一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件 A Set of New Criteria for the Iterative Discrimination of Subdivision of Nonsingular H-Matrices

doi:10.12677/AAM.2020.91007

Advances in Applied Mathematics
Vol. 09 No. 01 ( 2020 ), Article ID: 33933 , 10 pages
10.12677/AAM.2020.91007

A Set of New Criteria for the Iterative Discrimination of Subdivision of Nonsingular H-Matrices

Wenwen Jiang, Qing Tuo^*

●How to Cite this Article

College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou Hunan

Received: Dec. 19^th, 2019; accepted: Jan. 7^th, 2020; published: Jan. 14^th, 2020

ABSTRACT

In this paper, we produced a set of new conditions for subdivided and iterative criteria of nonsingular H-matrices by the method of subdivided region and selected iterative coefficient, based on the nonsingular H-matrix and α-diagonally dominant matrix the relationship between diagonally dominant matrices. These conditions improved some recent results. Finally, several numerical examples were given to illustrate their validity.

Keywords:Non-Singular H-Matrix, α-Diagonally Dominant Matrix, Irreducible, Nonzero Elements Chain

一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件

蒋雯雯，庹清^*

吉首大学数学与统计学院，湖南吉首

收稿日期：2019年12月19日；录用日期：2020年1月7日；发布日期：2020年1月14日

摘要

本文根据非奇异H-矩阵与α-对角占优矩阵之间的关系，通过细分矩阵的下标区间，以及构造出新的迭代系数，得出了一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件，该条件改进了近期的某些结果，最后给出的几个数值算例说明了其有效性。

关键词 :非奇异H-矩阵，α-对角占优矩阵，不可约，非零元素链

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1. 引言

非奇异H-矩阵是一种很重要的矩阵类。它在数学物理、统计学、神经网络等各个领域中都有着重要的地位。对于判定线性方程组(尤其是超大型方程组)是否具有稳定解时，往往需要先通过判定其系数矩阵是否为非奇异H-矩阵来体现。如：当一个线性方程组的系数矩阵为非奇异H-矩阵，那么该方程组对Jacobi，Gauss-seidel，SOR，SSOR，AOR等经典算法均是收敛的，即该方程组具有稳定解。因此，非奇异H-矩阵判定问题一直是研究的热点，近年来国内外许多学者给出了一些实用的判定条件。

范迎松、徐仲、陆全等人在文献 [1] 中先使用了细分矩阵的下标区间的办法，并由新构造的递进系数提出了关于非奇异H-矩阵新的判别准则；尹军茹等人在文献 [2] 中使用细分矩阵下标区间的方法，构造出新的迭代系数得到了不一样的判别准则。在此基础上，山瑞平等人在文献 [3] 中，根据广义严格对角占优矩阵与非奇异H-矩阵之间蕴含的关系，细分了下标区间，并构造出不同的正对角矩阵，从而得到更好的判定条件。此外，庹清、刘长太等学者近年来在此领域也得出了一些很好的结果(见文献 [4] [5] [6] [7])。

本文中，用 $M_{n} (C) (M_{n} (R))$ 来表示n阶复(实)矩阵的集合。设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ ，记 $R_{i} = R_{i} (A) = \sum_{j \neq i} | a_{i j} |, C_{i} = C_{i} (A) = \sum_{j \neq i} | a_{j i} |, \forall i, j \in N, N = 1, 2, \dots, n$ 。为使所讨论的矩阵为非零矩阵且所论内容有意义，以下假设：在全文中， $| a_{i i} | \neq 0, R_{i} \neq 0, C_{i} \neq 0 (\forall i \in N)$ ，且规定 $\sum_{t \in \emptyset} \cdot = 0$ 。

定义1：设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ ，若 $| a_{i i} | \geq R_{i} (A), \forall i \in N$ ，则称A为对角占优矩阵，记为 $A \in D^{0}$ ；若 $| a_{i i} | > R_{i} (A), \forall i \in N$ ，则称A为严格对角占优矩阵，记为 $A \in D$ ；若存在正对角阵X，使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为 $A \in \tilde{D}$ 。

