全测地黎曼叶状结构中的 Hopf-Rinow 定理 Hopf-Rinow Theorem on Totally Geodesic Riemannian Foliations

doi:10.12677/AAM.2023.124155

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AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2023,12(4),1496-1503

PublishedOnlineApril2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/aam

https://doi.org/10.12677/aam.2023.124155

全测地黎曼叶状结构中的Hopf-Rinow定理

隗世玲

浙江师范大学数学科学学院，浙江金华

收稿日期：2023年3月13日；录用日期：2023年4月9日；发布日期：2023年4月19日

摘要

本文研究全测地黎曼叶状结构中关于广义Bott联络的测地线理论,并将部分Hopf-Rinow定理

推广到全测地黎曼叶状结构上.它已被推广到一般的可求长的度量空间和伪厄米流形上.在我们研

究的过程中,高斯引理的不成立带来了一些困难.从而我们引入了自然距离δ,并得到若(M,δ)完

备则测地线完备.但由于条件的局限性,另一面不成立.

关键词

全测地，黎曼叶状结构，广义Bott联络，Hopf-Rinow定理

Hopf-Rinow Theorem onTotally Geodesic

RiemannianFoliations

ShilingWei

SchoolofMathematicalSciences,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang

Received:Mar.13

,2023;accepted:Apr.9

,2023;published:Apr.19

,2023

Abstract

Inthispaper,westudythetheoryofgeodesicswithrespecttothegeneralizedBot-

文章引用:隗世玲.全测地黎曼叶状结构中的Hopf-Rinow定理[J].应用数学进展,2023,12(4):1496-1503.

DOI:10.12677/aam.2023.124155

隗世玲

tconnectionontotallygeodesicRiemannianfoliations,andpartoftheHopf-Rinow

theoremisgeneralizedtototallygeodesicRiemannianfoliations.Ithasbeengener-

alizedtolength-metricspacesandpseudo-Hermitianmanifolds.Inthecourseofour

research,theinvalidityofGausslemmaposessomediﬃculties.Thusweintroducethe

naturaldistanceδ,andstatethatif(M,δ)iscomplete,thenthegeodesiciscomplete.

However,duetothelimitationsoftheconditions,theothersideisnottrue.

Keywords

TotallyGeodesic,RiemannianFoliations,TheGeneralizedBottConnection,

Hopf-RinowTheorem

This work is licensed under theCreative Commons Attribution InternationalLicense (CCBY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

Hopf-Rinow定理说明了黎曼流形中度量完备和测地线完备的等价性.Hopf-Rinow定理也已

被推广到一般的可求长的度量空间,具体可参见Bridson和Haeﬂiger的文章[1]和Gromov的文

章[2].

全测地黎曼叶状结构有水平测地线,黎曼几何有测地线,这两个测地线的概念都对应着某个常

微分方程的解而且它们都可引导出指数映照.此外,它们都是度量空间且度量的距离函数都可以由

相应的联络来导出.

Sasakian流形是一个特殊的全测地黎曼叶状结构.Dong和Zhang在[3]中,研究了Sasakian

流形中的Hopf-Rinow定理,即:若Sasakian流形M在由Tanaka-Webster联络∇的指数映照所

定义的距离函数δ下是完备的,则(M,∇)也是完备的,即exp

∇

在整个TM上有定义.进一步,如

果M关于黎曼联络是完备的,则它在Tanaka-Webster联络下也是完备的.

而本文的主要目的就是将Hopf-Rinow定理推广至全测地黎曼叶状结构上,主要结果如下：

定理1.1.󲣵(M,F,g)󰍦󰪂󳰅󰐳󰿭󱰊󰒻,∇Bott󱶋󱰓,δ󰍦M󱎻󲬔󱛲󰊧.󲀜

(M,δ)󰍦󱎻,(M,∇)󰍦󱎻,exp

∇

󰊫TM󰑀.

黎曼几何中的Hopf-Rinow定理说明(M,∇

)的完备性等价于(M,d)的完备性,而由下文我

们知道(M,d)完备可以引出(M,δ)的完备性,再根据定理1.1,我们得到如下定理：

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定理1.2.󲣵(M,F,g)󰍦󰪂󳰅󰐳󰿭󱰊󰒻,∇Bott󱶋󱰓,∇

󳰅󰐳󱶋󱰓.󲀜(M,∇

)

󰍦󱎻,(M,∇)󰍦󱎻.

