 Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 15-20 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.22003 Published Online May 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp) A General Study on Equivalent Resistance of 2 × n-Rank LC Network* Dehu a Wang1, Zhizhong Tan2 1Suzhou Medical Vocational and Technical College, Suzhou 2College of Science, Nantong University, Nantong Email: dhwang@szhct.edu.cn, tanz@ntu.edu.cn Received: Mar. 2nd, 2012; revised: Mar. 27th, 2012; accepted: Mar. 29th, 2012 Abstract: The research in equivalent resistance of resistance network is usually quite complex. Based on the acquired universal law of pure 2 × n-rank equivalent resistance, a detailed study of the equivalent resistance of 2 × n-rank has been made. The complex analysis on the basis of the equivalent resistance law provides a series of general formulae of input equivalent resistance in 2 × n-rank LC network. A new conclusion has been reached: under certain conditions, the equivalent resistance has the feature of oscillation and chaotic with the chang e of variable n. Keywords: 2 × n-Rank Network; Equivalent Resistance; Complex Analysis; General Formulae; Oscillation; Chaotic Characteristics 2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究* 王德华 1，谭志中 2 1苏州卫生职业技术学院，苏州 2南通大学理学院，南通 Email: dhwang@szhct.edu.cn, tanz@ntu.edu.cn 收稿日期：2012 年3月2日；修回日期：2012 年3月27 日；录用日期：2012 年3月29 日 摘 要：复阻抗网络等效复阻抗的研究通常比较复杂，本文基于已获得的 2 × n阶纯电阻网络等效电阻的普适规 律，对 2 × n阶网络等效复阻抗进行了详细研究，根据等效电阻规律的复数分析，得到了 2 × n阶LC 网络输入 端等效复阻抗的一系列普适规律，获得了一些新的结论，研究发现在一定条件下等效复阻抗随阶数 n变化而具 有振荡特性和混沌特性。 关键词：2 × n阶网络；等效复阻抗；复数分析；普适规律；振荡特性；混沌特性 1. 引言 电阻网络模型的建立与研究已有一百多年历史， 自从 1845 年德国物理学家基尔霍夫(1824~1887)创立 了节点电流定律和回路电压定律，人类就开始通过建 立电阻网络模型解决许多抽象和复杂的科学问题[1]。 电阻网络等效电阻公式的获得通常比较困难，原因在 于它是一个跨学科的科学难题，不仅需要电路理论知 识，而且需要数学理论与方法的创新，复杂网络等效 电阻普适公式的研究堪称百年难题[1]。由于电阻网络 模型具有具体直观以及便于分析研究等特征，电阻网 络模型的构建与研究已成为解决一系列科学问题研 究的基本方法，许多实际问题可以通过构建电阻网络 模型进行模拟[1-13]。电阻网络模型的建立与研究具有 理论意义与实际应用价值。 *资助信息：南通大学自然科学基金(批准号：11Z054)，南通大学教 学研究基金(批准号：13050613)资助项目。 人们对纯电阻网络等效电阻的研究已经取得了 Copyright © 2012 Hanspub 15  2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究 很大进展[1-11]，但是在复阻抗领域的等效复阻抗研究 却不多[12,13]。 根据文献[1-11]的定义方式，我们定义图1所示 结构为 2 × n阶电阻网络模型，其特点是，竖直方向(纵 向)有2个电阻 ，水平(横向)方向的2个轴上均有 n 个电阻 r。 0 r 文献[4,5]研究了图 1所示网络结构的 2 × n阶电 阻网络，给出了 两节点间的等效电阻 ,ac ac Rn和 两节点间的等效电阻 ,ab ab Rn 的2个一般公式。本 文拟基于已获得的 2个纯电阻网络等效电阻的普适公 式来研究 2 × n阶网络等效复阻抗的规律。 文献[12]研究了二端梯形网络的等效复阻抗，本 文拟采用文献[12]研究等效复阻抗的复数分析方法， 研究图 2所示的 2 × n阶网络的等效复阻抗，即研究 两节点间的等效复阻抗 ,ac ac Z n和 两,a节点间的 等效复阻抗 ab b Z n的普适公式和基本特性。 2. 等效复阻抗的通用规律 图2为一般形式的 2 × n阶RLC复阻抗网络模型， 其中 R 、 L 、 G 、 C都是沿线分布的参数(单位长度上的 物理量，设 R为电阻，L为电感，G为电导，C为电 容)。 为研究方便，将图 2中的复阻抗简记为与图 1相 对应的 ，如果输入电压的圆频率为 0 ,rr ，则 c' r 0 r 0 r 0 r 0 r r r r 0 r r r b' r 0 r 0 r 0 r 0 r r a' r r 0 a b c 1 2 n Figure 1. 