设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
PureMathematics
n
Ø
ê
Æ
,2023,13(2),149-157
PublishedOnlineFebruary2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2023.132017
n
−
o
“
ê
†
n
−
Ñ
t
(
ooo
ZZZ
H
Ê
˜
Œ
Æ
ê
Æ
†
&
E
‰
ÆÆ
,
ô
Ü
H
Â
v
F
Ï
µ
2022
c
12
31
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2023
c
1
30
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2023
c
2
6
F
Á
‡
©
l
p
Ý
Ñ
u
§
Ä
k
ï
Ä
n
−
o
“
ê
(
~
ê
§
§
´
Š
•
o
“
ê
g
,
í
2
§
´
Ä
¦
{
$
Ž
•
n
−
‚
5
$
Ž
˜
«
“
ê
X
Ú
"
Ù
g
Ï
L
½
Â
6
/
þ
n
−
Ñ
t
)
Ò
Ú
Ñ
n
−
Ñ
t
(
½
Â
9
5
Ÿ
§
n
−
o
“
ê
†
n
−
Ñ
t
(
˜˜
é
A
'
X
"
•
3
•
þ
m
þ
ï
Ä
{
ƒ
m
þ
n
−
o
“
ê
§
‰
Ñ
n
−
o
“
ê
{
†
n
−
Ñ
t
N
'
X
"
'
…
c
n
−
Ñ
t
(
§
n
−
o
“
ê
§
n
−
o
“
ê
n
−
LieAlgebraand
n
−
PoissonStructure
JiaLi
CollegeofMathematicsandInformationScience,NanchangHangkongUniversity,Nanchang
Jiangxi
Received:Dec.31
st
,2022;accepted:Jan.30
th
,2023;published:Feb.6
th
,2023
Abstract
Inthispaper,wefirststudythestructuralconstantsof
n
−
Liealgebras,whichisa
naturalgeneralizationofLiealgebrasandanalgebraicsystemwhosebasicmultipli-
©
Ù
Ú
^
:
o
Z
.
n
−
o
“
ê
†
n
−
Ñ
t
(
[J].
n
Ø
ê
Æ
,2023,13(2):149-157.
DOI:10.12677/pm.2023.132017
o
Z
cationoperationsarelinearoperationsof
n
−
elements.Secondly,thedefinitionand
propertiesof
n
−
Poissonstructurearederivedbydefiningthe
n
−
Poissonbracketona
manifoldandtheone-to-onecorrespondencebetween
n
−
Liealgebrasand
n
−
Poisson
structureisobtained.Finally,we studythe
n
−
Lie algebrasoncotangentbundles,and
give therelationbetween thecomorphismof
n
−
Lie algebrasand
n
−
Poisson mapping.
Keywords
n
−
PissonStructure,
n
−
LieAlgebras,
n
−
LieAlgebroids
Copyright
c
2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
n
−
o
“
ê
[1,2](
q
¡
•
Filippov
“
ê
,Nambu-Poisson
“
ê
)
´
d
c
€
é
ê
Æ
[
Filippov
3
1985
c
J
Ñ
,
d
õ
“
ê
X
Ú
@
®
•
@
/
A^
Ô
n
ï
Ä
+
•
.
3
Nambu
−
å
Æ
X
Ú
¥
[3,4] [
f
1
,
···
,f
n
]=
det
(
∂f
i
∂x
j
)
´
•
;
.
˜
‡
Ã
•
‘
n
−
o
“
ê
~
f
.
C
A
c
n
−
o
“
ê
k
•
2
•
A^
˜
m
,
¦
n
−
o
“
ê
(
œ
„
u
Ð
.
3
[5]
¥
k
•
õ
'
u
n
−
o
“
ê
S
N
.
{
¤
þ
,Poisson(
Ñ
t
)
•
ï
Ä
;
å
Æ
X
Ú
$
Ä
•
§
Ú
Å
ð
½
Æ
Ä
¯
K
,
3
Œ
*
ÿ
þ
“
ê
þ
Ú
?
