设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2023,12(5),2235-2254
PublishedOnlineMay2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2023.125229
‘
‚
5
g
ü
½
¤
£
‘
©
ê
O-U
L
§
Ú
O
í
ä
ššš
§§§
AAA
nnn
"""
À
u
Œ
Æ
n
Æ
§
þ
°
Â
v
F
Ï
µ
2023
c
4
22
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2023
c
5
15
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2023
c
5
24
F
Á
‡
©
‘
3
|
^
•
¦
{
ï
Ä
‘
‚
5
g
ü
½
¤
£
‘
©
ê
O-U
L
§
Ú
O
í
ä
"
b
B
H
=
{
B
H
t
,t
≥
0
}
´
Hurst
•
ê
•
1
2
≤
H<
1
©
ê
Ù
K
$
Ä
§
·
‚
•
Ä
e
•
§
§
dX
H
t
=
dB
H
t
+
σX
H
t
dt
+
νdt
−
θ
Z
t
0
X
H
s
−
X
H
u
ds
dt
Ù
¥
,
X
H
0
=0
,
θ<
0
Ú
σ,ν
∈
R
´
n
‡
ë
ê
"
ù
‡
L
§
´
g
á
Ú
*
Ñ
[
(
„
Cranstonand
LeJan,
Math.Ann.
303(1995),87-93)
§
·
‚
Ì
‡
8
I
´
ï
Ä
Ù
ë
ê
•
¦
O
"
'
…
c
©
ê
Ù
K
$
Ä
§
g
ü
½
*
Ñ
§
•
¦
O
StatisticalInferenceontheFractional
Ornstein-UhlenbeckProcesswiththe
LinearSelf-RepellingDrift
QingYang,LitanYan
CollegeofScience,DonghuaUniversity,Shanghai
Received:Apr.22
nd
,2023;accepted:May15
th
,2023;published:May24
th
,2023
©
Ù
Ú
^
:
š
,
A
n
"
.
‘
‚
5
g
ü
½
¤
£
‘
©
ê
O-U
L
§
Ú
O
í
ä
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2023,12(5):
2235-2254.DOI:10.12677/aam.2023.125229
š
§
A
n
"
Abstract
ThisdissertationaimistostudystatisticalinferenceonthefractionalOrnstein-
Uhlenbeckprocesswiththelinearself-attractingdriftbyleastsquaresestimation.
Let
B
H
=
{
B
H
t
,t
≥
0
}
be a fractionalBrownian motion withHurstindex
1
2
≤
H<
1
.We
considerthefollowingequation,
dX
H
t
=
dB
H
t
+
σX
H
t
dt
+
νdt
−
θ
Z
t
0
X
H
s
−
X
H
u
ds
dt
with
X
H
0
= 0
, where
θ<
0
and
σ,ν
∈
R
arethree parameters.Theprocess is ananalogue
oftheself-attractingdiffusion(CranstonandLeJan,
Math.Ann.
303(1995),87-93).
Ourmainaimistostudytheleastsquaresestimationsofitsparameters.
Keywords
FractionalBrownianMotion,Self-RepellingDiffusions,LeastSquaresEstimation
Copyright
c
2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
1992
c
,Durrett
Ú
Rogers [1]
é
˜
a
O
•
à
Ü
Ô
.
‰
ï
Ä
"
3
,
«
^
‡
e
§
¦
‚
ï
á
X
e
‘
Å
‡
©•
§
)
ì
C
5
Ÿ
µ
X
t
=
B
t
+
Z
t
0
Z
s
0
f
(
X
s
−
X
u
)
duds,t
≥
0(1)
Ù
¥
B
´
˜
‡
d
-
‘
I
O
Ù
K
$
Ä
§
f
´
Lipschitz
ë
Y
"
X
t
é
A
à
Ü
Ô
3
ž
m
t
¤
3
˜
"
Š
ö
‰
Ñ
3
˜
½
^
‡
e
3
ž
m
t
→∞
ž
'
u
)
X
t
n
‡
5
Ÿ
½
n
§
¿
…
J
Ñ
n
‡
ß
Ž
§
©
O
3
1996
c
!
2012
c
!
2008
c
)û
"
X
J
f
(
x
)=
g
(
x
)
x/
k
x
k
¿
…
g
(
x
)
>
0
§
@
o
þ
ã
•
§
)
X
t
´
©
z
[2]
¥
¡
•
˜
al
Ñ
L
§
ë
Y
‡
§
ù
‡
;
•
6
.
‘
Å
‡
©•
§
Œ
±
w
Š
´
à
Ü
Ô
¤
.
.
§
)
L
§
X
t
†
à
Ü
Ô
3
t
ž
•
¤
3
˜
k
'
"
DOI:10.12677/aam.2023.1252292236
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
1995
c
§
Cranston
Ú
LeJan [3]
*
Ð
T
.
§
ï
á
¤
¢
g
á
Ú
*
Ñ
V
g
§
¿
…
A
O
ï
Ä
X
e
ü
«
˜
‘
œ
/
µ
(i)
‚
5
g
p
œ
/
X
t
=
B
t
+
νt
−
θ
Z
t
0
Z
s
0
(
X
s
−
X
u
)
duds,t
≥
0(2)
Ù
¥
§
θ>
0
,ν
∈
R
§
B
´
˜
‘
I
O
Ù
K
$
Ä
"
(ii)
~
g
p
œ
/
X
t
=
B
t
+
νt
−
σ
Z
t
0
Z
s
0
sign
(
X
s
−
X
u
)
duds,t
≥
0(3)
Ù
¥
σ>
0
§
B
´
˜
‘
I
O
Ù
K
$
Ä
"
X
J
é
¼
ê
f
Ø
Š
?
Û
•
½
§
@
o
•
§
(1)
½
Â
˜
‡
g
p
*
Ñ
L
§
"
X
J
é
?
¿
x
∈
R
§
f
÷
v
x
·
f
(
x
)
≥
0(
†
ó
ƒ
§
§
•
–
•
u
l
Ù
ƒ
c
ˆ
L
˜
)
§
K
¡
•
§
(1)
)
•
g
ü
½
"
X
J
é
?
¿
x
∈
R
§
f
÷
v
x
·
f
(
x
)
≤
0(
†
ó
ƒ
§
§
•
–
•
u
‚
C
Ù
ƒ
c
ˆ
L
˜
)
§
K
¡
•
§
(1)
)
•
g
á
Ú
"
Š
5
¿
´
§
ù
«
.
Œ
±
'
[
•
˜
‡
Ornstein-Uhlenbeck
L
§
§
Ï
d
§
ï
Ä
ù
a
•
§
ì
C
1
•
†
ë
ê
O
½
N
´
é
k
¿Â
"
'
u
g
ü
½
Ú
g
á
Ú
*
Ñ
?
˜
Ú
ï
Ä
Œ
ë
„
©
z
[4]
!
[5]
!
[6]
Ú
[7]
§
'
u
˜
„
g
p
*
Ñ
ï
Ä
Œ
ë
„
©
z
[8]
!
[9]
!