2 × n-r ank resistance network model 图1. 2 × n阶电阻网络模型 R L a L R R L L R L R L R c b G C G C GC GC G C G C G C G C a' b' c' Figure 2. 2 × n- rank RLC resistance network model 图2. 2 × n阶RLC 复阻抗网络模型 rRjL ， 01rGjC 。其中 j为虚数单位， 21j 。 文献[4,5]研究了图 1所示的 2 × n阶纯电阻网络 模型，得到的两个基本公式为 0 11 21 nn ac nn Rn r (1) 00 1111 1 2 nn nn ab nnnn Rn rr (2) 其中 , ，, 分别是下列关于x和y的二次方程的 2组根 221 x dx (3) 232 1ydy (4) 分别由方程(3)(4)解得 2 2 124 2 124 2 dd dd d d (5) 2 2 1329 12 2 1329 12 2 dd dd d d (6) 其中 0 drr 。 由于 是由符号表示的已知量，具有一般性， 故当 0 ,rr rRjL ， 01rGjC 时，式(1)、(2)在 复阻抗的情形下仍然成立，所以两个基本公式(1)、(2) 也适用于图 2所示网络模型的等效复阻抗公式。需要 说明的是，当 为复阻抗时，公式(1)、(2)需要进行 复数分析研究，否则就不能反映复阻抗的基本特性。 下面仅对为LC 阻抗的情形进行具体研究。 0 ,rr 0 ,rr 3. 2 × n阶LC 网络的等效复阻抗 如上分析可知，图 2所示的 2 × n阶RLC网络的 等效复阻抗可以用公式(1)和(2)进行统一表示。但是， 当研究其具体特性时，其结论比较复杂。本文拟研究 图3所示比较简单的 LC网络模型的等效复阻抗特性。 对于 LC 复阻抗网络，横向阻抗 rjL ，纵向 阻抗 01rj C，由于 0 drr，所以 ， 并且得到方程式(3)(4)的判别式分别为 2 dLC 22 144ddLC LC (7) Copyright © 2012 Hanspub 16  2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究 a L L c b CC C C a' b' c' L Figure 3. 2 × n- rank LC resistance network model 图3. 2 × n阶LC 复阻抗网络模型 22 2334334ddLC LC (8) 3.1. 等效复阻抗 的特性 ac Zn 3.1.1. 情形 1：2 L C 当2LC 时，有。所以，将 10 rjL ， 01rj C带入式(5)得到 2 2 2 2 124 2 124 2 LCLC LC LCLC LC (9) 其中 , ac 为实数。为区别于等效电阻的表示方式，本 文用 Z n表示 两节点间的等效复阻抗，所以由 式(1)得到 ,ac 11 21 nn ac nn Zn j C (10) 此时 ac Z n为纯虚数。 当 时，得到 n 11 1 lim nn nn n ，所 以 由(10)得到 2 21 14 ac Z jjLCLC LC CC (11) 由于 1 nn nn1 是n的减函数，所以式(10)的振 幅具有递减特性，其振幅随着 n的变化而无限接近于 式(11)的振幅。 3.1.2. 情形 2：2 L C 当2LC 时，有 ，此时 10 1 ， 所以取极限得到 11 lim 11 nn nn n nn n (12) 将 01rj 21 21 ac Znj Cn (13) 由式(13)取极限容易得到 4 ac Zj C (14) 由于 1 21n 是n的增函数，所以式(13)的振幅具有递 增特性，其振幅随着 n的变化而无限接近于式(14)的 振幅。 3.1.3. 情形 3：2 L C 当2LC 时，有 ，所以由(9)得到 10 22 22 124 2 1 24 2 cossin LCLC LC LCj LCLC j (15) 其中 2 1 arccos 12LC ，同理得到 cos sinj (16) 所以由式(15)(16)得到 11 1 cos sincos sin cos sincos sin sin sin 1 1 nn nn nnn n jj jj n n (17) 将式(16)(17)及 01rj C带入式(1)得到 2sin 1 sin 1 ac n Zn j Cn (18) 式(18)反映了等效复阻抗以 n为变量时具有振荡特性 这一规律。其振荡特性如图 4、5所示，这里取了 θ = 0.20 弧度，θ = 0.24弧度的两种情形。图 4、5中横坐 标表示变量 n，纵坐标表示复阻抗值的大小。 3.2. 等效复阻抗 ab Zn的特性 3.2.1. 情形 1：2 L C 当2LC 时，有，，所以，将 10 20 rjL ， 01rj C带入式(5)(6)得到 C带入式(1)并且应用式(12)得到 Copyright © 2012 Hanspub 17  2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究 020 406080 100 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Figure 4. θ = 0.20 resistance characteristic 图4. 取θ = 0.20弧度时的复阻抗特性 020 406080100 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Figure 5. θ = 0.24 resistance characteristic 图5. 取θ = 0.24弧度时的复阻抗特性 2 22 2 22 124 2 124 2 LCLC LC LCLC LC (19) 2 22 2 22 132912 2 1329 12 2 LCLC LC LCLCLC (20) 其中 , ，, 为实数，所以由(2)得到 1111 12 2 nn nn ab nnnn Znj C (21) 此时 ab Z n为纯虚数。 