˜
‡
V
*
Ò
$
Ž
,
5
3
;
å
Æ
ï
Ä
¥
å
-
‡
Š
^
,
¡
•
Ñ
t
)
Ò
.
d
[6]
Ú
\
Courant
“
ê
˜
‡
š
~
-
‡
5
Ÿ
´
§
¡
˜
m
´
˜
‡
o
2
−
“
ê
,
¦
Ñ
t
(
†
p
(
—
ƒ
ƒ
'
.
^
p
on
Ø
•{
ï
Ä
Ñ
t
A
Û
¥
¯
K
,
Ø
=
U
r
?
‰
Æ
u
Ð
,
„
U
•
Ï
·
‚
^
•p
*
:
3
•p
g
þ
5
*
Ú
)û
¯
K
.
n
−
o
“
ê
´
é
n
−
o
“
ê
9
ƒ
m
í
2
,
´
3
•
þ
m
þ
ï
Ä
.
©
d
[7]
¥
Š
ö
‰
Ñ
o
“
ê
†
•
þ
˜
m
¥
Ñ
t
(
˜˜
é
A
'
X
,
U
Yï
Ä
n
−
o
“
ê
n
−
Ñ
t
(
é
A
'
X
.
3
6
/
M
þ
N
M
—
î
•
þ
|
8
Ü
‘
k
•
þ
|
)
Ò
$
Ž
¤
o
“
ê
,
K3
C
∞
(
M
)
þ
•
Œ
±Ú
\
)
Ò
$
Ž
,
=
Ñ
t
)
Ò
.
é
A
3
p
•
þ
|
þ
n
−
Ñ
t
)
Ò
.
X
3
•
þ
m
þ
Ú
\
o
“
ê
½
Â
,
U
Y
?
Ø
m
þ
n
−
Ñ
t
6
/
{
ƒ
n
−
o
“
ê
.
2.
n
−
o
“
ê
†
n
−
Ñ
t
(
é
A
'
X
½
Â
1
.
[
i
]
´
•
þ
˜
m
g
þ
˜
|
Ä
,
i
=1
,
···
,dimg
,
K
½
˜
‡
n
−
o
“
ê
(
~
ê
,
X
e
[
i
1
,
···
,
i
n
]
g
=
P
n
k
=1
C
k
i
1
···
i
n
k
DOI:10.12677/pm.2023.132017150
n
Ø
ê
Æ
o
Z
½
Â
2
.[1]
˜
‡
n
−
o
“
ê´
˜
‡
•
þ
˜
m
g
±
9
˜
‡
n
−
-
‚
5
‡
é
¡
)
Ò
$
Ž
[
·
,
···
,
·
]
g
:
∧
n
g
→
g
,
¦
é
?
¿
i
,
j
∈
g
,
±
e
Ä
ð
ª
¤
á
:
[
i
1
,
···
,
i
n
−
1
,
[
j
1
,
···
,
j
n
]]
g
=
X
k
[
j
1
,
···
,
j
k
−
1
,
[
i
1
,
···
,
i
n
−
1
,
j
k
]
,
j
k
+1
,
···
,
j
n
](1)
½
Â
ad
:
∧
n
−
1
g
→
gl
(
g
)
X
e
,
ad
i
1
,
···
,
i
n
−
1
:
j
k
→
[
i
1
,
···
,
i
n
−
1
,
j
k
]
,
∀
i
,
j
∈
g
(2)
K
eq:n-Liealgebra
d
u
ad
i
1
,
···
,
i
n
−
1
´
˜
‡
f
,
=
ad
i
1
,
···
,
i
n
−
1
[
j
1
,
···
,
j
n
]
g
=
n
X
k
=1
[
j
1
,
···
,ad
i
1
,
···
,
i
n
−
1
j
k
,
j
n
]
g
.
(3)
·
K
1
.