[10]
Ú
[11]
"
2002
c
,Bena¨ım
<
[4]
•
Ä
•
6
u
ò
È
ÿ
Ý
g
p
*
Ñ
"
•
§
X
e
µ
dX
t
=
√
2
dB
t
−
1
t
Z
t
0
∇
W
(
X
t
−
X
s
)
ds
dt,
Ù
¥
§
W
´
˜
‡
p
³
¼
ê
"
l
þ
ã
•
§
Œ
±
w
Ñ
§
§
Ú
Ù
K
à
Ü
Ô
•
3
•
Œ
«
O
3
u
§
¤
£
‘
Ø
±
t
"
3
N
õ
œ
¹
e
§
T
*
Ñ
L
§
Œ
±
†
Ornstein-Uhlenbeck
L
§
ƒ
'
§
ù
Œ
±
•
Ä
Ù
ì
C
1
•
"
2008
c
§
3
©
ê
Ù
K
$
Ä
Š
•
à
Ü
Ô
.ï
Ä
é
u
e
§
Yan
<
[12]
•
Ä
e
d
©
ê
Ù
K
$
Ä
°
Ä
[
µ
X
H
t
=
B
H
t
−
θ
Z
t
0
Z
s
0
(
X
H
s
−
X
H
u
)
duds
+
νt
(4)
Ù
¥
θ<
0
§
B
H
´
Hurst
•
ê
÷
v
1
2
≤
H<
1
©
ê
Ù
K
$
Ä
"
θ>
0
ž
§
Yan
<
[12]
y
²
Ñ
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
þ
ã
•
§
)
Â
ñ
5
3
þ
•
Ú
A
7
,
^
‡
e
Ñ
´
¤
á
§
¿
…
Ù
)
Â
ñ
˜
‡
‘
Å
C
þ
"
Sun
Ú
Yan[13]
q
3
d
Ä
:
þ
é
θ
Ú
ν
?
1
ë
ê
O
"
,
˜
•
¡
§
3
2015
c
§
Bena¨ım
<
[4]
ï
Ä
±
e
/
ª
g
ü
½
p
§
X
t
=
B
t
+
Z
t
0
g
(
X
s
)
ds
−
Z
t
0
Z
s
0
f
(
X
s
−
X
u
)
duds,
Ù
¥
B
t
´
Ù
K
$
Ä
§
f
´
±
Ï
•
2
π
±
Ï
¼
ê
"
3
Ð
©
¤
£
¿
¡
g
·
^
‡
e
§
Ú
\
L
Þ
Œ
+
Feller
5
Ÿ
Ú
ØCÿ
Ý
"
DOI:10.12677/aam.2023.1252292237
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
Yan
[12]
É
©
z
[14]
Ú
[15]
é
u
•
Ä
‘
Å
‡
©•
§
X
t
=
B
H
t
+
Z
t
0
Z
s
0
(
f
(
X
H
s
−
X
H
u
)
duds,
Ù
¥
B
H
´
˜
‡
Hurst
•
ê
•
1
2
≤
H<
1
©
ê
Ù
K
$
Ä
§
¿
Š
•
A
~
ï
Ä
X
e
‚
5
•
§
µ
X
t
=
B
H
t
+
θ
Z
t
0
Z
s
0
(
X
H
s
−
X
H
u
)
duds
+
νt,t
≥
0
θ<
0
¿
…
1
2
≤
H<
1
ž
§
¦
‚
3
©
z
[12]
¥y
²
§
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
ù
‡
•
§
)
´
þ
•
†
A
??
Â
ñ
"
•
õ
ï
Ä
Œ
±
ë
•
CranstonandMountford[10]
§
Gauthier [5],HerrmannandRoynette [6]
§
HerrmannandScheutzow[7]
§
MountfordandP.Tarr´es[11]
§
SunandYan [13]
±
9
ƒ
'
©
z
"
•
C
§
Yan [16]
•
Ä
X
e
‘
‚
5
g
ü
½
¤
£
‘
©
ê
Ornstein-Uhlenbeck
L
§
)
ƒ
'
5
Ÿ
µ
X
H
t
=
B
H
t
+
σ
Z
t
0
X
H
s
ds
+
νt
−
θ
Z
t
0
Z
s
0
(
X
H
s
−
X
H
u
)
duds
(5)
Ù
¥
θ<
0
Ú
σ,ν
∈
R
´
n
‡
ë
ê
§
¿
…
B
H
´
Hurst
•
ê
÷
v
1
2
≤
H<
1
©
ê
Ù
K
$
Ä
"
3
©
¥
,
·
‚
•
Ä
3
ë
Y
*
ÿ
e
œ
/
,
é
þ
ã
•
§
?
1
ë
ê
O
¯
K
ï
Ä
"
¯¢
þ
,
y
ã
5
õ
Æ
ö
ï
Ä
d
p
d
L
§
°
Ä
‘
Å
L
§
ë
ê
O
,
Ï
•
Ù
3
7
K
+
•k
é
r
A^
5
"
©
,
·
‚
Ì
‡
Ï
L
[12]
J
ø
•{
é
þ
ã
•
§
¥
ë
ê
?
1
O
"
2.
O
•
£
ù
˜
!
Ì
‡
0
©
¤
I
‡
˜
O
•
£
±
9
3
©
z
[16]
¥
)
ƒ
'
5
Ÿ
.
!
·
‚
{
ü
£
©
ê
Ù
K
$
Ä
˜
5
Ÿ
Ú
˜
Ä
:
(
Ø
,
•[
S
N
ž
w
©
z
Biagini[17],Hu[18],
Mishura [19],Nualart [20],Nourdin [21],Tudor[22].
3
©
¥
·
‚
©
ª
b
½
H
∈
(0
,
1)
´
?
¿
‰
½
.
¯
¤
±•
,
½
Â
3
V
Ç
˜
m
(Ω
,
F
H
,P
)
þ
"
þ
Š
p
d
L
§
¡
•
Hurst
•
ê
•
H
©
ê
Ù
K
$
Ä
,
X
J
§
÷
v
W
H
0
= 0
±
9
E
W
H
t
W
H
s
=
1
2
t
2
H
+
s
2
H
−|
t
−
s
|
2
H
,t,s
≥
0
.
H
´
d
«
5
¼
ê
{
1
[0
,t
]
,t
∈
[0
,T
]
}
¤
)
¤
‚
5
˜
m
E
'
u
X
e
S
È
z
µ
h
1
[0
,s
]
,
1
[0
,t
]
i
H
=
1
2
t
2
H
+
s
2
H
−|
t
−
s
|
2
H
.
1
2
<H<
1
ž
,
§
Œ
¤
H
=
{
ϕ
: [0
,T
]
→
R
|k
ϕ
k
H
<
∞}
,
DOI:10.12677/aam.2023.1252292238
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
Ù
¥
k
ϕ
k
2
H
:=
α
H
Z
T
0
Z
T
0
ϕ
(
s
)
ϕ
(
r
)
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr
…
α
H
=
H
(2
H
−
1).
½
Â
N
X
e
µ
1
[0
,t
]
7→
W
H
(1
[0
,t
]
) :=
Z
T
0
1
[0
,t
]
dW
H
s
=
W
H
t
,t
∈
[0
,T
]
ù
‡
N
Œ
±
‚
5
*
Ü
E
þ
µ
W
H
(
ϕ
) =
Z
T
0
ϕ
(
t
)
dW
H
t
.
K
T
‚
5
N
´
l
E
d
W
H
)
¤
p
d
˜
m
˜
‡
å
N
¿
…
§
Œ
±
ò
ÿ
H
þ
.
T
N
¡
•
'
u
W
H
Wiener
È
©
.
