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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 103-109
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22017 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Long Time Behavior of Solution for Generalized BBM
Equation in *
n
R
Jincui Yin, Jianwen Zha n g
College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan
Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn
Received: Jan. 9th, 2012; revised: Jan. 23rd, 2012; accepted: Feb. 3rd, 2012
Abstract: The article presents the long time behavior of solution for the generalized BBM equation on un-
bounded domains . First, the existence and unique of the solutions on unbounded domains (n > 1)
was proved by the Galerkin method and the method of the domain approximate. Secondly, operator decom-
position method and the compactness of the weighted norm as well as
n
Rn
R
kuratowskii -

the non-compacted
measure are applied to study the smooth property of the solution. Finally, the existence of the glob al attractor
for the corresponding semi-group on unbounded domains 2()
n
H
R was proved.
Keywords: Unbounded Domain; The kuratowskii -

Non-Compact Measure; Operator Decomposition;
Global Attractor
无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间行为*
n
R
殷金翠,张建文
太原理工大学数学学院,太原
Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn
收稿日期:2012 年1月9日;修回日期:2012 年1月23 日;录用日期:2012 年2月3日
摘 要:本文研究了无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间动力学行为。首先,利用 Galerkin 方
法和对区域做极限的方法,验证了在无界区域 (n > 1)上解的存在唯一性;其次,通过算子分解技巧
和加权范数的紧性以及
n
R
wski
n
R
kuratoi -

非紧测度,讨论了解的渐近光滑性;最后得到了该方程在无界区
域2()
n
H
R上整体吸引子的存在性。
关键词:无界区域; kuratowskii -

非紧测度;算子分解;整体吸引子
1. 引言
BBM 方程是一类重要的非线性发展方程,它最初起源于 Benjamin、Bona、Mahony在水波研究中建立的模
型
 
12
0uuu u




如果考虑粘性和耗散作用(如湍流),则对应的模型方程推广为文献[1]中的Burgurs-BBM 方程,
 
122
20uuu uuu

 

.
*资助信息:国家自然科学基金(批准号:11172194),山西省自然科学基金(批准号:2010011008) ,山西省青年科技研究基金(批准号:
2011021002-2)资助。
Copyright © 2012 Hanspub 103
殷金翠 等  无界区域 n
R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为
文献[2]中证明了如下有阻尼的 GBBM 方程的整体和指数吸引子的存在性,




uubuFuuhx

 
 .
本文考虑无界区域上推广的 B-BBM 方程的初值问题

1
n
Rn





2
uuuuuFuhx

 
 , ,
n
x
Rt R

; (1)



0
,0uxu x. n
x
R. (2)
其中

12
,,...T
n
x
xx x,表示关于空间变量 x和时间变量 t的实值函数。常数

,uxt ,, 0


,为n维Laplace
算子。 ,h为给定函数。u表示 u关于 t的一阶导数。
0
u

uF为u的实值向量函数。
 



1,n
uuFFFu,定义
1
ni
ii
x





F
F且满足[2]:

1
A
。

00,1,2,
iFin

2
A
为二阶导数连续的函数,即,1,2,
iiFn


2n
iCRF。

3
A
 
,1,2, .
ii
d
sFsi
ds
n
i
f
满足:
 


00,1 m
ii
f
fs cs
。
f
当 时,;当 时,2n0m3n2
02
mn


。
 
,2

记
s
nsn
RHR,duv uvx
,用

,
n
R


12
,uuv
H
分别表示

2n
LR中的内积和范数,
s
s
s
u
u
x



表
示

s
n
H
R中的范数。
2. 解的存在性
定理 2.1 设


13
A
A满足, ,


2n
hxH R


2
0n
uHR,则方程(1) (2)存在唯一解




2
;n
utLR HR

,
且有 。


ut L



2
;n
R HR

该定理利用 Galerkin 方法和对区域作极限的方法证明,在此不作详细陈述。
3. 有界吸收集的存在性
引理 3.1 假设


13
A
A满足,



2n
hxH R,


1
0n
uHR,则方程(1)(2)的解




1
;n
utLR HR

,
且

11 0,t

11
tt


 时,有 22
1
1
uuE

。 及下文中的
1
E


1, 5
i
Ei 皆为常数。
证:用 u与(1)式做内积得




22 222
11 2
1,,
2d
duu uuuFuuh
t


u
.
因为


 
11
,,,
nn
ii
ii
Fuuf u uu








10



s,其中 。
 
0d
u
ii
ufs


则

22 2222
11 2
11
2d2 2
duu uuuhuuh
t

 

2
。
因为 2
20u,取 12
min ,c






,



22 22
1
11
1
d2
duucuu
t



2
h
3
.
由Gronwall 引理得证。
引理 3.2 假设


1
A
A满足,



2n
hxH R,


2
0n
uHR,则方程(1)(2)的解




2
;n
utLR HR

,
且

22 0,t

22
tt


 时,有 22
2
12
uuE


。
Copyright © 2012 Hanspub
104
殷金翠 等  无界区域 n
R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为
证:用 与(1)做内积得 u