é
u
˜
‡
n
−
o
“
ê
,
Ù
(
~
ê
÷
v
ª
C
l
j
1
···
j
n
C
m
i
1
···
i
n
−
1
,l
=
n
X
k
=1
C
l
i
1
···
i
n
−
1
,j
k
C
m
j
1
···
j
k
−
1
,l,j
k
+1
···
j
n
y
²
[
i
1
,
···
,
i
n
−
1
,
n
X
l
=1
C
l
j
1
···
j
n
l
] =
n
X
k
=1
[
j
1
,
···
,
j
k
−
1
,
n
X
l
=1
C
l
i
1
···
i
n
−
1
,j
k
l
,
···
,
j
n
]
n
X
l
=1
n
X
m
=1
C
l
j
1
···
j
n
C
m
i
1
···
i
n
−
1
,l
m
=
n
X
k
=1
n
X
l
=1
n
X
m
=1
C
l
i
1
···
i
n
−
1
,j
k
C
m
j
1
···
j
k
−
1
,l,j
k
+1
···
j
n
m
C
l
j
1
···
j
n
C
m
i
1
···
i
n
−
1
,l
=
n
X
k
=1
C
l
i
1
···
i
n
−
1
,j
k
C
m
j
1
···
j
k
−
1
,l,j
k
+1
···
j
n
½
Â
3
.[8]
6
/
M
þ
n
−
Ñ
t
)
Ò
´
˜
‡
n
−
-
‚
5
N
{
.,...,.
}
:
C
∞
(
M
)
×
...
×
C
∞
(
M
)
−→
C
∞
(
M
)
÷
v
:
(1)
‡
é
¡
:
é
?
¿
f
i
∈
C
∞
(
M
)
,
(1
≤
i
≤
n
),
σ
∈
S
n
(
S
n
´
n
é
¡
+
),
{
f
1
,
···
,f
n
}
= (
−
1)
ε
(
σ
)
{
f
σ
(1)
,
···
,f
σ
(
n
)
}
.
(2)
4
Ù
Z
[
5
Ÿ
:
é
?
¿
f
i
,g
∈
C
∞
(
M
)
,
(1
≤
i
≤
n
),
{
f
1
g,f
2
,
···
,f
n
}
=
f
1
{
g,f
2
,
···
,f
n
}
+
g
{
f
1
,f
2
,
···
,f
n
}
.
(3)
Ä
ð
ª
:
é
?
¿
f
i
,g
j
∈
C
∞
(
M
)
,
(1
≤
i
≤
n
−
1
,
1
≤
j
≤
n
)
,
{
f
1
,
···
,f
n
−
1
,
{
g
1
,
···
,g
n
}}
=
n
X
j
=1
{
g
1
,
···
,
{
f
1
,
···
,f
n
−
1
,g
j
}
,
···
,g
n
}
.
DOI:10.12677/pm.2023.132017151
n
Ø
ê
Æ
o
Z
X
J
{
.,...,.
}
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
)
Ò
,
K
•
3
n
−
•
þ
|
π
∈
Γ(
∧
n
TM
)
÷
v
π
(
df
1
∧···∧
df
n
)=
{
f
1
,
···
,f
n
}
,
¡
•
n
−
Ñ
t
•
þ
|
.
3
Ä
[
i
]
e
,
n
−
Ñ
t
•
þ
|
Œ
±
L
«
•
π
=
X
C
k
i
1
···
i
n
k
∂
∂
i
1
∧···∧
∂
∂
i
n
.
K
‚
5
n
−
Ñ
t
(
¤
(
½
(
~
ê
{
C
k
i
1
···
i
n
}
=
•
n
−
o
“
ê
(
(
~
ê
.
ƒ
‡
g
é
ó
˜
m
g
∗
Ä
•
[
µ
i
],
¦
<µ
i
,
j
>
=
δ
i
j
#
K
g
∗
þ
¼
ê
f
•
:
df
|
µ
=
n
X
i
=1
∂f
∂
k
|
µ
d
k
|
µ
∈
T
∗
g
∗
|
µ
∀
f
∈
C
∞
(
g
∗
)
,µ
∈
g
∗
.