X
J
é
z
˜
‡
T>
0,
k
k
ϕ
k
2
H
:=
α
H
Z
∞
0
Z
∞
0
ϕ
(
t
)
ϕ
(
s
)
|
t
−
s
|
2
H
−
2
dsdt<
∞
,
K
·
‚
Œ
±
½
Â
È
©
µ
Z
∞
0
ϕ
(
t
)
dW
H
t
,
ù
ž
,Wiener
È
©
R
T
0
ϕ
(
t
)
dW
H
t
¡
•
Ø
½
È
©
.
é
u
Hurst
•
ê
•
H
∈
(0
,
1)
©
ê
Ù
K
$
Ä
W
H
,
•
Ä
ä
k
±
e
/
ª
1
w
•
¼
8
Ü
S
F
=
f
(
W
H
(
ϕ
1
)
,W
H
(
ϕ
2
)
,...,W
H
(
ϕ
n
))
,
(6)
Ù
¥
f
∈
C
∞
b
(
R
n
)(
f
9
Ù
¤
k
ê
Ñ
k
.
)
…
ϕ
i
∈H
.
é
?
¿
F
∈S
,
·
‚
½
Â
S
þ
ê
Ž
f
D
H
(Malliavin
ê
)
X
e
µ
D
H
F
=
n
X
j
=1
∂f
∂x
j
(
W
H
(
ϕ
1
)
,W
H
(
ϕ
2
)
,...,W
H
(
ϕ
n
))
ϕ
j
.
ê
Ž
f
D
H
´
l
L
2
(Ω)
L
2
(Ω;
H
)
˜
‡
Œ
4
Ž
f
.
·
‚
^
D
1
,
2
L
«
S
'
u
X
e
‰
ê
k
F
k
1
,
2
:=
q
E
|
F
|
2
+
E
k
D
H
F
k
2
H
4
•
.
P
δ
H
´
ê
Ž
f
D
H
Ý
Ž
f
,
·
‚
r
§
¡
•
Ñ
Ý
Ž
f
.
•
Ò
´
`
·
‚
¡
‘
Å
C
þ
u
∈
L
2
(Ω;
H
)
á
u
Ñ
Ý
Ž
f
½
Â
•
,
P
‰
Dom(
δ
H
).
e
é
?
¿
F
∈S
k
E
h
D
H
F,u
i
H
≤
c
k
F
k
L
2
(Ω)
,
d
ž
,
é
?
¿
u
∈
D
1
,
2
,
δ
H
(
u
)
d
X
e
é
ó
'
X
½
Â
E
Fδ
H
(
u
)
=
E
h
D
H
F,u
i
H
.
(7)
DOI:10.12677/aam.2023.1252292239
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
·
‚
k
D
1
,
2
⊂
Dom(
δ
H
).
¿
…
1
2
<H<
1,
é
?
¿
u
∈
D
1
,
2
,
k
E
δ
H
(
u
)
2
=
E
k
u
k
2
H
+
E
Z
[0
,T
]
4
D
H
ξ
u
r
D
H
η
u
s
φ
(
η,r
)
φ
(
ξ,s
)
dsdrdξdη.
(8)
·
‚
ò
¦
^
X
e
P
Ò
L
«
'
u
L
§
u
Skorohod
È
©
δ
H
(
u
) =
Z
T
0
u
s
dW
H
s
,
…
Ø
½
È
©
½
Â
•
R
t
0
u
s
dB
H
s
=
δ
H
(
u
1
[0
,t
]
).
·
‚
•
Œ
±
½
Â
f
n
∈H
⊗
n
'
u
W
H
-
È
©
I
n
(
f
n
),
•
[
S
N
ë
„
Nualart
9
Ortiz-Latorre[23],Nualart-Peccati [24].
•
Ä
ؼ
ê
K
H
(
t,s
) = Γ(
H
+
1
2
)
−
1
(
t
−
s
)
H
−
1
2
F
(
H
−
1
2
,
1
2
−
H,H
+
1
2
,
1
−
t
s
)
,
Ù
¥
F
(
a,b,c,z
)
´
Gauss
‡
A
Û¼
ê
(
•[
Œ
ë
„
Decreusefond
Ú
Ustunel[25]).
@
o
,
é
?
¿
s,t
≥
0,
•
¼
ê
R
H
(
t,s
)
•
:
R
H
(
t,s
) =
Z
t
∧
s
0
K
H
(
t,r
)
K
H
(
s,r
)
dr.
½
Â
l
E
L
2
([0
,T
])
‚
5
Ž
f
K
∗
H
:
(
K
∗
H
ϕ
)(
s
) =
K
H
(
T,s
)
ϕ
(
s
)+
Z
T
s
(
ϕ
(
r
)
−
ϕ
(
s
))
∂K
H
∂r
(
r,s
)
dr.
é
?
¿˜
é
F
¼
ê
ϕ,ψ
∈E
·
‚
k
µ
h
K
∗
H
ϕ,K
∗
H
ψ
i
L
2
([0
,T
])
=
h
ϕ,ψ
i
H
.
•
Ò
´
`
,
Ž
f
K
∗
H
´
Hilbert
˜
m
H
L
2
([0
,T
])
å
Ž
f
.
L
§
B
=
{
B
t
,t
∈
[0
,T
]
}
:
B
t
=
W
H
((
K
∗
H
)
−
1
(1
[0
,t
]
))(9)
´
˜
Ù
K
$
Ä
¿
…
du
K
∗
H
1
[0
,t
]
(
s
) =
K
H
(
t,s
)1
[0
,t
]
(
s
),
L
§
B
H
k
X
e
È
©
L
y
/
ª
µ
W
H
t
=
Z
t
0
K
H
(
t,s
)
dB
s
.
(10)
,
˜
•
¡
,
†
Ø
K
H
ƒ
'
L
2
([0
,T
])
þ
Ž
f
K
H
´
l
L
2
([0
,T
])
I
H
+
1
2
0
+
(
L
2
([0
,T
]))
Ó
Ž
f
¿
…
0
≤
H
≤
1
2
,
§
k
X
e
L
ã
/
ª
:
(
K
H
h
)(
s
) =
I
2
H
0
+
s
1
2
−
H
I
1
2
−
H
0
+
s
H
−
1
2
h,h
∈
L
2
([0
,T
])
,
,
1
2
≤
H
≤
1,
k
DOI:10.12677/aam.2023.1252292240
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
(
K
H
h
)(
s
) =
I
1
0
+
s
H
−
1
2
I
H
−
1
2
0
+
s
1
2
−
H
h,h
∈
L
2
([0
,T
])
,
Ù
¥
I
α
a
+
L
«
†
ý
©
ê
Riemann-Liouville
È
©
…
f
∈
L
1
([
a,b
])
ê
α>
0,
x
∈
(
a,b
),
a,b
∈
R
k
I
α
a
+
f
(
x
) =
1
Γ(
α
)
Z
x
a
f
(
y
)
(
x
−
y
)
1
−
α
dy
Ù
¥
Γ
•
Gamma
¼
ê
.
Ï
d
é
?
