Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 82-87 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22014 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Pullback -Attractor for the Non-Autonomous Nonlinear Thermoelastic Coupled Rod Equations with Strong Damping* D Danxia Wang, Jianwen Zhang Department of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Email: {danxia.wang, jianwen.z2008}@163.com Received: Feb. 8th, 2012; revised: Mar. 2nd, 2012; accepted: Mar. 9th, 2012 Abstract: In this paper, we con sider th e p u ll b a c k -attractor for the non-autono mous nonlinear equ ation s of thermoelastic coupled rod with strong damping. By Galerkin method, the existence and uniqueness of global solutions are proved under certain homogeneous boundary conditions and initial conditions in ; By prior estimates, the existence of the pullback D-absorbing set is obtained; By proving the pullback -condition (C), the existence of the pullback -attractor of above mentioned equations is given. D VHH D D Keywords: Strong Damping; Non-Autonomous; Thermoelastic Coup led Rod Equations; Pullback -Condition (C); Pullback -Attractor D D 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的 拉回D-吸引子* 王旦霞,张建文 太原理工大学数学学院,太原 Email: {danxia.wang, jianwen.z2008}@163.com 收稿日期:2012 年2月8日;修回日期:2012 年3月2日;录用日期:2012 年3月9日 摘 要:考虑了具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子。首先利用 Galerkin 方 法,证明了在一定的齐次边界条件和初始条件下系统在VHH 中的整体解的存在唯一性;其次通过 先验估计,证明了系统的拉回 -吸收集的存在性;最后通过证明系统满足拉回 D-条件(C),从而证明 了系统的拉回 -吸引子的存在性。 D D 关键词:强阻尼;非自治;热弹耦合杆方程组;拉回 D-条件(C);拉回 -吸引子 D 1. 引言 本文考虑了具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组系统 1 sin , tt t uuu ugxt . (1.1) 2, tt kugx t. (1.2) 0u ,x . (1.3) 0 ,uxu x , 0 , t ux px , 0 , x x ,x . (1.4) *资助信息:本文由国家自然科学基金(11172194),山西省青年科技研究基金(2011021002-2)和山西省自然科学基金(2010011008)资助。 Copyright © 2012 Hanspub 82 王旦霞 等 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子 其中 ,,k 均为正常数, 22 12 ,, ,, loc gxtgxtL RLΩ,n R 是一有界光滑区域。本文讨论系统(1.1)~(1.4) 在空间中的拉回 -吸引子的存在性。 0 EVHH D 近年来,关于非自治无穷维动力系统的研究,越来越引起了人们的重视,并得到了快速的发展。在文献[1] 中,Chepyzhov 和Vishik 首先将自治系统的整体吸引子的概念推广到非自治系统的一致吸引子的概念,而一致 吸引子的存在性关键在于相应的非自治系统的解算子的紧性,但是在一些非自治系统中,当 时,轨迹可 能是无界的,这样非自治系统的一致吸引子的理论就不能应用于此系统中,对于非自治系统的这种情形的研究 需引入不同的定义和不同的理论方法,其中整体吸引子作为一参数族 t 被定义,从 吸引了系统的所有解, 称其为“拉回吸引子”[2]。文献[3]中,Yonghai Wang重述了拉回吸引子的概念和定理,并证明了具有弱耗散的 Sine-Gordon 型波动方程系统当外力函数无界时的一个强的拉回吸引子的存在性。 