特殊饱和液膜流动稳定性Orr-Sommerfeld方程求解及分析 Solution and Analysis of Orr-Sommerfeld Equation of Flow Stability on Special Saturated Liquid Film

doi:10.12677/mp.2012.22004

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Modern Physics 现代物理, 2012, 2, 21-24

http://dx.doi.org/10.12677/mp.2012.22004 Published Online May 2012 (http://www.hanspub.org/journal/mp)

Solution and Analysis of Orr-Sommerfeld Equation of Flow

Stability on Special Saturated Liquid Film*

Xiaochao Fan

College of Electrical Engineering, Xinjiang University, Urumqi

Email: fxc0102@126.com

Received: Mar. 5th, 2012; revised: Mar. 25th, 2012; accepted: Mar. 29th, 2012

Abstract: The flow and heat transfer of the special saturated liquid film falling down an inclined heated plate were de-

scribed by the N-S equation and the reasonable boundary condition. And the corresponding mathematical model was

established, the relation between the surface tension and the fluctuation by nonlinear function on temperature was ex-

pressed. Then the Orr-Sommerfeld equation describing the flow stability of liquid film was obtained. Finally, the inertia

force, heat capillary force, steam pressure and capillary pressure were analyzed about the influence on the flow stability.

Keywords: Special Saturated Liquid Film; Flow Stability; Perturbation Method; Orr-Sommerfeld Equation

特殊饱和液膜流动稳定性 Orr-Sommerfeld 方程求解及分析*

樊小朝

新疆大学电气工程学院，乌鲁木齐

Email: fxc0102@126.com

收稿日期：2012 年3月5日；修回日期：2012年3月25 日；录用日期：2012 年3月29日

摘要：利用 Navier-Stokes方程和边界条件对沿加热壁面倾斜下降的特殊饱和液膜的流动和传热问题进行了描

述，并建立其数学模型，再根据温度的非线性函数表达表面张力与波动之间的关系，利用摄动法导出了描述液

膜流动稳定性的 Orr-Sommerfeld方程。最后对方程进行了求解，分析得到了惯性力、热毛细力、蒸汽压力以及

毛细压力对流动稳定性的影响。

关键词：特殊饱和液膜；流动稳定性；摄动法；Orr-Sommerfeld 方程

1. 引言

所谓特殊饱和液膜，是指液态低沸点气体形成的

液膜。特殊饱和液膜在斜面上的流动发生在许多实验

装置和技术应用上，比如生物医学工程、材料加工、

食品和化学工，在一些传热设备的设计上，比如电厂

中换热器、蒸发器、冷凝器和热管也有重要作用。因

此，研究特殊饱和液膜流动传热稳定性分析将有助于

改善热应力的预测和传热效率[1-3]。

根据流动的液膜的状态可以分为过冷液膜和饱

和液膜分别研究。叶学民等[4]对层流和湍流状态的波

动液膜进行了数值模拟。对于波动饱和液膜的传热，

由于表面波的存在，使得对流换热加大，平均传热系

数对于无波动时有所增大。

2. 数学物理模型

考虑温度为 Ts的饱和液膜在重力作用下从温度

为Tw的等温倾斜光滑平壁上流下。液膜外面是温度同

为Ts的饱和蒸汽，壁面与液膜发生热量交换，热量通

过汽液界面的相变而传递。液膜垂直平均厚度为 d，

*资助信息：国家自然科学基金资助项目：分层液膜沿非均匀受热

斜面流动传热特性分析(51106132)。

特殊饱和液膜流动稳定性 Orr-Sommerfeld方程求解及分析

平板与水平夹角为 β。液膜厚度 h因波动随时间和流

动距离而变，液膜的波动流及坐标系如图 1所示。

为简化分析，所作的假设如下：

1) 液体为牛顿流体，作二维层流流动，除表面张

力外，物性恒定不变；

2) 壁面与液膜间的换热属低热流密度的自由表

面蒸发或凝结，膜内传热为沿膜厚方向的导热，不发

生沸腾；

3) 不计热损失和沿流动方向的对流换热，壁面与

液膜间的换热完全用于汽液界面的相变；

4) 相变使液膜质量的损失或增加相对于液膜来

流总量很小，液膜平均厚度不发生变化；

5) 蒸汽对于液膜没有沿流动方向的相对运动，对

液膜自由表面的剪切力忽略不计；

6) 蒸汽密度想对于液体密度可忽略不计；

7) 扰动波幅很小，忽略产生的非线性影响。

由质量守恒和能量守恒，液膜的波动流动控制方

程为连续性方程和 N-S方程，分别以 u

，

v代表 x

，

方向的速度，则控制方程及边界条件[5]为：





 (1)

sin

uuu puu

uv g

txy x





 