¿
h
∈
I
H
+
1
2
0
+
(
L
2
[0
,T
]),
0
≤
H
≤
1
2
ž
,
_
Ž
f
K
−
1
H
ä
k
±
e
/
ª
µ
(
K
−
1
H
h
)(
s
) =
s
1
2
−
H
D
1
2
−
H
0
+
s
H
−
1
2
D
2
H
0+
h
1
2
≤
H
≤
1
ž
,
_
Ž
f
/
ª
X
e
:
(
K
−
1
H
h
)(
s
) =
s
H
−
1
2
D
H
−
1
2
0
+
s
1
2
−
H
h
0
,
Ù
¥
D
α
a
+
´
†
ý
Riemannian-Liouville
ê
Ž
f
…
f
∈
I
α
a
+
(
L
2
)
ê
•
α
∈
(0
,
1),
½
Â
X
e
:
D
α
a
+
f
(
x
) =
1
Γ(1
−
α
)
d
dx
Z
x
a
f
(
y
)
(
x
−
y
)
α
dy.
•
õ
'
u
©
ê
‡
È
©
•
£
Œ
ë
„
Samko
<
[26].
3
‰
Ñ
ë
ê
O
(
Ø
ƒ
c
,
·
‚
k
£
'
u
X
e
•
§
®
²
‰
Ñ
Ü
©
)
5
Ÿ
X
H
t
=
B
H
t
+
σ
Z
t
0
X
H
s
ds
+
νt
−
θ
Z
t
0
Z
s
0
(
X
H
s
−
X
H
u
)
duds,
Ú
n
1.
b
θ<
0
¿
…
1
2
≤
H<
1
"
½
Â
L
§
ξ
H
t
:=
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
,t
≥
0
.
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
k
ξ
H
t
→
ξ
H
∞
:=
R
∞
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
3
L
2
Ú
A
??
¿Â
e
¤
á
"
?
˜
Ú
/
§
½
Â
Ψ
H
t
(
θ,σ
) :=
Z
t
0
e
−
1
2
θu
2
+
σu
ξ
H
∞
−
ξ
H
u
du,t
≥
0
.
K
é
?
¿
γ
≥
0
§
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
k
t
γ
e
1
2
θt
2
−
σt
Ψ
H
t
(
θ,σ
)
−→
0(11)
3
L
2
Ú
A
??
¿Â
e
¤
á
"
3.
e
Z
O
3
!
¥
§
·
‚
ò
‰
Ñ
˜
O
"
•
{
ü
å
„
§
b
θ<
0
§
C
´
˜
‡
Œ
U
•
6
†
H
!
θ
!
ν
Ú
σ
~
ê
§
¿
…
§
Š
3
Ø
Ó
œ
/
e
Œ
U
Ø
Ó
§
é
~
þ
c
•
Š
Ó
b
"
DOI:10.12677/aam.2023.1252292241
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
Ú
n
2.
b
X
H
•
•
§
7
)
…
θ<
0
,
1
2
≤
H<
1
,
s,t
∈
[0
,T
]
§
K
k
c
|
t
−
s
|
2
H
≤
E
[(
X
H
t
−
X
H
s
)
2
]
≤
C
|
t
−
s
|
2
H
(12)
y
²
.
·
‚
Œ
±
u
y
§
é
v
ϑ
∈
(0
,H
)
§
L
§
t
7→
X
H
t
´
k
.
1
H
−
ϑ
C
"
Ï
d
§
X
J
u
´
k
.
p
−
C
§
…
1
≤
p<
1
1
−
H
+
ϑ
§
@
o
Young
È
©
Z
t
0
u
s
dX
H
s
=
u
t
X
H
t
−
u
0
X
H
0
−
Z
t
0
X
H
s
du
s
•
3
§
q
Ï
•
Y
H
t
=
Z
t
0
(
u
−
σ
θ
)
dX
H
u
,t
≥
0
9
X
H
t
=
B
H
t
−
θ
Z
t
0
Y
H
s
ds
+
νt,t
≥
0
.
(13)
Ï
d
§
d
©
Ü
È
©
ú
ª
§
é
?
¿
t
≥
0
§
k
Y
H
t
= (
t
−
σ
θ
)
X
H
t
−
Z
t
0
X
H
s
ds
=
Z
t
0
(
u
−
σ
θ
)
dX
H
u
,t
≥
0
.
(
Ü
13
§
dY
H
t
=
−
θ
(
t
−
σ
θ
)
Y
H
t
dt
+(
t
−
σ
θ
)
dB
H
t
+
ν
(
t
−
σ
θ
)
dt,t
≥
0
.
(14)
Ï
L
~
ê
C
´
{
§
·
‚
Œ
±
b
½
L
§
Y
H
t
=
C
H
t
e
−
1
2
θt
2
+
σt
12œ)
Ù
¥
C
H
0
=
Y
H
0
= 0
§
K
Š
â
12
§
·
‚
k
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dC
H
t
= (
t
−
σ
θ
)
dB
H
t
+
ν
(
t
−
σ
θ
)
dt,t
≥
0
.
k
C
H
t
=
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
+
ν
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
ds
=
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
+
ν
θ
(
e
−
1
2
θt
2
+
σt
−
1)
,t
≥
0
K
k
Y
H
t
=
e
−
1
2
θt
2
+
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
+
ν
θ
(1
−
e
−
1
2
θt
2
+
σt
)
,t
≥
0(15)
•
Ä
L
§
ξ
t
:=
R
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
,t
≥
0
§
K
Y
H
t
=
e
−
1
2
θt
2
+
σt
ξ
t
+
ν
θ
(1
−
e
−
1
2
θt
2
+
σt
)
,t
≥
0(16)
DOI:10.12677/aam.2023.1252292242
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
…
k
X
e
O
µ
E
(
ξ
t
−
ξ
s
)
2
≤
C
H,θ,σ
(
t
−
s
)
2
H,t>s
≤
0
.
(17)
¯¢
þ
§
H
=
1
2
ž
§
w
,
k
E
(
ξ
t
−
ξ
s
)
2
=
Z
t
s
(
r
−
σ
θ
)
2
e
θr
2
−
2
σr
dr
≤
θ
−
1
(
t
−
s
)
,t>s
≥
0
.
1
2
<H<
1
§
é
?
¿
t>s
≥
0
§
CaseI:
σ
≥
0
¿
…
σ
θ
≤
s<t
.
E
Z
t
s
(
r
−
σ
θ
)
e
θr
2
−
2
σr
dB
H
r
2
=
α
H
·
Z
t
s
Z
t
s
(
u
−
σ
θ
)(
v
−
σ
θ
)
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
−
σ
(
u
+
v
)
dudv
≤
(
t
−
σ
θ
)
e
θt
2
−
2
σt
·
α
H
Z
t
s
Z
t
s
|
u
−
v
|
2
H
−
2
dudv
≤
C
θ,σ
(
t
−
s
)
2
H
d
ž
¤
á
¶
CaseII:
σ<
0
¿
…
0
<s<t
≤
σ
θ
.
E
Z
t
s
(
r
−
σ
θ
)
e
θr
2
−
2
σr
dB
H
r
2
=
α
H
·
Z
t
s
Z
t
s
(
u
−
σ
θ
)(
v
−
σ
θ
)
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
−
σ
(
u
+
v
)
dudv
≤
σ
2
θ
e
σ
2
θ
·
α
H
Z
t
s
Z
t
s
|
u
−
v
|
2
H
−
2
dudv
≤
C
θ,σ
(
t
−
s
)
2
H
d
ž
¤
á
¶
CaseIII:
σ<
0
¿
…
0
<s<
σ
θ
≤
t
.
