混合解析函数 Schwarz 问题与常系数椭圆方程的边值问题 Schwarz Problem of Mixed AnalyticFunctions and Boundary Value Problemof Elliptic Equations with ConstantCoefficients

doi:10.12677/PM.2023.135128

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PureMathematics理论数学,2023,13(5),1246-1254

PublishedOnlineMay2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm

https://doi.org/10.12677/pm.2023.135128

混合解析函数Schwarz问题与常系数椭圆

方程的边值问题

雷妍妍，刘华

天津职业技术师范大学理学院，天津

收稿日期：2023年4月11日；录用日期：2023年5月12日；发布日期：2023年5月19日

摘要

本文引用混合解析函数并讨论其Riemann-Hilbert型边值问题，先建立了混合解析函数的

Plemelj公式、Cauchy公式、Cauchy主值积分（奇异积分）、Privonov定理.在此基础上

研究混合解析函数的Schwarz问题，通过定义分区解析函数找出其解，利用混合解析函数的

Schwarz问题处理常系数椭圆方程的Poisson问题，用Cauchy型积分给出解的具体表达式。

关键词

混合型解析函数，Schwarz边值问题，椭圆方程的边值问题

SchwarzProblemofMixedAnalytic

FunctionsandBoundaryValueProblem

ofEllipticEquationswithConstant

Coeﬃcients

YanyanLei,HuaLiu

SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnologyandEducation,Tianjin

文章引用:雷妍妍,刘华.混合解析函数Schwarz问题与常系数椭圆方程的边值问题[J].理论数学,2023,13(5):

1246-1254.DOI:10.12677/pm.2023.135128

雷妍妍，刘华

Received:Apr.11

,2023;accepted:May12

,2023;published:May19

,2023

Abstract

Inthispaper,mixedanalyticfunctionisintroducedanditsRiemann-Hilbertbound-

aryvalueproblemisdiscussed.Firstly,Plemeljformula,Cauchyformula,Cauchy

principalintegral(singularintegral)andPrivonovtheoremofmixedanalyticfunction

areestablished.Onthisbasis,theSchwarzproblemofmixedanalyticfunctionsiss-

tudied,anditssolutionisfoundbydeﬁningpartitionanalyticfunctions.TheSchwarz

problemofmixedanalyticfunctionsisusedtodealwithPoissonproblemofelliptic

equationswithconstantcoeﬃcients.Thespeciﬁcexpressionofthesolutionisgiven

byCauchyintegral.

Keywords

HybridAnalyticFunction,SchwarzBoundaryValueProblem,BoundaryValue

ProblemsforEllipticEquations

This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

1.1.问题研究背景与现状

复微分方程的积分表示理论最早起源于Poincare和Pompeiu的工作，N.I.Muskhelishvili和

I.N.Vekua 建立了系统研究理论并用于研究平面弹性力学. [1]尤其是I.N.Vekua，在其著作[2] 中，

在处理现代偏微分方程用古典函数论的工具.在著作[3]中，华罗庚对二阶两个自变数两个未知函

数的常系数线性偏微分方程进行系统的论述.韩青、林芳华在著作[4]中对几类二阶椭圆偏微分方

程进行了介绍.路见可在著作[5]中对解析函数边值理论做了系统的研究.H.Begehr等[6–8]针对

具体的平面区域构造了大量相关复微分方程各类边值问题解的积分表示.

20世纪初，解析函数理论是复分析的核心理论.该理论在机械、力学、物理学等方面有广泛

的应用.到了21世纪30年代，对解析函数进行了推广，文献[9]引入半解析函数的概念，并对相

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雷妍妍，刘华

关性质作了研究，文献[10,11]对解析函数附加某些控制条件，提出两类新的函数，既混合解析函

数、复调和函数，讨论了有旋或有源的物理场，同时把解析函数相关理论推广到混合解析函数条

件下，如对双解析函数的基本边值问题及唯一性问题，还有对零点、奇点问题、泰勒展开定理和

洛朗定理都做了初步研究.随后众多数学学者对它进行深入研究，得到一些重要结论，文献[12]在

1998年给出了双解析函数的Cauchy定理、Morera定理和透弧延拓定理，并利用这些理论讨论了

双解析函数的性质及其Hilbert边值问题；文献[13,14]得到了双解析函数的Cauchy积分公式；

对双解析函数的Schwarz边值问题进行了探讨；文献[15]提出了单位圆内双解析函数的Schwarz

问题，并给出了它的存在性问题.文献[16]对开口曲线上的混合解析函数的Riemann边值问题进

行研究，文献[17]对鲁洛克斯三角形上的Schwarz边值问题.