 





 

 



(2)

cos

vvv pvv

uv g

txy y





 

 



 

 

(3)

0, 0uv y  (4)

1uv yh

yx x





 

 

 

(5)

2vh

pp yh





 

 (6)

Figure 1. Diagram: liquid film flows along the heating plate

图1. 液膜沿加热平板流动图

uv y

 h



 



(7)

其中 t

，

p0分别为时间、重力加速度、液

膜和蒸汽相对于环境的过余压力；ρ

，

σ分别为

密度、运动粘度、动力粘度和表面张力。方程(5)，(6)，

(7)分别表示液膜自由表面的运动，剪切应力，压应力

的边界条件。

3. 非线性表面张力、蒸汽压力与波动关系

液膜与壁面间的传热量[5]为：





kT T



 (8)

由能量守恒，等于汽液界面间的相变传热[6]，



sgs

2π

er M

TRT













(9)

式中，k，Ti，M，e，

v，r，Rg分别表示液体的导热

系数、自由表面温度、液体分子量、蒸发系数、蒸汽

密度、汽化潜热和蒸汽的气体常数，令

sgs

2π

er M

akTR T





















(10)

联立(8)、(9)，得

T ahT

Tah





(11)





ak TT

qah



 (12)

设表面张力与温度的关系[7]为：



01n







(13)

式中 σ0为某基准温度T0时张力，令 ΔT = Tw – Ts。



01 2

naTTah Th

Tah















 (14)

蒸汽作用于液膜自由表面的压力[8]：



vvv

ak T

prah

 





 









(15)

(15)中正负号分别表示蒸发和冷凝； vv为蒸汽离

开或进入自由表面的速度。液膜蒸发时，

蒸汽产生的压力指向液膜，膜内压力增大；蒸汽遇冷

指向膜外，

特殊饱和液膜流动稳定性 Orr-Sommerfeld方程求解及分析

凝结时，vv

特征速度为

指向膜内，蒸汽运动所需的压力由膜内提

供，即膜内压力减小。

4. 稳定性微分方程组



0sin 2ugd v



，特征时间为 0

du ，

密度特征尺寸为 ρ0(为一常数)寸为，压强特征尺

0singd





。以“ *”表示无量纲量，引入无量纲变换，

则雷诺数 0

eud v，弗罗德数



R12

Fr ugd，韦

伯数 2

00 sinWe gd





，毕渥数Bid k



，普朗

特数为 Prv



，Marangoni 数

aTdk





力温系数，ν为运

 ，其中

γ为表面度系数，k为导热动粘性

系数，μ为动力粘性系数，κ为热扩散系数。Ma，Pr，

Re 之间的关系为

张

Ma PrRe。

将控制方程及其边界条 )到件(1 (7) 式进行无量纲

化，将波动看作一个没有扰动的平滑流和一个小扰动

流叠加而成，假定：

,uuuvv **

,,1

vp ph





 



  (15)

式中“–”“'”分别代表平滑流和扰动流，则



11ak T





2sin1

uy yp gdr ad





 







(16)

由摄动法，平滑层流在 y方向没有分速度，只有

由扰动流产生的分量；η表示液膜自由表面偏离平滑

层流自由表面的无量纲距离，对扰动初始发生的情

况，η是一个远小于 l的量。将以上各量代入无量纲

方程组及边界条件，略去扰动量二次以上的项，得到

扰动微分方程组：

u









 (17)

*****2 *2

uu upuu

Re u

txy xxy





 



 



 



 



(18)



** **2*

22cot

Re u

tx yxy









 

 







 

 





(19)

(20)

*0, 0yu







1, tx













 

 (21)



*** 2

011

uu vaTd

yyx x

uad



*2 *2

sin

sin 11

ppdygd x

ak T

gd rad





 







 



























(23)

