关于线性微分方程的解的性质 The Relation between Solutions of a Class of Higher Order Differential Equations with Periodic Coefficients and Functions of Small Growth

doi:10.12677/pm.2012.22015

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 88-96

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22015 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

The Relation between Solutions of a Class of Higher

Order Differential Equations with Periodic Coefficients

and Functions of Small Growth*

Qing Wang1, Zongxuan Ch en2#

School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou

Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com

Received: Dec. 31st, 2011; revised: Jan. 13th, 2012; accepted: Jan. 22nd, 2012

Abstract: In this paper, we investigate the differential equations



 











1100 0

zz zz

fPeQef PeQef







 





 









and

















11 00

kk zzz

Pe QefPe Qef







 

 Re Re











. Moreover, we obtained

the relation between solutions of the two differential equations and their 1th derivatives of differential equa-

tion and small functions .

Keywords: Differential Equation; Entire Functions; Fu nction of Small Growth; Exponent of Convergence

关于线性微分方程的解的性质*

王青1，陈宗煊 2#

华南师范大学数学科学学院，广州

Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com

收稿日期：2011 年12 月31 日；修回日期：2012 年1月13 日；录用日期：2012 年1月22 日

摘要：在文中研究了微分方程

















1100 0

zz zz

fPeQef PeQef











 



和



 



















00 12

zzzzz

Pe Qef







 



Pe QefReRe





 

 的解以及它们的一阶导

数与小函数的关系。

关键词：微分方程；整函数；小函数；收敛指数

1. 引言

本文使用值分布理论的标准记号(见文[1])，还使用







表示亚纯函数





z的超级，用









，分别表

示亚纯函数



z的零点及不同零点的收敛指数，用











表示亚纯函数取小函数的点的收敛指数，以及







[2]表示亚纯函数取小函数



的点的二级收敛指数。还使用







表示亚纯函数 f的不动点收敛指数，以

及





[2]表示亚纯函数

的二级不动点收敛指数。

考虑微分方程：



 











1100 0

zz zz

fPeQef PeQef







 











, (1.1)

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(NO. 11171119)。

#通讯作者。

王青等  关于线性微分方程的解的性质





















1100 12



zzzz

kk z

Pe QefPe QefReRe







 





, (1.2)

 

101 ,

mz nz

zzz z

jj jmjjjjn

PeQea eaecbebe





 

 

12101 .

jjjj

zmz zz

ReReaeaec bebe



 nz



且









Re Re



不恒为零，其中 ,,





a,0



1,,0,1,,,1

jjn

bbj k ,

,为常数，

mn a为正整数，且 0,



陈宗煊在文[3]中研究了方程(1.1)

(1.2)的级，超级以及次正规解，并得到了以下定理：

定理 A[3] 假设







Pz Qz



0,1,, ,1jk





为关于 z的多项式，且 deg ,



deg

Qn。若满足





0max:1,2, ,1

mmjk, (1.3)

或者满足





0max:1,2, ,1

nnjk  , (1.4)

那么，方程(1.1)没有非平凡次正规解，且方程(1.1)的每个解 f的超级





21.f





定理 B[3] 假设







Pz Qz



0,1,, ,1jk ，









1, 2

Rzi均为关于 z的多项式，且 deg ,

Pm

deg

Qn。若满足 (1.3)或者满足(1.4)，那么

1) 方程(1.2)至多有一个非平凡次正规解 0

，且形如













01 2

zSe Se



 ，其中均为关于 z的多项

式。

,SS

2) 除去 1)中可能存在的一个次正规解，方程(1.2)的其余解 f的超级





21f





。

在此基础上，我们研究了方程(1.1)和方程(1.2)的解与小函数的关系，并得到了以下结论：

定理 1.1 假设







Pz Qz



0,1,, ,1jk 



为关于 z的多项式，且 deg ,



deg

Qn。若满足式(1.3)

或者满足式(1.4)。若



(不恒为零)是有限级整函数，那么对于微分方程(1.1)的任一非零解 f满足







.ff



 









221.ff







若







，还有







.ff



 









221.ff









定理 1.2 假设







Pz Qz



0,1,, ,1jk ，









1, 2

Rzi均为关于的多项式，且zdeg ,

Pmdeg .



