ABSTRACT

In this paper, we use the fixed point theorem with Banach lattice structure and topological degree to discuss the three-order two-point boundary value problem $-u^{‴}\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right)$ for all $t\in \left[0,1\right]$ subject to $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0$ , where $f\in C\left(R,R\right)$ . If $f$ satisfies certain conditions, then the existence result of the sign-changing solution is obtained. Moreover, if $f$ is odd for all $t\in \left[0,1\right]$ , then the problem has two sign-changing solutions.

Keywords:Lattice Structure, Third-Order Two-Point Boundary Value Problem, Sign-Changing Solutions

一类三阶非线性微分方程两点边值问题的 变号解

纪宏伟

南通师范高等专科学校数理系，江苏 南通

收稿日期：2017年10月11日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月27日

摘 要

利用Banach格与拓扑度相结合的理论讨论带有边值 $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0$ 的三阶微分方程两点边值问题 $-u^{‴}\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right]$ ，其中 $f\in C\left(R,R\right)$ ，得到所述问题变号解的存在性结果。进一步，如果 $f$ 是奇函数，则问题有两个变号解。

关键词 :格结构，三阶两点边值问题，变号解

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1. 引言

本文主要研究三阶两点边值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (1)

变号解的存在性，其中 $f\in C\left(R,R\right)$ 。

三阶微分方程来源于应用数学和物理等各方面的领域，在许多科学领域及工程中具有十分广泛的应用 [1] 。近些年来，有许多文献研究各类边值问题变号解的存在性，所涉及到的理论和方法主要有Leray-Schauder度理论、不动点指数理论、临界群理论、变分法、下降流不变集、特征值等 [2] - [8] 。然而，在格结构下讨论三阶两点边值问题还比较少见。孙经先等人把格理论与拓扑度理论结合在一起，利用格理论研究非锥映射的拓扑度与不动点指数的计算，得出带有格结构的新的不动点存在定理 [9] [10] 。文献 [11] [12] [13] [14] [15] 分别对二阶三点边值问题、三阶两点边值问题、四阶两点边值问题的变号解进行了研究。受这些文献的启发，本文主要利用格结构下的不动点定理，结合所对应的线性问题的特征值以及代数重数，研究问题(1)变号解的存在结果，改进和推广了文 [15] [16] 的结果。

以下我们给出非线性项 $f$ 的假设

(H₁) $f\left(0\right)=0$ 且 $f\left(u\right)$ 关于 $u$ 严格递增；

(H₂) $\underset{\left|u\right|\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_1$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 上一致，且存在正整数 $n_1$ 使得 ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ；其中， $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ 是方程 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 的无穷多个正解；

(H₃) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_0$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 一致成立，且 $0<{\beta }_0<{\lambda }_1$ 。

本文的主要结果如下：

定理1：设条件(H₁) (H₂) (H₃)成立，则边值问题(1)至少存在一个变号解

2. 预备知识

设 $P$ 是Banach空间 $E$ 中的锥， $E$ 中的半序由锥 $P$ 导出。若存在常数 $N>0$ ，使得 $\theta \le x\le y\Rightarrow \Vert x\Vert \le N\Vert y\Vert$ ，则称 $P$ 是正规锥。如果 $P$ 含有内点，即 $P$ 的内部 $\mathrm{int}P\ne \varnothing$ ，则称 $P$ 是体锥。

$E$ 在半序 $\le$ 下成为一个格，即对任意的 $x,y\in E$ ， $\sup \left\{x,y\right\}$ 和 $\inf \left\{x,y\right\}$ 都存在。对 $x\in E$ ， $x^{+}=\sup \left\{x,\theta \right\}$ ， $x^{-}=\sup \left\{-x,\theta \right\}$ ，分别称为 $x$ 的正部和负部， $\left|x\right|=x^{+}+x^{-}$ 称为 $x$ 的模。显然， $x^{+}\in P$ ， $x^{-}\in \left(-P\right)$ ， $\left|x\right|\in P$ ， $x=x^{+}-x^{-}$ 。

