一类单无界变差点的连续函数的分形维数估计 Estimation of Fractal Dimension of a Classof Continuous Functionwith SingleUnbounded Variable Difference

doi:10.12677/PM.2023.135137

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PureMathematics理论数学,2023,13(5),1341-1354

PublishedOnlineMay2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm

https://doi.org/10.12677/pm.2023.135137

一类单无界变差点的连续函数的分形维数估计

任倩倩

，梁永顺

南京理工大学,数学与统计学院,江苏南京

收稿日期：2023年4月21日；录用日期：2023年5月22日；发布日期：2023年5月29日

摘要

在本文中，我们主要在闭区间上构造了仅有一个无界变差点的连续函数。接着讨论了它的分形维

数，该函数图像的分形维数严格大于其拓扑维数。尽管该连续函数只在零点处不可微，但仍具有

明显的分形特征。

关键词

分形维数，无界变差点，Weierstrass函数

EstimationofFractalDimensionofaClass

ofContinuousFunctionwithSingle

UnboundedVariableDiﬀerence

QianqianRen

∗

,YongshunLiang

SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing

Jiangsu

Received:Apr.21

,2023;accepted:May22

,2023;published:May29

,2023

Abstract

Inthispaper,wemainlyconstructacontinuousfunctionwithonlyoneunbounded

*通讯作者。

文章引用:任倩倩,梁永顺.一类单无界变差点的连续函数的分形维数估计[J].理论数学,2023,13(5):1341-1354.

DOI:10.12677/pm.2023.135137

任倩倩，梁永顺

variablediﬀerenceonclosedintervals.Thenwediscussitsfractaldimension.The

fractal dimension of the function image is strictly larger thanits topological dimension.

Althoughthegivenfunctionisonlynondiﬀerentiableatthezeropoint,itstillhas

obviousfractalcharacteristics.

Keywords

FractalDimension,UnboundedVariation,WeierstrassFunction

This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.引言

分形，是我们研究复杂函数的重要工具之一，对那些看似杂乱无章实则呈现一定规律的函数

尤为有效[1]。近年来，对不同类型分形函数的分形维数研究引起了众多学者的广泛关注，其中连

续函数图像的分形维数严格大于其拓扑维数是重要的研究内容之一。Besicovitch和Ursell[2]最早

开始研究分形图像的分形维数，他们从几何的角度出发，研究了Weierstrass函数图像分形维数的

下界估计。后来学者们研究了分形插值函数以及自仿射曲线图像的分形维数。Barnsley于1986年

首次提出了分形插值函数的概念，并于1989年证明了当



≥1且{(x

)}不共线时，该函

数图像的盒维数为s，s为



s−1

=0的解。阮火军于2009年讨论了一般线性分形插值函数

的盒维数，当



i=1

|≥1且dim

Γq

=1时，该函数图像的盒维数为D({a

})或1，其中

D({a

})是方程



i=1

s−1

=1的唯一解。详细内容参考文献[1,3–5]。此外，文献[6]讨论

了闭区间上一维连续函数的分类并证明了所有有界变差连续函数的分形维数均为1。文献[7,8]构

造出了一些分形维数为2的特殊函数。例如Bush函数和Weierstrass函数都是具有明显分形特征

的连续函数。

我们首先给出连续有界变差函数的定义。若一个连续函数的变差是无界的，则称其为无界变

差连续函数.令I是单位区间[0,1].其具体定义如下，

定义1.1.[9]f(x)是I上的一个连续函数，{x

}

i=0

是满足

0=x

<···<x

的任何点列。记

:=sup

,…,x

)



k=1

|f(x

)−f(x

k−1

)|.(1.1)

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若(1.1)有限，则称f(x)是I上的一个连续有界变差函数。

下面我们给出三个简单的例子以作证明。

例1.2.[10]Bush函数

令b是不小于3的正整数。若x∈I，其b进分数为

x=0.x

···x

∞



n=1

∈(0,1,2,···,b−1).

Bush函数记为

f(x)=

∞



n=1

(x)

其中λ

≥2是确定的常数，µ

(x)=1。

当x

n−1

时，定义µ

(n>1)=u

n−1

，当x

̸=x

n−1

时，µ

=(1−λ)=µ

n−1

。当选择

合适的µ

时，f(x)在I上连续但是几乎处处不可微。文献[10]表明Bush函数是处处不可微的

连续函数，并且Bush函数的盒维数和Hausdorﬀ维数都大于1。

例1.3.[1]Weierstrass函数

令0<α<1,λ≥4.Weierstrass函数定义为

W(x)=

∞



j=1

−αj

sin(λ

x).

以及

dim

Γ(W,I)=2−α.

