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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 73-77
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22012 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Eigenvalue Inequality for a Weighted Biharmonic
Elliptic Problem*
Hui Xiong
Department of Mathematics, Dongguan University of Technology, Dongguan
Email: 375610596@qq.com
Received: Dec. 29th, 2011; revised: Jan. 9th, 2012; accepted: Jan. 17th, 2012
Abstract: In this paper, we study the relation between the first and the second eigenvalue of a weighted bi-
harmonic elliptic problem with Dirichlet boundary. By some variational techniqu e we obtain the correspond-
ing inequality, and some evaluations are put forward in low dimension space.
Keywords: Biharmonic; Singularity; Eigenvalue Inequality
含权双调和椭圆型问题的特征值不等式*
熊 辉
东莞理工学院数学教研室,东莞
Email: 375610596@qq.com
收稿日期:2011 年12 月29 日;修回日期:2012 年1月9日;录用日期:2012 年1月17 日
摘 要:本文主要讨论了一类含权的双调和椭圆型 Dirichlet 边值问题的第一和第二特征值之间的关系,
通过一些变分技巧得到了相关的不等式,并在低维数空间给出了一些估计。
关键词:双调和;奇性;特征值不等式
1. 引言
本文讨论如下含奇性的双调和Dirichlet 问题


20, ;
0, ,
uaxu x
u
ux
v











(1)
其中且, 是里的一个有界区域,且边界充分光滑。空间维数。

0,ax L




0axn
R2N
早在 1956 年,L. E. Payne,G. Poya和H. F. Wein b e rger[1]就分别考虑如下的三类 Dirichlet 边界问题
2
2
0, , 0, ;
0, , 0, ;
0, , 0, ,
uux ux
u
uux ux
n
u
uvuxux
n


 

 


 

(2)
令以上问题的对应的特征值列分别为
*资助信息:国家自然科学基金资助项目(10371116),广东省千百十工程。
Copyright © 2012 Hanspub 73
熊辉  含权双调和椭圆型问题的特征值不等式
123
123
123
0;
0
0,
m
m
m
vvv v
;

 
 







(3)
文[1]在二维平面上得出
11
11
21
23, 1,2,;
89, 1,2,
3.
m
mm im
i
m
mm im
i
m
m
m
m
vv
 
 


 
 




;
(4)
其中,(4)中的第一个不等式被 G. N. Hile和M. H. Protter[2]推广到更高维的空间,即
11
.
4
mi
imi
mN





 (5)
显然,在式(5)的左边,用 n

去取代每个 i

,这样就可以得到(4)的第一式。
在文[3]中,H. C. Yang则证明了
 
2
1
11
4
mm
mi imi
ii
N

1




 



. (6)
之后 E. M. Harrell II和J. Stubbe[4]又把不等式(6)推广到
 
 
1
11
11
1
11
11
2, 2;
4, 2,
mm
pp
mi imi
ii
mm
pp
mi imi
ii
pp
N
p
N
 
 








 



(7)
对于双调和问题,G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]也做了一些很好的工作,本文正是借助于他们所提供的方法来完
成的。G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]先研究了双调和算子的共振问题
2, ;
0, .
uu x
u
ux
v











得出了前 个特征值的隐式不等式
1m

12
232
11
182
mm
ii
ii
mi
Nm
N










,
和显式不等式

12
123211
82 .
mm
mm i
ii
Nuu
Nm



 


i
关于低指标的特征值,他们还得出更优的估计,即对任意0

,有
 


11
1
m
mm i
MN
qm,
i






 

(8)
其中
   
12
312
132 2
, 2.
33
qMN
N









N

Copyright © 2012 Hanspub
74
熊辉  含权双调和椭圆型问题的特征值不等式
并以此计算出最初三个特征值得如下关系
2
21
3
21
2
312
7.103, ;
4.792, ;
2.8974.237, ,
R
R
R





 


至于式(2)的第三个问题,G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]得出

2
21
2
820
, 2
2
NN
vv
N
 N


. (9)
本文主要采用文献[5]的方法,对于一般的空间维数 探讨类似于(8)的问题(1)的特征值不等式。有关特
征值的其他不等式,读者们还可参看文献[6-8]。
2N
2. 特征值不等式
众所周知,问题(1)的特征值可以如下排列
12
0
m,