定义2：设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ，若 $| a_{i i} | \geq α R_{i} (A) + (1 - α) C_{i} (A), \forall i \in N$ ，则称A为α-对角占优矩阵，记为 $A \in D^{0} (α)$ ；若 $| a_{i i} | > α R_{i} (A) + (1 - α) C_{i} (A), \forall i \in N$ ，则称A为严格α-对角占优矩阵，记为 $A \in D (α)$ ；若存在正对角阵X，使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为 $A \in \tilde{D} (α)$ 。

定义3：设为不可约矩阵，，若 $| a_{i i} | \geq α R_{i} (A) + (1 - α) C_{i} (A)$ ，则称A为不可约α-对角占优矩阵。

定义4：设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ 为α-对角占优阵， $α \in (0, 1]$ ，若对满足的每个下标i，存在非零元素链 $a_{i i_{1}} a_{i_{1} i_{2}} \dots a_{i_{r} k}$ ，使得 $k \in {i \in N : | a_{i j} | = R_{i}^{α} (A) C_{i}^{(1 - α)} (A)} \neq \emptyset$ ，则称A为具非零元素链α-对角占优矩阵。

引理1 [8] 设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ， $A \in \tilde{D}$ 当且仅当 $A \in \tilde{D} (α)$ 。

引理2 [8] 设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ 为不可约α-对角占优矩阵，且至少有一个对角占优行，则 $A \in \tilde{D}$ 。

引理3 [9] 设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ 为具有非零元素链α-对角占优矩阵，则 $A \in \tilde{D}$ 。

以下是下标集的符号解释：

$N_{1} = {i \in N : 0 < | a_{i i} | < α R_{i} + (1 - α) C_{i}}$ ，，

$N_{3} = {i \in N : | a_{i i} | > α R_{i} (A) + (1 - α) C_{i} (A)}$ ，。

若 $N_{3} = \emptyset$ ，则 $A \notin \tilde{D}$ ；若 $N_{1} \cup N_{2} = \emptyset$ ，显然 $A \in \tilde{D}$ 。为使所论内容有意义，以下假设： $N_{1} \oplus N_{2} \neq \emptyset$ ， $N_{3} \neq \emptyset$ 。

文献 [3] 给出的主要结果如下：

首先，划分下标区间：令 $N_{1} = N_{1}^{(1)} \cup N_{1}^{(2)} \cup \dots \cup N_{1}^{(m)}$ ， $N_{1}^{(1)} = {i \in N : 0 < | a_{i i} | < \frac{1}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}$ ， $N_{1}^{(k)} = {i \in N : \frac{k - 1}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}] \leq | a_{i i} | \leq \frac{k}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}, k = 2, 3, \dots, m$ 。

记，

$\forall i \in N_{1}^{(k)}, k = 1, 2, \dots, m$ 时， $x_{1 i}^{(k)} = \frac{k | a_{i i} |}{m [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}$ ；

$\forall i \in N_{2}, p \geq 1$ 时， $x_{2 i} = \frac{1}{p m}$ ；

$\forall i \in N_{3}$ 时， $r_{0} = 1$ ，

$r_{1} = \max_{i \in N_{3}} {\frac{α R_{i} + (1 - α) C_{i}}{| a_{i i} |}}$ ，

$r_{l + 1} = \max_{i \in N_{3}} {\frac{α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 i}^{(k)}) + α \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 i} + r_{l} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} |] + (1 - α) C_{i}}{| a_{i i} |}}, l \in Z^{+}$ ，

，

$δ_{l + 1, i} = \frac{M_{l + 1, i} (A)}{| a_{i i} |}, l \in Z$ ，

$W_{l + 1, i} (A) = \frac{α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t}] + (1 - α) C_{i}}{M_{l + 1, i} (A) - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | δ_{l + 1, i}}, h_{l} = \max_{i \in N_{3}} W_{l + 1, i} (A), l \in Z$ 。