关于非自治系统的拉回吸引子,再提到一些文献,文献[4]证明了非自治吊桥方程系统 2 tt t uuuk u , g ufxt 的弱的拉回 -吸引子的存在性。文献[5]证明了具有强阻尼的非线性非自治梁方程系统D 2 ,u kuugufxt 22 tt t uu 在弱空间 22 0 HL 中的弱的拉回 -吸引子的存在性。 D 本文证明了具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组系统,当外力函数和移动热源函数无界时的拉回 -吸引子的存在性。事实上,外力函数D 1, g xt 和移动热源函数 2, g xt 分别满足 22 1,, loc gxtL RLΩ和 ,且对任意的 22 ,, loc gxtL RLΩ 2tR 22 12 (| ()||()|)d ts egsgss . (1.5) 成立,其中0 1 (}, 2 , 4 , 8 min{ 1 k } 2 , 2 )1()1(, 4 min{0 222 k )是一 个小的实数。 令 , 0 VH 1 2 HL,V和H的内积和范数分别用 , , 和 , ,表示,它们的内积分别为 , ,并用 uv x ,du v ,dvxuv u ,VH 分别表示 的对偶空间。假设,VH 是 12 在空间 1 0 H 中 的第一特征值,则有 22 uu ,uV . (1.6) 2. 整体解的存在唯一性 定理 1. 假设,,0k , 22 12 ,, ,, loc gxtgxtL RLΩ,则对任意给定的 ,问题 (1.1)~(1.4)存在唯一解 000 ,,uVpH H ,u 满足 01 ,,uCRV CRH , 0,CRH ,其中 。 ,R 为了简单起见,记 ,,,yrur prr 0000 ,,yup ,记 0 EVHH ,其上的范数为 0 2 22 E yup 。由 定理1解的存在唯一性,可以构建由问题(1.1)~(1.4)所产生的在空间 上 的非自治动力系统。考虑 0 EVHH ,t QR t 。定义 00 ,,,,, ,ty ytyutptt ,0 ,0,Rty E 0 . (2.1) 则问题(1.1)~(1.4)的解的存在唯一性表明 00 ,,,, ,,ty tssy 00 ,0,Rty E, , 并且由(2.1)所定义的映射 是空间上的连续的光圈。 0 EVHH 3. 拉回 -吸收集 D 假设 是由满足条件 的函数 2 lim 0 t ter t :0,rR所组成的集合。假设 0 , E D 表示对某个 ˆ D r 满足 ˆ 0, D Dt r tB的集族 0 PE ˆ; DDttR,其中 ˆ 0, D Brt表示中以 0为圆心以 0 E t ˆ D r为半径 Copyright © 2012 Hanspub 83 王旦霞 等 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子 的闭球。 定理 2. 假设 ,, 0k , 22 12 ,, ,, loc gxtgxtL RLΩ 0 ED 满足(1.5),则问题(1.1 )~(1 .4) 所确定的通过(2.1) 所 定义的非自治动力系统在空间中存在拉回 -吸收集。 , 证明:设 ,0tR 及 是固定的。对于 0000 ,,yup E 0 rt ,定义 0 ,,ur urtu , 0 ,,pru rtp , 0 ,,rrt , rt , 和 0 ,, ,,urprrr tty rt, . 用vu u 在H中和(1.1)作内积, 在H中和(1.2)作内积,两式相加得 22 222 22 212 1 2d ,,,sin,,,. duv vvuk r uvuvuuvg vg (3.1) 由许瓦兹不等式,Young 不等式及(1.6)得 22 222 2 12 1 11 sin ,,,sin44 4 k uv gv guvvgg k 2 2 . 则从(3.1),有 22 222 22 222 212 13 2d 24 11 ,, ,sin dk uv vvu r uvu vuugg k 2 . 又由 Young 不等式得 22 22 2,22 uvu v ; 222 22 ,44 uvvuv u 2 ; 22 ,22 uu . 则有 2 22 22 22 2 222 2 2 3,, , 24 . 882442 422 k vvuuv uvu kk uuvv2 取 2 22 0min,1 1, 42 k 2 ,则 20 82 , 2 20 42 ,0 42 k . 取1min,, 84 2 k ,则从(3.1)式有 Copyright © 2012 Hanspub 84 王旦霞 等 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子 2 22 22 222 11 222 2 d duvuvg g rk 2 2 . (3.2) 又 22 22 2222 dd rrr dd eu veu veu v rr 2 ,故(3.2 )式两边乘以 r e ,并在 ,tt 上积分,得 22 222 2 2 22 12 2 22 1 2 22 ,,d d. t t tt st t ts t eutvtteutvtt egxsgxssee k eusvss s 当1 时,上式两边同乘以 t e 有 22 222 2 2 22 12 2 22 ,,d1 t ts t utvtte utvtt ee gxsgxsse k . 