其中Weierstrass函数图像在I上的盒维数[1]记为dim

Γ(W,I)。

到目前为止，学者们在研究计算中得出Weierstrass函数的盒维数为2−α[1]。沈维孝[11]证

明了当λ取整数时，Weierstrass函数的Hausdorﬀ维数等于其盒维数。此外，Weierstrass函数的

拓扑维数为1，即Weierstrass函数的分形维数严格大于其拓扑维数。Weierstrass函数在I上连续

但处处不可微。从文献[6]中我们可以得知，Weierstrass函数在I上的点都是无界变差点，这意

味着Weierstrass函数在I上是处处无界变差的。

例1.4.[12]令a

=n/(n+1),b

=(n+1)/(n+2),c

=1/(n+1)(n∈N).

若x∈[a

,(b

)/2)，

M(x)=



−(b

−a

)

−a

)

(x−a

);

若x∈[(b

)/2,b

)，

M(x)=−



−(b

−a

)

−a

)

(x−b

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该函数是仅有一个无界变差点的一维连续函数，说明一维连续函数也可以是无界变差的。那

么是否存在仅有一个无界变差点但其分形维数严格大于拓扑维数的一维连续函数呢?

在本文中，我们主要在I上构造了仅有一个无界变差点的连续函数，讨论了该连续函数的分

形维数，从而说明该函数的分形维数为非整数维，进一步解释了分形维数的本质。

2.定义和符号

2.1.基本符号

当a,b∈R以及a<b时，记

Γ(f,[a,b])={(x,f(x)),x∈[a,b]}

为f(x)在[a,b]上的图像。

当a,b∈R，a<b时，记R

[a,b]是f(x)在[a,b]上的最大距离，即

[a,b]=sup

a≤x,y≤b

|f(x)−f(y)|.(2.1)

2.2.分形维数

为了便于讨论，我们在这里引入Γ(f,[a,b])的盒维数和Hausdorﬀ维数的定义。

定义2.1.[1,13]令f(x)是[a,b]上的连续函数，N

Γ(f,[a,b])表示能够覆盖Γ(f,[a,b])直径最大

为δ的最小集合数，Γ(f,[a,b])的下盒维数定义如下，

dim

Γ(f,[a,b])=lim

δ→0

logN

Γ(f,[a,b])

−logδ

.(2.2)

对应地，Γ(f,[a,b])的上盒维数定义如下，

dim

Γ(f,[a,b])=lim

δ→0

logN

Γ(f,[a,b])

−logδ

.(2.3)

如果上盒维数和下盒维数的值相等，则称这个共同的值为Γ(f,[a,b])的盒维数，记为

dim

Γ(f,[a,b])=lim

δ→0

logN

Γ(f,[a,b])

−logδ

.(2.4)

若U是n维欧式空间R

中任意非空子集，则U的直径定义为

|U|=sup{|x−y|:x,y∈U}.(2.5)

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即U中任意两点距离的最大值。

如果{U

}

∞

i=1

表示可以覆盖Γ(f,[a,b])直径最大为δ的可数集合，那么

Γ(f,[a,b])⊂

∞



i=1

其中对于任意的i∈Z

都有0<|U

|≤δ，我们称{U

}

∞

i=1

是Γ(f,[a,b])的一个δ-覆盖。设s≥0，

∀δ>0,定义

Γ(f,[a,b])=inf



∞



i=1

:{U

}是Γ(f,[a,b])的一个δ−覆盖



记

Γ(f,[a,b])=lim

δ→0

Γ(f,[a,b]).

Γ(f,[a,b])称为Γ(f,[a,b])的s-维Hausdorﬀ测度。Γ(f,[a,b])的Hausdorﬀ维数定义如下。

定义2.2.[1,13]令s≥0，f(x)是[a,b ]上的连续函数，Γ(f,[a,b])的Hausdorﬀ维数为

dim

Γ(f,[a,b])=inf{s:H

Γ(f,[a,b])=0}=sup{s:H

Γ(f,[a,b])=∞}.(2.6)

3.主要结果

我们首先构造了仅有一个无界变差点的连续函数，f(x)在I上连续且除零点外处处可微，接

着讨论了该函数的一些具体性质。最后研究了该函数的局部结构以及图的分形维数，函数图像不

可求长，该函数是无界变差函数，f(x)在I上的盒维数为dim

Γ(f,I)=

，具有明显的分形特

征。

3.1.构造函数

令

f(x)=xsin

,0<x≤1.

则f(x)是定义域上的连续函数。因为

lim

x→0+

xsin

=0,

当x=0时，定义f(x)=0。

因此，f(x)是I上的连续函数，

f(x)=







xsin

,0<x≤1,

0,x=0.