1.2.本文研究意义

文献[18,19]对非线性椭圆方程的解的存在唯一性进行研究，并给出解；文献[20]给出了一类

复偏微分方程边值问题的积分解.本文创造性利用混合解析函数的性质结合Schwarz问题，区别于

文献[21]给出了常系数椭圆微分方程的边值问题的积分解.

1.3.本文结构安排

本文第一章引言介绍了论文的写作背景和目的；第二章给出了混合解析函数的定义，以及混

合解析函数的Cauchy积分公式、Cauchy主值积分、正负边值函数表达式，以及混合解析函数所

满足的性质；第三章给出了经典的Schwarz问题，接着更深一步的研究混合解析函数的Schwarz

问题，定义了分区解析函数，并给出了该问题的解；第四章引入常系数椭圆方程Poisson 问题，结

合混和解析函数的Schwarz问题，给出积分解.

2.混合解析函数

设G是复平面C中的连通开集，对任意z∈G，记

∂f

∂¯z



∂f

∂x

∂f

∂y



∂f

∂z



∂f

∂x

−i

∂f

∂y



.(2.1)

若对任意z∈G,

∂f

∂¯z

=0成立，则称函数f在区域G上是解析的；若对任意z∈G,

∂f

∂z

=0成

立，则称函数f在区域G上是共轭解析的.

设λ,η∈C，且|λ|̸=|η|.若对G中任意z，函数f满足

∂f

∂z

+η

∂f

∂¯z

=0,(2.2)

则函数f称为区域G上的(λ,η)型混合解析函数.显然，当η̸=0时，(0,η)型是解析的；而当

λ̸=0时，(λ,0)型是共轭解析的.

定理1.[Cauchy公式]设f为单连通域Ω上的混合解析函数，L为Ω内光滑Jordan曲线，

DOI:10.12677/pm.2023.1351281248理论数学

雷妍妍，刘华

设逆时针方向为正方向，此时λ

∂f

∂z

−η

∂f

∂¯z

=0，则我们有Cauchy公式如下

当|λ|<|η|时，

F(z)=

−1

2πi



f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t),z∈D.(2.3)

当|λ|>|η|时，

F(z)=

2πi



f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t),z∈D.(2.4)

D为L所围区域.

当f并一定是混合解析函数，而只L上的可知函数时，我们定义Cauchy型积分如下：

F(z)=

∓1

2πi



f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t),z/∈L.(2.5)

这里符号选取由|λ|>|η|还是|λ|<|η|不确定.

定义1.[Cauchy主值积分（奇异积分）]如f∈H(L)

(C[f])(z)=lim

r→0

∓1

2πi



L\D(t,r)

f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t),(2.6)

这里D

(t,r)为以t为中心，r为半径圆盘.若极限(2.6)存在，称之为f(t)沿L上的Cauchy主

值积分.

与解析情形相同，我们有Plemelj公式.

定理2.[Plemelj公式]设L为C中分段光滑曲线，则Cauchy型积分F(z)在L两侧的极

限存在，且











(t)=

f(t)+(C[f])(t)

−

(t)=−

f(t)+(C[f])(t).

t∈L.(2.7)

也有Privonov定理.

定理3.[Privonov定理]设f∈H

(L)，则(C[f])(t)，F

(t)∈H

(L)，设D为L所围区

域，则F

(z)分别∈H





和∈H

)

3.Schwarz问题：混合解析函数的Schwarz问题

经典的Schwarz问题：

设u为单位圆上的H¨older连续实函数，设单位圆内混合解析函数f使得

Ref=u,(3.1)

DOI:10.12677/pm.2023.1351281249理论数学

雷妍妍，刘华

我们这一节讨论一个特殊的边值问题.

设Γ为如下方程确定的椭圆：

(λt+η

t)(λt+η

t)=1,(3.2)

取Γ逆时针方向为正方向，所围内部区域为S

，外部为S

−

混合解析函数的Schwarz问题：

找一个S

上混合解析函数满足

Reϕ(t)=u(t),t∈Γ.(3.3)

其中u(t)∈H(Γ),t∈Γ.设ϕ为(3.3)的解.

