四元代数上图的顶点加权 Zeta 函数 Vertex-Weighted Zeta Function of the Quaternion Algebraic Graph

doi:10.12677/PM.2023.134081

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PureMathematics理论数学,2023,13(4),781-794

PublishedOnlineApril2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm

https://doi.org/10.12677/pm.2023.134081

四元代数上图的顶点加权Zeta函数

李淑雅

上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2023年3月11日；录用日期：2023年4月12日；发布日期：2023年4月21日

摘要

给定一个有向图，建立了一个图上的四元数顶点加权zeta函数及其Study行列式表达式。对于

顶点上有四元数权值的图，我们通过使用无限积来定义zeta函数，将其视为欧拉积。这是Ihara

zeta函数在四元数上的扩展。给出新的zeta函数的两个Study行列式表达式。

关键词

IharaZeta函数，Study行列式，顶点加权

Vertex-WeightedZetaFunctionofthe

QuaternionAlgebraicGraph

ShuyaLi

FacultyofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai

Received:Mar.11

,2023;accepted:Apr.12

,2023;published:Apr.21

,2023

Abstract

Givenadirectedgraph,aquaternionvertexweightedzetafunctiononthegraphand

itsStudydeterminantexpressionareestablished.Forgraphswithquaternionweights

文章引用:李淑雅.四元代数上图的顶点加权Zeta函数[J].理论数学,2023,13(4):781-794.

DOI:10.12677/pm.2023.134081

李淑雅

onvertices, we deﬁnezeta functionsby usinginﬁniteproductsas Eulerproducts.This

isanextensionoftheIharazetafunctiononquaternions.TwoStudydeterminant

expressionsofthenewzetafunctionaregiven.

Keywords

IharaZetaFunction,StudyDeterminant,VertexWeighting

This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

著名的Riemannzeta函数是黎曼在1859年首次给出，在此基础上，越来越多的数学家定义

各种不同的zeta函数。有限图的Iharazeta函数最初是Ihara在[1]中在正则图上建立的。最

初，Ihara在[1]中给出了离散群的zeta函数，并证明了它的倒数是一个多项式。Ihara也证明了

Iharazeta函数的对数具有生成函数形式的表达式。Sunada在[2][3]中提出了正则图G的zeta

函数，该函数与G的基础群的酉表示相关联。Hashimoto在[4]中引入了二部图的多变量zeta函

数。对于一般图，Hashimoto利用其边矩阵给出了Iharazeta函数的行列式表达式。Bass在[5]

中将Ihara关于正则图的Iharazeta函数的结果推广到不规则图上，并证明其倒数也是一个多项

式。Bass 定理的各种证明已由Stark 和Terras 在[6],Foata 和Zeliberger 在[7]，Kotani 和Sunada

在[8]中给出。接下来Hsahimoto在[9]中对图G的边进行赋值,把图的zeta函数推广到图的加

权zeta函数。Stark和Terra在[6]中定义了其有向边赋权的图的边zeta函数，并利用其边矩阵

给出了其行列式表达式。Mizuno和Sato在[10]中引入图的边zeta函数的特殊版本，并通过对有

向边进行加权和计算循环长度的变量t定义了图的加权zeta函数。后来称这个函数为第一个加权

函数，与Sato在定义的另一个函数进行区分。Konno等人在[11]中对无向图的顶点进行加权，通

过定义图G的一个新的加权Iharazeta函数，给出了函数的行列式表达式。

另一方面，四元数是Hamiliton在1843年发现的，它可以看成复数的扩展，任何一个四元数

都可以表示成：a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d∈R,用H来表示四元数的集合。多年来，许多人

对四元数矩阵的行列式给出了不同的定义。为了将图的zeta函数扩展到四元数的情况下，我们使

用了Study在[12]中开发的方法,来研究图的Study行列式与四元数zeta函数之间关系是什么样

的，这种方法的优点是可以将研究四元数行列式的计算转换为普通行列式的计算。它的缺点是它

的行列式不是行列式不是行列式的精确延伸，而是它的平方。我们在本论文中的方法遵循[7][13]