记 2 12 max 2,1 C ,因为 22 22 22 1 utpC utv ,故有 22 2222 2 1 2 22 1 112 2 22 ,,d1 t ts t utpttCe utptt C Ceeg xsgxsse k . (3.3) 因此,对于任意的 0 , ˆ E DD ,对于一切的 0 ytyDt ,,tR 0 ,从(3.3)有 0 2 222 2 01 2 22 1 112 ,, 2 22 ,,d1 E t ts ttyC eutptt C Ceeg xsgxsse k . 设 2 2221 112 4 22 2,,d t ts C RtCeegxsgxs s k ,定义 0 0,E Bt vEvRt , 考虑空间 中的闭球族 0 E0 , ˆ E B ,则 00 , ˆ, E E BD 是共圈 的拉回 0 , E D -吸收集。 4. 0 E 中的拉回 ,0 E D 吸引子 为了得到拉回 0 , E D 吸引子的存在性,首先介绍下面的引理 引理 4.1[3]:设 H是具有正交基 的无穷维内积空间,假设 iiN 2 12 ,, ,, loc g xt gxtLRH,并且对于一 切的 ,某个tR0 , 22 12 ,,d ts HH egxsgxss 成立,那么 22 12 lim,,d 0, tsnn HH neIPgxsIPgxs st R , . (4.1) 其中 12 :,, nn P Hspan 的一个正交投影。 引理 4.2[6]:假设 , nn 分别是的第 n个特征值和第 n个特征向量,并且 n (当),假设 B是 V中的任意的有界子集,那么对于一切0 n ,存在某个0 n使得当 0 n时,n Copyright © 2012 Hanspub 85 王旦霞 等 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子 sin , nV I Pu u B . 其中 1 :, n PV span n 的一正交投影。 定理 3. 假设 ,, 0k , 22 12 ,, ,, loc gxtgxtL RLΩ 0 E0 , 满足(1.5),则与问题(1.1)~(1.4)相应的由(2.1)所定 义的非自治的动力系统在 中存在拉回 , E D -吸引子。 证明:为了证明本定理,只需要证明中拉回 -条件 0 ED C成立即可。 设12 ,, 为A的特征值, 12 ,, n 为其对应的在空间 H中的特征向量,并且当 时, j 12 j3 , ,这样 也构成 V的直交基,记 1 kk 12 ,, nn V , 是一直交投影,则 对于任意的 ,有。 : n PVn V u vu V u 1nn IPuu 2 uP uu 用22 2 与(1.1)式在 H中作内积,用 2 与(1.2)式在 H中作内积,两式相加,得 22 222 22 2222 222 2222222212 22 1 2d ,,,sin,, n dutvttvtvtutk t r utvtut vtuIPuvgvg ,. 类似于定理 2的分析,得 2 22 22 22 22 222 122212 222 2sin dnn duvuvIPu IPgIPg r k n . 由Gronwall 不等式得 1 11 22 222 2 2 2221 222 111 222 sind,,d . tt ts ts nn tt utpttCeutptt CeIPusCeIPgxs IPgxs k 2 2 n s 对于任意的 0 , ˆ E DD ,一切的 0 yty Dt ,,tR 0 ,由上式得 1 1 0 1 2 2 2 2 21 201 22 112 2 ,, sind 22 ,,d. tts n Et tts nn C tyCRteeIPu CeIPgxsIPgxs s k s 对于任意的 ,tt t , 11 1 2 11 sin d ttstt tt n teIPuse ee 1 , 则对于任意的 1 ,0, ,,tRt tttt 和 11 ,, 0tt 使得当 1 时, 0 ;,usustuBs , 对于任意的 1 , s tt 0 yDt,任意 , 112 1 2 1 sin d,. 8 tts n teIPus C 令,则对于 1, maxstt RRs 1 ,任意 1, s tt, 0 yDt 有 0 ;,us ustuR 。由引理 4.2,我们可以选择 ,对于 1,nnt N2 1,nnuR 使得 1 2 2 1 sin d, 8 t n tIPusC 从而对于 1 ,nn 1 ,有 Copyright © 2012 Hanspub 86 王旦霞 等 具有强阻尼的非自治非线性热弹耦合杆方程组的拉回 D-吸引子 Copyright © 2012 Hanspub 87 1 111 1 222 22 111 222 sin dsin dsin d2 ttt tsts ts nn ttt CCC e IPuse IPuse IPus 2 n . 由引理 4.1,可以选取 足够大使得当 23 ,nn 23 max ,nnn时 122 112 22 ,, 4 tts nn CeIPgxsIPgxss k d . 又20 ,使得 20 ,yDt 时,有 1 2 2 14 CRt e . 综上,令 01 max,2 , ,则对于任意的 012 max, ,nnn 3 n 000 ,,nny Dt 使得 0 2 20 ,,E ty . 故拉回 -条件(C)成立,证毕。 D 参考文献 (References) [1] T Caraballo, G. 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