Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17522,6
pages
10.12677/PM.2016.63025
Induced Maps Preserving Multiplicative Matrices over Fields
Jun Zhang, Chongguang Cao
Heilongjiang University, Harbin Heilongjiang
Received: Apr. 25th, 2016; accepted: May 9th, 2016; published: May 12th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let F be a field, be the set of all
matrices over F. If a map
is defined by
where is the set of functions on F, then f is called a map induced by
on
. If
implies
, then f is called preserving multiplicative matrices. In this paper, we characterize induced maps preserving multiplicative matrices over fields.
Keywords:Field, Preserving Multiplicative, Induced Map
域上矩阵保乘积的诱导映射
张隽,曹重光
黑龙江大学,黑龙江 哈尔滨
收稿日期:2016年4月25日;录用日期:2016年5月9日;发布日期:2016年5月12日
摘 要
令F是一个域,是F上所有
对称矩阵的集合。如果一个映射
被定义如下,
。
其中,是关于F的函数集,则称f是
的由
诱导的映射。如果对于
有
,则f被称为保矩阵乘积。本文我们刻画域上矩阵保乘积的诱导映射。
关键词 :域,保乘积,诱导映射
1. 引言
刻画矩阵集合保持某些性质的映射称为矩阵保持问题研究。近年来,这种研究更感兴趣于映射没有线性和加法假定的情形,例如 [1] - [5] 。本文研究的诱导映射,其实也是这类问题的一种,又如 [6] 及 [7] 。
设是一个域,
记
上所有
阶对称矩阵的集合。设
是
到自身的映射,
是
上的函数,其中
。如果定义
则称是由
诱导的映射。简称
的诱导映射。
在本文中令是
到自身的诱导映射,如果
意味着
则称f保乘积。本文目的是刻画
的保乘积的诱导映射。
在本文中记为单位矩阵,用
记
中所有非0元的集合,
表示
位置是1,其余位置是零的矩阵。记
。
容易证明,若,则
当且仅当
。
2. 主要结果
在的情况下,对于
为
的保乘积的诱导映射的充要条件,我们有如下的重要结果。
定理1.1. 设为一个域,
为整数且
。
是
的诱导映射,则
保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵
及
上的单自同态
使得
(1)
其中。
证明:充分性显然,下证必要性。假设且互不相等,令
,
易见,由
保乘积知
,看
位置得
。 (2)
下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的及任意
均有
。由此情形条件可知
, (3)
。 (4)
令,
,易见
得
,
看位置且由(4)得
, (5)
易推出。由
得到
得
或1,易得
, (6)
故由(2)得
, (7)
令,易见
由保乘积知
,看
位置得
,又由
可得
(8)
由易见
看
位置得
, (9)
令,由(7)可知,当
时,有
,
又对有
,
因此有
, (10)
由得
,又由(10)得
,
满足(10)。当时,由
可推出
,
仍然满足(10)。总之(10)对所有情形成立。
令,则由(7)计算可得
,则有
, (11)
再由,易见
看
位置得
,由
和(9)可得
, (12)
从而有
, (13)
式意味着,故
为
的单自同态。
令,则
中,
时,有
,则
, (14)
由(9)得,可推出
,
又由(14)可得。
由(4)和(10),设,易见
,
注意到由(5)和(6)易得,显然有
,这样结论1)被证明。
2) 若存在某及某
使
,
令,由
,看
和
位置得
, (15)
, (16)
令,
由,看
位置,得
, (17)
由(17)可得即得
,又由(15)和(16)可得
。由(15)可得
,
由可得
。由(16)可得,
,由
,得到
。同理,
。由(17)易得
,由
,可得
因此,推出
,证毕。
定理1.2. 令F为一个域,设为一个由函数
导出的映射,满足
保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵
的且
为
上的单自同态,那么有
。 (18)
证明:下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的及任意
均有
。
充分性显然,下证必要性。令,易得
,看(1,2)位置且由(6)得到
, (19)
由(4)~(6)可得
, (20)
由(8),令,在(21)中,令
,得到
,
又由(20)得到,故
, (21)
又由(12)可得
, (22)
又由(4),因此得到
,令
,
显然有且
。 (23)
2) 对于某有
。
令由
看(1,1)位置得
, (24)
看其(2,2)位置得
, (25)
由可得
即
, (26)
令,由
,看(1,1)位置,又由(4)得
, (27)
, (28)
又由(26)得
, (29)
综上所述,由(26)和(29)得到。
文章引用
张 隽,曹重光. 域上矩阵保乘积的诱导映射
Induced Maps Preserving Multiplicative Matrices over Fields[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 166-171. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63025
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