为了文中叙述方便，使用下列符号： $x_{+}=x^{+},x_{-}=-x^{-}$ 。于是 $x=x_{+}+x_{-},\left|x\right|=x_{+}-x_{-}$ 。

设 $E=C\left[0,1\right]$ ，范数 $\Vert u\Vert ={\max }_{t\in \left[0,1\right]}\left|u\left(t\right)\right|$ ， $P=\left\{u\in E:u\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right]\right\}$ 。显然 $E$ 是Banach空间。 $P$ 是 $E$ 的一个正规体锥，且 $E$ 在锥 $P$ 导出的半序“ $\le$ ”下成为一个格。

分别定义算子 $K,F$ 和 $A$ 如下：

$Ku\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)u\left(s\right)\text{d}s},t\in \left[0,1\right],\forall u\in E$

$Fu\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\forall u\in E$

$A=KF$

其中

$G\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}s\left(t-\frac{s}{2}\right),0\le s\le t\le 1,\\ \frac{1}{2}{t}^2,0\le t\le s\le 1\end{array}$

是问题(1)所对应的Green函数。利用Green函数的性质，容易证明 $A:E\to E$ 是全连续算子，并且 $u\in C^3\left[0,1\right]$ 是问题(1)的解当且仅当 $u\in E$ 是算子 $A$ 在 $E$ 中的不动点。

引理1： [7] 算子 $F$ 与 $A=KF$ 在格 $E=C\left[0,1\right]$ 上都是拟可加的。

引理2：设 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ 是方程 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 的正解，则

$\frac{1}{{\lambda }_1}>\frac{1}{{\lambda }_2}>\cdots >\frac{1}{{\lambda }_n}>\frac{1}{{\lambda }_{n+1}}>\cdots >0$ 分别为线性算子 $K$ 的特征值，且每个特征值 $\frac{1}{{\lambda }_i}\left(i=1,2,\cdots \right)$ 的代数重数为1。

证明：先考虑特征值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=\lambda u\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (2)

当 $\lambda >0$ 时，记 $\sqrt[3]{\lambda }=a$ ，则(2)的通解为

$u\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{-at}+C_2{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+C_3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at,t\in \left[0,1\right]$ 。

其中 $C_i\left(i=1,2,3\right)$ 是任意常数，由 $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0$ ，可得 $C_2=-C_1,C_3=\sqrt{3}{C}_1$ ，所以

$u\left(t\right)=C_1\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$

又由 $u^{″}\left(1\right)=0$ ，可得 $C_1\left(a^2{\text{e}}^{-a}+2a^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0$ ，由于 $C_1\ne 0$ ，故 $a^2{\text{e}}^{-a}+2a^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，即 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ 。

又因为 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ 有无穷多个正解，记为 $0<a_1<a_2<\cdots <a_n<a_{n+1}<\cdots$ ，所以

${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 有无穷多个正解 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ ，其中 ${\lambda }_n=a_n^3$ ， $n=1,2,\cdots$ ，所以问

题(2)有无穷多个正特征值 ${\left\{{\lambda }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 。

设 $\mu$ 是线性算子 $K$ 的特征值， $u\in E\backslash \left\{0\right\}$ 是对应的特征函数。则

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=\frac{1}{\mu }u\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

所以 $\frac{1}{{\lambda }_1}>\frac{1}{{\lambda }_2}>\cdots >\frac{1}{{\lambda }_n}>\frac{1}{{\lambda }_{n+1}}>\cdots$ 是线性算子 $K$ 的正特征值。

记 $\sqrt[3]{\frac{1}{{\mu }_n}}=\sqrt[3]{{\lambda }_n}=a$ ，则对应于特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的特征函数为

$u\left(t\right)=C\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$ ，

其中 $C$ 是非零常数，所以

$\dim \ker \left(\frac{1}{{\lambda }_n}I-K\right)=\dim \ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)=1$ (3)

