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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 88-96
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22015 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
The Relation between Solutions of a Class of Higher
Order Differential Equations with Periodic Coefficients
and Functions of Small Growth*
Qing Wang1, Zongxuan Ch en2#
School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou
Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com
Received: Dec. 31st, 2011; revised: Jan. 13th, 2012; accepted: Jan. 22nd, 2012
Abstract: In this paper, we investigate the differential equations

 





1
1100 0
kk
zz zz
kk
fPeQef PeQef




 


 




and








12
1
11 00
kk
z
zz
kk zzz
f
Pe QefPe Qef




 
 Re Re





. Moreover, we obtained
the relation between solutions of the two differential equations and their 1th derivatives of differential equa-
tion and small functions .
Keywords: Differential Equation; Entire Functions; Fu nction of Small Growth; Exponent of Convergence
关于线性微分方程的解的性质*
王 青1,陈宗煊 2#
华南师范大学数学科学学院,广州
Email: 313547370@qq.com, #chzx@vip.sina.com
收稿日期:2011 年12 月31 日;修回日期:2012 年1月13 日;录用日期:2012 年1月22 日
摘 要:在文中研究了微分方程








1
1100 0
kk
zz zz
kk
fPeQef PeQef






 

和

 









00 12
1
11
kk
z
zzzzz
kk
f
Pe Qef



 

Pe QefReRe


 
 的解以及它们的一阶导
数与小函数的关系。
关键词:微分方程;整函数;小函数;收敛指数
1. 引言
本文使用值分布理论的标准记号(见文[1]),还使用


2
f

表示亚纯函数


f
z的超级,用



f
f

,分别表
示亚纯函数

f
z的零点及不同零点的收敛指数,用


f



表示亚纯函数取小函数的点的收敛指数,以及

2f


[2]表示亚纯函数取小函数

的点的二级收敛指数。还使用


f

表示亚纯函数 f的不动点收敛指数,以
及

2
f

[2]表示亚纯函数
f
的二级不动点收敛指数。
考虑微分方程:

 





1
1100 0
kk
zz zz
kk
fPeQef PeQef




 





, (1.1)
*基金项目:国家自然科学基金资助项目(NO. 11171119)。
#通讯作者。
Copyright © 2012 Hanspub
88
王青 等  关于线性微分方程的解的性质










1
1100 12
kk

z
zzzz
kk z
f
Pe QefPe QefReRe




 


j
, (1.2)
 
101 ,
jj
jj
mz nz
zzz z
jj jmjjjjn
PeQea eaecbebe


 
 
12101 .
jjjj
z
zmz zz
m
ReReaeaec bebe

 nz
n

且




12
z
z
Re Re

不恒为零,其中 ,,
j
jm
a


1
j
a,0
j
c

1,,0,1,,,1
j
jjn
bbj k ,
,为常数,
j
j
mn a为正整数,且 0,
j
jm

0.
j
jn
b

陈宗煊在文[3]中研究了方程(1.1)
(1.2)的级,超级以及次正规解,并得到了以下定理:
定理 A[3] 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,, ,1jk


为关于 z的多项式,且 deg ,
j
j
Pm

deg
j
j
Qn。若 满足
0
P


0max:1,2, ,1
j
mmjk, (1.3)
或者 满足
0
Q


0max:1,2, ,1
j
nnjk  , (1.4)
那么,方程(1.1)没有非平凡次正规解,且方程(1.1)的每个解 f的超级


21.f


定理 B[3] 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,, ,1jk ,




1, 2
i
Rzi均为关于 z的多项式,且 deg ,
j
j
Pm
deg
j
j
Qn。若满足 (1.3)或者 满足(1.4),那么
0
P0
Q
1) 方程(1.2)至多有一个非平凡次正规解 0
f
,且形如






01 2
z
z
f
zSe Se

 ,其中 均为关于 z的多项
式。
12
,SS
2) 除去 1)中可能存在的一个次正规解,方程(1.2)的其余解 f的超级


21f


。
在此基础上,我们研究了方程(1.1)和方程(1.2)的解与小函数的关系,并得到了以下结论:
定理 1.1 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,, ,1jk 