定理. 设 $A \in M_{n} (C)$ ，，若存在 $l_{0} \in Z, p \geq 1$ ，使满足

$| a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + h_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | δ_{l_{0} + 1, t}] + (1 - α) C_{i} x_{1 i}^{(k)}, \forall i \in N_{1}^{(k)}; k = 1, 2, \dots, m$ ，

$| a_{i i} | x_{2 i} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | x_{2 t} + h_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | δ_{l_{0} + 1, t}] + (1 - α) C_{i} x_{2 i}, \forall i \in N_{2}$ ，

则A是非奇异H-矩阵。

2. 主要结果

设 $A = (a_{i j}) \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ，将不占优行的下标区间划分为m个区间，即 $N_{1} = N_{1}^{(1)} \cup N_{1}^{(2)} \cup \dots \cup N_{1}^{(m)}$ ，其中m是任意正整数。

具体分法即，

$N_{1}^{(1)} = {i \in N : 0 < | a_{i i} | < \frac{1}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}$ ，

$N_{1}^{(k)} = {i \in N : \frac{k - 1}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}] \leq | a_{i i} | < \frac{k}{m} [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}, k = 2, 3, \dots, m$ ，

根据划分规则易知： $N_{1}^{(k)}$ 或为空集。

为叙述方便，引入以下符号：

$\forall i \in N_{1}^{(k)}$ ， $k = 1, 2, \dots, m$ ，；

$\forall i \in N_{2}$ ， $p \geq 1$ ， $x_{2 i} = \frac{1}{p m}$ ；

$\forall i \in N_{3}$ ， $k = 1, 2, \dots, m$ ， $l = 1, 2, \dots$ ，

$Ω_{i}^{(0)} = r_{0} = 1$ ， $r_{l} = \max_{i \in N_{3}} (\frac{α \sum_{t \in N_{1}} | a_{i t} | + α \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | + (1 - α) C_{i}}{| a_{i i} | - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l - 1)}})$ ，

$P_{l, i} = α (\sum_{t \in N_{1}} | a_{i t} | + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | + r_{l} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l - 1)}) + (1 - α) C_{i}$ ，

$Ω_{i}^{(l)} = \frac{P_{l, i}}{| a_{i i} |}$ ，

，

$H_{l} = \max_{i \in N_{3}} M_{l, i}$ ，

由上易知， $P_{l + 1, i} \leq P_{l, i}$ ， $Ω_{i}^{(l)} \leq Ω_{i}^{(l - 1)} \leq \dots \leq Ω_{i}^{(1)} \leq Ω_{i}^{(0)} = 1$ ， $r_{l} \leq r_{l - 1} \leq \dots \leq r_{1} < r_{0} = 1$ 。

2.1. 定理1

设 $A \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ，若存在 $l_{0} \in Z, p \geq 1$ ，使满足：

$\begin{array}{l} | a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] \\ + (1 - α) C_{i} x_{1 i}^{(k)}, \forall i \in N_{1}^{(k)}; k = 1, 2, \dots, m \end{array}$ (1)

(2)

则A是非奇异H-矩阵。

证明

由于 $x_{1 i}^{(k)} = \frac{k | a_{i i} |}{m [α R_{i} + (1 - α) C_{i}]}$ ，得到 $0 < x_{1 i}^{(k)} \leq \frac{| a_{i i} |}{α R_{i} + (1 - α) C_{i}} < 1, \forall i \in N_{1}^{(k)}, k = 1, 2, \dots, m$ ，从而 $0 < x_{1 i}^{(k)} < 1, \forall i \in N_{1}^{(k)}$ 。

由于 $x_{2 i} = \frac{1}{p m}, p \geq 1$ ，m是任意正整数，所以 $0 < x_{2 i} \leq 1, \forall i \in N_{2}$ 。

根据定义得到，

$\begin{matrix} M_{l, i} = \frac{α \sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + α \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + (1 - α) C_{i}}{P_{l, i} - α r_{l} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l)}} \\ \leq \frac{α \sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + α \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + (1 - α) C_{i}}{P_{l, i} - α r_{l} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l - 1)}} \\ \leq \frac{α \sum_{t \in N_{1}} | a_{i t} | + α \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | + (1 - α) C_{i}}{P_{l, i} - α r_{l} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l - 1)}} = 1 \end{matrix}$