22 222
12 213
1,
2d
duuuuuFuuh
t


2
u
. (3)
因为


 
2
22
11
,dd
4
nn
nn
ii
RR
ii
ii
uu
2
F
uuf uuxf uxucuu
xx






 [2].
代入(3)式得

22222 222 22
1
12 123222
1:
d2442
duuu uuuhuu h
t
 
 

1
K

. (4)
因为 2
30u,取 2min2 ,c






,

2222
2
12 12
)
d
duucuu
t

c

 .
由Gronwall 引理,得证。
引理 3.3 假设


13
A
A满足,



2n
hxH R,


2
0n
uHR,则方程(1) (2)的解




2
;n
utLR HR

,
且


221tt

时,有 2
3
3
uE

。
证:用 与(1)做内积,得
2u



22 2222
23 324
1,,
2d
duu uuuFuuh
t



2
u.
(5)
由引理 3.2


 
2
22
44
11
1
,dd
4
nn
nn
ii
RR
ii
ii
uu
4
F
uuf uuxf uxucuu
xx


 


 .
代入(5)式有

22222 2
2
23 324
11
:
2d2 2
duuuuuh
t


1
K
.
因为 2
40u,于是取 3min ,c






,



2222
3
23 23
d
duucuu
t

 
2
K
. (6)
由(4)式得

222
1
123
d
duuu
t


K
。积分上式得
    
1
222 2
1
123 1
11 d
t
t
ututuss Kutut


 
2
2
。
由引理 3.2 知,

12
3
3d
t
tussK

。对(6)使用一致 Gronwall 引理,得证。
引理 3.4 若引理 3.1 成立,则




1
;n
utLR HR


且22
4
1
uu

E


。
证(1)式对 t求导后,再与u做内积




22 222
11 2
1,0
2d
duu uuuFuu
t



 

.
因为


  
 
2
111 1
22
11 1
11
,,,
.
nnn n
iii i
iii i
ii i
nn
ii
ii
uu u
i
u
F
uufuuufuufuufuu
xx x
fu u ufu u ucucuu
 



 




 



 



 

x



Copyright © 2012 Hanspub 105
殷金翠 等  无界区域 n
R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为
则

22 222
112 1
1
2d
duu uuucuucu
t

 
 2

。
因为 2
20u
,所以



22 22
4
11
d
duucuu
t

 
 
.
由Gronwall 引理得证。
引理 3.5 若引理 3.2 成立,则




2
;n
utLR HR


且2
5
2
uE

。
证:用 与(1)式做内积,得 u




22
2
5
24 2
,
.
uhuuuuFuu
huuuuFuu cu



 
 

2

故得 2
5
2
uE
。
综上所述,若



13
A
A满足,



2n
hxH R,


2
0n
uHR,则方程(1) (2)存在唯一解
,且有

2
;utLRH




n
R




2
;n
LR HR


ut
。定义解算子


St:


0
uut。由以上引理,可得。

2n



3n
定理 3.1 解算子 在

St
H
R上是连续的并且存在有界吸收集 BHR。
4. 解的光滑性
设 ,


2n
hhx LR


0n
L
x
CR


,01
L


满足

1, ;
0,1 ,
L
if xL
xif xL






则对 ,使得
 
0,1 ,0L

 

2,L
hhh h




 ;

2,L
FFF F




 ;
设u

是下列方程的解




2
uuuuuhh FF

 

  


; (7)

0
,0uxu

. (8)
记








1020 01
,Stu uvStu StuStu
 
 0
,且 v

是如下方程的解
2
vvvvvhF

 

  


; (9)

,0 0vx

. (10)
定义 4.1 Banach空间中集合 A的kuratowskii -

非紧测度定义为






inf
A
dd Ad


.
其中为A的有限覆盖的小球的直径。且

dA






A
BA

B成立。若是 A紧集,则 (参见文
献[3])。

0A


引理 4.1 设



13
A
A满足, ,


2n
hxL R


2
0n
uHR,则


0, 0,1c

 ,使得
22 22 22
11223
, , uucuucuu
  

  c.
并且 有

**
0,1 ,0,0ttt

 
22 22 22
11223
, , uucuucuu
 
c





  .
Copyright © 2012 Hanspub
106
殷金翠 等  无界区域 n
R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为
证:用 u

与(7)式做内积,得



22 2222
11 2
1
2d 22
d c
uu uuuhhFFucuu
t
 

 

.




22 22
1
11
d
duucuu
t
 
c



.
由Gronwall 引理,有


22
22
001
1
11
expt c
uuuu c
c



 . (11)
故 ,使得 0c


22
1,0uu c


,1.