若满足(1.3)或者满足(1.4)，那么

1) 方程(1.2)至多有一个有限级解 0

，其余所有非零解 f有









。

2) 若



(不恒等于 0

)是有限级非零整函数，那么对于微分方程(1.2)的任一无穷级解 f，满足







.ff



 









221.ff







特别地，若



是级小于 1的非零整函数且



(不恒等于 0

)，并且以下两个条件之一成立：

1) ,



max:1,2, ,1

mmjkm且m

n



max:1,2,,1.

nnjkn且

则对于除去 1)中可能存在的有限级例外解0

以外的所有解 f还有







.ff



 









221.ff









事实上，当 z



时，由以上定理就能得到方程(1.1)方程(1.2)的解的不动点的一系列结论：

推论 1.3 假设







Pz Qz



0,1,, ,1jk 



,以及

mn满足定理1.1 的条件。则方程(1.1)的每个非零解 f及

其一阶导数

均有无穷多个不动点，且









,ff

















1ff







。

推论 1.4 假设







Pz Qz



0,1,,,1 ,jk









1, 2

Rzi以及,

满足定理 1.2 的条件。则方程(1.2)的

每个非零解 f及其一阶导数



均有无穷多个不动点，且









,ff













1,ff







至多一个例外。

王青等  关于线性微分方程的解的性质

2. 为证明定理所需要的引理

引理 2.1[3] 假设和



r为两个定义在







内的非减实函数。

1) 若除去一个有穷线测度的集合 E外有









Gr Hr，那么对任意的 1



，存在使得对所有都有

rr



GrH r



。

2) 若存在一个集合E，其对数测度







，集合 E的对数测度





mE定义为

 



1)d ,

mEt tt







其中，使得当时



trE









rE









Gr Hr，那么对任意常









，当时，有1r







GrH r



。

引理 2.2[4] 假设01 1

,,, ,



 F(不恒为零)是有限级亚纯函数，如果





z是方程

 

110

fAfAfAf





 F

的亚纯解，并且，那么







 





fff



。

3. 定理 1.1 的证明

首先证明方程(1.1)的的任一非零解 f有









。假设 f为方程(1.1)的任一非零解，由微分方程基本理

论易知 f为整函数。由文[3]定理2的证明过程知，当满足(1.3)或者满足(1.4)时，f为超越整函数，且









。

令0



，那么



0,gf











20 21gf





和















。将 0



代入方程(1.1)中，

得到



















0110000 .

zz zz

Pe QegPe Qeghz







 



(3.1)

其中



 











11 00

zz zz

hzPeQeP eQe









 











。注意到方程(3.1)可能具有有限级解，但

这里仅讨论 0



为无穷级的解。所以接下来只对方程(3.1)的无穷级解 0

，计算







。方程(3.1)的右边项

。这是因为若，则易知

0h0h



是方程(1.1)的一个有限级非零解，这与定理 A矛盾。根据引理 2.2 知，

对于方程(3.1)而言，有

 





gg f



，即









。

下面证明







221ff



 。由(3.1)式，若为

的l阶零点且，则必为的阶零点，

并且有

lk0



hz lk



,,,NrkNrNr 1



 





 



 





(3.2)

由(3.1)式两边同除以得到



hzg



 



 

11 00

000

11 .

zz zz

Pe QePe Qe

ghzgg









 













(3.3)

所以有



 



0 0

,, ,,

mrmrmrPeQ emr

ghz g







 





 



 





(3.4)

由对数导数引理，除去一线测度为有穷的集合E外，有







,log,

mrO rTrg













. (3.5)

由于



hz PQ均为级为 1的整函数，故当 r充分大时，

王青等  关于线性微分方程的解的性质













,,,

mrhzr mrPQr

. (3.6)

故，由(3.2)-(3.6)式知，当 rE



且r充分大时，

 





,, log,Trg kNrOrrTrg













(3.7)

又当 r充分大时，







log,, .

OrTrg Trg



(3.8)

故由(3.7)，(3.8)式知，当 r且r充分大时， E



2Trg kNrOr







 .

(3.9)

由(3.9)式结合引理2.1 知





20 20



。故













20 20 21ggf





。所以，



220

1fg



 。

下面证明







。令 1







，那么有













gff







，









21 221gff







和

 











。对方程(1.1)的两边微分，得到



 



 



111 11

kk i

zzz zzz

kkiiii

Pe QefPeQePe Qef

PeQe f





 





























 







(3.10)

又由方程(1.1)得到





 









11 11

zz zz

fPeQefPeQef

Pe Qe









 







(3.11)

将(3.11)式代入(3.10)式得到



 



 







 



111

100

k k

kk zz

zzzz

iii izz

Pe Qe

fPeQe f

Pe Qe

PeQePe Qe

Pe QePeQef

Pe Qe





 





 





















 









 









 



 



 

 



(3.12)

将11

,fg fg





 





代入式(3.12)，得到



 







 



 