2.预备知识

全测地黎曼叶状结构的简介可以参看[4]和[5].设(M,g)是n+p维黎曼流形,F是M上余

维为p的叶状结构.一般,在黎曼流形(M,g)上有Levi-Civita联络,我们用∇

表示,但这种联络

不适用于研究叶状结构,因为水平丛和垂直丛可能不平行.更适合研究叶状结构的是我们接下来介

绍的广义Bott联络∇.根据Levi-Civita联络,广义Bott联络可以写成

∇











(∇

Y)X,Y∈Γ(H)

([X,Y])X∈Γ(V),Y∈Γ(H)

([X,Y])X∈Γ(H),Y∈Γ(V)



∇



X,Y∈Γ(V)

其中下标H(或V)表示在水平(或垂直)上的投影.对任意的ξ∈Γ(V),若∇

=0,则称叶状结

构F为黎曼叶状结构；若F为全测地黎曼叶状结构,则有∇g=0.我们把三元组(M,F,g)称

为具有黎曼叶状结构F的黎曼流形,此时称g为bundle-like度量.

参照[6],我们给出本文所需的广义Bott联络的一些性质.首先它满足∇

=0和

∇

=0.我们记广义Bott联络∇的挠率为T,则有

T(X,Y)=∇

Y−∇

X−[X,Y],X,Y∈Γ(TM).

因为本文是在全测地黎曼叶状结构上,所以T还满足下列等式

T(X,Y)=−π

([π

(X),π

(Y)]).(2.1)

设(M,F,g )是全测地黎曼叶状结构,∇是它的广义Bott联络.我们称一条C

曲线

γ:[0,l]→M是∇-测地线,如果在[0,l]上几乎处处有∇

′

=0(参考[7]).

类似黎曼几何,由常微分方程理论可知经过点p沿着v方向的∇-测地线总是存在的.由于广

义Bott联络是保持度量的,从而∇-测地线的模长是常数,所以指数映射exp

∇

M→M可以被

定义为γ

(1).

定义2.1.全测地黎曼叶状结构是完备的,如果每个∇-测地线都可以扩展到定义为−∞<t<∞

的测地线γ(t)上,其中t是仿射参数.

因此,若(M,∇)是完备的,则exp

∇

在整个TM上有定义,反之亦然.

为了研究∇-测地线的度量性质,我们引入一个不同于黎曼距离的距离函数.称连续曲线

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c:[a,b]→M为分段∇-测地线,如果存在a=a

<···<a

=b,使得c:[a

i+1

]→M是

一个∇-测地线,i=1,2,...,n−1.∀p,q∈M,令Γ(p,q)表示所有连接p和q的分段∇-测地线.

定义p,q之间的δ距离为inf

γ∈Γ(p,q)

L(γ),其中L(·)表示曲线的长度.易证上述δ是M上的距离函

数.令d表示黎曼距离函数,显然d(p,q )≤δ(p,q),∀p,q∈M.因此若(M,d)完备,则(M,δ)也完

备.

显然指数映射在局部上是微分同胚的,据此我们可以给出法坐标系的概念.已知T

M中每个

点p(更确切地说是p处的零向量)都有一个邻域D

,并通过指数映射微分同胚地映射到M中p的

邻域U

上.在p处选取一个线性坐标系u={X

,...,X

},则微分同胚映射exp

∇

→U

以自然的方式在U

中定义了局部坐标系.这个局部坐标系称为p点的法坐标系,此时的U

被称

为p的法坐标邻域(参考[8]).一个区域是凸的就是指该区域内两点之间可以用∇-测地线相连接.

由于指数映射在0点处的切映射是恒等映射,所以对于任何连接p和q的连续曲线,它都可以被有

限个的法坐标邻域覆盖.从而使得两点之间总存在分段∇-测地线,所以距离δ是有限的.

类似于Dong和Zhang他们的结果,由距离函数δ所定义的拓扑和M的原来的拓扑是相同

的.

定理2.2.󲬔󱛲󰊧δM󱎻󰀊󱐯󱎻󰀊.

