Pure Mathematics
Vol.05 No.05(2015), Article ID:16092,8 pages
10.12677/PM.2015.55031
Quaternion-Valued Admissible Wavelet Transform and Weyl Transform
Yin Liu, Jiman Zhao*
Key Laboratory of Mathematics and Complex Systems, Ministry of Education, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing
Email: lylight@mail.bnu.edu.cn, *jzhao@bnu.edu.cn
Received: Aug. 30th, 2015; accepted: Sep. 22nd, 2015; published: Sep. 25th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In this paper, we study one kind of quaternion-valued admissible wavelet transform related to a special Fourier transform. We present some properties of this kind of the admissible wavelet transform. Then, we define the Weyl transform associated with the quaternion-valued admissible wavelet transform, and prove that the Weyl operators are bounded when.
Keywords:Quaternion, Admissible Wavelet, Weyl Transform
四元数值可允许小波变换及Weyl变换
刘茵,赵纪满*
北京师范大学数学科学学院,数学与复杂系统教育部重点实验室,北京
Email: lylight@mail.bnu.edu.cn, *jzhao@bnu.edu.cn
收稿日期:2015年8月30日;录用日期:2015年9月22日;发布日期:2015年9月25日
摘 要
本文研究了一种与特殊的Fourier变换相关的四元数值可允许小波变换,给出了此类可允许小波变换的一些性质,然后定义了与其相关的Weyl变换,证明当时,Weyl算子是有界的。
关键词 :四元数,可允许小波,Weyl变换
1. 引言及预备知识
四元数[1] 是Clifford代数的一种,在所有的Clifford代数中,四元数最先被发现,最接近我们所熟悉的实数复数体系。
小波分析是近30年来发展起来的新兴学科,作为一种快速高效,高精度的近似方法,它是Fourier分析的一个突破性发展,给许多相关学科的研究领域带来了新的思想,为工程应用提供了一种新的分析工具。关于小波理论,有两个分支:可允许(或连续)小波变换和由多分辨率分析生成的离散小波。关于Clifford值小波,Mitrea [2] 提出了离散Clifford值小波变换,将经典小波推广到了Clifford代数,Brackx和Sommen [3] -[6] 建立了上此类小波的理论。Peng和Zhao [7] 刻画了与超过二维的可伸缩的欧氏群相关的Clifford代数值可允许小波,[8] 研究了与 (二维可伸缩的欧氏群)相关的四元数值可允许小波,用 Fourier变换语言给出了可允许条件的准确刻画,并给出了一些可允许小波。Mawardi,Adji和Zhao [9] 用可允许相似群来构造Clifford代数值可允许小波变换,Swanhild Bernstein [10] 以Clifford分析为工具来构造小波。本文研究一种与特殊的Fourier变换相关的四元数值可允许小波变换,Fourier变换中采用的是
(其中是任意给定的单位向量,它定义了变换轴。在处理RGB (红绿蓝)图象时,常选,对应于单位RGB颜色块的照明,灰度,轴。在本文中,为简便起见,也用),
而不是经典意义下的[11] [12] ,所以用此Fourier变换语言所刻画的可允许条件是本文给出的第一个新的结果,也是本文的基础,接着举例给出一个可允许小波,然后给出此类可允许小波变换的一些性质,诸如Plancherel公式,Parseval公式,重构公式,再生核等。
Weyl算子理论是数学分析和物理学都非常感兴趣的一大课题,在偏微分方程理论中,Weyl算子是被作为一类特殊的拟微分算子来研究的,并且证明它在一系列问题中都有很好的应用,诸如:椭圆理论,谱渐近性,正则问题等[13] -[17] 。本文定义了与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换,证明了当,时,是有界的。