为关于 z的多项式,且 deg ,
j
j
Pm

deg
j
j
Qn。若 满足式(1.3)
或者 满足式(1.4)。若
0
P
0
Q

(不恒为零)是有限级整函数,那么对于微分方程(1.1)的任一非零解 f满足



.ff

 




221.ff



若


1

,还有



.ff

 




221.ff




定理 1.2 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,, ,1jk ,




1, 2
i
Rzi均为关于 的多项式,且zdeg ,
j
j
Pmdeg .
j
j
Qn

若 满足(1.3)或者满足(1.4),那么
0
P0
Q
1) 方程(1.2)至多有一个有限级解 0
f
,其余所有非零解 f有


f


。
2) 若

(不恒等于 0
f
)是有限级非零整函数,那么对于微分方程(1.2)的任一无穷级解 f,满足



.ff

 




221.ff



特别地,若

是级小于 1的非零整函数且

(不恒等于 0
f
),并且以下两个条件之一成立:
1) ,

00
max:1,2, ,1
j
mmjkm且m
n
2)

00
max:1,2,,1.
j
nnjkn且
则对于除去 1)中可能存在的有限级例外解0
f
以外的所有解 f还有



.ff

 




221.ff




事实上,当 z

时,由以上定理就能得到方程(1.1)方程(1.2)的解的不动点的一系列结论:
推论 1.3 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,, ,1jk 

,以及
j
j
mn满足定理1.1 的条件。则方程(1.1)的每个非零解 f及
其一阶导数
f
均有无穷多个不动点,且




,ff








22
1ff



。
推论 1.4 假设



,
jj
Pz Qz

0,1,,,1 ,jk




1, 2
i
Rzi以及,
j
j
mn
满足定理 1.2 的条件。则方程(1.2)的
每个非零解 f及其一阶导数
f

均有无穷多个不动点,且




,ff






22
1,ff



至多一个例外。
Copyright © 2012 Hanspub 89
王青 等  关于线性微分方程的解的性质
2. 为证明定理所需要的引理
引理 2.1[3] 假设 和

Gr

H
r为两个定义在


0,

内的非减实函数。
1) 若除去一个有穷线测度的集合 E外有




Gr Hr,那么对任意的 1

,存在 使得对所有都有
0
r0
rr

GrH r

。
2) 若存在一个集合E,其对数测度

l
mE


,集合 E的对数测度


l
mE定义为
 

1)d ,
lE
mEt tt



其中,使得当 时

1,
0,
E
rE
trE




rE




Gr Hr,那么对任意常


e


,当 时,有1r



GrH r

。
引理 2.2[4] 假设01 1
,,, ,
k
A
AA

 F(不恒为零)是有限级亚纯函数,如果


f
z是方程
 
1
110
kk
k
fAfAfAf


 F
的亚纯解,并且 ,那么

f


 


fff

。
3. 定理 1.1 的证明
首先证明方程(1.1)的的任一非零解 f有


f


。假设 f为方程(1.1)的任一非零解,由微分方程基本理
论易知 f为整函数。由文[3]定理2的证明过程知,当满足(1.3)或者满足(1.4)时,f为超越整函数,且
0
P0
Q


f


。
令0
gf

,那么


0,gf





20 21gf


和




0
gf



。将 0
fg

代入方程(1.1)中,
得到










1
0110000 .
kk
zz zz
kk
g
Pe QegPe Qeghz




 

(3.1)
其中


 





1
11 00
kk
zz zz
kk
hzPeQeP eQe






 





。注意到方程(3.1)可能具有有限级解,但
这里仅讨论 0
gf

为无穷级的解。所以接下来只对方程(3.1)的无穷级解 0
g
,计 算


0
g

。方 程(3.1)的右边项
。这是因为若 ,则易知
0h0h

是方程(1.1)的一个有限级非零解,这与定理 A矛盾。根据引理 2.2 知,
对于方程(3.1)而言,有
 


gg f

,即


f


。
00
下面证明



221ff

 。由(3.1)式,若 为
0
z0
g
的l阶零点且,则 必为的阶零点,
并且有
lk0
z

hz lk

00
11
,,,NrkNrNr 1
.
g
gh

 


 

 

z


(3.2)
由(3.1)式两边同除以 得到

0
hzg


 

 
1
00
11 00
000
11 .
kk
zz zz
kk
gg
Pe QePe Qe
ghzgg





 






(3.3)
所以有

 


10
01
0 0
11
,, ,,
i
kk
zz
jj
ji
g
mrmrmrPeQ emr
ghz g





 



 

 

.