E
Z
t
s
(
r
−
σ
θ
)
e
θr
2
−
2
σr
dB
H
r
2
=
α
H
·
Z
t
s
Z
t
s
(
u
−
σ
θ
)(
v
−
σ
θ
)
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
−
σ
(
u
+
v
)
dvdu
=
α
H
Z
t
−
σ
θ
s
−
σ
θ
s
−
σ
θ
t
−
σ
θ
uv
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
dvdu
≤
α
H
Z
t
−
σ
θ
0
Z
t
−
σ
θ
0
uv
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
dvdu
+
Z
0
s
−
σ
θ
Z
0
s
−
σ
θ
uv
|
u
−
v
|
2
H
−
2
e
1
2
θ
(
u
2
+
v
2
)
dvdu
!
≤
C
θ,σ
(
t
−
σ
θ
)
2
H
+(
σ
θ
−
s
)
2
H
≤
C
θ,σ
(
t
−
s
)
2
H
y
.
"
DOI:10.12677/aam.2023.1252292243
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
Ú
n
3.
b
1
2
≤
H<
1
§
é
?
Û
k
•
ê
p
≥
1
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
A
??
k
te
θt
2
−
2
σt
Z
t
0
e
−
θs
2
+2
σs
ξ
p
s
ds
→
1
2
θ
ξ
p
∞
.
y
²
.
Š
â
Ú
n
1
Œ
•
§
é
?
¿
1
2
≤
H<
1
§
‘
Å
C
þ
ξ
∞
Ñ
l
"
þ
Š
©
Ù
§
Ï
d
§
P
(
ξ
∞
6
= 0) = 1
d
L
§
{
ξ
t
,t
≥
0
}
ë
Y5
§
Œ
lim
t
→∞
inf
1
2
t
≤
s
≤
t
ξ
s
=
ξ
∞
a.s.
Ï
d
§
t
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
,
Z
t
0
e
−
θs
2
+2
σs
ξ
p
s
ds
→∞
.
Ï
L
$
^
â
7
ˆ
£
L’Hopital
¤
{
K
§
t
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
k
lim
t
→∞
R
t
0
e
−
θs
2
+2
σs
ξ
p
s
ds
t
−
1
e
−
θt
2
+2
σt
=lim
t
→∞
e
−
θt
2
+2
σt
ξ
p
t
2
θ
(
t
−
σ
θ
)
t
−
1
e
−
θt
2
+2
σt
=
1
2
θ
ξ
p
∞
y
.
"
Ú
n
4.
-
1
2
<H<
1
"
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
(
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
Z
t
0
Z
t
0
e
−
1
2
θ
(
s
2
+
r
2
)+
σ
(
s
+
r
)
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr
→
θ
−
2
H
Γ(2
H
−
1)
.
y
²
.
´
•
§
é
¤
k
š
K
ë
Y
¼
ê
f
§
4
•
lim
t
→∞
Z
t
0
f
(
x
)
dx
•
3
…
k
•
§
K
lim
t
→∞
Z
t
0
f
(
x
)
dx
p
1
−
x
t
=lim
t
→∞
Z
t
0
f
(
x
)
dx
(18)
â
d
§
d
â
7
ˆ
{
K
§
$
^
C
þ
O
†
−
1
2
θ
(
t
2
−
r
2
)+
σ
(
t
−
r
) =
x
Ú
›
›
Â
ñ
½
n
§
Œ
DOI:10.12677/aam.2023.1252292244
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
lim
t
→∞
(
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
Z
t
0
Z
t
0
e
−
1
2
θ
(
s
2
+
r
2
)+
σ
(
s
+
r
)
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr
= 2lim
t
→∞
1
(
t
−
σ
θ
)
−
2
H
e
−
θt
2
+2
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr
=lim
t
→∞
1
θ
(
t
−
σ
θ
)
1
−
2
H
e
−
1
2
θt
2
+
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
(
t
−
r
)
2
H
−
2
dr
=
θ
−
1
lim
t
→∞
(
t
−
σ
θ
)
2
H
−
1
e
1
2
θ
(
t
2
−
r
2
)
−
σ
(
t
−
r
)
(
t
−
r
)
2
H
−
2
dr
=
θ
−
2
lim
t
→∞
(
t
−
σ
θ
)
2
H
−
1
Z
−
1
2
θt
2
+
σt
0
e
−
x
(
t
−
σ
θ
)
−
r
(
t
−
σ
θ
)
2
−
2
x
θ
!
2
H
−
2
dx
q
(
t
−
σ
θ
)
2
−
2
x
θ
= 2
2
H
−
2
θ
−
2
H
lim
t
→∞
(
t
−
σ
θ
)
2
H
−
1
Z
−
1
2
θt
2
+
σt
0
e
−
x
(
t
−
σ
θ
)+
r
(
t
−
σ
θ
)
2
−
2
x
θ
!
2
−
2
H
x
2
H
−
2
dx
q
(
t
−
σ
θ
)
2
−
2
x
θ
= 2
2
H
−
2
θ
−
2
H
lim
t
→∞
Z
−
1
2
θt
2
+
σt
0
e
−
x
1+
s
1+
2
x
θ
(
t
−
σ
θ
)
2
!
2
−
2
H
x
2
H
−
2
dx
q
1
−
2
x
θ
(
t
−
σ
θ
)
2
=
θ
−
2
H
Γ(2
H
−
1)
y
.
"
Ú
n
5.
b
1
2
≤
H<
1
§
K
é
?
¿
χB
H
t
,t
≥
0
Œ
ÿ
¿
÷
v
P
(
F<
∞
)=1
‘
Å
C
þ
F
§
t
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
•
©
Ù
k
µ
(
F,
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
dB
H
s
)
→
(
F,
p
H
Γ(2
H
)
θ
−
H
N
)
,
(19)
Ù
¥
N
´
Õ
á
u
B
H
I
O
‘
Å
C
þ
"
y
²
.
w
,
§
é
?
¿
t>
0
§
k
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
dB
H
s
=
Nχ
H,σ,θ
(
t
)
ù
p
Ò
/
=
0
L
«
•
©
Ù
ƒ
§
N
´
˜
‡
I
O
‘
Å
C
þ
…
χ
2
H,σ,θ
(
t
) = (
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
E
(
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
dB
H
s
)
2
=
α
H
(
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
Z
t
0
Z
t
0
e
−
1
2
θ
(
s
2
+
r
2
)+
σ
(
s
+
r
)
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr,t>
0
.
2
d
Ú
n
4
§
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
dB
H
s
→
p
H
Γ(2
H
)
θ
−
H
N,t
→∞
.
du
19
ü
>
þ
Ñ
l
‘
©
Ù
§
Š
â
©
z
[27]
§
=
I
y
²
é
?
¿
d
≥
1
,s
1
,...,s
d
∈
DOI:10.12677/aam.2023.1252292245
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
[0
,
∞
)
§
t
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
•
©
Ù
k
(
B
H
s
1
,...,B
H
s
d
,
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θs
2
+
σs
dB
H
s
)
→
(
B
H
s
1
,...,B
H
s
d
,θ
−
H
p
H
Γ(2
H
)
N
)
.
(20)
•
20
§
=
I
y
²
Ù
•
Ý
Â
ñ
u
ƒ
A
(
J
=
Œ
"
H
=
1
2
ž
§
y
²
'
{
ü
§
•
‡
•
Ä
1
2
<H<
1
"
é
?
