无界区域RN 上推广的B-BBM方程的长时间行为 Long Time Behavior of Solution for Generalized BBM Equation in RN

doi:10.12677/pm.2012.22017

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 103-109

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22017 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Long Time Behavior of Solution for Generalized BBM

Equation in *

Jincui Yin, Jianwen Zha n g

College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan

Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn

Received: Jan. 9th, 2012; revised: Jan. 23rd, 2012; accepted: Feb. 3rd, 2012

Abstract: The article presents the long time behavior of solution for the generalized BBM equation on un-

bounded domains . First, the existence and unique of the solutions on unbounded domains (n > 1)

was proved by the Galerkin method and the method of the domain approximate. Secondly, operator decom-

position method and the compactness of the weighted norm as well as

kuratowskii -



the non-compacted

measure are applied to study the smooth property of the solution. Finally, the existence of the glob al attractor

for the corresponding semi-group on unbounded domains 2()

R was proved.

Keywords: Unbounded Domain; The kuratowskii -



Non-Compact Measure; Operator Decomposition;

Global Attractor

无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间行为*

殷金翠，张建文

太原理工大学数学学院，太原

Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn

收稿日期：2012 年1月9日；修回日期：2012 年1月23 日；录用日期：2012 年2月3日

摘要：本文研究了无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间动力学行为。首先，利用 Galerkin 方

法和对区域做极限的方法，验证了在无界区域 (n > 1)上解的存在唯一性；其次，通过算子分解技巧

和加权范数的紧性以及

wski

kuratoi -



非紧测度，讨论了解的渐近光滑性；最后得到了该方程在无界区

域2()

R上整体吸引子的存在性。

关键词：无界区域； kuratowskii -



非紧测度；算子分解；整体吸引子

1. 引言

BBM 方程是一类重要的非线性发展方程，它最初起源于 Benjamin、Bona、Mahony在水波研究中建立的模

型

 

0uuu u









如果考虑粘性和耗散作用(如湍流)，则对应的模型方程推广为文献[1]中的Burgurs-BBM 方程，

 

122

20uuu uuu



 



*资助信息：国家自然科学基金(批准号：11172194)，山西省自然科学基金(批准号：2010011008) ，山西省青年科技研究基金(批准号：

2011021002-2)资助。

殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

文献[2]中证明了如下有阻尼的 GBBM 方程的整体和指数吸引子的存在性，









uubuFuuhx



 

 .

本文考虑无界区域上推广的 B-BBM 方程的初值问题



Rn











uuuuuFuhx



 

 ， ,

Rt R



; (1)







,0uxu x. n

R. (2)

其中



,,...T

xx x，表示关于空间变量 x和时间变量 t的实值函数。常数



,uxt ,, 0





，为n维Laplace

算子。，h为给定函数。u表示 u关于 t的一阶导数。

u



uF为u的实值向量函数。

 







1,n

uuFFFu，定义











F且满足[2]：



。



00,1,2,

iFin



为二阶导数连续的函数，即,1,2,

iiFn





iCRF。



 

,1,2, .

sFsi

n

满足：

 





00,1 m

fs cs

。

当时，；当时，2n0m3n2





。

 



记

nsn

RHR,duv uvx

，用



，





,uuv

分别表示



LR中的内积和范数，







表

示



R中的范数。

2. 解的存在性

定理 2.1 设



A满足，，



hxH R





uHR，则方程(1) (2)存在唯一解









utLR HR



，

且有。





ut L







R HR



该定理利用 Galerkin 方法和对区域作极限的方法证明，在此不作详细陈述。

3. 有界吸收集的存在性

引理 3.1 假设



A满足，







hxH R，





uHR，则方程(1)(2)的解









utLR HR



，

且



11 0,t





 时，有 22

uuE



。及下文中的





1, 5

Ei 皆为常数。

证：用 u与(1)式做内积得



22 222

11 2

1,,

duu uuuFuuh





因为



 

,,,

Fuuf u uu























s，其中。

 

ufs





则



22 2222

11 2

2d2 2

duu uuuhuuh



 



。

因为 2

20u，取 12

min ,c













，







22 22

duucuu







由Gronwall 引理得证。

引理 3.2 假设



A满足，







hxH R，





uHR，则方程(1)(2)的解









utLR HR



，

且



22 0,t





 时，有 22

uuE





。

104

殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

证：用与(1)做内积得 u



22 222

12 213

duuuuuFuuh





. (3)

因为



 

,dd

uuf uuxf uxucuu













 [2].

