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PureMathematics
理论数学
,2023,13(5),1246-1254
PublishedOnlineMay2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2023.135128
混合解析函数
Schwarz
问题与常系数椭圆
方程的边值问题
雷妍妍,刘华
天津职业技术师范大学理学院,天津
收稿日期:
2023
年
4
月
11
日;录用日期:
2023
年
5
月
12
日;发布日期:
2023
年
5
月
19
日
摘要
本文引用混合解析函数并讨论其
Riemann-Hilbert
型边值问题,先建立了混合解析函数的
Plemelj
公式、
Cauchy
公式、
Cauchy
主值积分(奇异积分)、
Privonov
定理
.
在此基础上
研究混合解析函数的
Schwarz
问题,通过定义分区解析函数找出其解,利用混合解析函数的
Schwarz
问题处理常系数椭圆方程的
Poisson
问题,用
Cauchy
型积分给出解的具体表达式。
关键词
混合型解析函数,
Schwarz
边值问题,椭圆方程的边值问题
SchwarzProblemofMixedAnalytic
FunctionsandBoundaryValueProblem
ofEllipticEquationswithConstant
Coefficients
YanyanLei,HuaLiu
SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnologyandEducation,Tianjin
文章引用
:
雷妍妍
,
刘华
.
混合解析函数
Schwarz
问题与常系数椭圆方程的边值问题
[J].
理论数学
,2023,13(5):
1246-1254.DOI:10.12677/pm.2023.135128
雷妍妍,刘华
Received:Apr.11
th
,2023;accepted:May12
th
,2023;published:May19
th
,2023
Abstract
Inthispaper,mixedanalyticfunctionisintroducedanditsRiemann-Hilbertbound-
aryvalueproblemisdiscussed.Firstly,Plemeljformula,Cauchyformula,Cauchy
principalintegral(singularintegral)andPrivonovtheoremofmixedanalyticfunction
areestablished.Onthisbasis,theSchwarzproblemofmixedanalyticfunctionsiss-
tudied,anditssolutionisfoundbydefiningpartitionanalyticfunctions.TheSchwarz
problemofmixedanalyticfunctionsisusedtodealwithPoissonproblemofelliptic
equationswithconstantcoefficients.Thespecificexpressionofthesolutionisgiven
byCauchyintegral.
Keywords
HybridAnalyticFunction,SchwarzBoundaryValueProblem,BoundaryValue
ProblemsforEllipticEquations
Copyright© 2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
引言
1.1.
问题研究背景与现状
复微分方程的积分表示理论最早起源于
Poincare
和
Pompeiu
的工作,
N.I.Muskhelishvili
和
I.N.Vekua
建立了系统研究理论并用于研究平面弹性力学
. [1]
尤其是
I.N.Vekua
,在其著作
[2]
中,
在处理现代偏微分方程用古典函数论的工具
.
在著作
[3]
中,华罗庚对二阶两个自变数两个未知函
数的常系数线性偏微分方程进行系统的论述
.
韩青、林芳华在著作
[4]
中对几类二阶椭圆偏微分方
程进行了介绍
.
路见可在著作
[5]
中对解析函数边值理论做了系统的研究
.H.Begehr
等
[6–8]
针对
具体的平面区域构造了大量相关复微分方程各类边值问题解的积分表示
.
20
世纪初,解析函数理论是复分析的核心理论
.
该理论在机械、力学、物理学等方面有广泛
的应用
.
到了
21
世纪
30
年代,对解析函数进行了推广,文献
[9]
引入半解析函数的概念,并对相
DOI:10.12677/pm.2023.1351281247
理论数学
雷妍妍,刘华
关性质作了研究,文献
[10,11]
对解析函数附加某些控制条件,提出两类新的函数,既混合解析函
数、复调和函数,讨论了有旋或有源的物理场,同时把解析函数相关理论推广到混合解析函数条
件下,如对双解析函数的基本边值问题及唯一性问题,还有对零点、奇点问题、泰勒展开定理和
洛朗定理都做了初步研究
.
随后众多数学学者对它进行深入研究,得到一些重要结论,文献
[12]
在
1998
年给出了双解析函数的
Cauchy
定理、
Morera
定理和透弧延拓定理,并利用这些理论讨论了
双解析函数的性质及其
Hilbert
边值问题;文献
[13,14]
得到了双解析函数的
Cauchy
积分公式;
对双解析函数的
Schwarz
边值问题进行了探讨;文献
[15]
提出了单位圆内双解析函数的
Schwarz
问题,并给出了它的存在性问题
.