中的方式。

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本篇论文的目的是结合线性代数、图论以及四元数等知识，通过给图的顶点加权，将zeta函

数的行列式表达式推广到四元数上。研究在四元数上，通过定义四元数矩阵的Study行列式，用

一个无限积即欧拉积来定义四元数上图的顶点加权zeta函数。

本文的其他部分组织如下：第2节给出了相关定义和引理，引理2.3对全文的证明至关重要。

第3节给出了之前定义的一般情况下有向图的顶点加权zeta函数表达式，为后面定义四元数上图

的顶点加权zeta函数奠定基础。第4节在四元数的基础上，对图的zeta 函数进行顶点加权，通过

定义两个四元数矩阵，借助形式幂级数以及Lyndonwords 将zeta函数转化到Study 行列式上来。

2.预备知识

定理2.1.(见[14])R󰍦󱎻󰂙󱃦A󰍦R󱎻󰊧.A[[t]]󱎻󰤆󱩗α



α=



k≥0

,α

∈A.

定理2.2.(见[15])X={x

,···,x

}󰤄󲖟󳏽X

∗

󱉨X󱉖󱎻󱼡󱉨

󱳛󳒕󱞱󲤄ω∈X

∗

,󱎻󳒕󲵉Lyndonwordsl

,···,l

,

ω=l

···l



引理2.1.(见[15])X={x

,···,x

}󰤄󳏽X

∗

󱉨X󱉖󱎻󱼡󱉨󱳛L

X

∗

󱎻Lyndonwords󱎻󳏽,

{1−(x

+···+x

)t}=



l∈L



1−lt

|l|



󲴐󲼃



l∈L

󲖟󱙱󲴐󰊧󰁀󰺞󲵉󱎻󳖱󱐯.

引理2.2.(见[15])A ∈Mat(n,A),I

n󳍭󱔠󳍬

−At=



)···(i

)∈L

[n]×[n]

k+1

(k=1,···,r)

−a

···a

).(2.1)

󲴐󲼃E

󱡣i

󲖃,󱡣j

󱎻󱩗1󱩗0󱎻󱔠󳍬



)···(i

)∈L

[n]×[n]

k+1

(k=1,···,r)

󲖟󱙱󲴐󰊧󰁀󰺞󲵉󱎻󳖱󱐯.

引理2.3.(见[16])H󰊧󱎻󳏽,HR󰂙󱎻󰊧,󲣧:

H={a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈R},

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󲴐󲼃i

=−1,ij=k=−ji,jk=i=−kj,ki=j=−ik.

x=x

i+x

j+x

k∈H,x

∗

xH󱎻󲲤.:

∗

−x

i−x

j−x

定义2.1.(见[16])z∈H󰌭z󲖟󱙱󳒙󲴐󱜄

z=x+jy,x,y∈C.

H󰍦R󱎻󰊧,󱵃󰍦C󱎻󰊧.

定义2.2.(见[15])Mat(m×n,H)m×n󱎻󱔠󳍬󳏽,Mat(m,H)m×m󱎻󱔠󳍬

󳏽∀M ∈Mat(m×n,H),M󲖟󱙱

M =M

+jM

󲴐󲼃M

∈Mat(m×n,C).

定义2.3.(见[15])

ψ:Mat(m×n,H)→Mat(2m×2n,C)

M 7→



−M



󲴐󲼃M󲖟󱙱󱔠󳍬M󱎻󲲤󱔠󳍬ψR󱎻󱯶󰍗.

引理2.4.(见[15])ψMat(m×n,H)Mat(2m×2n,C)󱎻󱯶󰍗󱔠󳍬

M,N ∈Mat(m×n,H)

ψ(MN)=ψ(M)ψ(N).

引理2.5.(见[16])J󰍦󱎻2n×2n󱎻󱔠󳍬

J =



0−I



:

ψ(M)=



N ∈Mat



2n,C)|JN =NJ



,M ∈Mat(n,H).

定义2.4.(见[12])

Sdet(M)=det(ψ(M)).

󲴐󲼃󱎻det󰍦󰎥󲵑󲖃Sdet󲗢󱜧Study󲖃.