(3.1)

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显然，f(x)在I上一致连续但并不是处处可微的。事实上，f(x)在I上除0点外处处可微。

下面我们给出f(x)的具体图像。

Figure1.Imageoff(x)

图1.f(x)的图像

图1为f(x)在I上的图像，说明f(x)在0点附近不断振荡。f(x)的图像在I上不可求长，

因此f(x)的全变差是无穷的。

3.2.性质

根据（3.1）构造的连续函数f(x)，我们有以下基本结论。

性质3.1.如(3.1)所定义的f(x)是I上的连续函数，f(x)在I上除0点外处处可微。

定义3.1.令f(x)是[a,b]上的连续函数，x∈[a,b]。

(1)令x=a，若存在一个子区间[a,a

′

]⊂[a,b](a<a

′

≤b)，使得f(x)在[a,a

′

]上是有

界变差函数，我们称a是f(x)的有界变差点。否则，a是f(x)的无界变差点。

(2)令x=b，若存在一个子区间[b

′

,b]⊂[a,b](a≤b

′

<b)，使得f(x)在[b

′

,b]上是有界

变差函数，我们称b是f(x)的有界变差点。否则，b是f(x)的无界变差点。

(3)令a<x<b，若存在一个子区间[a

′

]⊂[a,b](a≤a

′

<x<b

′

≤b)，使得f(x)在

′

]上是有界变差函数，我们称x是f(x)的有界变差点。否则，x是f(x)的无界变差点。

根据定义3.1，我们可以得到以下结论。

性质3.2.如(3.1)所定义的f(x)是I上的连续函数，f(x)在I上仅存在一个无界变差点0，I

上的其余点都是有界变差点。

证明.令x

∈I。由性质3.1可知，f(x)在x

̸=0处可微，x

是f(x)在I上的有界变差点。

DOI:10.12677/pm.2023.1351371346理论数学

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令

∞



n=1



(2π(n+1))

(2πn)



∪



(2π)



由(2.1)知，



(2π(n+1))

(2πn)





(2π(n+

))

−

(2π(n+

))



≥

(4π)

−

,∀n∈N.

所以f(x)的全变差大于

(4π)

∞



i=1

−

又

∞



n=1

=∞.

因此f(x)在I上的全变差为∞，故f(x)至少含有一个无界变差点[6]。因为f(x)在除0点外处

处可微，所以0是f(x)在I上的唯一无界变差点。

由性质3.2可知，f(x)在I上并不满足Lipschitz条件。但是，对于任意的x

(0<x

<1)，

显然f(x)在[x

,1]上满足Lipschitz条件。事实上，我们可以得到更为一般的结论。

性质3.3.根据(3.1)所定义的函数，f(x)在I上满足

阶的Hölder条件。

证明.令0<x<x+h≤1。一方面，

|f(x+h)−f(x)|=



(x+h)sin

(x+h)

−xsin



≤(x+h).

若0=x<x+h≤1，|f(x+h)−f(x)|≤(x+h)显然成立。那么∀0≤x<x+h≤1,

|f(x+h)−f(x)|≤(x+h).(3.2)

另一方面，由微分中值定理可知，

|f(x+h)−f(x)|=| f

′

(ξ)|·h



sin

−2ξ

−2

cos



·h

≤2ξ

−2

≤2x

−2

当0<x<x+h≤1时，ξ为固定值并且ξ∈[x,x+h]，那么，

|f(x+h)−f(x)|≤2x

−2

h.(3.3)

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若x

≤h，由(3.2)知，

|f(x+h)−f(x)|≤(h

+h)≤2h

.(3.4)

若x

>h，由(3.3)知，

|f(x+h)−f(x)|≤2h

−

h=2h

.(3.5)

结合(3.4)和(3.5)

|f(x+h)−f(x)|≤2h

.(3.6)

对于∀0<x<x+h≤1，(3.6)表明f(x)在I上满足

阶的Hölder条件。

性质3.3表明f(x)是I上满足Hölder条件的连续函数。

3.3.分形维数

上一节我们研究了f(x)的基本性质。本节我们主要研究f(x)在I上的分形维数。

引理3.1. [1]令f(x)是I上的连续函数，0<δ<1.令m是大于等于δ

−1

的最小整数，N

Γ(f,I)

表示可以覆盖Γ(f,I)直径不超过δ的最小集合数。那么，

m−1



i=0

max



[iδ,(i+1)δ]



≤N

Γ(f,I)≤2m+δ

−1

m−1



i=0

[iδ,(i+1)δ].

定理3.1.令f(x)如(3.1)所定义，那么

dim

Γ(f,I)=

证明.令k∈Z

，



(2π(k+1))



∪



i=1

∪



(2π)



其中，



(2π(i+1))

(2πi)



,1≤i≤k.