00 1

11 11

00 11

11 1

000

k k

kk zz

zzzz

kzz zz

ii iizz

Pe Qe

gPeQe g

Pe Qe

PeQePeQe

PeQePeQegSz

Pe Qe



 







 











 









 









 









 

 

 



 

 



(3.13)

其中

王青等  关于线性微分方程的解的性质



 







 



 



00 1

00 11

2()

000

k k

kk zz

zzzz

zz zi

ii iizz

Pe Qe

SzPeQePe Qe

PeQePeQe

PeQePeQePe Qe







 







 











 









 









 









 

 

 



 

 



先证明



0Sz。假设



0Sz



，也即





 



 



 









00001 100

00 1100

k k

zzzzz zzz

kzzzz zz

Pe QePe QePeQePeQe

Pe QePeQePeQe

Pe Q

























 





 





 











 



11 000.

zzzz z

ePeQePeQe













 













(3.14)

以下分两种情况进行证明：1) 满足式(1.3)。2) 满足式(1.4)。

1) 满足式(1.3)时，取，由(3.14)式易得到(3.14)



0,zrr

式左边关于

e的最高次项

200.



(3.15)

得到

00.



(3.16)

这与



e的定义矛盾。

2) 满足式(1.4) 时，取，此时，(3.14)式左边关于



0,zrr 





的最高次项 0



。这与





的定义矛盾。

综合 1)和2)两种情况可知



0Sz。由引理 2.3 可知，













gf g







 。

下面证明



221ff





。由之前已证得





0Sz



。且由式(3.13)知，若为

的l阶零点且，

则必为的阶零点，有

lk



Sz lk



,,,

NrkNrNr 1



















(3.17)

由(3.13)式两边同除以得到



Szg



 



 



 



 





1 1

11 1

00 11

k k

kk zz

zzzz

ii i

kzz zz

ii iizz

Pe Qe

gSzg g

Pe Qe

PeQePeQeg

PeQeP eQeg

Pe Qe





 







 











 













 











 







 

 



 



 

 

 





(3.18)

所以有

王青等  关于线性微分方程的解的性质



 



 

1100

,,2, ,

,,.

zzz z

jjj j

mrmrmrPeQemrPeQ e

gSz

Pe Qe

mr kmr

gPe Qe











 



 



 

 

















 









(3.19)

由对数导数引理，除去一线测度为有穷的集合外，有







,log,

mrOrTrg















z



(3.20)

由于均为级为 1的整函数，故当 r充分大时，



 





zzz

jj jj

Sz PeQ ePeQ e









 



,,, ,,

zzz z

jjj j

Trr mrPeQermrPeQer



 





 

 











(3.21)

由对数导数引理，除去一线测度为有穷的集合外，有



 



Pe Qe

mrO r

Pe Qe























log. (3.22)

由(3.17)-(3.22)式可知

 







1 1

,,log log,TrgkNrOr OrOrTrg













(3.23)

又当 r充分大时，







log,, .

OrTrg Trg



(3.24)

由(3.23) (3.24)式得到，当 1

rE E



且r充分大时，





,,l

2Trg kNrOr Or











og.

(3.25)

由(3.25)式结合引理 2.1 知，

 









2121221ggf f







。立刻得到，





221ff





。

4. 定理 1.2 的证明

假设 f为方程(1.2)的任一解，由微分方程基本理论易知 f为整函数。方程 (1.2)至多有一个有限级整函数解。

这是因为假设为方程(1.2)的另一个有限级整函数解，即









，则











。而为对应的齐

次方程(1.1)的解，则与定理 A矛盾。故方程(1.2)至多有一个有限级例外解。所以，方程(1.2)的解至多除去一

个有限级例外解，其余任何解 f有。

ff0







接下来证明方程(1.2)的的任一无穷级解 f有









。令0





，那么，

和









20 21gf

















。将 0





代入方程(1.2)中，得到



















01 10000

zz zz

PeQegPeQe gTz







 



(4.1)

其中



 





















121100

zzz zzz

TzRe RePe QePe Qe











 









。注意到方程(4.1)可能

王青等  关于线性微分方程的解的性质

具有有限级解，但这里仅讨论 0



为无穷级的解。所以接下来只对方程(4.1)的无穷级解 0

，计算







。

我们断言



0Tz，这是因为若，则易知









是方程(1.2)的一个有限级非零解，这与之前所知方程(1.2)

至多有一个有限级例外解 0

矛盾。根据引理2.2 知，对于方程(4.1)而言，有



 