定义2.5.(见[15])ψ

(t)=tψ󲲣Mat(n,H)[[t]]Mat(2 n,C)󱎻R󰊧

󰍗󱎻ψ

.󱉟󱐯󱎻󰋰det:Mat(2n,C)→Cdet

:Mat(2n,C)[[t]]→C[[t]].󰢛

det·ψ

:Mat(n,H)[[t]]→C[[t]]

󱜧det·ψ

Mat(n,H)[[t]]󱎻Study󲖃,󲣧Sdet

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定义2.6.α=



k≥0

,α

∈H.󲴐󲼃󱎻t󰍦H󱜲󱎻󲼆h∈H,󰰘󲫪

th=ht.󲣠α

=α

+jα

.α󲣧

α=



k≥0



k≥0



k≥0

=α

+jα

引理2.6.(见[15])J󰍦󱎻2n×2n󱎻󱔠󳍬

J =



0−I



Mat(n,H)[[t]]Mat(2n,C)[[t]]󱎻R󰊧󰍗

(Mat(n,H[[t]]))=



N ∈Mat(2n,C[[t]])|JN =NJ



�

引理2.7.(见[15])󲀜α=



k≥0

∈H[[t]],α=α

+jα

,α

,α

∈C[[t]]α

∗

α

H󱎻󲲤,󰑀αα

∗

=α

∗

α=α

+α

∈C[[t]]

引理2.8.(见[17])󰓓A,B,C,D󰍦󱐯󳍭󰊧󱎻󰊧󱞱󳌫󱔠󳍬AC =CA,

det





=det(AD−CB)

引理2.9.(见[15])(1)󱔠󳍬M ∈Mat(n,H[[t]]),Sdet

(M)∈R[[t]]

(2)M,N ∈Mat(n,H[[t]])󰌭,Sdet

(MN)=Sdet

(M)Sdet

(N)

(3)󰓓M ∈Mat(n,H[[t]]),M󰍦󲜉󱔠󳍬󱴼󲜉󱔠󳍬

M =







∗···∗

0λ

∗

00···λ















0···0

∗λ

∗∗···λ









󲴐󰌭Sdet

(M)=



i=1

∗



(4)󲀜A ∈Mat(m×n,H[[t]]),B∈Mat(n×m,H[[t]]),

Sdet

−AB)=Sdet

−BA)�

3.有向图的顶点加权zeta函数

G=(V(G),E(G))为一个有向图，V(G)为图的顶点集合,E(G)为图的无向边集合.我

们假设图G既没有重边又没有环.D(G)={(u,v),(v,u)|uv∈E(G)}为有向边的集合.对于边

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e=(u,v)∈D(G),我们称o(e)=u为边e的起点，t(e)=v为边e的终点.边e=(u,v)∈

D(G)的逆我们用e

−1

=(v,u)来表示.图G的一条长度为t的路径用序列P=(e

,...,e

)表

示，其中e

∈D(G),t(e

)=o(e

i+1

).这里i∈{1,...,t−1}.|P|表示路径P的长度.对于

i∈{1,...,t−1},如果有e

i+1

−1

，则称路径P有返回(backtracing).如果t(P)=o(P),则称

路径P为圈或者闭路径.如果存在k,使圈C

=(e

,...,e

)和圈C

=(f

,...,f

)满足f

j+k

，

这里j∈{1,...,l},则称圈C

和圈C

被称为等价的.圈C的所有等价类记作[C].圈B

是指圈

B循环r次.如果圈C和C

都没有返回，则这个圈C称作可约(reduced)的.若对于任意r和

圈D,都有C̸=D

，则称圈C是素的(prime).

图G的Iharazeta函数是一个关于充分小的复数t的函数,定义如下：

Z(G,t)=Z

(t)=



[C]



1−t

|C|



−1

.(3.1)

这里[C]遍历图G的所有素可约等价类.

B =(B

)e,f∈D(G)和J

=(J

)e,f∈D(G)是定义如下的2m×2m矩阵:



1如果t(e)=o(f),

0其它.



1如果f=e

−1

0其它.

矩阵B−J

被称为图G的边矩阵.