 (10)
并假定它们对应的特征函数分别为 。根据特征值的定义可知,对任意充分光滑的函数
12
,, ,,
m
uu u

都满足

2
22
d,
d
x
ax x






 (11)
且

满足边界条件和正交条件
0, , 0.x
n




 
u

0
(12)
由于且,则可以假定存在两个正数 ,使得

ax L



0ax,AB




min, max.
xx
A
axBax
 

(13)
令 为问题(1)的第一特征值
1
uu1


对应的特征函数,则标准化后可得

2d1.axux



 (14)
其中


ax为某些特定的函数。
引理 2.1 假定只基于 1
x
选取 1
x
u

,则 1
x
u


满足(10)式。
证明:根据(13)式,有
 
2.
LL
A
u
ax ax

B



 (15)
因此可以通过坐标平移使得
2d0, 1,2,,
k.
x
ux kN

 (16)
显然, 1
x
u

满足(12)式的边界条件,且根据分部积分与(14)式,有
2
11
ddd0 d0
x
uxxuxuu xux


 

.
可见 1
x
u

也满足(12)式的正交条件。
通过旋转 空间的坐标,可得到
n
R
2
21
dd, 1,2
xk
axxa uxkN
N

 
 
,,. (17)
Copyright © 2012 Hanspub 75
熊辉  含权双调和椭圆型问题的特征值不等式
假定上式不成立,则取其中的两个坐标方向
p
x
和q
x
,并使得
2
22
1
dd
xk xp
axxa uxaux
N



d,
接着可以把
p
x
和q
x
旋转交换,则可知上书非严格不等式中等号会成立。这种方法可以重复使用,直到将所有的
验证完。 1, 2,,kN
引理 2.2 假定
1d,
x
I
aux




则以下等式或不等式成立:
 
2
22
11
2 d
2xx
N
aIbIau ux
N





;
.
证明:1) 根据分部积分和(17)式,因为 1
x
u


,则

22
2
1111 1
12
dddd
22
xxxx NN
Iauxaxuuuuxa uxauxa ux
NN

 
2
d
2



 .
其中最后一个不等式是根据(14)式得到的。
2) 根据 Hlder 不等式有
ö
222
222
11
ddd
xx
1
d.
x
I
xa uxxauux

 
 

定理 2.3 对于问题(1),对任意的 ,有 2N


2
2
2
44
1

1
2
NB
N.











(18)

证明:取引理 2.1 中的 1
x
u

,由于


2
11 111
1
dd
xx
xd,
x
uu xxuuxuxuu x
 
 
 
因此
2
11 1
dd
2
x,
x
uuxu x



则
22
22
1111
dd2dd
x
2
2
d
x
xuxxuux uxxu

 
 
 
x. (19)
直接计算又可得



22
11 1
d4d d4
xx
1
d
x
xuuxxuxux
 
 
 
 
.
则根据分部积分和式(19),有
 
22
22
11111
ddd2dd
xd,
x
uxxuxxu xxuuxxux
 
 
  
 


因此,有
2
22
1
ddd4
xd
x
xuxu
 



x
. (20)
根据式(11)、(20)和引理 2.2 的(a),可得
222
2
224
dd d4 d
N
xx xIx
N
 
 .


  (21)
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76
熊辉  含权双调和椭圆型问题的特征值不等式
Copyright © 2012 Hanspub 77
再根据引理 2.2 的(a)和(b),可得


22
22
12 2
11
2
24 d
22xx
NN d.
I
IIIxauux
NN







  (22)
结合式(21)和(22),则可得
2
21
8d.
2xx
Nau ux
N


 
1
(23)
同理,取

1, 2,,
k
x
uk N

,则可得

2
28d, 1,2,,
2xkxk
Nau uxkN
N


 
.
如此,对上式两边关于下标k求和,则可得

2
2
28d
2
Nau
N


 
x
.
再根据奇性项 的有界性即(13)式,有

ax

22
28d
2
NB u
N


 
x
. (24)
由问题(1)本身和式(14),有

22
1
ddux aux





 . (25)
由于 1

是第一特征值,则将式(25)代入式(24),可得
22
21 1
88
1
22
NB NB
NN
1

 


 




.
参考文献 (References)
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