(3.4)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有




00
0
,log,
i
g
mrO rTrg
g







. (3.5)
由于

,
j
j
hz PQ均为级为 1的整函数,故当 r充分大时,
Copyright © 2012 Hanspub
90
王青 等  关于线性微分方程的解的性质






2
,,,
jj
mrhzr mrPQr
2
. (3.6)
故,由(3.2)-(3.6)式知,当 rE

且r充分大时,
 


2
0
0
1
,, log,Trg kNrOrrTrg
g






0
.
(3.7)
又当 r充分大时,




0
1
log,, .
2
OrTrg Trg

0
(3.8)
故由(3.7),(3.8)式知,当 r且r充分大时, E


2
00
11
,,
2Trg kNrOr
g



 .
(3.9)
由(3.9)式结合引理2.1 知


20 20
g
g

。故






20 20 21ggf


。所以,


220
1fg

 。
下面证明

f


。令 1
gf



,那么有






1
gff



,




21 221gff



和
 
1
gf





。对方程(1.1)的两边微分,得到

 





 





1
111 11
1
00
0.
k
kk i
zzz zzz
kkiiii
i
zz
f
Pe QefPeQePe Qef
PeQe f


 















 



(3.10)
又由方程(1.1)得到


 




1
11 11
00
1.
kk
zz zz
kk
zz
f
fPeQefPeQef
Pe Qe





 



(3.11)
将(3.11)式代入(3.10)式得到

 



 









 
 

00
111
00
00
1
11
100
0.
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii
ki
zzzz
iii izz
i
Pe Qe
fPeQe f
Pe Qe
PeQePe Qe
Pe QePeQef
Pe Qe


 


 










 




 




 

 

 
 
 

,
(3.12)
将11
,fg fg



 


代入式(3.12),得到

 





 







 
 


00 1
11 11
00
00 11
21
11 1
000
.
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii
kzz zz
ii iizz
i
Pe Qe
gPeQe g
Pe Qe
PeQePeQe
PeQePeQegSz
Pe Qe



 



 





 




 




 




 
 
 

 
 
 

(3.13)
其中
Copyright © 2012 Hanspub 91
王青 等  关于线性微分方程的解的性质


 





 







 

00 1
11
00
00 11
2()
11
000
.
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii
k
z
zz zi
ii iizz
i
Pe Qe
SzPeQePe Qe
PeQePeQe
PeQePeQePe Qe





 



 





 




 




 




 
 
 

 
 
 

先证明

0Sz。假设

0Sz

,也即


 

 






 








1
00001 100
2
00 1100
0
k k
zzzzz zzz
kk
kzzzz zz
ii
i
z
ii
Pe QePe QePeQePeQe
Pe QePeQePeQe
Pe Q












 


 


 






 






11 000.
i
zzzz z
ii
ePeQePeQe






 







(3.14)
以下分两种情况进行证明:1) 满足式(1.3)。2) 满足式(1.4)。
0
P0
Q
1) 满足式(1.3)时,取 ,由(3.14)式易得到(3.14)
0
P


0,zrr
式左边关于
z
e的最高次项
0
0
2
200.
mr
m
ae

(3.15)
得到
0
00.
m
a

(3.16)
这与

0
z
P
e的定义矛盾。
2) 满足式(1.4) 时,取 ,此时,(3.14)式左边关于
0
Q


0,zrr 


z
e

的最高次项 0
0
2
2
00
nr
n
be

。这与

0

z
Qe
的定义矛盾。
综合 1)和2)两种情况可知

0Sz。由引理 2.3 可知,






11
gf g



 。
下面证明

221ff


。由之前已证得


0Sz

。且由式(3.13)知,若 为
0
z1
g
的l阶零点且 ,
则必为 的阶零点,有
lk
0
z

Sz lk

11
11
,,,
NrkNrNr 1
.
g
gS








z


(3.17)
由(3.13)式两边同除以 得到

1
Szg


 



 

 







 


1
00
1 1
11
11 1
00
00 11
21
11
01
00
11
.
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii i
kzz zz
ii iizz
i
Pe Qe
gg
Pe Qe
gSzg g
Pe Qe
PeQePeQeg
PeQeP eQeg
Pe Qe