代入(3)式得



22222 222 22

12 123222

d2442

duuu uuuhuu h

 

 





. (4)

因为 2

30u，取 2min2 ,c













，



2222

12 12

)

duucuu





 .

由Gronwall 引理，得证。

引理 3.3 假设



A满足，







hxH R，





uHR，则方程(1) (2)的解









utLR HR



，

且





221tt



时，有 2



。

证：用与(1)做内积，得

2u





22 2222

23 324

1,,

duu uuuFuuh







(5)

由引理 3.2



 

,dd

uuf uuxf uxucuu





 





 .

代入(5)式有



22222 2

23 324

2d2 2

duuuuuh





因为 2

40u，于是取 3min ,c













，







2222

23 23

duucuu



 

. (6)

由(4)式得



222

123

duuu





。积分上式得

    

222 2

123 1

11 d

ututuss Kutut





 

2

。

由引理 3.2 知，



tussK



。对(6)使用一致 Gronwall 引理，得证。

引理 3.4 若引理 3.1 成立，则









utLR HR





且22







。

证(1)式对 t求导后，再与u做内积





22 222

11 2

1,0

duu uuuFuu







 



因为



  

 

111 1

11 1

,,,

nnn n

iii i

ii i

uu u

uufuuufuufuufuu

xx x

fu u ufu u ucucuu

 





 





 





 





 







殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

则



22 222

112 1

duu uuucuucu



 

 2



。

因为 2

20u

，所以







22 22

duucuu



 

 

由Gronwall 引理得证。

引理 3.5 若引理 3.2 成立，则









utLR HR





且2



。

证：用与(1)式做内积，得 u



24 2

uhuuuuFuu

huuuuFuu cu







 

 





故得 2

uE

。

综上所述，若







A满足，







hxH R，





uHR，则方程(1) (2)存在唯一解

，且有



;utLRH













LR HR





ut

。定义解算子





St：





uut。由以上引理，可得。









定理 3.1 解算子在



R上是连续的并且存在有界吸收集 BHR。

4. 解的光滑性

设，



hhx LR







，01





满足



1, ;

0,1 ,

if xL

xif xL













则对，使得

 

0,1 ,0L



 



2,L

hhh h







 ;



2,L

FFF F







 ;

设u



是下列方程的解









uuuuuhh FF



 



  





; (7)



,0uxu



. (8)

记

















1020 01

,Stu uvStu StuStu

 

 0

，且 v



是如下方程的解

vvvvvhF



 



  





; (9)



,0 0vx



. (10)

定义 4.1 Banach空间中集合 A的kuratowskii -



非紧测度定义为













inf

dd Ad





.

其中为A的有限覆盖的小球的直径。且

















B成立。若是 A紧集，则 (参见文

献[3])。







引理 4.1 设







A满足，，



hxL R





uHR，则





0, 0,1c



 ，使得

22 22 22

11223

, , uucuucuu

  



  c.

并且有



0,1 ,0,0ttt



 

22 22 22

11223

, , uucuucuu

 











  .

106

殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

证：用 u



与(7)式做内积，得







22 2222

11 2

2d 22

d c

uu uuuhhFFucuu

 



 











22 22

duucuu

 





.

由Gronwall 引理，有





001

expt c

uuuu c







 . (11)

故，使得 0c





1,0uu c





,1.



31 0t



，当





时，使得





001

1exp tuu c







.

所以



*31



 ，22





。

u与(7)式做内积，得 用









22 2222

1221322 2

2d 22

d c

uuuuuhhFFucu u





 

 ; (12)









22 22

12 12

duucuu

 









. (13)

由Gronwall 引理，得





00 2

12 2

expt c

uuuu c







 .

故，使0c 22





c，当





时，使得





00 2

exp tuu c







.