定理3.1.(见[4][5])Gn󳖭󰷰,m󲳰󱎻󲴕󲵑,G󱎻Iharazeta󰊧󱎻󰊧󱎻󲖟

󲳵

Z(G,u)

−1

=det(I

−u(B−J

))=



1−u



m−n

det



−uA(G)+u

−I

)



󲴐󲼃A󲖟󱙱G󱎻󲷲󰃜󱔠󳍬,D

=(d

)󲖟󱙱G󱎻󱔠󳍬,󲴐󲼃d

=deg

.V(G)=

,...,v

G是一个连通图,接下来我们考虑图G的加权矩阵W(G).我们让ω:V(G)→C,让

n×n

=(ω

)

u,v∈V(G)

为一个对角矩阵，这里：



ω(u)如果u=v;

0其它.

W被称为图G的加权矩阵.

两个2m×2m矩阵

B =

B(G)=(B

e,f

)

e,f∈D (G)

和

J =

J(G)=(J

e,f

)

e,f∈J(G)

定义如下：

e,f



ω(t(e))

如果t(e)=o(f),

0其它,

e,f



ω(t(e))

如果f=e

−1

0其它.

对于路径P=(e

,...,e

),ω(P)=ω(t(e

))

ω(t(e

))

···ω(t(e

))

.则顶点加权zeta函数

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被定义为：

Z(G,w,t)=



[C]



1−ω(C)t

|C|



−1

.(3.2)

Mizuno和Sato在[10]中将函数

B运用到函数表达式得到一个新的顶点加权zeta函数：

(G,u)=det



−u





B−





−1

4.四元数上图的顶点加权zeta函数

接下来，我们在四元数上讨论图的顶点加权zeta函数，我们把ω(e)的值扩充到四元数上，我

们让ω:V(G)→H.对于路径P=(e

,...,e

),ω(P)=ω(t(e

))

ω(t(e

))

···ω(t(e

))

.让

n×n

=(ω

)

u,v∈V(G)

为一个对角矩阵，称它为图的顶点加权矩阵，这里：



ω(v)

如果(u,v)∈D(G);

0其它.

我们称ω(v)为四元数上的权重,这里v∈V(G),W被称为图G在四元数上的顶点加权矩阵.接

下来我们定义图G四元数上顶点加权的zeta函数:

(G,w,t)=







1−ω(C)t

|C|



1−ω(C)t

|C|



∗



−1

.(4.1)

这里C=(e

,...,e

)遍历所有的素可约圈,其中i

...i

∈L

[2m]

注4.1.(1)i

...i

∈L

[2m]

,C=(e

,...,e

)󰍦󱩗󱎻󰍦󲣸󱎻.

(2)ω(C)∈H,1−ω(C)t

|C|

∈H[[t]]󱉨󱄽3.5󱔜



1−ω(C)t

|C|



1−ω(C)t

|C|



∗

∈

C[[t]].

(3)



1−ω(C)t

|C|



1−ω(C)t

|C|



∗

=1+ω(C)ω(C)

∗

2|C|

−ω(C)t

|C|

−ω(C)

∗

|C|

=1+|ω(C)|

2|C|

−2Re(ω(C))t

|C|

󰑀

(G,w,t)=





1+|ω(C)|

2|C|

−2Re(ω(C))t

|C|



−1

.(4.2)

接下来我们考虑在四元数上图的顶点加权矩阵W，我们定义两个四元数2m×2m矩阵



(ω)



e,f∈D (G)

和J



(ω)



e,f∈D (G)

(w)



ω(t(e))

t(e)=o(f)

0t(e)̸=o(f),

(w)



ω(t(e))

f=e

−1

0f̸=e

−1

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我们利用B



(ω)



e,f∈D (G)

和J



(ω)



e,f∈D (G)

的矩阵来表示四元数上图的顶点加权zeta

函数.