文献
[16]
对开口曲线上的混合解析函数的
Riemann
边值问题进
行研究,文献
[17]
对鲁洛克斯三角形上的
Schwarz
边值问题
.
1.2.
本文研究意义
文献
[18,19]
对非线性椭圆方程的解的存在唯一性进行研究,并给出解;文献
[20]
给出了一类
复偏微分方程边值问题的积分解
.
本文创造性利用混合解析函数的性质结合
Schwarz
问题,区别于
文献
[21]
给出了常系数椭圆微分方程的边值问题的积分解
.
1.3.
本文结构安排
本文第一章引言介绍了论文的写作背景和目的;第二章给出了混合解析函数的定义,以及混
合解析函数的
Cauchy
积分公式、
Cauchy
主值积分、正负边值函数表达式,以及混合解析函数所
满足的性质;第三章给出了经典的
Schwarz
问题,接着更深一步的研究混合解析函数的
Schwarz
问题,定义了分区解析函数,并给出了该问题的解;第四章引入常系数椭圆方程
Poisson
问题,结
合混和解析函数的
Schwarz
问题,给出积分解
.
2.
混合解析函数
设
G
是复平面
C
中的连通开集,对任意
z
∈
G
,记
∂f
∂
¯
z
=
1
2
∂f
∂x
+
i
∂f
∂y
,
∂f
∂z
=
1
2
∂f
∂x
−
i
∂f
∂y
.
(2.1)
若对任意
z
∈
G
,
∂f
∂
¯
z
=0
成立,则称函数
f
在区域
G
上是解析的;若对任意
z
∈
G
,
∂f
∂z
=0
成
立,则称函数
f
在区域
G
上是共轭解析的
.
设
λ,η
∈
C
,且
|
λ
|̸
=
|
η
|
.
若对
G
中任意
z
,函数
f
满足
λ
∂f
∂z
+
η
∂f
∂
¯
z
=0
,
(2.2)
则函数
f
称为区域
G
上的
(
λ,η
)
型混合解析函数
.
显然,当
η
̸
=0
时,
(0
,η
)
型是解析的;而当
λ
̸
=0
时,
(
λ,
0)
型是共轭解析的
.
定理
1.
[Cauchy
公式
]
设
f
为单连通域
Ω
上的混合解析函数,
L
为
Ω
内光滑
Jordan
曲线,
DOI:10.12677/pm.2023.1351281248
理论数学
雷妍妍,刘华
设逆时针方向为正方向,此时
λ
∂f
∂z
−
η
∂f
∂
¯
z
=0
,则我们有
Cauchy
公式如下
当
|
λ
|
<
|
η
|
时,
F
(
z
)=
−
1
2
πi
L
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
,z
∈
D.
(2.3)
当
|
λ
|
>
|
η
|
时,
F
(
z
)=
1
2
πi
L
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
,z
∈
D.
(2.4)
D
为
L
所围区域
.
当
f
并一定是混合解析函数,而只
L
上的可知函数时,我们定义
Cauchy
型积分如下:
F
(
z
)=
∓
1
2
πi
L
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
,z
/
∈
L.
(2.5)
这里符号选取由
|
λ
|
>
|
η
|
还是
|
λ
|
<
|
η
|
不确定
.
定义
1.
[Cauchy
主值积分(奇异积分)
]
如
f
∈
H
(
L
)
(
C
[
f
])(
z
)=
lim
r
→
0
∓
1
2
πi
L
\
D
(
t,r
)
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
,
(2.6)
这里
D
r
(
t,r
)
为以
t
为中心,
r
为半径圆盘
.
若极限
(2
.
6)
存在,称之为
f
(
t
)
沿
L
上的
Cauchy
主
值积分
.
与解析情形相同,我们有
Plemelj
公式
.
定理
2.
[Plemelj
公式
]
设
L
为
C
中分段光滑曲线,则
Cauchy
型积分
F
(
z
)
在
L
两侧的极
限存在,且
F
+
(
t
)=
1
2
f
(
t
)+(
C
[
f
])(
t
)
F
−
(
t
)=
−
1
2
f
(
t
)+(
C
[
f
])(
t
)
.
t
∈
L.
(2.7)
也有
Privonov
定理
.
定理
3.