¿
½
s>
0
§
k
E
B
H
s
·
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
dB
H
r
=
α
H
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θv
2
+
σv
dv
Z
s
0
|
u
−
v
|
2
H
−
2
du
=
α
H
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
s
0
e
−
1
2
θv
2
+
σv
dv
Z
s
0
|
u
−
v
|
2
H
−
2
du
+
α
H
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
s
e
−
1
2
θv
2
+
σv
dv
Z
s
0
|
u
−
v
|
2
H
−
2
du
=:
η
1
(
t
)+
η
2
(
t
)
w
,
§
t
→∞
ž
§
η
1
(
t
)
→
0
"
$
^
â
7
ˆ
{
K
§
t
→∞
ž
§
é
?
¿
s>
0
§
k
0
<η
2
(
t
) =
H
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
s
e
−
1
2
θv
2
+
σv
[
v
2
H
−
1
−
(
v
−
s
)
2
H
−
1
]
dv
≤
Hs
2
H
−
1
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
s
e
−
1
2
θv
2
+
σv
dv
→
0
l
§
é
?
¿
s>
0
§
k
lim
t
→∞
E
B
H
s
·
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
dB
H
r
= 0
y
.
"
Ú
n
6.
é
1
2
<H<
1
§
t
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
δB
H
s
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
δB
H
r
L
2
→
0(21)
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
ds
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dr
→
0(22)
y
²
.
Â
ñ
5
22
´
w
,
§
e
¡
y
²
Â
ñ
5
21
"
d
-
È
©
å
ú
ª
Œ
§
é
?
¿
t>
0
§
k
DOI:10.12677/aam.2023.1252292246
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
E
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
(
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
δB
H
r
)
δB
H
s
2
= (
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
E
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
(
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
δB
H
r
)
δB
H
s
2
= (
α
H
)
2
(
t
−
σ
θ
)
2
H
e
θt
2
−
2
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
ds
Z
s
0
e
−
1
2
θx
2
+
σx
dx
·
Z
t
0
(
r
−
σ
θ
)
e
1
2
θr
2
−
σr
dr
Z
r
0
dye
−
1
2
θy
2
+
σy
·
(
|
s
−
y
|
2
H
−
2
|
r
−
x
|
2
H
−
2
+
|
s
−
r
|
2
H
−
2
|
x
−
y
|
2
H
−
2
)
.
2
d
Ø
ª
Z
s
0
dξ
Z
r
0
|
r
−
ξ
|
2
H
−
2
|
s
−
η
|
2
H
−
2
dy
≤
2
(2
H
−
1)
2
r
2
H
−
1
s
2
H
−
1
Œ
§
t
ª
•
u
Ã
¡
ž
§
E
(
t
−
σ
θ
)
H
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
(
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
δB
H
r
)
δB
H
s
2
≤
C
H
(
t
−
σ
θ
)
2+6
H
e
θt
2
−
2
σt
→
0
.
y
.
"
4.
r
ƒ
Ü
5
9ì
C
©
Ù
|
^
þ
˜
!
(
J
§
!
ò
y
²
©
,
˜
‡
Ì
‡
½
n
"
½
n
7.
b
1
2
≤
H<
1
¿
…
θ>
0
§
K
•
¦
O
þ
ˆ
θ
T
Ú
ˆ
ν
T
´
r
ƒ
Ü
§
=
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
Â
ñ
5
ˆ
θ
T
→
θ
(23)
Ú
ˆ
ν
T
→
ν
(24)
±
V
Ç
1
¤
á
"
?
˜
Ú
/
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
X
•
©
Ù
Â
ñ
5
¤
á
µ
T
H
−
1
e
1
2
θT
2
−
σT
(
ˆ
θ
T
−
θ
)
→
2
θ
1
−
H
p
H
Γ(2
H
)
N
ξ
∞
−
ν
θ
(25)
T
1+
H
(ˆ
ν
T
−
ν
−
B
H
T
T
)
→
2(
p
H
Γ(2
H
)
θ
−
H
)
N
(26)
T
1
−
H
(ˆ
ν
T
−
ν
)
→
M
(27)
Ù
¥
M
Ú
N
•
ü
‡
Õ
á
u
©
ê
Ù
K
$
Ä
B
H
I
O
‘
Å
C
þ
¿
…
ξ
∞
=
R
∞
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
"
H
=
1
2
ž
§
B
H
¤
•
I
O
Ù
K
$
Ä
§
Ù
y
²
´
N
´
§
e
¡
=
‰
Ñ
1
2
<H<
1
ž
y
²
"
é
T>
0
§
P
DOI:10.12677/aam.2023.1252292247
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
Φ
T
=
T
Z
t
0
(
Y
H
t
)
2
dt
−
(
Z
t
0
Y
H
t
dt
)
2
K
•
¦
O
þ
ˆ
θ
T
Ú
ˆ
ν
T
Œ
•
ˆ
θ
T
−
θ
= (
T
Z
T
0
Y
H
t
dX
H
t
−
X
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
)
1
Φ
T
−
θ
= (
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
−
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
)
1
Φ
T
(28)
¿
…
ˆ
ν
T
−
ν
=
1
T
B
H
T
−
(
θ
−
ˆ
θ
T
)
Z
T
0
Y
H
t
dt.
(29)
5
¿
§
1
2
<H<
1
ž
§
‘
ÅÈ
©
R
T
0
Y
H
t
dX
H
t
´
Young
È
©
"
½
n
7
¥
23
y
²
.
b
1
2
<H<
1
§
d
16
!
Ú
n
1
Ú
Ú
n
3
¿
$
^
â
7
ˆ
{
K
§
Œ
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
→
1
2
θ
(
ξ
∞
−
ν
θ
)
2
(
T
→∞
)(30)
±
V
Ç
1
¤
á
"
e
¡
y
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
T
−
2
e
1
2
θT
2
−
σT
(
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
−
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
)
→
0
a.s.
(31)
du
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
B
H
T
T
→
0
a.s.
(32)
Ï
d
§
d
Ú
n
1
Ú
16
Œ
•
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
T
−
2
e
1
2
θT
2
−
σT
(
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
) =
B
H
T
T
·
(
T
−
1
e
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
Y
H
t
dt
)
→
0
a.s.
(33)
,
˜
•
¡
§
d
©
Ü
È
©
ú
ª
Ú
16
Œ
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
=
TY
T
B
H
T
−
T
Z
H
0
B
H
t
dY
H
t
=
TY
T
B
H
T
−
T
Z
H
0
B
H
t
d
e
−
1
2
θt
2
+
σt
ξ
t
+
ν
θ
(1
−
e
−
1
2
θt
2
+
σt
)
=
TY
T
B
H
T
−
θT
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
ξ
t
dt
−
T
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
dξ
t
−
νT
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
dt
=
TY
T
B
H
T
−
θT
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
ξ
t
dt
−
T
Z
T
0
tB
H
t
dB
H
t
−
νT
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
dt
DOI:10.12677/aam.2023.1252292248
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
d
16
Ú
Ú
n
3
¿
$
^
â
7
ˆ
{
K
§
Œ
±
y
²
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
e
Â
ñ
5
±
V
Ç
1
¤
á
µ
T
−
2
e
1
2
θt
2
−
σt
(
TY
T
B
H
T
) =
B
H
T
T
(
e
1
2
θt
2
−
σt
Y
T
)
→
0
,
T
−
2
e
1
2
θt
2
−
σt
(
T
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
ξ
t
dt
) =
T
−
1
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
B
H
t
ξ
t
dt
→
0
,
T
−
2
e
1
2
θt
2
−
σt
(
T
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
dt
) =
T
−
1
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
(
t
−
σ
θ
)
e
−
1
2
θt
2
+
σt
B
H
t
dt
→
0
.
d
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
•
k
T
−
1
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
tB
H
t
dB
H
t
) =
1
2
T
−
1
e
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
td
(
B
H
t
)
2
=
1
2
T
−
1
e
1
2
θt
2
−
σt
(
T
(
B
H
T
)
2
−
Z
T
0
(
B
H
t
)
2
dt
)
→
0
a.s.
l
lim
T
→∞
e
θt
2
−
2
σt
(
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
) =lim
T
→∞
(
T
2
e
1
2
θT
2
−
σT
)
T
−
2
e
1
2
θt
2
−
σt
(
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
)
= 0
.