 



 





 






 





 



 
 

 

 
 
 


(3.18)
所以有
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92
王青 等  关于线性微分方程的解的性质

 










 
11
01
1
00
1
1100
11
,,2, ,
,,.
kk
zzz z
jjj j
jj
zz
i
k
zz
i
mrmrmrPeQemrPeQ e
gSz
Pe Qe
g
mr kmr
gPe Qe







 

 

 
 










 





(3.19)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合 外,有
1
E




11
1
,log,
i
g
mrOrTrg
g







.

z

(3.20)
由于均为级为 1的整函数,故当 r充分大时,

 



,,
zzz
jj jj
Sz PeQ ePeQ e




 





22
1
,,, ,,
zzz z
jjj j
Trr mrPeQermrPeQer
Sz

 


 
 

2
.




(3.21)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合 外,有
2
E




 

00
00
,
zz
zz
Pe Qe
mrO r
Pe Qe












log. (3.22)
由(3.17)-(3.22)式可知
 




2
1 1
1
1
,,log log,TrgkNrOr OrOrTrg
g






.
(3.23)
又当 r充分大时,




1
1
log,, .
2
OrTrg Trg

1
2
(3.24)
由(3.23) (3.24)式得到,当 1
rE E

且r充分大时,



2
11
11
,,l
2Trg kNrOr Or
g





og.
(3.25)
由(3.25)式结合引理 2.1 知,
 




2121221ggf f



。立刻得到,


221ff


。
4. 定理 1.2 的证明
假设 f为方程(1.2)的任一解,由微分方程基本理论易知 f为整函数。方程 (1.2)至多有一个有限级整函数解 。
这是因为假设 为方程(1.2)的另一个有限级整函数解,即
0
f
1
f


1
f


,则


10
ff



0
f
。而 为对应的齐
次方程(1.1)的解,则与定理 A矛盾。故方程(1.2)至多有一个有限级例外解 。所以,方程(1.2)的解至多除去一
个有限级例外解,其余任何解 f有 。
1
ff0
0
f

f


接下来证明方程(1.2)的的任一无穷级解 f有


f


。令0
gf


,那么 ,
和


0
gf




20 21gf




0
gf




。将 0
fg


代入方程(1.2)中,得到










1
01 10000
.
kk
zz zz
kk
g
PeQegPeQe gTz




 

(4.1)
其中

 











1
121100
kk
zzz zzz
kk
TzRe RePe QePe Qe






 




。注意到方程(4.1)可能
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具有有限级解,但这里仅讨论 0
gf

为无穷级的解。所以接下来只对方程(4.1)的无穷级解 0
g
,计算


0
g

。
我们断言

0Tz,这是因为若 ,则易知

Tz


0
f

是方程(1.2)的一个有限级非零解,这与之前所知方程(1.2)
至多有一个有限级例外解 0
f
矛盾。根据引理2.2 知,对于方程(4.1)而言,有

 


000
ggg f


。
即

f

。
下面证明



1ff

。
2


2
已证得

0Tz,由(4.1)式,若 为0
g
的l阶零点且 ,则 必为lk0
z


Tz的阶零点,并且有 lk
0
z

00
11
,,,
1
.
kNr NrNr
g
gTz

 


 

 

(4.2)
由(4.1)式两边同除以 得到

0
gTz


 

 
1
00
11 00
0
.
kk
zz z
kk
gg
Pe QePe Qe
g





 




00
11
gT
z
zg (4.3)
所以有

 


10
00
0 0
11 ,,.
i
kk
zz
jj
ji
g
mrmrPeQ emr
gTz g





 



 

 

,,
mr (4.4)
又由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有




00
0
,log,
i
g
mrO rTrg
g







.
(4.5)
由于

,
j
j
Tz PQ均为级为 1的整函数,故当r充分大时,




2
,,,
jj
mrTzr mrPQr
2
. (4.6)
rE

且r充分大时, 故,由(4.2)-(4.6)式知,当





2
00
0
1
,, log,


.
gkNrOr OrTrg
g





Tr (4.7)
又当 r充分大时,




0
1
log,, .
2
OrTrgTrg

0
(4.8)
故由(4.7),(4.8)式知,当 r且r充分大时, E


2
00
11
,,
2Trg kNrOr
g



 .
(4.9)