[Privonov
定理
]
设
f
∈
H
µ
(
L
)
,则
(
C
[
f
])(
t
)
,
F
±
(
t
)
∈
H
µ
(
L
)
,设
D
为
L
所围区
域,则
F
±
(
z
)
分别
∈
H
µ
¯
D
和
∈
H
µ
(
D
c
)
3.Schwarz
问题:混合解析函数的
Schwarz
问题
经典的
Schwarz
问题:
设
u
为单位圆上的
H
¨
o
lder
连续实函数,设单位圆内混合解析函数
f
使得
Ref
=
u,
(3.1)
DOI:10.12677/pm.2023.1351281249
理论数学
雷妍妍,刘华
我们这一节讨论一个特殊的边值问题
.
设
Γ
为如下方程确定的椭圆:
(
λt
+
η
¯
t
)(
λt
+
η
¯
t
)=1
,
(3.2)
取
Γ
逆时针方向为正方向,所围内部区域为
S
+
,外部为
S
−
.
混合解析函数的
Schwarz
问题:
找一个
S
+
上混合解析函数满足
Reϕ
(
t
)=
u
(
t
)
,t
∈
Γ
.
(3.3)
其中
u
(
t
)
∈
H
(Γ)
,t
∈
Γ
.
设
ϕ
为
(3
.
3)
的解
.
定义
S
−
上函数其中
ϕ
∗
(
z
)=
ϕ
ρ
−
1
1
¯
λ
¯
z
+¯
ηz
,z
∈
S
−
.
(3.4)
注
1.
容易验证,
ϕ
∗
是混合解析函数且
∀
t
∈
Γ
,
ϕ
∗
(
t
)=
lim
z
→
t
z
∈
S
−
ϕ
∗
(
z
)=
ϕ
ρ
−
1
1
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
.
(3.5)
由
(3
.
2)
得
1
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
=
λt
+
η
¯
t
以及
ρ
−
1
¯
λ
¯
z
+¯
ηz
=
t
,
故
ϕ
∗
(
t
)=
ϕ
(
t
)
.
定义
2
(
分区解析函数
)
.
Φ(
z
)=
ϕ
(
z
)
,z
∈
S
+
ϕ
∗
(
z
)
,z
∈
S
−
.
(3.6)
则
Φ(
z
)
满足
Φ
+
(
t
)=Φ
−
(
t
)+2
u
(
t
)
Φ(
∞
)=Φ(0)
,
t
∈
Γ
.
(3.7)
反过来,由
Plemelj
公式
C
[2
u
]
+
(
t
)
−
C
[2
u
]
−
(
t
)=2
u
(
t
)
C
[2
u
](
∞
)=0
.
(3.8)
DOI:10.12677/pm.2023.1351281250
理论数学
雷妍妍,刘华
由
C
[2
u
](0)=
1
2
πi
Γ
2
u
(
t
)
λt
+
η
¯
t
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
(3.9)
=
1
2
πi
Γ
2
u
(
t
)
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
¯
λd
¯
t
+
ηd
¯
t
.
(3.10)
有
d
((
λt
+
η
¯
t
)(
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
))=0
,
(
λt
+
η
¯
t
)(
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
)=
−
(
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
)(
λdt
+
ηd
¯
t
)
,
(
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
)(
λdt
+
ηd
¯
t
)=
−
(
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
)(
λdt
+
ηd
¯
t
)
.
(3.11)
即它是一个纯虚值的函数固由
(3
.
9)
C
[2
u
](0)
∈
R
任取
c
∈
R
,则
C
[2
u
](0)+
ic
=
C
[2
u
](0)
−
ic.
(3.12)
即
Φ(
z
)=
C
[2
u
](
z
)+
ic,c
∈
R
.
(3.13)
为
(3.7)
的所有解
.
但
(3.7)
的解不一定是
(3.3)
的解,除非
Im
Φ
+
=
Im
Φ
−
,此时
ϕ
=Φ
+
.
我们需要设
Ψ(
z
)=
C
[2
u
]
ρ
−
1
1
λt
+
η
¯
t
+
ic.
(3.14)
既然
C
[2
u
]+
ic
是
(3.7)
的解,则又记得
ρ
−
1
1
λt
+
η
¯
t
=
t,
∀
t
∈
Γ
.
我们有
Ψ
+
(
t
)
−
Ψ
−
(
t
)=
C
[2
u
]
−
(
t
)
−
C
[2
u
]
+
(
t
)=
−
2
u
(
t
)
Ψ(
∞
)=
C
[2
u
](0)+
ic
=
C
[2
u
](
∞
)+
ic
=Ψ(0)
.