定理4.1.G󰍦󲴕󲵑󰊧G󳖭󰷰󰑺󱎻zeta󰊧󱎻󰊧󲖟󱙱

(G,W,t)

−1

=Sdet

−(B

−J

)t)

Proof.由引理2.2可知，

−At=



)...(i

)∈L

[2m]×[2m]

k+1

(k=1,...,r−1)



−a

...a

r−1



Sdet

−At)=Sdet









)...(i

)∈L

[2m]×[2m]

k+1

(k=1,...,r−1)



−a

...a

r−1











)...(i

)∈L

[2m]×[2m]

k+1

(k=1,...,r−1)

Sdet



−a

...a

r−1



.(4.3)

最后一个等式不需要顺序，由引理3.7 (1)知任意M ∈Mat(n,H[[t]]),Sdet

(M)∈R[[t]],不

在乎顺序.

如果j

，则矩阵I

−a

...a

r−1

为对角矩阵,是一个除了第r行元素

为1−a

...a

r−1

,其余元素全为1的对角矩阵.由引理2.9(3)知：

Sdet



−a

...a

r−1





1−a

...a

r−1



1−a

...a

r−1



∗

.(4.4)

如果j

̸=i

,则矩阵I

−a

...a

r−1

为对角线元素全为1，第i

行，第j

列元素为1−a

...a

r−1

,由引理2.9(3)知:

Sdet



−a

...a

r−1



=1.

综上所说：

Sdet

−At)



)...(i

)∈L

[2m]×[2m]



1−a

...a

r−1



1−a

...a

r−1



∗

(4.5)

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这里让A =B

−J

,则：



ω(t(e

))

如果t(e

)=o(e

),e

̸=e

−1

0其它.

则带入(4.5)得：

Sdet

−At)=Sdet

−(B

−J

)t)



)...(i

)∈L

[2m]×[2m]

,...e

:reducedcycle)



1−ω(t(e

))

...ω(t(e

))



1−ω(t(e

))

...ω(t(e

))



∗



...i

∈L

[2m]

,...e

:reducedcycle)



1−ω(t(e

))

...ω(t(e

))



1−ω(t(e

))

...ω(t(e

))



∗

(4.6)

这里我们要注意因为当j

̸=i

时，Sdet



−a

...a

r−1



=1，所以当我们

在计算Sdet

−(B

−J

)t)可忽略当j

̸=i

的情况.当j

时，(e

,...e

)构成一

个圈，如果圈有返回，即存在i,j∈{1,2,···r},使得t(e

)=o(e

)，且e

−1

.由B

−J

的

定义知a

=0，所以圈有返回的这种情况也可以不考虑.又因为(i

)∈L

[2m]×[2m]

,由

Lyndonwords具有本原性，即若ω∈L，ω在它的共轭类中最小.所以圈的平方也不含返回,所

以我们只需要考虑可约圈.

由Z

(G,ω,t)的定义，我们可以得到Z

(G,W,t)

−1

=Sdet

−(B

−J

)t).

接下来我们定义

W =





u,v∈V(G)

和

D =





u,v∈V(G)









1−ω(v)

ω(u)



−1

ω(v)

如果(u,v)∈D(G)

0其它,









o(e)=u



1−ω(t(e))

ω(u)



−1

ω(t(e))

ω(u)

如果u=v

0其它.

引理4.1.X(e)2×2󱔠󳍬

X(e)=



1ω(t(e))

ω(o(e))



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X(e)󱎻󲴽

X(e)

−1







1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

−



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

ω(t(e))

−



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1

ω(o(e))



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1





Proof.设

Y(e)=







1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

−



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

ω(t(e))

−



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1

ω(o(e))



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1





容易验证Y(e)X(e)=I

,接下来证明X(e)Y(e)=I

.当ω(t(e))=0,容易验证

X(e)Y(e)=I

.当ω(o(e))=0,容易验证X(e)Y(e)=I

当ω(t(e))和ω(o(e))=0都不为0时，



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1

ω(o(e))

t=t



ω(o(e))

−2



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1



ω(o(e))

−2

−ω(t(e))



−1



1−ω(t(e))

ω(o(e))



ω(o(e))

−2



−1

=ω(o(e))



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

同理，我们也能得到



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

ω(t(e))

t=ω(t(e))



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

因此：

X(e)Y(e)=



1ω(t(e))

ω(o(e))









1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

−



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

ω(t(e))

−



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1

ω(o(e))



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1







1ω(t(e))

ω(o(e))









1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1

−ω(t(e))



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1

−ω(o(e))



1−ω(t(e))

ω(o(e))



−1



1−ω(o(e))

ω(t(e))



−1





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李淑雅

定理4.2.G󰍦󲴕󲵑󰊧G󱎻󳖭󰷰󰑺󱎻zeta󰊧󱎻󰊧󲖟󱙱

(G,ω,t)

−1

=Sdet



−t

W+t





i=1



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



∗

Proof.

