Pure Mathematics
Vol.
13
No.
01
(
2023
), Article ID:
60580
,
7
pages
10.12677/PM.2023.131007
图的 -谱半径与k-匹配数
李振,章超*
贵州大学,数学与统计学院,贵州 贵阳
收稿日期:2022年12月10日;录用日期:2023年1月11日;发布日期:2023年1月20日

摘要
令G表示为图,图G的k-匹配是一个函数f,它为G的每个边分配 中的一个数,使得G的每个顶点v均有 ,这里的求和表示取遍所有与定点邻接的边e。在本文中,我们探讨了当k为奇数时,图的 -谱半径与整数k-匹配数之间的关系。
关键词
k-匹配理论,谱半径,商矩阵

The -Spectral Radius and k-Matching Number in Graphs
Zhen Li, Chao Zhang*
Department of Mathematics, Guizhou University, Guiyang Guizhou
Received: Dec. 10th, 2022; accepted: Jan. 11th, 2023; published: Jan. 20th, 2023
ABSTRACT
Let G be a graph. A k-matching of G is a function f that assigns to each edge of G a number in so that for each vertex v of G, where the sum is taken over all edges e incident with v. In our paper, we explore the relationship between -spectral radius and integer k-matching number in general graphs when k is odd.
Keywords:k-Matching Theory, Spectral Radius, Quotient Matrix
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在本文中,我们只考虑无向简单图。设 是一个图, 和 分别表示图中的顶点集和边集。除非另有规定,我们均使用文献 [1] 中的以下符号和定义。
我们将 表示为顶点v的一组邻接顶点,并用 表示v的度。设 和 分别为图的最小度和最大度。零度顶点也被称为孤立顶点。我们用 表示奇分量的集合,其阶数至少为3,用 表示奇分量的数量,用 代表G中孤立顶点的数量。图G的邻接矩阵定义为 ,如果顶点i和j相邻,则 ,否则 。令 表示图G关于顶点度的对角矩阵。 和 分别称为图G的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。对于任意 ,Nikiforov [2] 引入图G的 -矩阵为 。需要指出的是, ,。 的最大特征值称为图G的谱半径,拉普拉斯谱半径和无符号拉普拉斯谱半径也可以类似地定义。
现在我们回顾文献 [3] 中k-匹配的定义,这是整数匹配的自然推广。设k为整数,图G的k-匹配是函数 使得对于任何顶点 ,均有 。如果对于匹配M的每个顶点v,均有 ,则匹配M称为G的完美k-匹配。图G的k-匹配数用 表示,是所有k-匹配f上使得 为最大值时的k-匹配。很容易知道,当 时,完美1-匹配是我们熟悉的整数类型的完美匹配。根据文献 [4],我们知道当 时,完美2-匹配相当于分数完美匹配。图的k-匹配被广泛应用于网络设计、组合拓扑等许多研究领域。
近年来,图是否能为某些性质找到谱充分条件的问题越来越受到人们的关注,特别是在研究图的特征值与匹配数之间的关系方面。例如,当k为偶数时,Y. Liu和X. Liu [5] 证明了图的整数k-匹配数等于其分数匹配数的k倍,其中分数匹配是通过使用Pulleyblank [6] 给出的生成特殊分数匹配的算法,将整数匹配中的赋值集{0, 1}替换为实数集[0, 1]来定义的。H. Lu和W. Wang [7] 研究了一般图的完美k-匹配,并给出了当k为奇数时其存在的充分必要条件。最近,Y. Liu,X. Su,D. Xiong [3] 研究了当k为奇数时,图中k-匹配的数量。这一结果与文献 [7] 中的Berge-Tutte公式非常相似。此外,在文献 [8] 中,R. F. Liu等人从最小度 的角度探讨了分数匹配数与谱半径之间的关系。