5
¿
g
Ä
•
{
1
,
···
,
n
}
,
T
∗
g
∗
k
Ä
{
d
1
|
µ
,
···
,d
n
|
µ
}
,
§
‚
ƒ
m
Œ
±
ï
á
Ó
'
X
T
∗
g
∗
|
µ
→
g
,
d
k
|
µ
7→
k
,
∀
k
= 1
,
···
,n,
2
-
{
f
1
,
···
,f
n
}
(
µ
) =
<µ,
[
df
1
|
µ
,
···
,df
n
|
µ
]
>.
Ù
¥
<,>
L
«
é
ó
˜
m
ƒ
m
é
$
Ž
,
Ï
d
{
f
1
,
···
,f
n
}
(
µ
) =
n
X
k
=1
∂f
1
∂
i
1
,
···
,
∂f
n
∂
i
n
C
k
i
1
···
i
n
k
(
µ
)
.
A
O
é
g
∗
þ
‹
I
¼
ê
k
{
i
1
,
···
,
i
n
}
(
µ
) =
X
C
k
i
1
···
i
n
i
k
(
µ
)
.
d
d
g
∗
þ
n
−
‚
5
Ñ
t
(
,
Œ
±
±
e
½
n
.
½
n
1
•
þ
˜
m
†
Ù
é
ó
˜
m
þ
n
−
o
“
ê
(
ƒ
m
k
g
,
˜˜
é
A
'
X
,
¦
ü
«
(
k
ƒ
Ó
(
~
ê
.
e
¡
‰
Ñ
n
−
Ñ
t
(
d
^
‡
.
½
n
2
e
{
.,...,.
}
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
)
Ò
,
K
k
L
X
f
1
...f
n
−
1
Π = 0
y
²
L
X
f
1
...f
n
−
1
Π
(
dg
1
,...,dg
n
)
=
L
X
f
1
...f
n
−
1
(Π(
dg
1
,...,dg
n
)
−
n
X
i
=1
Π
dg
1
,...,
L
X
f
1
...f
n
−
1
dg
i
,...,dg
n
=
L
X
f
1
...f
n
−
1
(
{
g
1
,...,g
n
}
)
−
n
X
i
=1
{
g
1
,...,
L
X
f
1
...f
n
−
1
g
i
,...,g
n
}
=
{
f
1
,...,f
n
−
1
,
{
g
1
,...,g
n
}}−
n
X
i
=1
{
g
1
,...,
{
f
1
,...,f
n
−
1
,g
i
}
,...,g
n
}
.
DOI:10.12677/pm.2023.132017152
n
Ø
ê
Æ
o
Z
(
M,π
)
´
n
−
‘
Ñ
t
6
/
,
§
)
Ò
•
{
f
1
,
···
,f
n
}
=
π
(
df
1
,
···
,d
f
n
).
Œ
±
p
Ñ
˜
‡
N
π
]
:
∧
n
−
1
(
M
)
→
X
(
M
),
½
Â
X
e
:
{
f
1
,
···
,f
n
−
1
,g
}
=
π
(
df
1
,
···
,d
f
n
−
1
,dg
) =
<X
f
1
,
···
,f
n
−
1
,dg>
Ù
¥
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
´
d
π
(
½
M
—
î
•
þ
|
3.
n
−
Ñ
t
6
/
þ
{
ƒ
n
−
o
“
ê
½
Â
4
[8]
M
´
˜
‡
6
/
,
f
:
E
→
M
´
•
þ
m
,
6
/
M
þ
˜
‡
n
−
o
“
ê
´
˜
‡
n
|
(
E,ρ,M
),
Ù
¥
ρ
:
∧
n
−
1
E
→
TM
´
m
N
,
…
3
Γ(
∧
n
−
1
E
)
Ú
X
(
M
)
ƒ
m
p
o
“
ê
Ó
,
=
é
?