把y* = 1 + η上的边界条件用y* = 1 处的量表达，

按线性假定，只保留扰动量的线性项，式(20)形式不

变，式(可由下述方式简化简单起见，下

列方程中 ”，各量仍表示无量。

22)，(23) ，为

略去“*纲量



012

na dTTadT

uT ad

sin 1 1

sin

ak T ad

dradad

wgd

 











 









(24)

m，n，w分别为热毛细力，蒸汽压力，表面张力

准数。将这三个准数代入(22)，(23)，则得











uuv

yx x









 

 

， (25)

dy x















引入无量纲流函数Ψ(x,y,t)，令

(26)

,uv













 (27)

代入扰动方程组得：







txyyxxxxyyyy

Reu up

 



 (28)











 





(22)





22c



txxyxxx xyy





(29) u p







0, 0





 (30)

 



 (31)

yyyxx x

 

 (32)



xy xx





 (33)

又设

















()

,,, ,

ia xctia xct

ia xct

xytyext e

pxyt fye

 









(34)

其中 φ

，

ξ分别为流函数、压力、表面波动沿

特殊饱和液膜流动稳定性 Orr-Sommerfeld方程求解及分析

y向的无量纲幅值；





01 01

,OcccO



 

  (37)

2πd





为无量纲波数

长，为扰动的无量纲复速度，

cr表示波动传

播的，

ψ，p'，η

、整理，

，

λ为波

cc ic

速度 ci代表激励量。ξ扰动的初始值，在本文

中为一很小的量。将代入上述扰动方程组，

最后化简得到如下的 Orr-Sommerfeld 方程的

边值问题。

当β ≠ 90˚时，

代入 O-S 方程，求解得无量纲复速度：

12 212

1Re

3cot 1523

ciim in3

3i w





 



110

12 12

cot11 1

cotcot 1

12cot

yyy yy

e cd

Recw ni

24 2

yyyy yyyyyy

iRe ucu



























11cu





 



 











  

















 



 



 







 





























(35)

当β = 90˚时，与文献[8]是一致的，



 



24 2

000

110

12 12

131

yyyy yyyyy

yyy y

iReucu

iRec

iRenw

11cu









 

 













 





















 



至此，(36)，(37)方程组分别为斜面和竖壁两种情

况下的特殊饱和液膜流动稳定性的O-S 方程。

5. 方程求解及分析

不

衰减，流动越易趋向不稳定，因此，分析液膜流动

动的增减趋势。设











(36)

当β ≠ 90˚时，由摄动法，波长越长，扰动越易

稳

定性时，只需了解长波扰









 





(38)

分析可以看出上式虚部四项，惯性力是不稳定因

素，它促使扰动增长，毛细压力抑制扰动增长起稳定

作用，表面张力和蒸汽压力在液膜受热蒸发时起

扰动

度的非线性函数表达液膜表面张力，

研究了等壁温边界条件下特殊饱和液膜流动稳定性

模型，探讨了非线性表面张力、蒸汽压力

与液

然科学基金资助项目：分层液膜沿非

均匀受热斜面流动传热特性分析(51106132)！

参考

学, 2006.

[2] 田英. 分层液膜流动传热特性及影响因素分析[D]. 华北电力

[3] Y. L. Cheng, X. of Stratification on stability of

ted plate. Modern Phy 24(13):





增进

的作用。

6. 结论

本文采用温

的数学物理

膜波动的关系，利用摄动法及线性理论，引入流

函数，得到了表征斜面和竖壁两种情况下特殊饱和液

膜流动稳定性的O-S 方程。最后，当β ≠ 90˚时，对

O-S 方程进行求解，得到无量纲复速度，分析研究了

惯性力促使流动不稳定，毛细压力起稳定作用，而表

面张力和蒸汽压力在液膜受热蒸发时对流动稳定性

起扰动作用。

7. 致谢

感谢国家自

文献 (References)

[1] 李欣. 波动液膜流动传热特性及稳定性研究[D]. 华北电力大

大学, 2008.

C. Fan. Effect

flow and heat transfer in the liquid film flowing down an in-

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6146514-1.

[4] 叶学民, 阎维平, 蒋章焰, 王军. 自由降膜表面波流动和传热

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[5] 杨世铭, 陶文铨编著. 传热学[M]. 北京: 高等教育出版社,

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