广义Calderón-Zygmund算子交换子在变指数Lebesgue空间中的有界性 Boundedness of Commutators of a Class of Generalized Calderón-Zygmund Operators on Lebesgue Space with Variable Exponent

doi:10.12677/pm.2012.22013

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 78-81

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22013 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Boundedness of Commutators of a Class of Generalized

Calderón-Zygmund Operators on Lebesgue Space with

Variable Exponent*

Li’na Ma, Shuhai Li, Huo Tang

Department of Mathematics and Statistics, Chifeng College, Chifeng

Email: malina00@163.com

Received: Feb. 8th, 2012; revised: Feb. 21st, 2012; accepted: Mar. 1st, 2012

Abstract: In this paper, the author discusses commutators of a class of generalized Calderón-Zygmund op-

erators generated by Lipschitz functions. By maximal function estimates, the boundedness of these commuta-

tors on Lebesgue space with variable exponent is obtained.

Keywords: Calderón-Zygmund Operator; Commutator; Variable Exponent

广义 Calderón-Zygmund 算子交换子在变指数 Lebesgue

空间中的有界性*

马丽娜，李书海，汤获

赤峰学院数学与统计学院，赤峰

Email: malina00@163.com

收稿日期：2012 年2月8日；修回日期：2012 年2月21 日；录用日期：2012 年3月1日

摘要：本文讨论了一类由广义的 Calderón-Zygmund 算子与 Lipschitz 函数生成的交换子，通过极大函

数估计，得到了其在变指数 Lebesgue 空间中的有界性。

关键词：Calderón-Zygmund算子；交换子；变指数

1. 引言及预备知识

2006 年Cruz-Uribe，Fiorenza，Martell 和Pérez[1]得到：如果 Hardy-Littlewood 极大算子在变指数 Lebesgue

空间中有界，则奇异积分交换子

















,BMbT bO在







中具有有界性。受以上结论启发，本文将

考虑一类广义的 Calderón-Zygmund 算子交换子





Lipschbitz 在变指数 Lebesgue 空间中的有界性。









定义 1[2] 设为上所有 Schwartz 函数空间，



SR n





n是其对偶空间，即上的缓增广义函数空间。

设TS 是以



:R









,K为核的线性算子，定义为















,d,

TfxKxyfy yfCR







若下列三个条件成立，则称 T为广义 Calderón-Zygmund 算子：

1) T可以延拓为上的有界算子。





2) K除对角线





yRRxy 外是光滑的，且

*资助信息：内蒙古自然科学基金资助项目(2010MS0117)和内蒙古高校科学研究基金项目(NJzy08150)。

马丽娜等  广义 Calderón-Zygmund 算子交换子在变指数 Lebesgue空间中的有界性

  



-2-,, ,,d

xy yz

xyKxzKyxKzxx C

 

，其中是与 y和z无关的常数。 0C

3) 存在正常数序列



C，对任意，有

jN

 







2--2 -,,d 2n

zyxyzy KxyKxzxCz y







 

且

 



22 ,, 2n

yz yxyzKyzxxCz yxK







 

。其中





,qq



是固定的正数对，满足111



且

。

12q



容易验证该算子是经典 Calderón-Zygmund 算子的一个推广。经典 Calderón-Zygmund 算子在 Fourier 分析，

复分析，算子理论等方面有着很多重要应用，因此对广义Calderón-Zygmund 算子研究具有重要意义。

定义 2 广义 Calderón-Zygmund 算子交换子





,bT 定义为：





















,bTfxbxTf xTbf x.

Der-Chen Chang[2]首先引入广义 Calderón-Zygmund 算子T，并得到了它在加权 Lebesgue 空间上的有界性。

近些年来，很多作者都对其及交换子进行了研究[3-5]。

定义 3 令p为上函数值在



之间的可测函数，



1, 







为定义在上的可测函数 f的集合使得对于

某些



，有







fx x













.

这个集合当赋以范数



inf0:d 1













 

















时为 Banach 函数。

因为这些空间推广了标准 Lebesgue 空间的一般规律，被称之为变 Lebesgue 空间。我们可以在上任何可

测子集上定义变 Lebesgue 空间[6]。本文仅讨论在整个空间上。



pR 表示在上可测函数 p的集合，其中 p的函数值在







之间，使得









1inf ,sup

xR xR

pess pxess pxp





 .

定义 4 给定函数





loc

LR，定义它的 Hardy-Littlewood 极大算子为

 

sup d

fxfy y



.