¿
f
∈
C
∞
(
M
)
,X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
∈
Γ(
E
),
k
[
ρ
(
X
1
∧···∧
X
n
−
1
)
,ρ
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
)] =
n
−
1
X
i
=1
ρ
(
Y
1
∧···
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
i
]
∧···∧
Y
n
−
1
)
,
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,fY
] =
f
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
]+
ρ
(
X
1
∧···∧
X
n
−
1
)(
f
)
Y.
ρ
¡
•
e
N
.
(
M,π
)
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
6
/
,
ƒ
m
V
=
TM
þ
•
3
˜
‡
n
−
Ñ
t
(
π
TM
¦
é
?
¿
f
1
,
···
,f
n
k
{
f
1
T
,
···
,f
nT
}
TM
=
{
f
1
,
···
,f
n
}
T
,
ù
p
π
TM
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
(
,
K
Œ
±
3
é
ó
m
∧
n
−
1
T
∗
M
þ
½
˜
‡
n
−
o
“
ê
,
Ù
¥
e
N
÷
v
ρ
(
df
1
,
···
,df
n
−
1
) =
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
=
π
]
(
df
1
,
···
,df
n
−
1
)
,ρ
=
π
]
:
∧
n
−
1
T
∗
π
→
TM.
·
K
2
.
3
n
−
o
“
ê
¡
þ
)
Ò
÷
v
[
df
1
,
···
,df
n
−
1
] =
d
{
f
1
,
···
,f
n
}
.
y
²
φ
df
1
=
f
1
T
,φ
[
df
1
,
···
,df
n
]
=
{
φdf
1
,
···
,φdf
n
}
=
{
f
1
T
,
···
,f
nT
}
=
{
df
1
,
···
,df
n
}
T
=
φ
d
{
f
1
,
···
,f
n
}
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
∈
Ω
1
(
M
)
K
½
˜
‡
n
−
{
ƒ
m
N
:
π
]
(
α
1
∧···∧
n
−
1
)(
α
n
) =
π
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
)
,
½
Â
)
Ò
{
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
}
=
L
Π
]
(
α
1
∧···∧
α
n
−
1
)
α
n
−
L
Π
]
(
α
n
)
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
)
−
d
Π(
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
)
.
N
´
{
α
1
,
···
,α
n
−
1
,fα
n
}
=
f
{
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
}
+Π
]
(
α
1
∧···∧
α
n
−
1
)(
f
)
α
n
.
·
‚
{
ƒ
m
n
−
o
“
ê
.
DOI:10.12677/pm.2023.132017153
n
Ø
ê
Æ
o
Z
½
Â
5
˜
‡
•
þ
m
{
÷
v
X
e
†
ã
E
1
Φ
E
/
/
E
2
M
1
Φ
M
/
/
M
2
Φ
E
:
M
1
→
M
2
´
Ä
N
,
‰
½
˜
‡
•
þ
m
{
3
¡
þ
Œ
±
.
£
N
Φ
∗
E
: Γ(
E
2
)
→
Γ(
E
1
)(4)
½
Â
6
E
1
→
M
1
,
E
2
→
M
2
´
ü
‡
n
−
o
“
ê
,
e
Φ
E
:
E
1
E
2
´
˜
‡
n
−
o
“
ê
{
,
´
˜
‡
•
þ
m
{
X
J
÷
v
:
(1)
.
£
N
(4)
)
Ò
5
Ÿ
,
(2)
e
N
÷
v
:
ρ
1
(Φ
∗
E
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
))
∼
φ
M
ρ
2
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
)
Œ
±
X
e
†
ã
E
1
Φ
E
/
/
ρ
1
E
2
ρ
2
TM
1
T
Φ
M
/
/
TM
2
E
2
¡
´
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,Y
n
,f
´
M
2
þ
1
w
¼
ê
,
K
k
Φ
∗
[
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,fY
n
]
= [Φ
∗
Y
1
,
···
,
Φ
∗
Y
n
−
1
,
(Φ
∗
f
)Φ
∗
Y
n
],
K
Ï
L
n
−
o
“
ê
½
Â
ú
ª
:
((Φ
∗
(
ρ
2
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
)
f
))
−
ρ
1
(Φ
∗
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
))(Φ
∗
f
))Φ
∗
Y
n
= 0
ù
y
²
(Φ
∗
(
ρ
2
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
)
f
)) =
ρ
1
(Φ
∗
(
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
))(Φ
∗
f
).