20 20
g
g

。故






20 20 21ggf


。所以,

由(4.9)式结合引理2.1 知22
 1ff

。
下面证明


f

。
假设 f为方程(1.2)的任一解,那么至多除去一个有限级例外解 0
f
,其余任何解f有。且之前已证
得

f



f

,现在计算


f

。

令1
gf



,那么有




1
gff



,






21 221gff



和
 
1
gf






。对方
程(1.2)的两边微分,得到
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
 















1
111 11
1
00 12
.
k
kk i
zzz zzz
kkiiii
i
zz zz
f
Pe QefPeQePe Qef
PeQef ReRe


 














 
 



(4.10)
又由方程(1.2)得到




1
12 1
00
1.
k
ki
zzz z
iki
zz i
fReRefPeQ
Pe Qe





 



ef



(4.11)
将(4.11)式代入(4.10)式得到

 



 









 
 










00
111
00
00
1
11
100
001
12
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii
ki
zzz z
iii izz
i
zzz
zz
Pe Qe
fPeQe f
Pe Qe
PeQePeQe
Pe QePeQef
Pe Qe
Pe QeRe
Re Re


 


 












 




 




 

 

 
 
 






 


 
2
00
.
z
zz
Re
Pe Qe






(4.12)
将11
,fgfg ,



 
代入式(4.12),得到

 



 

 







 
 


00 1
11 11
00
00 11
2
11 1
000
.
zz
k k
zz
kk zz
zzzz
ii
ki
zz zz
ii iizz
i
Pe Qe
gPeQe g
Pe Qe
PeQeP eQe
PeQePeQeg
Pe Qe
Rz



 



 










 




 




 
 
 

 
 
 

 (4.13)
其中









 
 

 





 







 

0012
12
00
00 1
11
00
00 11
11
00
zzzz
k
zz
zz
zz
k
zz
kk zz
zzzz
ii
zz zz
ii iiz
PeQeRe Re
RzR eRePe Qe
Pe Qe
Pe QePeQe
PeQeP eQe
PeQePeQePe Q








 












 






















2
0
.
ki
z
ie




 
 
 
 
 
 
 

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王青 等  关于线性微分方程的解的性质
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96
下面证明

0Rz 。假设 ,也即

0Rz






 





 



 














 


12001200
1
00001 100
2
00 1100
0
1
zzzzzzz z
k k
zzzzz zzz
kk
kzzzz zz
ii
i
zz z
ii i
ReRePeQeReRePeQe
Pe QePeQePe QePeQe
Pe QePeQePe Qe
PeQeP e

 








 
 
 

 
 
 
 




 


 


 











10 00.
i
zz z
i
Qe PeQe











(4.14)
以下分两种情况进行证明:
1) ,

00
max:1,2, ,1
j
mmjkm且m
n

m
2) 。

00
max:1,2,,1
j
nnjkn且
1) 时,取

00
max:1,2, ,1
j
mmj km且




0,zrr


。
z
情形 1:若 ,则(4.14)式左边关于
0
mme的最高次项



0
00
000 0
mmr
mm mm
aamaame

。得到。这与
矛盾。
0
mm
0
mm
情形 2:若 ,则(4.14)式左边关于
0
mm
z
e的最高次项 0
0
2
2
00
mr
m
ae

。得 到0
00
m
a

。这 与

0
z
P
e的定义矛盾。
由情形 1,2可知:

0Rz 。
2) 且时,取

0max:1,2, ,1
j
nnj k
0
nn




0,zrr

,接下来的证明方法和 1)一样。由1)和
2)可知,


0Rz 。再结合引理2.2 可得到


f



。
下面用证明

221ff

 的方法可以同样证明得到




221ff



。
参考文献 (References)
[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.
[2] 陈宗煊. 二阶复域微分方程解的不动点与超级[J]. 数学物理学报, 2000, 20(3): 425-432.
[3] Z. X. Chen, S. Kwangho. Subnormal solutions of differential equations with periodic coefficients. Acta Mathematica Scientia, 2010, 30B(1):
75-88.
[4] 徐俊峰, 仪洪勋. 微分方程的解和小函数的关系[J]. 数学学报, 2010, 53(2): 85-90.

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