这里的上确界取遍所有中心在 x的方体。对于，记

1p









fx Mfx.

众所周知 Hardy-Littlewood 极大算子在Lebesgue 空间的有界性在分析中起重要作用，其在变指数 Lebesgue

空间中也是很重要的，为此人们得到了指数函数







的一些条件使得极大算子 M在空间上有界。本文

中令为使得

Ｍ

在















空间上有界的







的集合，其中









pPR 。

定义 5 Sharp极大函数定义为

  

#11

supd supinfd

xB xB

fxfyf yfyay









.

马丽娜等  广义 Calderón-Zygmund 算子交换子在变指数 Lebesgue空间中的有界性

其中



fy y

，上确界取遍所有包含 x的球 B。

定义 6 设0n



，1l



，分数次 Hardy-Littlewood 极大算子 ,l



定义如下：

  



sup d

llBxr

fxfy y

Bxr

















.

定义 7 设01





，Lipschitz 空间





中的函数满足









,,0

sup

xh Rh

fxhfx













2. 结论及证明

本文讨论由广义 Calderón-Zygmund 算子与 Lipschitz 函数生成的交换子在变指数 Lebesgue 空间上的有界性，

结论如下：

定理 1 设是广义 Calderón-Zygmund 算子且数列



01,b



 









，令

 





pp BR ，

 

pp n







且1n



，则





 

bT fCbf







。

定理证明前，需要一些引理。

引理 1[5] 设T是广义 Calderón-Zygmund型算子，q



如定义 1所述。若数列





Cl，则对任意 s满足

，存在常数，使得对所有具有紧支集的光滑函数 f，有 qs

 0C















#a.e.

Tf xCM f xx.

引理 2[5] 设T是广义 Calderón-Zygmund 型算子，q



如定义 1所述。若数列





Cl且b





，01





，

则对任意 s满足，存在常数，使得对所有具有紧支集的光滑函数 f，有 qs

 0C



























#,,

,ss

bTfxCbMTf xMf x









.

引理 3[1] 设，且满足

 



pp PR 1



和

 

11,n

px pxn



，如果存在，







，使得



20 n

pxpBR，则有

 

1, p

MCf





。

引理 4[1] 设，若存在常数，使得



pR 1

0pp





且









ppBR，则



pnpn

MfM f



.

引理 5[1] 设，则下列条件等价



pPR

1) ；



pBR

2) ；





pBR







pqBR ，对于任意1； qp







pqBR



 ，对于任意1qp



 。

定理 1的证明：取且



min ,qs pp







１

11 1

spp





 为定义所述，则由引理 2、4、5得

马丽娜等  广义 Calderón-Zygmund算子交换子在变指数 Lebesgue 空间中的有界性













222

4,5 2

#,,

,, ,

ppp

LLL

bT fMbT fMbT fCbMTfMf











 



引理引理 .

其中



,1, 1,

ss s

MTfM TfMTf

 



.

由引理 5知，





pBR

s



，取 0







，则



ns s

















，有



pBR

。

根据引理 3和引理 1，可得



  



 



  

211

111

ppp

s s

sss

MTfCTfCTf CMTfCMf

CMfCMfCf Cf













 



另一方面,



  

,1, 1,

sss

ss sL

Mf MfMfCfCf

 







.

综上可得，





222

ppp

ss L

LLL

bT fCbMTfMfCbf

 













参考文献 (References)

[1] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, J. Martell and C. Perez. The boundedness of classical operators on variable LP spaces. Annales Academiæ Scien-

tiarum Fennicæ, 2006, 31: 239-264.

[2] D. C. Chang, J. F. Li and J. Xiao. Weighted scale estimates for Calderón-Zygmund type operators. Contemporary Mathematics, 2007, 446:

61-70.

[3] 李俊峰. 某些算子及交换子的有界性[D]. 北京师范大学, 2005.

[4] 马丽娜, 江寅生. 广义 Calderón-Zygmund 算子交换子的有界性[J]. 高校应用数学学报, 2009, 24(4): 453-461.

[5] 林燕. Calderón-Zygmund型算子及其交换子的 Sharp 极大函数估计[J]. 数学物理学报, 2011, 31A(1): 206-215.

[6] O. Kovacik, J. Rakosnik. On spaces LP(x) and Wk ,p(x). Czechoslovak Mathematical Journal, 1991, 41(4): 592-618.