½
n
3
E
1
→
M
1
,
E
2
→
M
2
´
ü
‡
n
−
o
“
ê
,
•
þ
m
{
Φ
E
:
E
1
E
2
´
˜
‡
n
−
“
ê
{
…
=
é
ó
N
Φ
E
∗
:
E
∗
1
→
E
∗
2
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
N
.
y
²
é
u{
Φ
E
:
E
1
E
2
Ú
?
¿
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,Y
n
∈
Γ(
E
2
),
k
φ
Φ
∗
E
Y
i
= Φ
∗
E
φ
Y
i
.
‰
½
¡
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,Y
n
∈
Γ(
E
2
)
,f
∈
C
∞
(
M
2
),
k
φ
Φ
∗
E
[
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,Y
n
]
= Φ
∗
E
φ
[
Y
1
,
···
,Y
n
−
1
,Y
n
]
= Φ
∗
E
{
φ
Y
1
,
···
,φ
Y
n
−
1
,φ
Y
n
.
}
φ
[Φ
∗
E
Y
1
,
···
,
Φ
∗
E
Y
n
−
1
,
Φ
∗
E
Y
n
]
=
{
φ
Φ
∗
E
Y
1
,
···
,φ
Φ
∗
E
Y
n
−
1
,φ
Φ
∗
E
Y
n
}
=
{
Φ
∗
E
φ
Y
1
,
···
,
Φ
∗
E
φ
Y
n
−
1
,
Φ
∗
E
φ
Y
n
.
}
p
∗
1
Φ
∗
E
∗
(
ρ
2
((
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
))
f
) = Φ
∗
E
∗
p
∗
2
(
ρ
2
((
Y
1
∧···∧
Y
n
−
1
))
f
) = Φ
∗
E
∗
{
φ
Y
1
,
···
,φ
Y
n
−
1
,p
∗
2
f.
}
DOI:10.12677/pm.2023.132017154
n
Ø
ê
Æ
o
Z
ù
ª
†
>
u
n
−
o
“
ê
,
m
>
u
n
−
Ñ
t
.
½
Â
7
Φ:
M
1
→
M
2
´
1
w
N
,
n
−
•
þ
|
ϑ
∈
X
n
(
M
1
)
†
•
þ
|
ζ
∈
X
n
(
M
2
)
¡
•
´
Φ
−
ƒ
'
X
J
÷
v
:
ζ
Φ(
x
)
= (
d
x
Φ)
∗
ϑ
x
,
∀
x
∈
M
1
.
d
Φ
‡
©
Œ
±
p
N
(
d
x
Φ)
∗
:
∧
n
T
x
M
1
→∧
n
T
Φ(
x
)
M
2
,
ζ
= Φ
∗
ϑ
.
·
K
3
.
(
M
1
,π
M
1
)
Ú
(
M
2
,π
M
2
)
´
ü
‡
n
−
Ñ
t
6
/
,
‰
½
1
w
N
Φ:
M
1
→
M
2
,
Œ
X
e
d
'
X
:
(1)
π
M
1
†
π
M
2
´
Φ
ƒ
'
.