000

ggg f





。

即





。

下面证明







1ff



。





已证得



0Tz，由(4.1)式，若为0

的l阶零点且，则必为lk0





Tz的阶零点，并且有 lk



,,,

kNr NrNr

gTz



 





 



 



(4.2)

由(4.1)式两边同除以得到



gTz



 



 

11 00

zz z

Pe QePe Qe









 









zg (4.3)

所以有



 



0 0

11 ,,.

mrmrPeQ emr

gTz g







 



 



 



mr (4.4)

又由对数导数引理，除去一线测度为有穷的集合E外，有







,log,

mrO rTrg













(4.5)

由于



Tz PQ均为级为 1的整函数，故当r充分大时，







,,,

mrTzr mrPQr

. (4.6)



且r充分大时，故，由(4.2)-(4.6)式知，当







,, log,





gkNrOr OrTrg











Tr (4.7)

又当 r充分大时，







log,, .

OrTrgTrg



(4.8)

故由(4.7)，(4.8)式知，当 r且r充分大时， E



2Trg kNrOr







 .

(4.9)





20 20



。故













20 20 21ggf





。所以，



由(4.9)式结合引理2.1 知22

 1ff



。

下面证明





f



。

假设 f为方程(1.2)的任一解，那么至多除去一个有限级例外解 0

，其余任何解f有。且之前已证

得











，现在计算







。



令1







，那么有









gff







，













21 221gff







和

 











。对方

程(1.2)的两边微分，得到

王青等  关于线性微分方程的解的性质



 







111 11

00 12

kk i

zzz zzz

kkiiii

zz zz

Pe QefPeQePe Qef

PeQef ReRe





 





























 

 







(4.10)

又由方程(1.2)得到









12 1

zzz z

iki

zz i

fReRefPeQ

Pe Qe









 







ef







(4.11)

将(4.11)式代入(4.10)式得到



 



 







 



111

100

001

k k

kk zz

zzzz

zzz z

iii izz

zzz

Pe Qe

fPeQe f

Pe Qe

PeQePeQe

Pe QePeQef

Pe Qe

Pe QeRe

Re Re





 





 























 









 









 



 



 

 













 





 

Pe Qe











(4.12)

将11

,fgfg ,





 

代入式(4.12)，得到



 



 



 



 



00 1

11 11

00 11

11 1

000

k k

kk zz

zzzz

zz zz

ii iizz

Pe Qe

gPeQe g

Pe Qe

PeQeP eQe

PeQePeQeg

Pe Qe



 







 





















 









 









 

 

 



 

 



 (4.13)

其中



 



 







 



 



0012

00 1

00 11

zzzz

kk zz

zzzz

zz zz

ii iiz

PeQeRe Re

RzR eRePe Qe

Pe Qe

Pe QePeQe

PeQeP eQe

PeQePeQePe Q







 

























 



















































 

 

 



王青等  关于线性微分方程的解的性质

下面证明



0Rz 。假设，也即



0Rz







 



 







 











 



12001200

00001 100

00 1100

zzzzzzz z

k k

zzzzz zzz

kzzzz zz

zz z

ii i

ReRePeQeReRePeQe

Pe QePeQePe QePeQe

Pe QePeQePe Qe

PeQeP e



 

















 

 

 



 

 

 

 









 





 





 











10 00.

zz z

Qe PeQe























(4.14)

以下分两种情况进行证明：

1) ，



max:1,2, ,1

mmjkm且m



m

2) 。



max:1,2,,1

nnjkn且

1) 时，取



max:1,2, ,1

mmj km且









0,zrr





。

情形 1：若，则(4.14)式左边关于

mme的最高次项







000 0

mmr

mm mm

aamaame



。得到。这与

矛盾。

mm

mm

情形 2：若，则(4.14)式左边关于

mm

e的最高次项 0



。得到0



。这与



e的定义矛盾。

由情形 1，2可知：



0Rz 。

2) 且时，取



0max:1,2, ,1

nnj k

nn









0,zrr



，接下来的证明方法和 1)一样。由1)和

2)可知，





0Rz 。再结合引理2.2 可得到











。

下面用证明



221ff



 的方法可以同样证明得到









221ff







。

参考文献 (References)

[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.

[2] 陈宗煊. 二阶复域微分方程解的不动点与超级[J]. 数学物理学报, 2000, 20(3): 425-432.

[3] Z. X. Chen, S. Kwangho. Subnormal solutions of differential equations with periodic coefficients. Acta Mathematica Scientia, 2010, 30B(1):

75-88.

[4] 徐俊峰, 仪洪勋. 微分方程的解和小函数的关系[J]. 数学学报, 2010, 53(2): 85-90.