(34)
±
V
Ç
1
Â
ñ
"
2
(
Ü
33
§
Œ
31
Â
ñ
5
§
2
Š
â
30
Ú
31
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
ˆ
θ
T
−
θ
=
1
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
e
θT
2
−
2
σT
(
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
−
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
)
→
0
a.s.
y
.
"
½
n
7
¥
24
y
²
.
b
1
2
<H<
1
"
d
Ú
n
1
Ú
Y
L
ǻ
16
¿
$
^
â
7
ˆ
{
K
Œ
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
k
Te
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
Y
H
t
dt
=
Te
1
2
θt
2
−
σt
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
ξ
t
dt
−
ν
θ
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dt
+
ν
θ
T
→
1
θ
(
ξ
∞
−
ν
θ
)
a.s.
(35)
â
d
§
d
Â
ñ
5
30
Ú
31
Œ
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
DOI:10.12677/aam.2023.1252292249
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
ˆ
ν
T
−
ν
=
1
T
(
X
H
T
+
ˆ
θ
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
−
Tν
)
=
1
T
B
H
t
−
(
θ
−
ˆ
θ
T
)
1
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
=
1
T
B
H
t
−
1
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
T
−
2
e
1
2
θT
2
−
σT
·
T
Z
T
0
Y
H
t
dB
H
t
−
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
Te
θT
2
−
2
σT
Z
T
0
Y
t
dt
→
0
a.s.
(36)
y
.
"
½
n
7
¥
25
y
²
.
b
1
2
<H<
1
§
é
?
¿
T>
0
§
k
T
H
−
1
e
−
1
2
θT
2
+
σT
(
ˆ
θ
T
−
θ
) =
1
Φ
T
T
H
e
−
1
2
θT
2
+
σT
Z
T
0
Y
H
t
dt
−
T
H
−
1
e
−
1
2
θT
2
+
σT
1
Φ
T
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
≡
1
Φ
T
(Υ
1
(
T
)
−
Υ
2
(
T
))
.
(37)
w
,
§
d
L
«
16
Ú
Ú
n
3
Œ
e
θT
2
−
2
σT
Υ
2
(
T
) =
T
H
−
1
e
1
2
θT
2
−
σT
B
H
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
=
B
H
T
T
2
−
H
Te
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
e
−
1
2
θT
2
+
σT
ξ
t
dt
+
Te
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
ν
θ
(1
−
e
−
1
2
θt
2
+
σt
)
dt
→
0(
T
→∞
)
±
V
Ç
1
Â
ñ
"
2
•
Ä
Υ
1
(
T
)
ì
C
©
Ù
§
é
?
¿
T
≥
0
§
k
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
dB
H
s
=
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
dB
H
s
=
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
δB
H
s
·
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
T
0
D
H
r
(
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
)
|
s
−
r
|
2
H
−
2
dsdr
=
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
δB
H
s
+
α
H
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
(
s
−
r
)
2
H
−
2
dsdr.
DOI:10.12677/aam.2023.1252292250
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
d
d
§
é
?
¿
T
≥
0
§
k
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
ξ
t
dB
H
t
=
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
Z
t
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
dB
H
t
=
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
dB
H
t
−
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
Z
T
t
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
dB
H
s
dB
H
t
=
ξ
T
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
−
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
dB
H
s
=
ξ
T
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
−
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
δB
H
s
−
α
H
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
(
s
−
r
)
2
H
−
2
dsdr.
(
Ü
Ú
n
1
!
5
!
6
!
Â
ñ
5
30
Ú
Slutsky
½
n
Œ
§
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
Υ
1
(
T
)
1
Φ
T
=
T
H
e
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
ξ
t
dB
H
t
+
ν
θ
B
H
T
−
ν
θ
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
1
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
= (
ξ
T
−
ν
θ
)
T
H
e
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
dB
H
t
1
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
−
T
H
e
1
2
θT
2
−
σT
−
ν
θ
B
H
T
+
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θt
2
+
σt
δB
H
t
δB
H
s
+
α
H
T
H
e
−
1
2
θT
2
+
σT
Z
T
0
(
s
−
σ
θ
)
e
1
2
θs
2
−
σs
Z
s
0
e
−
1
2
θr
2
+
σr
(
s
−
r
)
2
H
−
2
dsdr
1
e
θT
2
−
2
σT
Φ
T
→
2
θ
1
−
H
p
H
Γ(2
H
)
N
ξ
∞
−
ν
θ
•
©
Ù
Â
ñ
"
5
¿
§
d
Ú
n
5
Œ
•
‘
Å
C
þ
N
†
B
H
ƒ
p
Õ
á
§
l
Â
ñ
5
25
y
"
½
n
7
¥
26
Ú
27
y
²
.
é
u
1
2
<H<
1
§
w
,
k
X
e
•
©
Ù
Â
ñ
5
µ
T
1+
H
( ˆ
ν
T
−
ν
−
1
T
B
H
T
) =
T
1+
H
(
X
H
T
−
ˆ
θ
T
Z
T
0
Y
H
t
dt
−
Tν
)
=
T
H
−
1
e
−
1
2
θT
2
+
σT
(
ˆ
θ
T
−
θ
)
Te
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
Y
t
dt
→
2
p
H
Γ(2
H
)
θ
−
H
N,T
→∞
.
(
Ü
35-37
Œ
y
Â
ñ
5
26
¤
á
"
DOI:10.12677/aam.2023.1252292251
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
•
§
Š
â
29
!
35
Ú
37
Œ
±
y
²
T
ª
•
u
Ã
¡
Œ
ž
§
T
1
−
H
( ˆ
ν
T
−
ν
) =
T
H
B
H
T
+
{
T
H
−
1
e
−
1
2
θT
2
+
σT
(
ˆ
θ
T
−
θ
)
}·{
T
1
−
2
H
e
1
2
θT
2
−
σT
Z
T
0
Y
H
t
dt
}
→
M
∼
N
(0
,
1)
•
©
Ù
Â
ñ
"
?
˜
Ú
/
§
Ú
n
5
®
²
•
Ñ
M
†
B
H
ƒ
p
Õ
á
§
l
•
©
Ù
Â
ñ
5
27
¤
á
"
5.
o
(
Ú
Ð
"
©
Ì
‡
ï
Ä
‘
‚
5
g
ü
½
¤
£
‘
©
ê
O-U
L
§
Ú
O
í
ä
¯
K
§
é
u
©
ê
Ù
K
$
Ä
°
Ä
‘
Å
•
§
Ú
O
í
ä
¯
K
´
3
20
-
V
90
c
“
3
©
ê
Ù
K
$
Ä
‘
Å
‡
È
©
k
Œ
?