当 时，得到 n 11 1 lim nn nn n 11 1 lim nn nn n 所以由式(21)得到 12 2 ab Zj C (22) 由于 11 nn nn 和11 nn nn 都是 n的减函数， 所以式(10)的振幅具有递减特性，其振幅随着n的变 化而无限接近于式(22)的振幅。 3.2.2. 情形 2：2 L C 当2LC 时，有 ，，此时 10 20 1 。并且满足(12)，所以将 01rj C带入 式(21)得到 11 13 21 nn bc nn n Znj Cn 2 (23) 其中 , 为实数。 当时，得到n 11 1 lim nn nn n ，所以 由(23)得到 13 2 ab Zj C (24) 可见，式(23)的振幅具有递减特性，其振幅随着 n 的变化而无限接近于式(24)的振幅。 3.2.3. 情形 3：22 3 L CL C 当22 3LC LC 时，有 ，，并 10 20 且满足式(17)，所以将 01rj C带入(21)得到 11 1sin2 2sin1 nn bc nn n Znj Cn (25) 其中 , 为实数， 2 1 cos 12 arc LC 。式(25)反 映了等效复阻抗以 n为变量时具有振荡特性。其振荡 特性如图 6、7所示，这里取了θ = 0.20弧度，θ = 0.24 弧度的两种情形。图 6、7中横坐标表示变量n，纵坐 标表示复阻抗值。 3.2.4. 情形 4：23 L C 当23LC 时，有，，此时 10 20 1 ，并且满足(17)，所以 Copyright © 2012 Hanspub 18  2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究 020 406080 100 -15 -10 -5 0 5 10 15 Figure 6. θ = 0.20, γ = 2 resistance characteristic 图6. 取θ = 0.20弧度， γ = 2时的复阻抗特性 02040608010 0 -10 -5 0 5 10 15 20 2 5 Figure 7. θ = 0.24, γ = 2 resistance characteristic 图7. 取θ = 0.24弧度， γ = 2时的复阻抗特性 11 lim 11 nn nn n nn n (26) 将(17)(26)及 01rj C带入式(21)得到 1sin 32 2sin1 1 bc nn Znj Cn n (27) 其中 2 1 cos 12 arc LC ，式(27)反映了等效复 阻抗以 n为变量时具有振荡特性这一规律。其振荡特 性如图 8、9所示，这里取了 θ = 0.20弧度，θ = 0.24 弧度的两种情形。图 8、9中横坐标表示变量n，纵坐 标表示复阻抗值。 3.2.5. 情形 5：23 L C 当23LC 时，有10 ，，并且满 足(17)，所以由式(20)得到 20 020 4060 80100 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 Figure 8. θ = 0.20 resistance characteristic 图8. 取θ = 0.20弧度时的复阻抗特性 020406080 10 0 -10 -5 0 5 10 15 20 Figure 9. θ = 0.24 resistance characteristic 图9. 取θ = 0.24弧度时的复阻抗特性 22 22 132 94 2 1 3294 2 cossin LCLC LC LCj LCLC j (28) 其中 2 3 arccos12LC 。同理得到 cos sinj (29) 所以由(28)(29)得到 11 1 cos sincos sin cos sincos sin sin sin 1 1 nn nn nnn n jj jj n n (30) 将(17)(30)及 01rj C带入式(21)得到 1sinsin 2 2sin 1sin 1 bc nn Znj Cn n (31) Copyright © 2012 Hanspub 19  2 × n阶LC 网络等效复阻抗研究 Copyright © 2012 Hanspub 20 式(31)反映了等效复阻抗以 n为变量时具有振荡特 和混沌特性这一规律。其振荡特性和混沌特性如图 坐 标表示变量n，纵坐标 抗值。 4. 结语 性 本文研究表明， 2 × n阶网络的等效复阻抗特性与 等效电阻特性有非常大的差别。特别是等效复阻抗可 能具有振荡特性和混沌特性，而这是等效电阻不可能 具有的特性。当然，当参数满足一些特定条件的情况 下，等效复阻抗与等效电阻在表达形式上具有一致 性，如当 2LC 时，式(1)、式 (2)与式(10)、式 (21) 在表达形式上具有一致性。本文的研究表明，研究等 效复阻抗特性可以基于等效电阻的普适规律进行复 数分析研究。因此，在研究高阶网络的等效复阻抗特 性时，可以首先研究高阶网络的等效电阻规律，进而 通过等效电阻规律的复数分析研究得到等效复阻抗 特性。对于 k × n()阶网络的等效复阻抗特性有 待进一步研究。 3k 10、11 所示，这里取了 arccos 10.23, arccos 130.23 ，以及 arccos 10.26, arccos 130.26 的1中 表示复阻 两种情形。图 10、1横 020 4060 80100 -50 0 50 100 150 200 250 300 400 350 参考文献 (References) Figure 10. arccos 10.23, arccos 10.69 r esistance characteristic 图10. 取时的复阻抗特 [1] 谭志中. 电阻网 络模型[M]. 西安: 西安电子科技大学出版 社 , 2011: 1-6. arccos 10.23, arccos 10.69 性 [2] 陆建隆,谭志中. 关于梯形网络等效电阻的普适研究[J]. 大学 物理, 2001, 20(10): 26-28. 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