󲣸󰍅.只需要验证黎曼距离d和δ的拓扑相同(参考[9]).一方面,由d定义的开子集显然也是δ

定义的一个开子集.另一方面,假设W是由δ定义的开子集,即∀p∈W,都存在正常数ε,使得

(p;ε)⊂W,其中B

(p;ε)={q|δ(p,q)<ε}.令

(ε)={v∈T

M,||v||<ε},B

∇

(p;ε)=exp

∇

(ε)).

令exp

∇

表示黎曼指数映射.对于足够小的ε,有

exp

∇

(ε))=B

(p;ε).

此外exp

∇

(ε)→B

∇

(p;ε)和exp

∇

(ε)→B

(p;ε)都是微分同胚映射.因此

∇

(p;ε)是(M,d)中开子集.注意,若γ是法邻域B

∇

(p;ε)中连接p,q两点的∇-测地线,则

有δ(p,q)≤L(γ)<ε.这意味着B

∇

(p;ε)⊂B

(p,ε)⊂W.所以W也是d定义的一个开子

集.

3.Gauss引理

引理3.1.󲣵(M,F,g)󰍦󰪂󳰅󰐳󰿭󱰊󰒻,∇Bott󱶋󱰓.󲣵c(s)󰍦T

M󰷰󲬔

󱛲󱐯󱢀󱎻󰐩󱯶.󲣧ρ

(t):[0,1]→T

M󰍦T

M󰷰c(s)󱎻󱯶.α(t,s)=exp

∇

(ρ

(t))

γ(t)=α(t,0),󰑀

g(V(t),γ

′

(t))=−



g(T(V,γ

′

),γ

′

)dt.(3.1)

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其中V(t)=dα(

∂

∂s

)

(t,0)

是α沿着∇-测地线γ的变分向量场.

󲣸󰍅.由题易得

dL[exp

∇

(ρ

[0,t]

)]

s=0



⟨α

′

(t,0),α

′

(t,0)⟩

dt=



V⟨γ

′

,γ

′

⟩



⟨γ

′

,γ

′

⟩

−1

V⟨γ

′

,γ

′

⟩dt=

(L(γ

′

))

−1



V⟨γ

′

,γ

′

⟩dt=(L(γ

′

))

−1



g(∇

′

,γ

′

)dt

=(L(γ

′

))

−1



[g(T(V,γ

′

),γ

′

)+g(∇

′

V,γ

′

)+g([V,γ

′

],γ

′

)]dt

=(L(γ

′

))

−1

g(V,γ

′

+(L(γ

′

))

−1



[g(T(V,γ

′

),γ

′

)+g([V,γ

′

],γ

′

)]dt.

由于在α上

[

∂

∂t

∂

∂s

]=0.

故最终可得

g(V(t),γ

′

(t))=−



g(T(V,γ

′

),γ

′

)dt.

󰨟󲣧3.2.设(M,F,g)是全测地黎曼叶状结构,∇为广义Bott联络.对于v∈T

M,假设w∈

M)垂直于v且将w看作T

M中向量.T

M中显然存在曲线c(s)使得c(0)=v,c

′

(0)=w

且c中每点到T

M的原点的距离相等.这种情况下,(3.1)可以写成

⟨(dexp

∇

)

(tw),(dexp

∇

)

(v)⟩=−



g(T(V,γ

′

),γ

′

)dt.(3.2)

由此可得Gauss引理不成立,但是它仍然适用于一些特殊的测地线.

引理3.3.󲣵(M,F,g)󰍦󰪂󳰅󰐳󰿭󱰊󰒻,∇Bott󱶋󱰓.ρ(t)=tv(t∈[0,1])󰍦󱰆

󲳾T

M󰷰󱎻󱯶,w∈T

M)󰍦󱐫v󱎻󲼆.󲀜v󱐫v󰥫,󰑀

⟨(dexp

∇

)

(tw),(dexp

∇

)

(v)⟩=0,∀t∈[0,1].(3.3)

󲣸󰍅.要证(3.3),只需证g(T(V,γ

′

),γ

′

)=0.

(1)因为v垂直,所以γ

′

也垂直,即得T(V,γ

′

)=0,得证；

(2)因为v水平,所以γ

′

也水平,即得

T(V,γ

′

)=−π

([π

(V),π

(γ

′

)])

是垂直的,所以g(T(V,γ

′

),γ

′

)=0,得证.