因为1≤i≤k，由(2.1)可知，

)=2



(2π(i+

))

−

(2π(i+

))



≤

(2π)

−

.(3.7)

又

)≥

(4π)

−

.(3.8)

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选取|I

k+1

|≤δ≤|I

|，因此

(2πk)

−

(2π(k+1))

≤

2(2π)

−

(3.9)

以及

k+1

(2π(k+1))

−

(2π(k+2))

≥

2(4π)

−

,k≥2.(3.10)

一方面，由引理3.1中的(3.10)可知，与I

相交的δ−网格数至多为

≤



(2π(k+

))

(2π(k+

))







(2π(k+1))





≤



2(π)

(

−

)







≤16k

对于I

(1≤i≤k)，与所有I

相交的δ−网格数至多为

≤



i=1



)









≤



i=1



(2π)

−

·2(4π)







2(2π)

−

·2(4π)



≤C



i=1

−1

≤C

其中C

是正常数。

由定义2.1中的(2.2)和引理3.1可知，

dim





(2π)



=lim

δ→0

log(N

)

−logδ

≤lim

δ→0

log(16+C

)+logk

log

=lim

δ→0

2logk

log

≤lim

δ→0

2log

log

DOI:10.12677/pm.2023.1351371349理论数学

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又因为，

dim





(2π)



=1.

由上盒维数的可数稳定性可知[1]，

dim

Γ(f,I)≤

.(3.11)

另一方面，与所有I

相交的δ−网格数至少为

≥



i=1

)

≥



i=1



(4π)

−

·2(2π)





4(2π)

−

−1

·2(2π)



≥C



i=1

−1

≥C

其中C

是正常数。

通过定义2.1中的(2.3)和引理3.1可知，

dim

Γ(f,I)≥lim

δ→ 0

log(N

)

−logδ

≥lim

δ→0

logC

+logk

log

=lim

δ→ 0

2logk

log

≥lim

δ→0

2log





log

联合(3.11)，

dim

Γ(f,I)=

因为f(x)的上、下盒维数相等，所以f(x)在I上的盒维数存在，并且为

。f(x)在I上的

盒维数严格大于1，尽管f(x)在I上仅有一个无界变差点，但是仍有明显的分形特征。

接下来我们讨论Γ(f,I)的Hausdorﬀ维数。

定理3.2.令f(x)如(3.1)所定义，那么

dim

Γ(f,I)=1.

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证明.由定义2.2，我们可以得到

dim

Γ(f,I)≥1.(3.12)

要证明dim

Γ(f,I)=1，我们只需证

dim

Γ(f,I)≤1.(3.13)

令

∞



i=1

∪



(2π)



其中，



(2π(i+1))

(2πi)



因为f(x)在



(2π)



上处处可微，显然

dim





(2π)



=1.

对于任意i∈Z

，由定理3.1可知f(x)在I

上为有界变差，那么

dim

Γ(f,I

)=1,∀i∈N.

因为



(2π)



,···,I

,···都是可数集，故

dim

Γ(f,I)=max



sup

i≥1

{dim

Γ(f,I

)},dim





(2π)



=1.

从而

dim

Γ(f,I)≤1.

综上所述，

dim

Γ(f,I)=1.

通过讨论可知Γ(f,I)在I上的Hausdorﬀ维数为1，严格小于在I上的盒维数。

4.数值结果

为验证文中方法的准确性，下面采用MATLAB软件对这一函数进行模拟仿真。我们首先对

函数图像进行预处理，将图像数据转化为灰度图像，进而得到八阶灰度的二维矩阵，随后将灰度

图像进一步转化成二值图像，得到数值型数据。(图2，图3)

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Figure2.Grayscaleimageoff(x)

图2.f(x)的灰度图

Figure3.Reversalbinarygraphoff(x)

图3.f(x)的反转二值图

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最后我们得到f(x)图像盒维数，结果如下：(图4)

Figure4.Boxdimensionoff(x)

图4.f(x)的盒维数

由MATLAB程序知f(x)图像盒维数的数值结果为dim

Γ(f,I)=1.2982.

5.结论

本文主要构造了一类具有单个无界变差点的连续函数，

f(x)=







xsin

,0<x≤1,

0,x=0.

dim

Γ(f,I)=

，dim

Γ(f,I)=1。f(x)具有不同的盒维数和Hausdorﬀ维数，这表明盒维数和

Hausdorﬀ维数对函数图像具有不同尺度的刻画。我们发现，即使连续函数仅仅包含一个无界变差

点，其分形维数可能仍然大于其拓扑维数。这一无界变差点使函数在其附近的局部位置产生了分

形结构。

事实上，我们还可以进一步研究具有可数个无界变差点一般连续函数图像的分形维数及分形

特征。是否可以构造具有无界变差点的二维连续函数也可以进一步探索。

基金项目

感谢国家自然科学基金（批准号12071218）对研究的支持.

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任倩倩，梁永顺

参考文献

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