(3.15)
即
−
Ψ(
t
)
也是
(3.7)
的解,故
Φ
0
=
1
2
[
C
[2
u
]+
ic
−
Ψ]
.
(3.16)
也满足
(3.7)
,且
Re
Φ
0
=
u
,这就是
(3.3)
的解
.
4.
常系数椭圆方程
Poisson
问题
设二元椭圆方程如下:
Au
=
a
11
∂
2
u
∂x
2
+2
a
12
∂
2
u
∂x∂y
+
a
22
∂
2
u
∂y
2
=0
,a
11
>
0
.
(4.1)
DOI:10.12677/pm.2023.1351281251
理论数学
雷妍妍,刘华
求
(2.2)
混合解析函数满足如下
Poisson
条件
u
|
Γ
=
f
(
t
)
的解,其中
Γ
为椭圆为上节所定义,
f
∈
H
(Γ)
.
设为
w
1
,w
2
是
(4
.
1)
的特征方程
a
11
w
2
+2
a
12
w
+
a
22
=0
(4.2)
的解
.
则
Au
=
(
w
1
+
i
)
∂
∂z
−
(
w
1
−
i
)
∂
∂
¯
z
(
w
2
+
i
)
∂
∂z
−
(
w
2
−
i
)
∂
∂
¯
z
=0
(4.3)
因为
a
11
a
12
a
12
a
22
是实正定矩阵,所以
w
1
=¯
w
2
.
且因为(
4.2
)的判别式
(2
a
12
)
2
−
4
a
11
a
22
<
0
,
所
以
Imw
1
̸
=0
.
设
w
=
1
2
(
λ
+
η
)
,满足方程,其中
λ
,
η
为椭圆参数
.
λ
∂u
∂z
−
η
∂u
∂
¯
z
=0
(4.4)
λ
=
w
′
−
i
η
=
w
′
+
i.
w
′
=
w
′
1
,w
′
2
(4.5)
此时
w
1
−
i
=
w
2
+
i,w
2
−
i
=
w
1
+
i
.
由
Imw
1
̸
=0(4
.
5)
(
因为
a
11
a
12
>a
2
12
)
,有
|
λ
|
2
̸
=
|
η
|
2
.
设
D
¯
z
=
λ
∂
∂z
+
η
∂
∂
¯
z
,D
z
=
¯
λ
∂
∂
¯
z
+¯
η
∂
∂z
中有
Au
=
D
z
D
¯
z
u
.
由前面讨论,存在
S
+
上
(0
,η
)
型混合解析函数
ϕ
,使得
Reϕ
(
t
)=
f
(
t
)
,t
∈
Γ
(4.6)
其中
ϕ
(
t
)=Φ
0
(
t
)=
1
2
πi
L
2
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)+
ic,c
∈
R
(4.7)
特别地,
ϕ
(0)=
1
2
πi
Γ
2
f
(
t
)
¯
λ
¯
t
+¯
ηt
¯
λd
¯
t
+
ηd
¯
t
+
ic,c
∈
R
(4.8)
既然
ϕ
是
(
λ,η
)
混合解析函数,则
D
¯
z
ϕ
=0
,因此
Aϕ
=
D
z
D
¯
z
ϕ
=0
(4.9)
又
A
是一个实算子,故我们得到
AReϕ
=0
.
即
Reϕ
是满足
(4
.
1)
和
Poisson
条件的解
.
由椭圆方
程的一般理论
Poisson
问题只有唯一解
.
故我们得到最后定理
:
DOI:10.12677/pm.2023.1351281252
理论数学
雷妍妍,刘华
定理
4.
Poisson
问题存在唯一解
.
由上节的
Φ
表达式,我们可以给出
(4
.
1)
的唯一解
.
如下:
定理
5.
椭圆方程
(4
.
1)
满足给定边值
f
(
t
)
的解为
u
(
t
)=
1
2
1
πi
L
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
−
1
πi
L
f
(
t
)
λt
+
η
¯
t
−
(
λz
+
η
¯
z
)
(
λdt
+
ηd
¯
t
)
.
(4.10)
5.
结论
利用混合解析函数
Schwarz
问题证明了
Poisson
问题的解存在且唯一,并给出解的具体
表达式
.
基金项目
青年科学基金项目
(12101453)
。
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