31 0t

,当

31
tt

时,使得


22
001
1exp tuu c



.
所以

*31
tt

 ,22
1
uu

c

。
u与(7)式做内积,得 用




22 2222
1221322 2
1
2d 22
d c
uuuuuhhFFucu u
t


 
 ; (12)




22 22
2
12 12
d
duucuu
t
 
c





. (13)
由Gronwall 引理,得


22
22
00 2
12
12 2
expt c
uuuu c
c



 .
故 ,使0c 22
12
uu


c,当

42
tt

时,使得


22
00 2
12
exp tuu c



.
故

42
tt

 ,22
12
uu

c

。其中 12 1 2
,,,cc

分别与引理 3.1、3.2 和3.3 中取法相同。
2u与(7)式做内积得 用




22 222
233424 4
11
2d2 2
d c
uu uuuhhFFuu
t
 
 
 ;




22 22
1
23 23
2
d
duucuu
t
 
c

 
.
又由(12),有


222
123
d
duuu
t



c
。积分此式得
   
1
222 2
123 1
11d
t
t
ututuss cutut


 
2
2
.
故

12
3d
t
tuss c

。由一致 Gronwall 引理,有 22
23
uu


c

。进而存在


542
1tt


, ,有
5
tt
22
23
uu

c


。
为了证明空间嵌入的紧性,我们引入加权范数
x
v

,
x
v

,
x
v

。
引理 4.2 假设


13
A
A成立,


2
0n
uHR,则


0c

,使得
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R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

222
2
2xvx vx vc




. (14)
证:用 22
2
x
vxvv




与(9)式各项做内积,得



22
222
22 2
122
2d
,2vv dxvx vxxvxvvt
  
 
 
 vv;



22
22
,2 2,2vxv xvvxvvxvxvv
 
 
 2
;

22
22
,2 2vxv xvvxvxvv
 
 
 2
;





22
22 2
,22,2,2vxvxvvxvvvvxvvxv
 
 

2
;




22
,2 2hFxvxv vxhxFxvxhxFxvhFv

 
 
  .
由于当 时,
*
tt,uu

在

3n
H
R中有界,从而当 时,v
*
tt

在


3n
H
R中有界,h

,
F

有界。由此可得

 
22 123
,2hFxvxvvcxvcxvc v

 

 
 .
综合以上各式,整理得


 
2222
22
2222
122
2d
11
12
22
d2
.
x
vxvxvv x
t
xvvxvv c


 
 

 
v

取 ,有
40c





2222222
22 2
4
222
d
dxvx vxvvcxvx vxvc
t


 

 .
由Gronwall 引理即得(14)式成立。
引理 4.3 设1
,,1
s
sss为整数,则





12
;1 d
s
sn n
H
RHRxx到


1
sn
H
R是紧嵌入[4]。
定理 4.1 解算子 是渐进光滑的。

St
证:由引理 4.2 和引理 4.3知,方程(9)(10)所确定的


2
St

在


2n
H
R上紧, 有界,有
。由引理 4.1 有

2n
BHR


2,0,dist StBt

0


10 *0
,,Stuttu B



 .
因此










12 1
,,,,StBS tBStBS tB
 

 


。从而




0
lim, 0
tSt B



。即 是渐近光滑的。

St
5. 整体吸引子的存在性
综上所述,可得如下结论
引理 5.1 假设 X为Banach 空间, 是X上的连续算子半群,若


0t
St 




0t
St 是渐近光滑的且有一个有界
吸收集,则有一个整体吸引子,它是 X中的紧不变集,吸收 X中的每一个有界集[5]。


0t
St 
定理 5.2
 
0sts
A
BStB

St



 是在


2n
H
R中的紧吸引子,其中闭包是在

2n
H
R取的,是


St在

2n
H
R中的有界吸收集[3]。
6. 致谢
我衷心的感谢我的导师张建文教授,在论文的创作中,给予我悉心的指导和帮助。张老师严谨的治学
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态度、勤奋的工作作风、平易近人的处世风范,将会在我今后的学习和生活中时刻影响我。值此论文完稿
之际,特此向张老师致以衷心的感谢!
感谢王旦霞和李桂莲两位老师对我的指导。二位老师对我进入这个领域起到了巩固性的作用,得益于
她们的耐心讲解,使我对基本知识的理解更为深刻,为我打下了坚实的基础。王旦霞老师是我在吸引子方
面研究的启蒙者,给予了我许多具体的指导并提出了许多好的建议。
感谢姚华珍、石丹青、姜伟三位同学。在进入这个领域学习时,是她们一直陪伴着我,共同讨论,解
决了许多疑惑。
我还要特别感谢我的父母,是他们为我提供了这个学习的机会,为我的学业付出了辛勤的劳动。是他
们让我有了心灵上的慰藉,可以踏实的在学校学习。
最后,感谢国家自然科学基金(批准号:11172194),山西省自然科学基金(批准号:2010011008),山西省青
年科技研究基金(批准号:2011021002-2)的资助。
参考文献 (References)
[1] H. J. Zhao, B. J. Xuan. Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term. Nonlinear
Analysis, 1997, 28(11): 1835-1850.
[2] 潘杰. 无界区域上 GBBM 方程的长时间动力学行为[D]. 四川: 四川师范大学, 2004.
[3] 李开泰. 马逸尘. 数学物理方程 Hilbert 空间方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008: 226-253.
[4] J. K. Hale. Asymptotic behavior of dissipative systems. Providence: Mathematical Surveys and Monographs, 1988: 113-145.
[5] R. Temam. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. 北京: 世界图书出版公司, 2006: 41-171.

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