现在,简单的回顾一下四元数[18] 。作为一类特殊的Clifford代数,上的四元数代数是可结合但不可交换的代数。它的基是:1,,,,满足
,,,。
给两个四元数,,令
,。
记,,其中是的标量部分,是的向量部分,则:
的共轭四元数记为,
的范数(也叫模)记为。
实部的四元数为纯四元数,有非零实部的四元数为全四元数,单位四元数模为1。
设为两个纯四元数,可以进行如下分解:
,,,; (1.1)
有[19] 。
同理得到一个全四元数关于一个向量可以分解为:,。
一般来说,四元数乘法不可交换,但对于平行四元数来说,乘法可以交换。
令是一个单位纯四元数,欧拉公式仍然成立:。任意一个四元数都可以表示成极形式:,其中指的是坐标轴,是角度,
,
如果,角度无定义[18] 。
关于四元数的更多内容,参看[19] [20] 以及其中的参考文献。
定义1.1 [8] :四元数模定义为上的内积和范数定义为:
,,
,
,
类似的,可以定义,上的内积和范数。
上的内积定义为:
, (1.2)
本文所采用Fourier变换定义如下:
定义1.2 [18] :,四元数Fourier变换对定义为:
,
对于,由计算可得:
(1.3)
本文中出现的速降函数均采用四元数值的,类似经典情况,速降函数定义如下:
对于:
其中,,,
:表示无穷次可微的函数全体。这样的称为速降函数空间。
2. 主要结果
本节首先推导得出可允许条件,接着举例给出一个可允许小波,然后给出此类可允许小波变换的一些性质。
下面先刻画可允许条件。
令,定义
(2.1)
则的Fourier变换是。
现在定义上的算子:
(2.2)
由直接计算可得:
(2.3)
令,,,为了像经典情况一样得到重构公式,计算。
由(2.2),(2.3),(1.2),可得:
假设:
(2.4)
且对几乎处处,是常数,
则可得:
因为在中稠密,故在中成立。
记:
则有:
如果,则重构公式在弱意义下成立:
下面给出满足(2.4)的函数。
假设,则由(2.4)可得:
从而得到,
所以应有,故得到,
由于,
且由四元数的性质可知,故可得,
从而由(1.1)可得,因此有,
因此,可得应为如下形式
总结如下:
定义2.1:令,当,并且:
时,称为可允许小波,
称为可允许条件,
称相应的变换为可允许小波变换。
记:
上的范数记作:
下面给出一个可允许小波的例子。
令,则:
另一方面,
所以,
又由于:
所以综上可知。
由上述推理过程可得可允许小波变换的性质。
定理2.2:(Plancherel公式)令,,则:
定理2.3:(Parseval公式)令,,,则:
由Parseval公式可得下面的重构公式:
定理2.4:(Reconstruction公式)令,,则:
现在定义,,则是带再生核的Hilbert空间。
定理2.5:(再生核)的再生核是:。
证明:由重构公式可得:
所以,再生核:。证毕。
定理2.6:令,,则,,即是型。
证明:当时,由Plancherel公式,。
当时,由Hölder不等式可得
因此。
所以由Riesz-Thorin定理可知是型,。证毕。
3. 与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换
本节将在上一节的基础上研究与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换。
定义3.1:令,则Weyl算子定义为:
其中,。
由定义可得
因此:
其中是关于第二个变量的伸缩平移变换,
定理3.2:令,则Weyl算子定义了一个有界映射:,并且:
所以对于符号,算子有定义,并且也有。
证明:首先证明如果,则。
事实上,对于,,由定义,Hölder不等式和plancherel公式可得:
所以,。
另一方面,由于在中稠密,所以可以将算子延拓到上,并且也成立。证毕。
定理3.3:假设,则算子也满足:
因此Weyl算子可以延拓到上,并且。
证明:因为,,可得:
故对于
所以。
因为在中稠密,所以可以将算子延拓到上。证毕。
由Riesz-Thorin定理及定理3.2,定理3.3可得下面的定理。
定理3.4:对于,存在唯一的从到的算子,使得对所有的,,有:
并且。
基金项目
国家自然科学基金项目(No. 11471040),中央高校基本科研业务费专项资金(No. 2014kJJCA10)资助。
文章引用
刘 茵,赵纪满. 四元数值可允许小波变换及Weyl变换
Quaternion-Valued Admissible Wavelet Transform and Weyl Transform[J]. 理论数学, 2015,
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NOTES
*通讯作者。