又因为 $H_{l} = \max_{i \in N_{3}} M_{l, i}$ ，故 $H_{l} \leq 1$ ， $Ω_{i}^{(l)} \leq 1$ 。

根据(1)式和(2)式，存在 $1_{0} \in Z$ ，可取充分小的正数 $ε > 0$ ，使 $ε$ 同时满足：

$\begin{array}{l} ε α \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | < | a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] \\ - (1 - α) C_{i} x_{1 i}^{(k)}, \forall i \in N_{1}^{(k)}; k = 1, 2, \dots, m \end{array}$ (3)

$ε α \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | < | a_{i i} | x_{2 t} - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{k}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] - (1 - α) C_{i} x_{2 i}, \forall i \in N_{2}$ (4)

再根据 $M_{l, i}$ ， $P_{l, i}$ 的定义，以及， $Ω_{t}^{(l)} = \frac{P_{l, i}}{| a_{i i} |}$ ，对于任意 $i \in N_{3}$ ，有：

$H_{l_{0}} P_{l_{0}, i} \geq α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{k}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} r_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i}$ ，

又因为，所以得到：

$α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} r_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} - H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} | a_{i i} | \leq 0$ ，

即 $H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} | a_{i i} | - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} r_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} \geq 0$ ，

当 $r_{l_{0}} = r_{0} = 1$ 时，易知上述等式依旧成立。

因为 $| a_{i i} | > α R_{i} + (1 - α) C_{i} \geq α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | + (1 - α) C_{i}$ ，所以 $| a_{i i} | - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | + (1 - α) C_{i} \geq 0$ ，

综上，取 $ε > 0$ 且充分小，得：

$\begin{array}{l} H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} | a_{i i} | - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} r_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} \\ + ε [| a_{i i} | - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | + (1 - α) C_{i}] > 0 \end{array}$ (5)

下面构造正对角矩阵 $X = d i a g (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，记 $B = A X = (b_{i j})$ ，其中：

，

1) $\forall i \in N_{1}^{(k)}$ ，由(3)式得，

$\begin{array}{l} α R_{i} (B) + (1 - α) C_{i} (B) \\ = α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | (H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} + ε)] + (1 - α) C_{i} (A) x_{1 i}^{(k)} \\ = α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} (A) x_{1 i}^{(k)} + ε α \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | \\ < | a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} = | b_{i i} | \end{array}$

2) $\forall i \in N_{2}$ ，由(4)式得，

$\begin{array}{l} α R_{i} (B) + (1 - α) C_{i} (B) \\ = α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | x_{2 t} + \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | (H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} + ε)] + (1 - α) C_{i} (A) x_{2 i} \\ = α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} (A) x_{2 i} + ε α \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | \\ < | a_{i i} | x_{2 i} = | b_{i i} | \end{array}$

3) $\forall i \in N_{3}$ ，因为 $H_{l} \leq 1$ ， $Ω_{i}^{(l)} \leq 1$ ，所以 $H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} \leq 1$ ，再由(5)式得，

$\begin{array}{l} | b_{i i} | - α R_{i} (B) - (1 - α) C_{i} (B) \\ = (H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} + ε) | a_{i i} | - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | (H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} + ε)] \\ - (1 - α) C_{i} (A) (H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} + ε) \\ = ε [| a_{i i} | - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | - (1 - α) C_{i} (A)] + H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} | a_{i i} | \\ - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] - (1 - α) C_{i} (A) H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l0)} \end{array}$

$\begin{array}{l} > ε [| a_{i i} | - α \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | - (1 - α) C_{i} (A)] + H_{l_{0}} Ω_{t}^{(l_{0})} | a_{i i} | \\ - α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] - (1 - α) C_{i} (A) \\ > 0 \end{array}$

综上所述， $\forall i \in N$ ， $| b_{i i} | > α R_{i} (B) + (1 - α) C_{i} (B)$ ，总是能够成立，即满足 $B = A X \in D (α)$ ，所以 $A \in \tilde{D} (α)$ ，根据引理4，则 $A \in \tilde{D}$ ，证毕。