(2)
é
u
x
∈
M
1
÷
v
X
e
†
ã
∧
n
−
1
T
∗
x
M
1
(
d
x
Φ)
∗
/
/
Π
]
M
1
∧
n
−
1
T
∗
Φ(
x
)
M
2
Π
]
M
2
T
x
M
1
(
d
x
Φ)
∗
/
/
T
Φ(
x
)
M
2
y
²
((
d
Φ)
∗
Π
M
1
)(
α
1
,
···
,α
n
−
1
,α
n
) = Π
M
2
(
α
1
,α
2
,
···
,α
n
)
⇔
((
d
Φ)
∗
α
n
)(Π
]
M
1
((
d
Φ)
∗
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
))) =
α
n
(Π
]
M
2
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
))
⇔
α
n
(
d
Φ(Π
]
M
1
((
d
Φ)
∗
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
)))) =
α
n
(Π
]
M
2
(
α
1
,
···
,α
n
−
1
))
.
½
Â
8
E
→
M
´
n
−
o
“
ê
,
÷
X
N
⊆
M
•
3
•
þ
f
m
F
⊆
E
,
X
J
÷
v
:
(1)
E
¡
´
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
,
•
›
3
N
þ
F
¡
3
)
Ò
[
·
,
·
],
(2)
ρ
(
F
)
⊆
TN
.
K
F
¡
•
˜
‡
n
−
o
f
“
ê
.
·
K
4
.
X
J
F
⊆
E
´
÷
X
N
⊆
M
˜
‡
n
−
o
f
“
ê
,
K
F
7
k
n
−
o
“
ê
(
,
é
A
e
N
•
ρ
:
E
→
TN
,
)
Ò
$
Ž
•
:
[
X
1
|
N
,
···
,X
n
−
1
|
N
,Y
|
N
] = [
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
]
|
N
,X
1
|
N
,
···
,X
n
−
1
|
N
,Y
|
N
∈
Γ(
F
)
.
y
²
y
²
)
Ò
´
û
½
Â
,
Y
|
N
= 0,
K
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
]
|
N
= 0.
P
Y
= Σ
i
f
i
Y
i
,
f
i
∈
C
∞
(
M
)
3
6
/
N
þ
u
0,
K
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
]
N
=
X
i
f
i
|
N
[
X
1
,
···
,X
n
−
1
,Y
i
]
|
N
+(
ρ
(
X
1
∧···∧
X
n
−
1
)
f
i
)
|
N
Y
i
|
N
= 0
.
ù
p
ρ
(
X
1
∧···∧
X
n
−
1
)
f
i
= 0,
Ï
•
ρ
(
X
1
∧···∧
X
n
−
1
)
†
N
ƒ
ƒ
.
E
→
M
´
˜
‡
n
−
o
“
ê
,
N
⊆
M
´
˜
‡
f
6
/
.
ρ
−
1
(
TN
)
⊆
E
´
˜
‡
1
w
f
m
.
K
†
N
ƒ
ƒ
•
þ
|
o)
Ò
E
†
N
ƒ
ƒ
,
ρ
−
1
(
TN
)
⊆
E
´
÷
X
N
⊆
M
˜
‡
n
−
o
f
“
ê
DOI:10.12677/pm.2023.132017155
n
Ø
ê
Æ
o
Z
.
i
:
N
→
M
´
˜
‡
i
\
N
,
À
i
!
E
:=
ρ
−
1
(
TN
)
´
•
›
3
N
þ
˜
‡
n
−
o
“
ê
û
½
Â
,
±
e
ü
«
A
Ï
œ
¹
:
(1)
X
J
ρ
†
N
ƒ
ƒ
(ie.
ρ
(
E
|
N
)
⊆
TN
),
K
i
!
E
=
E
|
N
.
(2)
X
J
ρ
†
N
î
(
ρ
(
E
)+Φ
∗
(
TN
) =
TM
),
K
i
!
E
´
˜
‡
û
½
Â
,
rank
(
i
!
E
) =
rank
(
E
)
−
dim
(
M
)+
dim
(
N
)
,i
!
TM
=
TN.
½
Â
9
X
J
E
1
→
M
1
,E
2
→
M
2
´
ü
‡
n
−
o
“
ê
,
˜
‡
•
þ
m
N
Φ
E
:
E
1
→
E
2
´
˜
‡
n
−
o
“
ê
X
J
§
ã
Gr
(Φ
E
)
⊆
E
2
×
E
−
1
´
÷
X
Gr
(Φ
M
)
˜
‡
n
−
o
f
“
ê
.