定义S

−

上函数其中

∗

(z)=ϕ



−1



λ¯z+¯ηz



,z∈S

−

.(3.4)

注1.容易验证，ϕ

∗

是混合解析函数且∀t∈Γ，

∗

(t)=lim

z→t

z∈S

−

∗

(z)=ϕ



−1



t+¯ηt



.(3.5)

由(3.2)得

t+¯ηt

=λt+η

t以及ρ

−1



λ¯z+¯ηz



=t,故

∗

(t)=ϕ(t).

定义2(分区解析函数).

Φ(z)=







ϕ(z),z∈S

∗

(z),z∈S

−

(3.6)

则Φ(z)满足







(t)=Φ

−

(t)+2u(t)

Φ(∞)=Φ(0),

t∈Γ.(3.7)

反过来，由Plemelj公式







C[2u]

(t)−C[2u]

−

(t)=2u(t)

C[2u](∞)=0.

(3.8)

DOI:10.12677/pm.2023.1351281250理论数学

雷妍妍，刘华

由

C[2u](0)=

2πi



2u(t)

λt+η

(λdt+ηd

t)(3.9)

2πi



2u(t)



t+¯ηt



λd

t+ηd



.(3.10)

有

d((λt+η

t)(

t+¯ηt))=0,

(λt+η

t)(

t+¯ηt)=−(

t+¯ηt)(λdt+ηd

t),

(

t+¯ηt)(λdt+ηd

t)=−(

t+¯ηt)(λdt+ηd

t).

(3.11)

即它是一个纯虚值的函数固由(3.9)C[2u](0)∈R任取c∈R，则

C[2u](0)+ic=C[2u](0)−ic.(3.12)

即

Φ(z)=C[2u](z)+ic,c∈R.(3.13)

为(3.7)的所有解.

但(3.7)的解不一定是(3.3)的解，除非ImΦ

=ImΦ

−

，此时ϕ=Φ

.我们需要设

Ψ(z)=C[2u]



−1



λt+η



+ic.(3.14)

既然C[2u]+ic是(3.7)的解，则又记得

−1



λt+η



=t,∀t∈Γ.

我们有



(t)−Ψ

−

(t)=C[2u]

−

(t)−C[2u]

(t)=−2u(t)

Ψ(∞)=C[2u](0)+ic=C[2u](∞)+ic=Ψ(0).

(3.15)

即−Ψ(t)也是(3.7)的解，故

[C[2u]+ic−Ψ].(3.16)

也满足(3.7)，且ReΦ

=u，这就是(3.3)的解.

4.常系数椭圆方程Poisson问题

设二元椭圆方程如下：

Au=a

∂

∂x

+2a

∂

∂x∂y

∂

∂y

=0,a

>0.(4.1)

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雷妍妍，刘华

求(2.2)混合解析函数满足如下Poisson条件u|

=f(t)的解，其中Γ为椭圆为上节所定义，

f∈H(Γ).

设为w

是(4.1)的特征方程

+2a

w+a

=0(4.2)

的解.

则

Au=



+i)

∂

∂z

−(w

−i)

∂

∂¯z



+i)

∂

∂z

−(w

−i)

∂

∂¯z



=0(4.3)

因为





是实正定矩阵，所以w

=¯w

.且因为（4.2）的判别式(2a

)

−4a

<0,所

以Imw

̸=0.

设w=

(λ+η)，满足方程，其中λ，η为椭圆参数.

∂u

∂z

−η

∂u

∂¯z

=0(4.4)







λ=w

′

−i

η=w

′

+i.

′

(4.5)

此时w

−i=w

+i,w

−i=w

+i.由Imw

̸=0(4.5)(因为a

)，有|λ|

̸=|η|

设D

¯z

=λ

∂

∂z

+η

∂

∂¯z

∂

∂¯z

+¯η

∂

∂z

中有Au=D

¯z

u.由前面讨论，存在S

上(0,η)

型混合解析函数ϕ，使得

Reϕ(t)=f(t),t∈Γ(4.6)

其中

ϕ(t)=Φ

(t)=

2πi



2f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t)+ic,c∈R(4.7)

特别地，

ϕ(0)=

2πi



2f(t)



t+¯ηt



λd

t+ηd



+ic,c∈R(4.8)

既然ϕ是(λ,η)混合解析函数，则D

¯z

ϕ=0，因此

Aϕ=D

¯z

ϕ=0(4.9)

又A是一个实算子，故我们得到AReϕ=0.即Reϕ是满足(4.1)和Poisson条件的解.由椭圆方

程的一般理论Poisson问题只有唯一解.故我们得到最后定理:

DOI:10.12677/pm.2023.1351281252理论数学

雷妍妍，刘华

定理4.Poisson问题存在唯一解.