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4.Hopf-Rinow型定理

本节将证明定理1.1.在证明主要结果之前,我们先给出以下结论.

引理4.1.󲣵(M,F,g)󰍦󰪂󳰅󰐳󰿭󱰊󰒻,∇Bott󱶋󱰓.x

,...,x

󰍦󰷰p󱎻󰨌

󰔾󱨲,p󰷰󳍻󲴈󰢚󰊧a,󱎻ρ0a󳌫,󲸴󰑀

(1)U(p;ρ)󰍦󱎻

(2)󱎻q∈U(p;ρ),q󰷰󱎻󰨌󰔾󲷲U(p;ρ).

󲣸󰍅.设(x

,...,x

)为W(⊂M)上的局部坐标,点p∈W的切向量可表示成ξ

∂

∂x

.令ε>0,

给定点p∈M,V⊂M是p的邻域,使得u={(q,v);q∈V,v∈T

M,|v|<ε}.定义光滑映射

F:u→M×M为F(q,v)=(q,exp

∇

v).用(y

,...,y

m+1

,...,y

)表示W×W上的诱导坐标,

则有

F(x

,...,x

;ξ

,...,ξ

)=(y

,...,y

m+1

,...,y

设γ

(1)为测地线使得γ(0)=q,γ

′

(0)=v,exp

v=γ

(1).其中γ(t)=(y

m+1

(t),...,y

(t)),

′

m+i

∂

∂x

.所以测地线满足











m+j

+Γ

m+j

m+i

(0)=x

m+i

t=0

=ξ

(4.1)

则F的局部坐标表示为







m+i

+ξ

−

···

(4.2)

因此F在(p,0)处的Jacobi矩阵为





是非奇异的,由反函数定理,F是(p,0)邻域内的局部微分同胚.

这意味着TM中存在(p,0)的一个邻域u

′

⊂u,使得F将u

′

微分同胚映射到M×M中(p,p)

的邻域F(u

′

)上.那么对任意的p,都存在a,使得U(p;a)×U(p;a)⊂F(u

′

).又因为0<ρ<a,所

以有U(p;ρ)×U(p;ρ)⊂U(p;a)×U(p;a)⊂F(u

′

(1)对于任意两点q

∈U(p;ρ),由于F是微分同胚,故存在v∈T

M,|v|<ε使得

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−1

)=(q

,v)∈u

′

.显然q

=exp

(v),因此γ

(t)=exp

(tv)为所求∇-测地线.

(2)要证U(p;ρ)中每一点都有一个包含U(p;ρ)的法坐标邻域,即证∀q∈U(p;ρ),exp

∇

是

(0)⊂T

M上微分同胚且exp

∇

(0))⊃U.

∀q∈U(p;ρ),有{q}×U(p;ρ)⊂F( u

′

).令B

(0)⊂T

M,因为F是u

′

上微分同胚映射,所以

F({q}×B

(0))⊃{q}×U(p;ρ).由F的定义有exp

∇

是B

(0)上微分同胚且

exp

∇

(0))⊃U(p;ρ).

接下来我们证明定理1.1.

󲣸󰍅.给定点p∈M和0̸=v∈T

M,假设γ是满足

γ(0)=p,γ

′

(0)=v

的∇-测地线.此时参数t和弧长成正比,假设[0,t

)是使这样的γ存在的最大开区间.因此,若t

有限且t

→t

,那么当i,j→∞(i<j)时,有

δ(γ(t

),γ(t

))≤L(γ|

]

)=c|t

−t

|→0.

其中c为正常数,所以{γ(t

)}是Cauchy序列且在(M,δ)中有极限q.

对于足够大的i,γ(t

)∈U(q;ρ).令σ:[0,r

)→M是满足

σ(0)=γ(t

),σ

′

(0)=γ

′

)

的∇-测地线且[0,r

)是使得σ( t)存在的最大开区间.由引理4.1得,γ(t

)有一个法坐标邻域包含

U(q;ρ).因此r

−t

且γ(t

)∈σ.从而γ⊔σ是一个光滑∇-测地线且γ可以拓展到t

以上,

与假设矛盾.

参考文献

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