故





 ，22





。其中 12 1 2

,,,cc



分别与引理 3.1、3.2 和3.3 中取法相同。

2u与(7)式做内积得 用









22 222

233424 4

2d2 2

d c

uu uuuhhFFuu

 

 

 ;









22 22

23 23

duucuu

 



 

又由(12)，有





222

123

duuu







c

。积分此式得

   

222 2

123 1

11d

ututuss cutut





 

2

故



tuss c



。由一致 Gronwall 引理，有 22







。进而存在





542

1tt





，，有

tt







。

为了证明空间嵌入的紧性，我们引入加权范数



，



，



。

引理 4.2 假设



A成立，





uHR，则







，使得

殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为



222

2xvx vx vc







. (14)

证：用 22

vxvv







与(9)式各项做内积，得







222

22 2

122

,2vv dxvx vxxvxvvt

  

 

 

 vv;







,2 2,2vxv xvvxvvxvxvv

 

 

 2

;



,2 2vxv xvvxvxvv

 

 

 2

;











22 2

,22,2,2vxvxvvxvvvvxvvxv

 

 



;







,2 2hFxvxv vxhxFxvxhxFxvhFv



 

 

  .

由于当时，

tt,uu



在



R中有界，从而当时，v

tt



在





R中有界，h



，



有界。由此可得



 

22 123

,2hFxvxvvcxvcxvc v



 



 

 .

综合以上各式，整理得





 

2222

122

vxvxvv x

xvvxvv c



 

 



 



取，有

40c











2222222

22 2

222

dxvx vxvvcxvx vxvc





 



 .

由Gronwall 引理即得(14)式成立。

引理 4.3 设1

,,1

sss为整数，则











;1 d

sn n

RHRxx到





R是紧嵌入[4]。

定理 4.1 解算子是渐进光滑的。



证：由引理 4.2 和引理 4.3知，方程(9)(10)所确定的







在





R上紧，有界，有

。由引理 4.1 有



BHR



2,0,dist StBt



0





10 *0

,,Stuttu B







 .

因此











12 1

,,,,StBS tBStBS tB

 



 





。从而









lim, 0

tSt B







。即是渐近光滑的。



5. 整体吸引子的存在性

综上所述，可得如下结论

引理 5.1 假设 X为Banach 空间，是X上的连续算子半群，若





St 









St 是渐近光滑的且有一个有界

吸收集，则有一个整体吸引子，它是 X中的紧不变集，吸收 X中的每一个有界集[5]。





St 

定理 5.2

 

0sts

BStB

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R中的紧吸引子，其中闭包是在

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R取的，是

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R中的有界吸收集[3]。

6. 致谢

我衷心的感谢我的导师张建文教授，在论文的创作中，给予我悉心的指导和帮助。张老师严谨的治学

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殷金翠等  无界区域 n

R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为

态度、勤奋的工作作风、平易近人的处世风范，将会在我今后的学习和生活中时刻影响我。值此论文完稿

之际，特此向张老师致以衷心的感谢！

感谢王旦霞和李桂莲两位老师对我的指导。二位老师对我进入这个领域起到了巩固性的作用，得益于

她们的耐心讲解，使我对基本知识的理解更为深刻，为我打下了坚实的基础。王旦霞老师是我在吸引子方

面研究的启蒙者，给予了我许多具体的指导并提出了许多好的建议。

感谢姚华珍、石丹青、姜伟三位同学。在进入这个领域学习时，是她们一直陪伴着我，共同讨论，解

决了许多疑惑。

我还要特别感谢我的父母，是他们为我提供了这个学习的机会，为我的学业付出了辛勤的劳动。是他

们让我有了心灵上的慰藉，可以踏实的在学校学习。

最后，感谢国家自然科学基金(批准号：11172194)，山西省自然科学基金(批准号：2010011008)，山西省青

年科技研究基金(批准号：2011021002-2)的资助。

参考文献 (References)

[1] H. J. Zhao, B. J. Xuan. Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term. Nonlinear

Analysis, 1997, 28(11): 1835-1850.

[2] 潘杰. 无界区域上 GBBM 方程的长时间动力学行为[D]. 四川: 四川师范大学, 2004.

[3] 李开泰. 马逸尘. 数学物理方程 Hilbert 空间方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008: 226-253.

[4] J. K. Hale. Asymptotic behavior of dissipative systems. Providence: Mathematical Surveys and Monographs, 1988: 113-145.

[5] R. Temam. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. 北京: 世界图书出版公司, 2006: 41-171.