
C
R

,那么

2
2d
Nnn nn
R
uux






 




, (8)

2d
Nnnnnn
R
uuux






 


. (9)
由(4)式、

的定义和(6) (7)两式,于是
  

11
11
2
22
2
,,d ,,
d
Nn
n
nn nnnnnnn nnnnn
Rxy R
R
nn
Rxy R
uf xuufxuxuf xuuf xux
CuVxuxC
 

 
 

 





,
d
(10)
类似地可以得到


2
2d
Nnnnn
R
uux



 




, (11)


2d
Nnnnnn
R
uuux



 



, (12)
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 

,,d
Nnnn nnnn
R
uf xuufxux

 








, (13)
其中当 0

时, 。

0


记,不妨设 ,由(6) (7)式,有

,
nnnn
wxuv u


nn 1n
RR

11
22
2
d1d
Nnnn nnn
Rx R
R
uwvx ux



 


,



1
1
2
1
2
22 22
22
21
11
d1 d
11 d
Nn
n
nnnnnnnnnn
n
Rx R
R
nnn nnn
RxR n
uwvxuuux
RR
Cuuu ux
RR
 




  

 



.

综上两式,我们得到


nnn
uwv


 , (14)
由(6) (7)两式可 得






1
2222
22
2
22
22
22
d1 d
dd
Nn
NN
nnnnnn
Rx R
R
nnnnnn nn
RR
uwvxux
uux uux

,



 
 



(15)


222
d
N
R
nnn
uwvx


 
, (16)
类似于(10)式的计算过程,有
 



,,d ,,d
NN
nnnnnn
RR
Fxu FxwxFxu Fxvx

 

 


;.
于是
 

,,,d
Nnnn
R
FxuFxw Fxvx



 



. (17)
注意到 n
uA,由 得定义,再由(7) (14)两式,于是得到 ,
nn
wv



22
00
,
nn
wAvAA


 

.
由(5) (6) (7)式,







nnn
uwv


; (18)
再由(8) (9) (10)式,
 

,
nnn
wuw



 . (19)
由于对任意的 ,

1
0n
R
B



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



,d
Rn
nnn
B
uVxufxux
 

 

0


. (20)
在(20)式中选取 n
w

,从而



,
nn
uw o

1,再由(19)式于是得到







,1
nnn
wuwo


 0

.
类似地由(11) (12) (13)式,我们有



1
n
vo



。由引理 2.4,存在使得,于
是
1, 1
nn
ts ,
nn nn
tw Nsv N










11o c

2
nnn nnnn
couw vsvtw






 矛盾,这样就排除了
“dichotomy”。由集中紧致原理,紧性情形必然发生,也就是说存在


N
n
yR使得对任意的 0

,存在

0rr

使得


22
limsup d
n
nn
nxy r
uVxu x


 
成立,这样就完成了该引理的证明。
3. 主要结论的证明
证明定理 1.1:令 是
,
nnn
nRRR
uuu N n
R
c的达到函数,令 ,则
n
R


n
R
u是的一串极小化序列,由引
理2.5 可知

在
c

n
u

1
N
R中有界,并且在


1
N
R中若收敛到 u不恒为零,由引理 2.7 知,存在

N
n
yR使得
对任意的 0

,存在 使得

0rr





22
limsup d
n
nn
nxy r
uVxu x





. (21)
其中

n
y
一定是有界的。如果 n
y,由( )和(21),则有
2
V
   
  
222
22
ddd
dsupd 1
Nnn
n
n n
nnn
xy rxy r
R
nn
xy r
xy rxy r
Vx VCuxVxVuxVxVux
VxVuxCVxVux CoC.


 

 
 
 



由(4) (21)两式和嵌入定理,可以得到
  


,d,d,d
,d1,
Nnn
n
nnn nnnnnn
xy rxy r
R
nnn
xy r
f
xuf uuxfxufuuxfxuf uux
fxufu uxCoC

 


 


 

这是因为对任意给定的 和充分大,0Rn



::
n
x
xyrxx R ,那么对任意的 0

,于是有








  
11
,,,
222
2
123
,d,
,d
ddd
n
nnn
NNN
nnn nnn
xy rxR
nnn
xRu xR uxRu
nnn
RRR
fxufu u xfxufu u xd
,
f
xufuux
uxRuxu x
 
 


 
  




 



 

 

这里
当


 
1,0
,
0, sup0
xR t
fxt ft
t





 
,(由条件(2
F
));
当


 
1
2,
,sup,
xRt
RR fxtft




 ,0固定

(由条件(2
F
));
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当


 
1
321
,
,
0, sup0
xRt
fxt ft
t








 
,(由条件(1
F
))。
这样, ,类似地可以得到
 
 
1
nn
uuoo

1








1
nn
uuoco

1,由引理 2.4,存在
使得 ,这样
1
n
t
nn
tu N







liminfliminf liminf
nnn n
nnn
ctu u

 
 uc,
这与 相矛盾,这样

cc



n
y
是有界的,从而在




2,2
qN
LR q

,中,这意味着 是弱下半连续
的。如果,则有;如果 u,类似于引理2.1 的证明,存在唯一的 使得
n
uu

n
u

0uuN

ucNtttu N

,那
么





liminfliminf n
nn
ctu tu u
 
c,
由于 是光滑的,这个极小可达元就是的临界点,这样就完成了定理1.1 的证明。 N
4. 致谢
本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11026138)的资助及审稿人提出的宝贵建议。
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