由上节的Φ表达式，我们可以给出(4.1)的唯一解.如下：

定理5.椭圆方程(4.1)满足给定边值f(t)的解为

u(t)=



πi



f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd

t)−

πi



f(t)

λt+η

t−(λz+η¯z)

(λdt+ηd



(4.10)

5.结论

利用混合解析函数Schwarz问题证明了Poisson问题的解存在且唯一，并给出解的具体

表达式.

基金项目

青年科学基金项目(12101453)。

参考文献

[1]Muskhelishvili,N.I.(1958)SingularIntegralEquations.Wolters-Noordhoﬀ,Groningen.

[2]依·涅·维库阿.广义解析函数[M].中国科学院教学研究所偏微分方程组,北京大学数学力学

系函数论教研组,译.北京:人民教育出版社,1960.

[3]华罗庚.二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组[M].北京:科学出版社,

1979.

[4]Han,Q.andLin,F.H.(1997)AnIntroductiontoEllipticDiﬀerentialEquations.Courant

InstituteofMathematicalSciences,NewYork.

[5]路见可.解析函数边值问题教程[M].武汉:武汉大学出版社,2004.

[6]Begehr,H.(1994) ComplexAnalyticMethodsfor Partial Diﬀerential Equations.World Scien-

tiﬁc,Singapore.https://doi.org/10.1142/2162

[7]Begehr,H.(2005)BoundaryValueProblemsinComplexAnalysis.BoletínDeLaAsociación

MatemáticaVenezolana,12,65-86.

[8]Begehr,H.(2007)BasicBoundaryValueProblemsinComplexAnalysis.JournalofApplied

FunctionalAnalysis,2,57-71.

[9]王见定.半解析函数[M].北京:北京工业大学出版社,1988:3-7.

[10]赵桢.双解析函数与复调和函数以及它们的基本边值问题[J].北京师范大学学报(自然科学

版),1995,31(2):175-179.

[11]赵桢.双解析函数的某些性质[J].四川师范大学学报(自然科学版),1995,17(2):114-116.

DOI:10.12677/pm.2023.1351281253理论数学

雷妍妍，刘华

[12]王明华.双解析函数的性质及其Hilbert边值问题[J].北京师范大学学报(自然科学版),1998,

34(1):13-20.

[13]谢春平.双解析函数的Cauchy积分公式[J].烟台师范学院学报(自然科学版),1996,12(3):

167-171.

[14]张建元,张荣珠.混合型解析函数的Schwarz边值问题[J].昆明理工大学学报(自然科学版),

2001,26(6):145-150.

[15]赵玉松,谢春平.双解析函数的Schwarz问题[J].数学物理学报,1999,19(5):597-600.

[16]王路路,刘华.开口曲线上混合解析函数的Riemann边值问题[J].宁夏师范学院学报,2020,

41(10):33-40.

[17]郝延帅,刘华.鲁洛克斯三角形上的Schwarz边值问题[J].理论数学,2021,11(5):889-902.

https://doi.org/10.12677/PM.2021.115102

[18]Bates, P.(1979)Solutions ofNonlinear Elliptic Systemswith MeshedSpectra. Nonlinear Anal-

ysis,Theory,MethodsandApplications,4,1023-1030.

https://doi.org/10.1016/0362-546X(80)90013-9

[19]王丽平,刘文忠.一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究[J].应用数学学报,2008,

31(5):826-835.

[20]王大江,龙仑,屈非非,刘华.一类复偏微分方程边值问题的积分解[J].应用数学进展,2022,

11(1):42-47.https://doi.org/10.12677/AAM.2022.111007

[21]王柔怀,张功安.常系数无低阶项椭圆方程式与组的基本解和半空间一般模型边值问题的

Poisson核之一作法[J].吉林大学自然科学学报,1962(1):39-59.

DOI:10.12677/pm.2023.1351281254理论数学