注1 本文定理1对文献 [3] 的定理1有所改进，由于 $r_{1} \leq 1$ ,故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [3] 的弱)。

我们可以在定理1中取 $α = 1, p = 1$ ，得出推论1，如下所示。

2.1.1. 推论1

设 $A \in M_{n} (C)$ ，若存在 $l_{0} \in Z$ ，使满足

$| a_{i i} | x_{1 i} > \sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{2 t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}, \forall i \in N_{1}; k = 1, 2, \dots, m$

$| a_{i i} | x_{2 i}^{(k)} > \sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{2 t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}, \forall i \in N_{2}^{(k)}$

则A是非奇异H-矩阵。

注2 由于 $r_{l} \leq 1$ ，故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [1] 的定理1条件弱)，也就是说本文推论1推广了文献 [1] 的定理1。

还可以在定理1中取 $α = 1, p = 1, m = 1$ ，得出推论2。

2.1.2. 推论2

设 $A \in M_{n} (C)$ ，若存在 $l_{0} \in Z$ ，使满足

$| a_{i i} | \frac{| a_{i i} |}{R_{i}} > \sum_{t \in N_{1} \cup N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | \frac{| a_{i i} |}{R_{i}} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}, \forall i \in N_{1}; k = 1, 2, \dots, m$

则A是非奇异H-矩阵。

同理可以推出下面两个定理：

2.2. 定理2

设 $A \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ，矩阵A不可约，若存在 $l_{0} \in Z, p \geq 1$ ，使满足

$\begin{array}{l} | a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} \geq α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] \\ + (1 - α) C_{i} x_{1 i}^{(k)}, \forall i \in N_{1}^{(k)}; k = 1, 2, \dots, m \end{array}$ (6)

$| a_{i i} | x_{2 i} \geq α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} x_{2 i}, \forall i \in N_{2}$ (7)

且(6)或(7)中至少有一个严格不等式成立，则A是非奇异H-矩阵。

2.3. 定理3

记，

$K_{1} = {i \in N_{1}^{(k)} : | a_{i i} | x_{1 i}^{(k)} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}, t \neq i} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} x_{1 i}^{(k)}}; k = 1, 2, \dots, m$

$K_{1} = \cup_{k = 1}^{m} K_{1}^{(k)}$ ，

$K_{2} = {i \in N_{2} : | a_{i i} | x_{2 i} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}, t \neq i} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} x_{2 i}}$ ，

$K_{3} = {i \in N_{3} : | a_{i i} | H_{l_{0}} Ω_{i}^{(l_{0})} > α [\sum_{k = 1}^{m} (\sum_{t \in N_{1}^{(k)}} | a_{i t} | x_{1 t}^{(k)}) + \sum_{t \in N_{2}} | a_{i t} | x_{2 t} + H_{l_{0}} \sum_{t \in N_{3}, t \neq i} | a_{i t} | Ω_{t}^{(l_{0})}] + (1 - α) C_{i} H_{l_{0}} Ω_{i}^{(l_{0})}}$

设 $A \in M_{n} (C)$ ， $α \in (0, 1]$ ，若存在 $l_{0} \in Z, p \geq 1$ ，使满足

且(8)或(9)中至少有一个严格不等式成立，若对，存在非零元素链 $a_{i i_{1}} a_{i_{1} i_{2}} \dots a_{i_{r} k}$ ，使得 $k \in \cup_{k = 1}^{3} K_{i}$ ，则A是非奇异H-矩阵。

3. 数值实例

例设

$A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3.2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 18 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 & 25 & 4 \\ 0 & 1.5 & 2 & 3 & 20 \end{matrix})$ 。

易知 $N_{1} = {2}, N_{2} = {1}, N_{3} = {3, 4, 5}$ ，当取 $α = \frac{1}{2}, p = \frac{3}{2}, l_{0} = 1$ 时，容易算得 $x_{1 i}^{(k)} = x_{12} = \frac{64}{95} = 0.6737$ (保留四位小数，后同)， $x_{2 i} = x_{21} = \frac{2}{3} = 0.6666$ 。