˜
‡
n
−
Ñ
t
•
þ
|
π
??
†
N
ƒ
ƒ
,
K
f
6
/
N
⊆
M
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
f
6
/
.
½
˜
‡
•
þ
|
π
N
∈∧
n
TN
⊆∧
n
TM
,
é
uN
j
:
N
→
M
,
K
π
N
∼
j
π
,
é
A
n
−
Ñ
t
)
Ò
X
e
:
{
j
∗
f
1
,
···
j
∗
f
n
}
N
=
j
∗
{
f
1
,
···
f
n
}
.
½
n
4
X
e
^
‡
d
:
(1)
N
´
˜
‡
n
−
Ñ
t
f
6
/
.
(2)Π
]
(
∧
n
−
1
T
∗
M
|
N
)
⊆
TN
.
(3)
¤
k
M
—
î
•
þ
|
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
,
(
f
1
,
···
,f
n
−
1
)
∈
C
∞
(
M
)
†
N
ƒ
ƒ
.
(4)
3
n
−
Ñ
t
)
Ò
e
,
¼
ê
f
1
|
N
,
···
,f
n
−
1
|
N
= 0
´
˜
‡
n
−
o
“
ê
n
Ž
.
y
²
(1),(2)
w
,
d
,
^
‡
(3)
¤
á
ž
,
K3
6
/
N
?
u
0
¼
ê´
n
Ž
,
K
g
|
N
= 0
ž
k
{
f
1
,
···
,f
n
−
1
,g
}|
N
=
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
(
g
)
|
N
=0
Ï
•
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
†
N
ƒ
ƒ
.(4)
y
,
ƒ
‡
X
J
(4)
¤
á
,
K
g
|
N
= 0
ž
k
{
f
1
,
···
,f
n
−
1
,g
}|
N
= 0,
=
<dg,X
f
1
,
···
,f
n
−
1
>
|
N
=
X
f
1
,
···
,f
n
−
1
(
g
)
|
N
= 0,
y
.
.
ë
•
©
z
[1]Filippov,T.(1985)n-LieAlgebras.
SiberianMathematicalJournal
,
26
,879-891.
https://doi.org/10.1007/BF00969110
[2]Kasymov,Sh.M.(1987)OnaTheoryof
n
-LieAlgebras.
AlgebraandLogic
,
26
,155-166.
https://doi.org/10.1007/BF02009328
[3]Nambu,Y.(1973)GeneralizedHamiltonianDynamics.
PhysicalReviewD
,
7
,2405-2412.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.7.2405
[4]Takhtajan,L.(1994)OnFoundationoftheGeneralizedNambuMechanics.
Communications
inMathematicalPhysics
,
160
,295-315.https://doi.org/10.1007/BF02103278
DOI:10.12677/pm.2023.132017156
n
Ø
ê
Æ
o
Z
[5]deAzc´arraga,J.A.andIzquierdo,J.M.(2010)
n
-aryAlgebras:AReviewwithApplications.
JournalofPhysicsA:MathematicalandTheoretical
,
43
,ArticleID:293001.
[6]Liu,Z.,Weinstein,A.andXu,P.(1997)ManinTriplesforLieBialgebroids.
JournalofDif-
ferentialGeometry
,
45
,547-745.https://doi.org/10.4310/jdg/1214459842
[7]Meinrenken,E.(2018)PoissonGeometryfromaDiracPerspective.
LettersinMathematical
Physics
,
108
,447-498.
[8]Vallejo,J.A.(2001)Nambu-PoissonManifoldsandAssociated
n
-aryLieAlgebroids.
Journal
ofPhysicsA:MathematicalandGeneral
,
34
,9753.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/34/45/501
DOI:10.12677/pm.2023.132017157
n
Ø
ê
Æ