下面我们证明

$\ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)=\ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ (4)

显然 $\ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)\subset \ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ ，从而只需要证明 $\ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2\subset \ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)$ 。

设 $u\in \ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ ，如果 $\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u\ne \theta$ ，那么 $\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u$ 是线性算子 $K$ 对应于特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的特征函

数，故存在 $\gamma \ne 0$ ，使得

$\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u=\gamma \left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$

两边求导可得

$\{\begin{array}{l}{u}^{‴}\left(t\right)+a^{3}u\left(t\right)=\gamma \left(-a^3{\text{e}}^{-at}+a^3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at-a^3\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

于是

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{-at}+C_2{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+C_3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\\ -\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{-at}+\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\end{array}$

代入边界条件 $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0$ ，得 $u\left(0\right)=C_1+C_2=0$ ， $u^{\prime }\left(0\right)=-a{C}_1-\frac{1}{2}a{C}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}a{C}_3-\frac{1}{3}\gamma a+\frac{1}{3}\gamma a=0$ ，

故 $C_2=-C_1,C_3=\sqrt{3}{C}_1$ ，从而

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=C_1\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right)\\ -\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{-at}+\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\end{array}$

再代入边界条件 $u^{″}\left(1\right)=0$ ，得

$\begin{array}{l}{u}^{″}\left(1\right)=C_1\left(a^2{\text{e}}^{-a}+\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)-\frac{1}{3}\gamma a\left(-2a{\text{e}}^{-a}+a^2{\text{e}}^{-a}\right)\\ +\frac{1}{3}\gamma a\left(a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)\\ +\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma a\left(a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a+\sqrt{3}a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0\end{array}$

因为 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，所以 $\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ ，代入化简为 $\frac{\gamma }{3}a\left(-\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{-a}-\sqrt{3}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0$ 。因为 $\gamma \ne 0$ ，若 $a\ne 0$ ，则 $-\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{-a}-\sqrt{3}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，从而可知 $\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ 。又 $\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ ，所以

${\left(\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2+{\left(\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2={\left({\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2=1$ ，

解得 $a=0$ 与 $a\ne 0$ 矛盾，即(3)式成立，由(3)和(4)可知特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的代数重数是1。

下面的引理是本文主要结果的理论依据。

引理3： [7] 设 $E$ 为带有格结构的Banach序空间， $P$ 为 $E$ 的一个正规体锥，全连续算子 $A$ 在 $E$ 上拟可加。如果

1) $A$ 在 $P,-P$ 上严格递增；

2) ${A^{\prime }}_P,{A^{\prime }}_{-P}$ 存在且 $r\left({A^{\prime }}_P\right)>1,r\left({A^{\prime }}_{-P}\right)>1$ ，1不是算子 ${A^{\prime }}_P$ 或者 ${A^{\prime }}_{-P}$ 的对应于正固有元的固有值；

3) $A\theta =\theta$ ， $A$ 在 $\theta$ 处的导算子 ${A^{\prime }}_{\theta }$ 是强正的，且 $r\left({A^{\prime }}_{\theta }\right)<1$ ；

4) $A$ 在 $\infty$ 点的导数 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 存在，1不是算子 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 的固有值， ${A^{\prime }}_{\infty }$ 在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 所有固有值代数重数之和为偶数。

那么 $A$ 至少存在三个非零不动点，其中包含一个变号不动点。

3. 结果的证明

定理1的证明设 $u_1,u_2\in P$ ， $u_1<u_2$ ，由( $H_1$ )， $K\left(P\backslash \left\{\theta \right\}\right)\subseteq \stackrel{°}{P}$ ，得

$A{u}_2-A{u}_1={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left[f\left(u_2\left(s\right)\right)-f\left(u_1\left(s\right)\right)\right]\text{d}s}>0,t\in \left[0,1\right]$ 。