继而能够得出：

$δ_{2, 3} = 0.3258, δ_{2, 4} = 0.2951, δ_{2, 5} = 0.4028, h_{1} = 0.9613$ (文献 [1] 结果)；

$Ω_{3}^{(l)} = 0.3258, Ω_{4}^{(l)} = 0.298, Ω_{5}^{(l)} = 0.4143, H_{1} = 0.8975$ (本文结果)，

当时，根据

显然A不满足文献 [1] 中定理1的条件，不能判定其为非奇异H-矩阵。

但是，由本文得出的结果，有

$\begin{array}{l} 2.1558 = 3.2 \times 0.6737 = | a_{22} | x_{12} > α [| a_{21} | x_{21} + H_{1} (| a_{23} | Ω_{3}^{(l)} + | a_{24} | Ω_{4}^{(l)} + | a_{25} | Ω_{5}^{(l)})] + (1 - α) C_{2} x_{21} \\ = \frac{1}{2} \times [0 + 0.8795 \times (0.3258 + 2 \times 0.298 + 3 \times 0.4143)] + \frac{1}{2} \times 3.5 \times 0.6737 = 2.1309 \end{array}$

显然矩阵A满足本文定理1的条件，可知矩阵A是非奇异H-矩阵。

其中取正对角矩阵：

$X = (\begin{matrix} 0.6737 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0. \dot{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2865 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.2621 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.3643 \end{matrix})$ ，

所以 $B = A X = (\begin{matrix} 1.3474 & 0 & 0 & 0.2621 & 0.3643 \\ 0 & 2.1331 & 0.2865 & 0.5243 & 1.0929 \\ 0.6737 & 0. \dot{6} & 5.157 & 1.0484 & 1.8215 \\ 0.6737 & 0. \dot{6} & 0.8595 & 6.5525 & 1.4572 \\ 0 & 0. \dot{9} & 0.573 & 0.7863 & 7.286 \end{matrix})$ ，B是一个严格α-对角占优矩阵。

致谢

感谢陈茜等同学对本文提供的建议和帮助。

基金项目

国家自然科学基金(11461027)和湖南省教育厅科研基金(16A173)，吉首大学研究生创新基金(JGY201932)。

文章引用

蒋雯雯,庹清. 一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件
A Set of New Criteria for the Iterative Discrimination of Subdivision of Nonsingular H-Matrices[J]. 应用数学进展, 2020, 09(01): 50-59. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.91007

参考文献

1. 范迎松, 陆全, 徐仲, 高慧敏. 非奇异H-矩阵的一组判定条件[J]. 高校应用数学学报A辑, 2011, 26(4): 474-480.

2. 尹军茹, 徐仲, 陆全. 非奇H-矩阵的细分迭代判别准则[J]. 工程数学学报, 2013, 30(3): 433-441.

3. 山瑞平, 陆全, 徐仲, 张骁. 非奇H-矩阵的一组细分迭代判定条件[J]. 应用数学学报, 2014, 37(6): 1130-1139.

4. 庹清, 陈茜. 关于“一类非奇异H-矩阵判定的新条件”一文的注记[J]. 计算数学, 2019, 41(2): 219-224.

5. 刘长太. 非奇异H矩阵迭代式充分条件[J]. 计算数学, 2017, 39(3): 328-336.

6. Gan, T.-B. and Huang, T.-Z. (2003) Simple Criteria for Nonsingular H-Matrices. Linear Algebra and Its Applications, 374, 317-326. https://doi.org/10.1016/S0024-3795(03)00646-3

7. Berman, A. and Plemmons, R.J. (1979) Nonnegative Matrix in the Mathematical Sciences. Academic Press, New York. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-092250-5.50009-6

8. 谢清明. 判定广义对角占优矩阵的几个充分条件[J]. 工程数学学报, 2006(4): 757-760.

9. 孙玉祥. 广义对角占优矩阵的充分条件[J]. 高等学校计算数学学报, 1997(3): 216-223.

NOTES

^*通讯作者。

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