Ð
ƒ
Ñ
y
§
ƒ
˜
†
Š
•
V
ÇØ
9
Ù
A^
+
•
ï
Ä
Æ
K
§
©
Ï
L
é
•
§
ë
ê
•
¦
O
þ
ƒ
'
ì
C
5
Ÿ
?
1ï
Ä
§
Ì
‡
$
^
©
Ü
È
©
!
å
ú
ª
•{
§
Ì
‡
½
n
"
Y
·
‚
„
ò
?
1
•
•
E
,
d
©
ê
Ù
K
$
Ä
°
Ä
‘
Å
•
§
¯
K
§
'
X
3
d
•
§
Ä
:
þ
O
\
¼
ê
‘
§
Œ
U
¬
•
•
k
(
J
"
ë
•
©
z
[1]Durrett,R. andRogers,L.C.G.(1991)Asymptotic Behavior of Brownian Polymer.
Probability
TheoryandRelatedFields
,
92
,337-349.https://doi.org/10.1007/BF01300560
[2]Coppersmith,D.andDiaconis,P.(1986)RandomWalkswithReinforcement.Unpublished
manuscript.
[3]Cranston,M.andLeJan,Y.(1995)Self-AttractingDiffusions:TwoCaseStudies.
Mathema-
tischeAnnalen
,
303
,87-93.https://doi.org/10.1007/BF01460980
[4]Bena¨ım,M.,Ciotir,I.andGauthier,C.-E.(2015)Self-RepellingDiffusionsviaanInfinite
Dimensional Approach.
StochasticPartialDifferentialEquations:AnalysisandComputations
,
3
,506-530.https://doi.org/10.1007/s40072-015-0059-5
[5]Gauthier,C.-E.(2016)SelfAttractingDiffusionsonaSphereandApplicationtoaPeriodic
Case.
ElectronicCommunicationsinProbability
,
21
,1-12.
https://doi.org/10.1214/16-ECP4547
[6]Herrmann,S. andRoynette, B.(2003) BoundednessandConvergence ofSome Self-Attracting
Diffusions.
MathematischeAnnalen
,
325
,81-96.https://doi.org/10.1007/s00208-002-0370-0
[7]Herrmann,S.andScheutzow,M.(2004)RateofConvergenceofSomeSelf-AttractingDiffu-
sions.
StochasticProcessesandTheirApplications
,
111
,41-55.
https://doi.org/10.1016/j.spa.2003.10.012
DOI:10.12677/aam.2023.1252292252
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
[8]Bena¨ım,M.,Ledoux,M.andRaimond,O.(2002)Self-Interacting Diffusions.
ProbabilityThe-
oryandRelatedFields
,
122
,1-41.https://doi.org/10.1007/s004400100161
[9]Chambeu,S.andKurtzmann,A.(2011)SomeParticularSelf-InteractingDiffusions:Ergodic
BehaviourandAlmostSureConvergence.
Bernoulli
,
17
,1248-1267.
https://doi.org/10.3150/10-BEJ310
[10]Cranston,M.andMountford,T.S.(1996)TheStrongLawofLargeNumbersforaBrownian
Polymer.
AnnalsofProbability
,
24
,1300-1323.https://doi.org/10.1214/aop/1065725183
[11]Mountford,T.andTarr`es,P.(2008)AnAsymptoticResultforBrownianPolymers.
Annales
del’InstitutHenriPoincar´e,Probabilit´esetStatistiques
,
44
,29-46.
https://doi.org/10.1214/07-AIHP113
[12]Yan,L., Sun,Y. and Lu,Y. (2008) On the Linear Fractional Self-Attracting Diffusion.
Journal
ofTheoreticalProbability
,
21
,502-516.https://doi.org/10.1007/s10959-007-0113-y
[13]Sun,X.,Yan,L.andGe,Y.(2022)TheLawsofLargeNumbersAssociatedwiththeLinear
Self-AttractingDiffusionDrivenbyFractionalBrownianMotionandApplications.
Journalof
TheoreticalProbability
,
35
,1423-1478.https://doi.org/10.1007/s10959-021-01126-0
[14]Chakravari,N.andSebastian,K.(1997)FractionalBrownianMotionModelsforPolymers.
ChemicalPhysicsLetters
,
267
,9-13.https://doi.org/10.1016/S0009-2614(97)00075-4
[15]Cherayil,B.andBiswas,P.(1993)PathIntegralDescriptionofPolymersUsingFractional
BrownianWalks.
TheJournalofChemicalPhysics
,
99
,9230-9236.
https://doi.org/10.1063/1.465539
[16]Yan,L.,Yang,Q.andXia,X.LongTimeBehaviorontheFractionalOrnstein-Uhlenbeck
ProcesswiththeLinearSelf-RepellingDrift.
[17]Biagini,F.,Hu,Y.,Øksendal,B.andZhang,T.(2008)StochasticCalculusforFractional
BrownianMotionandApplications.In:
ProbabilityandItsApplication
,Springer,Berlin.
[18]Hu, Y.(2005) Integral Transformationsand AnticipativeCalculus forFractional Brownian Mo-
tions.In:
MemoirsoftheAmericanMathematicalSociety
,Vol.175,AmericanMathematical
Society,RhodeIsland.https://doi.org/10.1090/memo/0825
[19]Mishura,Y.S.(2008)StochasticCalculusforFractionalBrownianMotionandRelatedPro-
cesses.In:
LectureNotesinMathematics
,Vol.1929,Springer,Berlin,Heidelberg.
https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0
[20]Nualart,D.(2006)MalliavinCalculusandRelatedTopics.2ndEdition,Springer,Heidelberg,
NewYork.
[21]Nourdin,I.(2012)SelectedAspectsofFractionalBrownianMotion.Springer-Verlag,Milano.
https://doi.org/10.1007/978-88-470-2823-4
[22]Tudor,C.(2013)AnalysisofVariationsforSelf-SimilarProcesses.Springer,Heidelberg,New
York.
DOI:10.12677/aam.2023.1252292253
A^
ê
Æ
?
Ð
š
§
A
n
"
[23]Nualart,D.andOrtiz-Latorre,S.(2008)CentralLimitTheoremsforMultipleStochastic
integralsAndMalliavinCalculus.
StochasticProcessesandTheirApplications
,
118
,614-628.
https://doi.org/10.1016/j.spa.2007.05.004
[24]Nualart, D. and Peccati, G. (2005) Central Limit Theorems for Sequences of Multiple Stochas-
tic Integrals.
AnnalsofProbability
,
33
,177-193.https://doi.org/10.1214/009117904000000621
[25]Decreusefond,L.and
¨
Ust¨unel,A.S.(1999)StochasticAnalysisoftheFractionalBrownian
Motion.
PotentialAnalysis
,
10
,177-214.https://doi.org/10.1023/A:1008634027843
[26]Samko,S.G.,Kilbas,A.A.andMarichev,O.I.(1993)FractionalIntegralsandDerivatives.
GordonandBreachSciencePublishers,Langhorne,PA.
[27]Es-Sebaiy,K.andNourdin,I.(1991)ParameterEstimationfor
α
FractionalBridges.
Proba-
bilityTheoryandRelatedFields
,
92
,337-349.
DOI:10.12677/aam.2023.1252292254
A^
ê
Æ
?
Ð