因此， $A$ 在 $P$ 上严格递增；类似的， $A$ 在 $-P$ 上严格递增。

由( $H_2$ ) $\underset{\left|u\right|\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_1$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 上一致，即对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $R>0$ 使得 $\forall t\in \left[0,1\right],\left|u\right|>R$ 时，

有 $\left|f\left(u\right)-{\beta }_{1}u\right|\le \epsilon \left|u\right|$ 。令 $C={\max }_{0\le \left|u\right|\le R}\left|f\left(u\right)\right|$ ，则对 $t\in \left[0,1\right]$ ，有

$\left|Fu\left(t\right)-{\beta }_{1}u\left(t\right)\right|=\left|f\left(u\left(t\right)\right)-{\beta }_{1}u\left(t\right)\right|\le C+{\beta }_{1}R+\epsilon \Vert u\Vert$ 。

因此

$\left|Au\left(t\right)-{\beta }_{1}Ku\left(t\right)\right|=\left|K\left(Fu-{\beta }_{1}u\right)\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \left(C+{\beta }_{1}R+\epsilon \Vert u\Vert \right)$ 。

从而 $\underset{\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，即 ${A^{\prime }}_{\infty }={\beta }_{1}K$ 。再由 ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ，可知1不是算子 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 的固有值， ${A^{\prime }}_{\infty }$

在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 所有固有值代数重数之和为偶数。

类似地，有

$\underset{u\in P,\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，

$\underset{u\in -P,\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，

因此 ${A^{\prime }}_P={A^{\prime }}_{-P}={\beta }_{1}K$ 。再由引理2， ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ，可得1不是算子 ${A^{\prime }}_P$ 或者 ${A^{\prime }}_{-P}$ 的固有值，且

$r\left({A^{\prime }}_P\right)=r\left({A^{\prime }}_{-P}\right)=\frac{{\beta }_1}{{\lambda }_1}>1$ 。

由( $H_3$ ) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_0$ ，即对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ 使得 $\forall t\in \left[0,1\right],0<\left|u\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(u\right)-{\beta }_{0}u\right|\le \epsilon \left|u\right|$ 。

注意到 $f\left(0\right)=0$ ，从而 $A\theta =\theta$ ，因此，对于 $u\in E$ ，当 $\Vert u\Vert <\delta$ 时，有

$\left|Au\left(t\right)-A\theta -Ku\left(t\right)\right|=\left|K\left(Fu-{\beta }_{0}u\right)\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|f\left(u\left(t\right)\right)-{\beta }_{0}u\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \Vert u\Vert \epsilon$ 。

从而 $\Vert Au-A\theta -{\beta }_{0}Ku\Vert \le \Vert K\Vert \Vert u\Vert \epsilon$ 。故 $\underset{\Vert u\Vert \to 0}{\lim }\frac{\Vert Au-A\theta -{\beta }_{0}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }=0$ ，即 ${A^{\prime }}_{\theta }={\beta }_{0}K$ ，不难得出 $K\left(P\backslash \left\{\theta \right\}\right)\subseteq \stackrel{°}{P}$ ，可得 ${A^{\prime }}_{\theta }$ 强正且由 $0<{\beta }_0<{\lambda }_1$ 得 $r\left({A^{\prime }}_{\theta }\right)=\frac{{\beta }_0}{{\lambda }_1}<1$ 。

至此引理3的所有条件满足，故算子 $A$ 至少存在三个非零不动点，其中包含一个变号不动点。从而边值问题(1)至少存在三个非零解，其中包含一个变号解。

注：此结果的创新之处在于得到了变号解的存在性。

推论：若定理1的条件满足，且 $f\left(u\right)$ 是奇函数，则边值问题(1)至少存在四个非零解，其中包含两个变号解。

基金项目

江苏省高校青蓝工程基金(2014)。

文章引用

纪宏伟. 一类三阶非线性微分方程两点边值问题的变号解
Sign-Changing Solutions for Two-Point Boundary Value Problems of Three-Order Nonlinear Differential Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(08): 968-974. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.68116

参考文献 (References)