Sdet

−(B

−J

)t)

=Sdet

−tB

+tJ

)

=Sdet



−tB

+tJ

)

−1



×Sdet

+tJ

).(4.7)

定义两个2m×n的矩阵S =(S

)

e∈D(G),v∈V(G)

和T =(T

)

e∈D(G),v∈V(G)

如下：



ω(v)

如果t(e)=v

0其它,



1如果o(e)=v

0其它.

我们能得到ST

.由引理2.9(4)知：Sdet

−AB)=Sdet

−BA),将上式

应用到(4.7):

Sdet

−(B

−J

)t)

=Sdet



−tST

+tJ

)

−1



×Sdet

+tJ

)

=Sdet



−tT

+tJ

)

−1



×Sdet

+tJ

我们让D(G)=



−1

,...,e

−1



,由引理2.9(3)可得：

Sdet

+tJ

)

=Sdet







1ω(t(e

))

t00···

ω(o(e

))

t100···

001ω(t(e

))

t···

00ω(o(e

))

t10







=Sdet







1ω(t(e

))

t00···

01−ω(t(e

))

ω(o(e

))

00···

001ω(t(e

))

t···

0001−ω(t(e

))

ω(o(e

))









i=1



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



∗

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由X(e)的定义，可得：

+tJ







X(e

)0···0

0X(e

)

0···0X(e

)







+tJ

)

−1







X(e

)

−1

0···0

0X(e

)

−1

0···0X(e

)

−1







接下来考虑T

+tJ

)

−1

如果e=(u,v)∈D(G),由之前对这些矩阵的定义，若使下式有意义，即f=f

′

我们可以得

到：



+tJ

)

−1





f,f

′

∈D(G)





+tJ

)

−1

′



1−ω(v)

ω(u)



−1

ω(v)

如果u=v时,由之前对这些矩阵的定义，若使下式有意义，即f

−1

′

我们可以得到



+tJ

)

−1





f,f

′

∈D(G)





+tJ

)

−1

′



o(e)=u





+tJ

)

−1

=−



o(e)=u



1−ω(t(e))

ω(u)



−1

ω(t(e))

ω(u)

如果u̸=v,且u�v构不成一条边,满足o(u)=f,t(v)=f

′

,f与f

′

既不互逆，也不相等,则

+tJ

)

′

=0.

因此T

+tJ

)

−1

S =

W−t

D.所以：

Sdet

−t(B

−J

))

=Sdet



−tT

+tJ

)

−1



×Sdet

+tJ

)

=Sdet



−t

W+t





i=1



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



∗

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5.例子

考虑4个顶点，4条边，8 条有向边的有向图G,令G的顶点是x

,且ω是图G的

四元数上的顶点加权，ω(x

)=ω

,i=1,2,3,4.则有：

W =







0(1−ω

)

−1

0(1−ω

)

−1

(1−ω

)

−1

0(1−ω

)

−1

0(1−ω

)

−1

0(1−ω

)

−1

(1−ω

)

−1

0(1−ω

)

−1







D为对角元素依次为(1−ω

)

−1

+(1−ω

)

−1

，

(1−ω

)

−1

+(1−ω

)

−1

，

(1−ω

)

−1

+(1−ω

)

−1

�(1−ω

)

−1

+(1−ω

)

−1

,其余元素为0 的

4×4矩阵.则由定理4.2得：

(G,ω,t)

−1

=Sdet



−t

W+t





i=1



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



1−ω(t(e

))

ω(o(e

))



∗





1−t



1−t



∗



−1

参考文献

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