在本文中,我们主要研究k-匹配数与谱半径相对于奇分量的数量之间的关系(见定理3.1)。
2. 预备知识
在本节中,我们将介绍完美k-匹配的一些特征和一些引理。
令M为n × n阶的实对称矩阵,设M是n阶对称实矩阵,描述为如下形式
其中块 是任意 且 的 矩阵。对于 ,令 表示 的平均行和,即 是 中所有条目的和除以行数。 被称为M的商矩阵。此外,如果M的每个块 具有恒定的行和,则B被称为M的公平商矩阵。
对于任何非负矩阵M,我们用 表示M的谱半径。我们有如下关于公平商矩阵的引理。
引理2.1 [9] [10] 设M,M1,M2是非负矩阵。然后
1) 如果B是M的公平商矩阵,那么B的特征值也是M的特征值,并且 。
2) 如果 为非负,则 。
对于k-匹配,我们有以下结果。
命题2.2设G是连通图,f是G上的k-匹配。则 ,当且仅当f是完美k-匹配时等式成立。因此,k-匹配数 ,等式成立当且仅当图G存在完美k-匹配。
证明:对于任何顶点v和k匹配的f,我们有 。对所有顶点v将这些不等式求和,我们有 。
因此,我们获得了期望的结果。根据k-匹配数的定义,我们可以很容易地知道f是G上的完美k-匹配,当且仅当 。
文献 [3] 中的以下命题为我们提供了完美k-匹配存在的标准。
命题2.3设G为图。
1) 如果 是偶数,则对于所有 ,G具有完美k-匹配当且仅当 。
2) 如果 是奇数,则对于所有子集 ,G具有完美k-匹配当且仅当 。
引理2.4 (k-Berge-Tutte formula, [11] )对于任意图G,
引理2.5 [12] 设G是具有n个顶点的连通图,如果 ,则G包含哈密顿路。
3. 主要结论
定理3.1设G是 且 的连通图,且 是实数且 。如果
则 。
证明:采用反证法证明,假设 ,因此 。这意味着图G不具有命题2.2的完美k-匹配。因此,根据命题2.3,存在满足 的顶点子集 。设T是 中的孤立顶点集, ,。则 ,,因此 。由于T是 中孤立顶点的集合,我们观察到 ,因此 。
设 , 是由X诱导的二部图G,并且 。则 。因此, 相对于分区 的商矩阵 :
的特征多项式为: ,直接计算便有:
情况1:当 时, 。因此,
情况2:当 时, ,由此可知:
据此有,
情况3:当 时, ,由此可知:
据此有,
定理3.2设G是 且 的连通图,且 是实数且 。如果
因此 。
证明:假设 。这意味着,图G不包含完美k-匹配。因此,根据定理2.3,存在满足 的顶点子集 。设T是 中孤立顶点的集合, ,。那么 。由于T是 中孤立点的集合,我们观察到 ,因此 。由于 是 的生成子图,因此
这与假设矛盾。
推论3.3设 是 且 的连通图,且 是实数,如果
则图G包含完美k-匹配。
证明:在定理3.1中,设 ,我们可以知道 。根据命题2.2有 ,由于 是一个整数。这迫使 ,这意味着G包含完美k-匹配。
同样,我们可以很容易地得出以下结论:
推论3.4设G是 且 的连通图,且 是实数。如果
则图G包含完美k-匹配。
定理3.5设G是具有n个顶点的连通图且 ,n为偶数,如果 ,则G包含完美k-匹配。
证明:根据定理2.5,图G包含哈密顿路 。对于任何 ,我们可以通过交替地将 和 赋给 ,对于 之外的边赋值0,以此来构造完美k-匹配。
基金项目
本文由贵州省科技厅项目(批准号:黔科合基础[2020]1Y405)资助。
文章引用
李 振,章 超. 图的Aα-谱半径与k-匹配数
The Aα-Spectral Radius and k-Matching Number in Graphs[J]. 理论数学, 2023, 13(01): 67-73. https://doi.org/10.12677/PM.2023.131007
参考文献
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NOTES
*通讯作者。